Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 3
Текст из файла (страница 3)
À. Ñàäîâíè÷åãî (òåçèñû äîêëàäîâ), (2009), ñ. 277.13Ãëàâà 1Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ1.11.1.1Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû íà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõÏîíÿòèå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûÏóñòü (M 2n , ω) ãëàäêîå 2n-ìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå, íà êîòîðîì çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ H . Ïðè ïîìîùè ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû ωïîäíèìåì íèæíèé èíäåêñ ó êîâåêòîðíîãî ïîëÿ grad H . Ïîëó÷åííîå âåêòîðíîåïîëå sgrad H íà M 2n íàçûâàåòñÿ êîñûì ãðàäèåíòîì. Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìàv = sgrad H íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ n ñòåïåíÿìèñâîáîäû, à ôóíêöèÿ H å¼ ãàìèëüòîíèàíîì.Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ω îïðåäåëÿåò íà ìíîãîîáðàçèè M 2n ñêîáêóÏóàññîíà {, } ãëàäêèõ ôóíêöèé ñëåäóþùèì êàíîíè÷åñêèì îáðàçîì:{f, g} = ω(sgrad f, sgrad g). ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (x1 , ..., x2n ) ïðè ïîìîùè ñêîáêè Ïóàññîíà ãàìèëüòîíîâà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẋi = {xi , H}, i = 1, ..., 2n.14Îïðåäåëåíèå 1.
Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàçèèM 2nvíà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðà-íàçûâàåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ, åñëè ñóùåñòâóåòíàáîð ãëàäêèõ ôóíêöèéf1 , ..., fn ,òàêèõ ÷òî:f1 , ..., fn - ïåðâûå èíòåãðàëû v . Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà âñ¼ì ìíîãîîáðàçèè{fi , H} = 0, i = 1, ..., 2n,2n2n2) îíè ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû íà M , òî åñòü ïî÷òè âñþäó íà M1)èõ ãðàäèåíòû ëèíåéíî íåçàâèñèìû,3){fi , fj } = 0i, j ,sgrad fi ïîëíûïðè ëþáûõ4) âåêòîðíûå ïîëÿïðè ëþáûõi.Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñòå-ñòâåííûé ïàðàìåòð íà èõ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèÿõ îïðåäåë¼í íà âñåé÷èñëîâîé ïðÿìîé.Äëÿ êðàòêîñòè âïîëíå èíòåãðèðóåìûå ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ÷àñòî íàçûâàþò ïðîñòîèíòåãðèðóåìûìè.Îïðåäåëåíèå 2. Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðèðóåìîéM 2n íà ñâÿçíûåèíòåãðàëîâ f1 , ..., fn .ñèñòåìå, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ìíîãîîáðàçèÿñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿÓòâåðæäåíèå 1.  ñëó÷àå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ïîòîêèêîìïîíåíòûsgrad f1 , ..., sgrad fnêîììóòèðóþò.Äîêàçàòåëüñòâî.{sgrad fi , sgrad fj } = sgrad {fi , fj } = 0.Èòàê, ïîòîêè sgrad f1 , ..., sgrad fn êîììóòèðóþò è ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè (ïîîïðåäåëåíèþ 1).
Ýòî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü íà ìíîãîîáðàçèè M 2n äåéñòâèåàáåëåâîé ãðóïïû Rn , ïîðîæä¼ííîå ñäâèãàìè âäîëü âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad f1 , ...,sgrad fn . Ýòî äåéñòâèå íàçûâàåòñÿäåéñòâèåì Ïóàññîíà.151.1.2Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.Îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íàñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M 2n íàçûâàþò ñëåäóþùåå îòîáðàæåíèå:f1 × f2 × ... × fn : M 2n → Rn .Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tξ ðåãóëÿðíóþ ñîâìåñòíóþ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà:Tξ = {x ∈ M 2n | fi (x) = ξi , i = 1, ..., n}.Ðåãóëÿðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äèôôåðåíöèàëû dfi ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàTξ .(M 2n , ω) çàäàíà âïîëíåèíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà v = sgrad H è Tξ - ðåãóëÿðíàÿ ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , ..., fn . Òîãäà:1) Tξ - ãëàäêîå ëàãðàíæåâî ïîäìíîãîîáðàçèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüÒåîðåìà 1.
Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèsgrad f1 , ..., sgrad fn .2) Åñëè ïîäìíîãîîáðàçèå Tξ êîìïàêòíî, òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíînñòè Tξ äèôôåîìîðôíà n-ìåðíîìó òîðó T . Ýòè òîðû íàçûâàþòñÿ òîðàìèíî ïîòîêîâv = sgrad HèËèóâèëëÿ.3) Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèUòîðà ËèóâèëëÿTξTníà äèñêñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàòs1 , ..., sn ,òðèâèàëüíî, ò.å. äèôôåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ òîðàDn.4)  îêðåñòíîñòèϕ1 , ..., ϕn ,U = T n ×Dníàçûâàåìûõ ïåðåìåííûìè äåéñòâèå-óãîë, ñî ñëåäóþùèìè ñâîé-ñòâàìè:à)s1 , ..., sn- êîîðäèíàòû íà äèñêåêîîðäèíàòû íà òîðåá)ω=PDn , ϕ1 , ..., ϕn- ñòàíäàðòíûå óãëîâûåT n , ϕ ∈ R/2πZ.dϕi ∧ dsi .â) Ïåðåìåííûå äåéñòâèÿsi ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò èíòåãðàëîâ f1 , ..., fn .16ã)  ïåðåìåííûõ äåéñòâèå-óãîë ãàìèëüòîíîâ ïîòîêêàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ èç îêðåñòíîñòèU,vâûïðÿìëÿåòñÿ íàò.å.
ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿïðèíèìàþò âèä:ṡi = 0, ϕ̇i = qi (s1 , ..., sn ), i = 1, ..., n.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà êàæäîì òîðå ïîòîêv çàäà¼ò óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêîåäâèæåíèå, à òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáìîòêàìè òîðà (ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìîæíî íàéòè â [22, ò. 1, ãë. 1].1.1.3Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì òðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàþò íåñêîëüêî îñíîâíûõ òèïîâ èõ èçîìîðôèçìîâ.Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà êëàññèôèêàöèè ñåìåéñòâà ñèñòåì òèïà Êîâàëåâñêîé-ßõüè ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîøåíèÿ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 3.
Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû(M2 , v2 )(M1 , v1 )èíàçûâàþòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèô-ôåîìîðôèçìΦ : M1 → M2 ,ïåðåâîäÿùèé ñëîè Ëèóâèëëÿ îäíîé ñèñòåìû âñëîè Ëèóâèëëÿ äðóãîé ñèñòåìû.Åñëè îñëàáèòü ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, òî âîçíèêàåò ïîíÿòèå ãðóáîé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 4. Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû(M2 , v2 )(M1 , v1 )èíàçûâàþòñÿ ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòãîìåîìîðôèçì ìåæäó áàçàìè ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ, êîòîðûé ëîêàëüíî (ò.å.â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè) ïîäíèìàåòñÿ äî ïîñëîéíîãî ãîìåîìîðôèçìàñëîåíèé Ëèóâèëëÿ.171.21.2.1Ãðóáûå òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî.Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ äâóìÿñòåïåíÿìè ñâîáîäû (n = 2).Ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè e(3) ãðóïïû Ëè E(3) äâèæåíèé òðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
Íà ëèíåéíîì ñîïðÿæ¼ííîì ïðîñòðàíñòâå e(3)∗ îïðåäåëåíà ñêîáêà ËèÏóàññîíà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé f è g :{f, g}(x) = x([dx f, dx g]),ãäå x ∈ e(3)∗ , à [ , ] êîììóòàòîð â àëãåáðå Ëè e(3). åñòåñòâåííûõ êîîðäèíàòàõ (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ) íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâåe(3)∗ ýòà ñêîáêà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:{si , sj } = εijk sk ,{ri , sj } = εijk rk ,{ri , rj } = 0,ãäå εijk çíàê ïåðåñòàíîâêè (123) → (ijk).Ìàòðèöà Ω(s,r) ñêîáêè ËèÏóàññîíà âûãëÿäèò òàê:Ω(s,r)0s3−s20r3−s3 0s1 −r3 0 s −s0r2 −r11 2= 0r3 −r2 00−rr100 3 0r2−r1000−r2r10000Ïóñòü íà e(3)∗ çàäàíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H(s, r). Ðàññìîòðèìñèñòåìó óðàâíåíèé:ṡi = {si , H},ṙi = {ri , H}.(1)Ôóíêöèè f1 = r12 + r22 + r32 è f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 ëåæàò â ÿäðå ñêîáêèËèÏóàññîíà (ôóíêöèè Êàçèìèðà) è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè óðàâíåíèé (1).
Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (1) íà ñîâìåñòíûå ÷åòûðåõìåðíûå18ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèé f1 è f2Mg4 = {f1 = r12 + r22 + r32 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g}ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïîâåðõíîñòè Mg4 ÿâëÿþòñÿ íåîñîáûìè ãëàäêèìè ñèìïëåêòè÷åñêèìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè â e(3)∗ , äèôôåîìîðôíûìè T S 2 , ò.å. êîêàñàòåëüíîìó ðàññëîåíèþñôåðû S 2 . Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íà Mg4 çàäàåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ñêîáêèËèÏóàññîíà èç îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà e(3)∗ .
