Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êíèïïåðà (Áîõóìñêèé óíèâåðñèòåò, Ãåðìàíèÿ, 2008), íà ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàä. À. Ò. Ôîìåíêî è ïðîô. À. Ñ. Ìèùåíêî (ìåõ-ìàò ÌÃÓ). Òàêæå ðåçóëüòàòû äîêëàäûâàëèñü íà Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõó÷¼íûõ Ëîìîíîñîâ-2013(Ìîñêâà, 2013), Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è èõ ïðèëîæåíèé, ïîñâÿù¼ííàÿ70-ëåòèþ ðåêòîðà ÌÃÓ àêàäåìèêà Â. À. Ñàäîâíè÷åãî (Ìîñêâà, 2009), êîíôåðåíöèè Àëåêñàíäðîâñêèå ÷òåíèÿ (Ìîñêâà, 2011).ÏóáëèêàöèèÏî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû 5 ðàáîò, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåä¼í â êîíöåââåäåíèÿ.8Ñòðóêòóðà è îáú¼ìÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è ïÿòè ãëàâ.
Òåêñò äèññåðòàöèè èçëîæåí íà119 ñòðàíèöàõ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 40 íàèìåíîâàíèé.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂîââåäåíèèôîðìóëèðóåòñÿ öåëü ðàáîòû, êðàòêî èçëàãàåòñÿ å¼ ðåçóëüòàòûè ñîäåðæàíèå, à òàêæå îñâåùàåòñÿ ìåñòî äàííûõ èññëåäîâàíèé â ñîâðåìåííîéìåõàíèêå òâ¼ðäîãî òåëà.Âïåðâîé ãëàâåââîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è èçëàãàþòñÿ êëþ÷åâûå òåî-ðåìû òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Îïèñàíû ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà àëãåáðåËè e(3)∗ , âîçíèêàþùèå â çàäà÷å î äâèæåíèè òâ¼ðäîãî òåëà.
Òàêæå â ïåðâîéãëàâå èçëàãàþòñÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé è åãî îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæ¼ëîãîòâ¼ðäîãî òåëà (ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé-ßõüè).Âîâòîðîé ãëàâåðàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà Êîâàëåâñêîéßõüè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé íà ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòÿõ óðîâíÿMg4 ãåîìåòðè÷åñêîãî èíòåãðàëà è èíòåãðàëà ïëîùàäåé (ãäå g ïîñòîÿííàÿïëîùàäåé). Ãàìèëüòîíèàí è èíòåãðàë Êîâàëåâñêîéßõüè îïðåäåëÿþò ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà êàæäîé ïîâåðõíîñòè Mg4 , òîïîëîãèÿ êîòîðîãî ñóùåñòâåííîçàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ g è λ (âåëè÷èíà ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà). Ï.
Å. Ðÿáîâ è Ì. Ï. Õàðëàìîâ [12] ïîñòðîèëè êðèâûå íà ïëîñêîñòè R2 (g, λ), ðàçäåëÿþùèå îáëàñòè ñ êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûì âèäîì áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììäëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà Mg4 → R2 (h, k), îïðåäåëÿåìîãî ãàìèëüòîíèàíîì èäîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì. Îêàçàëîñü, ÷òî òàêèõ îáëàñòåé (êàìåð) 18.Äëÿ ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüè äîêàçàíà áîòòîâîñòü äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ ñèñòåìû.Òåîðåìà À.(Í.
C. Ñëàâèíà [23])  èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè â ïðîîáðàçàõ âñåõ ãëàäêèõ äóã áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, çà èñêëþ÷å9íèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê íà íèõ, ëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè òîðîâËèóâèëëÿ.Ñ ïîìîùüþ ýòîé òåîðåìû, à òàêæå òåîðåì 8, 9, äîêàçàííûõ Ì. Ï. Õàðëàìîâûì è Ï. Å. Ðÿáîâûì, îïðåäåëåíû ïåðåñòðîéêè è ñåìåéñòâà òîðîâ ïðè âñåõíåêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ g, λ. òðåòüåé ãëàâå äàíî îïèñàíèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòÿõ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò è íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ âîë÷êàÊîâàëåâñêîéßõüè ïðè âñåõ íåêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñ ïîëóëîêàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, ò.å.