Ñèñòåìà áóäåò èíòåãðèðóåìîé íà ïîâåðõíîñòè Mg4 , åñëè íà íåé ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìàÿñ H ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ K(s, r), òàêàÿ ÷òî {H, K} = 0. Åñëè òàêàÿ ôóíêöèÿñóùåñòâóåò ãëîáàëüíî íà âñåì e(3)∗ , òî íà êàæäîì Mg4 âîçíèêàåò èíòåãðèðóåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïàðàìåòð g èìååòôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé.1.2.2Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.Îïðåäåëåíèå 5. Èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàåòñÿ òð¼õìåð-íîå ìíîãîîáðàçèåQ3h = {x ∈ M 4 | H(x) = h}.Äëÿ òîãî, ÷òîáû Q3h ÿâëÿëîñü ãëàäêèì êîìïàêòíûì ìíîãîîáðàçèåì â M 4 ,è âåêòîðíîå ïîëå v = sgrad H íèãäå íà Q3h íå îáðàùàëîñü â íîëü, áóäåìðàññìàòðèâàòü ëèøü òå h, ïðè êîòîðûõ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:1) Q3h êîìïàêòíà,2) dH 6= 0 âñþäó íà Q3h .Îïðåäåëåíèå 6.
Òî÷êóx ∈ Q3háóäåì íàçûâàòü êðèòè÷åñêîé, åñëè â íåéëèíåéíî çàâèñèìû âåêòîðíûå ïîëÿsgrad Hèsgrad K (sgrad K = λsgrad H ).Îòìåòèì, ÷òî îñîáûå ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ýòî òå ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûå ïîïàëè êðèòè÷åñêèå òî÷êè, è òåîðåìàËèóâèëëÿ ê íèì íå ïðèìåíèìà.19Óòâåðæäåíèå 2. [22, ò. 1, ãë. 1] ÔóíêöèÿK̃ = K|Q3híå ìîæåò èìåòüèçîëèðîâàííûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3h . Êðèòè÷åñêèå òî÷êè K̃îðãàíèçîâàíû â êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè.Êàæäàÿ êðèòè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ ïðîåêòèðóåòñÿ îòîáðàæåíèåì ìîìåíòàâ îäíó òî÷êó íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå. Ïàðàìåòðñòèsgrad Kèsgrad Hλïðîïîðöèîíàëüíî-ïîñòîÿíåí âäîëü êðèòè÷åñêîé òðàåêòîðèè.Òàê êàê êðèòè÷åñêèå òî÷êè íà Q3h íå ìîãóò áûòü èçîëèðîâàííûìè, òî áåññìûñëåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî K̃ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà. Ïîýòîìó, â ñëó÷àåäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé àíàëîã ýòîãî ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå 7.
Ôóíêöèÿòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3h ,K̃íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áîòòà íà èçîýíåðãå-åñëè âñå å¼ êðèòè÷åñêèå òî÷êè îðãàíèçîâàíû âêðèòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ.Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì íåêîòîðûõ ãëàäêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé, ïðè÷¼ì êàæäîå èç íèõ íåâûðîæäåíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Âòîðîé äèôôåðåíöèàë d2 K̃ íåâûðîæäåí íàïîäïðîñòðàíñòâå, òðàíñâåðñàëüíîì ê ìíîãîîáðàçèþ (â êàæäîé òî÷êå). Äðóãèìè ñëîâàìè, îãðàíè÷åíèå ôóíêöèè K̃ íà òðàíñâåðñàëü ê ïîäìíîãîîáðàçèþÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà.Óòâåðæäåíèå 3. [22, ò. 1, ãë. 1] Ñâÿçíûå êðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿèíòåãðàëàK̃íàQ3häèôôåîìîðôíû ëèáî îêðóæíîñòè, ëèáî òîðó, ëèáî áó-òûëêå Êëåéíà.Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç äâóõ óñëîâèé:1) êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â Q3h ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòè 1 èëè 2,2) òàê êàê v = sgrad H 6= 0, òî íà ýòèõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ ñóùåñòâóåòãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå, îòëè÷íîå îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå.Èòàê, êðèòè÷åñêèìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè ìîãóò ñëóæèòü òîëüêî îêðóæíîñòè, äâóìåðíûå òîðû è áóòûëêè Êëåéíà.
Ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ê äâóëèñò20íûì íàêðûòèÿì êðèòè÷åñêèå áóòûëêè Êëåéíà ðàçâîðà÷èâàþòñÿ â êðèòè÷åñêèå òîðû, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êðèòè÷åñêèõ áóòûëîê Êëåéíà íåò.1.2.3Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ.Ðàññìîòðèì ãëàäêîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå M 2n è ïóñòü v = sgrad H ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà íà í¼ì, èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ.Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà µ : M 2n → Rn , îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé µ(x) = (H(x), f2 (x), . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