íå â ìàëîé îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè, à â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ. Òàêîå èññëåäîâàíèå îñîáåííîñòåé ñèñòåìû îñíîâíîéøàã íà ïóòè âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà (èíâàðèàíòîâ òîíêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ïî Ëèóâèëëþ).Òåîðåìà B.(Í. Ñ. Ñëàâèíà [23])  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè íåáè-ôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâgèλ âñå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåâû-ðîæäåíû, ïðè÷¼ì â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõêðèâûõ ëåæèò ðîâíî îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàíãà 0.Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòè íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèéðàâíîâåñèÿ îïèñàíà â òåîðåìå 14 è âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò â òåîðåìå 15. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 15 áóäåò ïðîäîëæåíî â ÷åòâ¼ðòîé ãëàâå,ãäå íåäîñòàþùèå ìåòêè áóäóò îïðåäåëåíû ïî ôîðìóëàì Òîïàëîâà. Êðóãîâûåìîëåêóëû ñ ìåòêàìè ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ 3.1, 3.2.×òîáû ïðèìåíÿòü ôîðìóëû Òîïàëîâà íåîáõîäèìî çíàòü òîïîëîãèþ êðóãîâîé 3-ïîâåðõíîñòè Q, òàê êàê òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû Q (ãðóïïû ãîìîëîãèé, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ìåòîê ìîëåêóëû. òðåòüåé ãëàâå â òåîðåìå 16 îïðåäåë¼í òèï êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçàõ îêðåñòíîñòåé îñîáûõ òî÷åê ðàíãà îäèí.
Çíàÿ òîïîëîãèþ Q,ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëîâûìè ìåòêàìè ìîëåêóëû, êîòîðûå ïîçâîëÿò âû÷èñëèòü íåäîñòàþùèå ìåòêè r, ε, n. Ýòî è áóäåìïðîäåëàíî â ñëåäóþùåé ãëàâå. ÷åòâ¼ðòîéãëàâåíà êàæäîì èç ãðàíè÷íûõ òîðîâ ïîñòðîåíà ïàðà áàçèñ10íûõ öèêëîâ (λ, µ), êîòîðûå îáðàçóþò äîïóñòèìóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ãðàíèöå 3-àòîìà. Ïî ïðàâèëó, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó r−ìåòêàìè íàð¼áðàõ ìîëåêóëû è èíäåêñàìè ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ öèêëîâ, îïðåäåëåíî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå áàçèñíûõ öèêëîâ âî âñåõ ñåìè ñåìåéñòâàõ òîðîâ. ýòîé ãëàâå, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òîïàëîâà [2], çàâåðøåíî äîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû 15 î ìåòêàõ íà ð¼áðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõîðáèò.
Ôîðìóëà Òîïàëîâà [2] ñâÿçûâàåò ìåòêè ìîëåêóë ñ òîïîëîãè÷åñêèì òèïîì ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè. Îíà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà. Êîíêðåòíûé âèä ôîðìóëû Òîïàëîâà çàâèñèò îò ñòðóêòóðû ìîëåêóëû è ïîëó÷àåòñÿ âñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì, ïðèâåä¼ííûì â [2].Âïÿòîé ãëàâå,ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííûõ äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò èîïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ, âû÷èñëåíû âñå ìàòðèöû ñêëååê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë, à ïî ìàòðèöàì ñêëååê âû÷èñëåíûâñå ÷èñëîâûå ìåòêè.Òåîðåìà C.(Í. Ñ. Ñëàâèíà [24]) Èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà Êîâàëåâñêîé-ßõüè â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòàëà ïëîùàäåégè óðîâíÿ ýíåðãèèHλ,èíòåãðà-ðàñïàäàåòñÿ íà 29 ñëîåíèé Ëèóâèë-ëÿ, êîòîðûå ïîïàðíî ëèóâèëëåâî íåýêâèâàëåíòíû.
Ïîëíûé ñïèñîê èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüèïðè íåáèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâg, λ,êëàññèôèöèðóþùèé âñåýòè 29 ñëîåíèé, ïðèâåäåí â òàáëèöàõ 5.1, 5.2, 5.3. ðåçóëüòàòå ìû âû÷èñëèëè âñå èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãà. Òàêèìîáðàçîì ïîëíîñòüþ çàâåðøåíà òîíêàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñëîåíèéñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîé-ßõüè (èìååòñÿ ââèäó äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî íà Mg4 , çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ g, λ). Ýòî ñåìåéñòâî ñîäåðæèò ðîâíî29 ïîïàðíî ëèóâèëëåâî íåýêâèâàëåíòíûõ ñëîåíèé.Îêàçàëîñü, ÷òî ñðåäè ýòèõ ñëîåíèé åñòü ñëîåíèÿ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíûðàíåå èçâåñòíûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé, Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè g = 0, ñëó÷àå Æóêîâñêîãî, ñëó÷àå Ãîðÿ÷åâà11×àïëûãèíàÑðåòåíñêîãî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûøåïåðå÷èñëåííûå ñèñòåìû ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìå Êîâàëåâñêîé-ßõüè íà íåêîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè (òåîðåìû 18, 19, 20).
Ñðåäè 29 ñëîåíèé îáíàðóæåíû 11 íîâûõ ñëîåíèé, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíûíèêàêèì ðàíåå îáíàðóæåííûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â èçâåñòíûõ ñëó÷àÿõèíòåãðèðóåìîñòè òâåðäîãî òåëà. òåîðåìå 21 äîêàçàíî, ÷òî òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äëÿñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîé-ßõüè ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà áîëüøèõ óðîâíÿõýíåðãèè H . Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî ýòà âûñîêîýíåðãåòè÷åñêàÿ ñèñòåìàãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà èçâåñòíîìó ðàíåå ñëó÷àþ èíòåãðèðóåìîñòèÃîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî íà îäíîì èç óðîâíåé ýíåðãèè.  òî æå âðåìÿ ýòè äâå ñèñòåìû òîíêî ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíû.ÁëàãîäàðíîñòèÀâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþÀíàòîëèþ Òèìîôååâè÷ó Ôîìåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷, çà åãî íåîöåíèìóþïîìîùü è ñîâåòû íà âñåõ ýòàïàõ íàïèñàíèÿ ðàáîòû, à òàêæå çà îáùåå ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå è ìèðîâîççðåíèå, êîòîðîå ó àâòîðà ñôîðìèðîâàëîñüïðè îáùåíèè ñ íèì.Àâòîð áëàãîäàðåí À.
À. Îøåìêîâó çà ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå, ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ, öåííûå çàìå÷àíèÿ è êîíñóëüòàöèè.Ì. Ï. Õàðëàìîâà àâòîð áëàãîäàðèò çà ïîñòîÿííûé èíòåðåñ ñ åãî ñòîðîíûê ýòîé òåìå, ðÿä âûñêàçàííûõ èì ïîëåçíûõ çàìå÷àíèé ê ðàçëè÷íûì ÷àñòÿìðàáîòû, êîòîðûå â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ïîìîãëè å¼ óëó÷øèòü.Àâòîð òàêæå áëàãîäàðåí âñåìó êîëëåêòèâó êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíîéãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ çà ïîääåðæêó è âíèìàíèå.12Ïóáëèêàöèè àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè1. Í.
Ñ. Ëîãà÷¼âà,Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ èâûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû Êîâàëåâñêîéßõüè,Ìàòåì. ñáîðíèê, 203:1 (2012), 3160.2. Í. Ñ. Ñëàâèíà,Êëàññèôèêàöèÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüèñ òî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè,Äîêëàäû Àêàäåìèè Íàóê,452:3 (2013), 252255.3. Í.
Ñ. Ñëàâèíà, Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè,Ìàòåì. ñáîðíèê, â ïå÷àòè, îáú¼ì 61 ñòð.4. Í. Ñ. Ñëàâèíà, Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè,Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷¼íûõ Ëîìîíîñîâ-2013, 2013, (òåçèñû).5. Ï. Ï. Àíäðåÿíîâ, Ê. Å. Äóøèí, Í. Ñ. Ëîãà÷¼âà,Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèçñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîéßõüè â çàäà÷å î äâèæåíèè òâ¼ðäîãî òåëà,Ìåæäóíà-ðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è èõïðèëîæåíèé, ïîñâÿù¼ííàÿ 70-ëåòèþ ðåêòîðà ÌÃÓ àêàäåìèêà Â.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
