Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Äóãè V3 Z2 è V3 A3 - ïðîäîëæåíèå äóãβ6 è α2 ñîîòâåòñòâåííî, ïîýòîìó ïåðåñòðîéêè íà íèõ èçâåñòíû, è îáîçíà÷åíèåäóã ñîõðàíåíî. Îáîçíà÷åíèÿ íîâûõ òî÷åê âçÿòû èç êàìåðû 8, òàê êàê îíàãðàíè÷èò ñ êàìåðîé 5 (ñì. ðèñ. 2.1). Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 8 â â êàìåðó5 ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, êîòîðàÿ ñîäåðæèò òî÷êè A3 , V3 , Z2 , íåìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó âñå îáîçíà÷åíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ.Êàìåðà 1'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 5 â êàìåðó 1' òî÷êè V1 è V3 ïðèáëèæàþòñÿ äðóã êäðóãó, çàòåì îíè èñ÷åçàþò, ïðîïàäàþò ñîåäèíÿþùèå èõ äóãè β5 è α3 . Îñòàëüíàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó ïåðåíîñèì ïåðåñòðîéêè.Êàìåðà 3'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 2' â êàìåðó 3' êëþâ ñ òî÷êîé âîçâðàòà A2 ïåðåñåêàåò äóãó β3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Y2 è Y3 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êëþâà ñ äóãîéβ3 .

Íåèçâåñòíóþ ïåðåñòðîéêó íà äóãå Y2 Y3 îáîçíà÷èì ÷åðåç δ2 . Íîâóþ òî÷êó âîçâðàòà íóæíî îáîçíà÷èòü ÷åðåç A3 , à íåèçâåñòíóþ ïåðåñòðîéêó íà äóãå60A3 Y2 - γ1 . Ýòè îáîçíà÷åíèÿ âçÿòû èç êàìåðû 1', òàê êàê ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ïåðåõîäå èç êàìåð 10 → 50 → 40 → 30 (ñì. ðèñ. 2.1) ÷àñòü áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó âîçâðàòà A3 è äóãó γ1 , íå ìåíÿåòñÿ.Äóãà A3 Y3 - ïðîäîëæåíèå äóãè α2 , ïîýòîìó ïåðåñòðîéêà íà ýòîé äóãå èçâåñòíà, è îáîçíà÷åíèå äóãè ñîõðàíåíî.

Îñòàëüíûå ïåðåñòðîéêè ïåðåíîñÿòñÿ,òàê êàê äðóãàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ.Êàìåðà 6'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 3' â êàìåðó 6' êëþâ ñ òî÷êîé âîçâðàòà A3 ïåðåñåêàåò äóãó β1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Y4 è Y5 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êëþâà ñ äóãîé β1 .Íà äóãå Y4 Y5 âîçíèêàåò íåèçâåñòíàÿ ïåðåñòðîéêà. Îáîçíà÷èì ýòó äóãó β10 .Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïåðåñòðîéêà áóäåò îïðåäåëåíà íèæå, â êàìåðå 7'. Òàêêàê äðóãàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, òî äðóãèå ïåðåñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêè ïåðåíîñÿòñÿ.Êàìåðà 7'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 6' â êàìåðó 7' òî÷êè Y1 è Y3 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êåB1 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàåò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà B4 .  ðåçóëüòàòåýòîãî ïåðåõîäà íå âîçíèêàåò íîâûõ äóã ñ íåèçâåñòíûìè ïåðåñòðîéêàìè.Òàêæå â êàìåðó 7' ìîæíî ïîïàñòü ñ ëåâîé âåðòèêàëüíîé ãðàíèöû (g = 0).Ïðè òàêîì ïåðåõîäå äóãà α3 ñ ïåðåñòðîéêîé 2A ðàñïàäàåòñÿ íà äóãè β1 è β3ñ ïåðåñòðîéêàìè A.

Òî÷êà z6 ïåðåõîäèò â òî÷êó âîçâðàòà B4 , âîçíèêàþò äóãèγ1 è δ2 ñ íåèçâåñòíûìè ïåðåñòðîéêàìè, ïîÿâëÿåòñÿ òî÷êà êàñàíèÿ U1 . Äóãàα9 , α10 ïåðåõîäèò â äóãó β10 , à çíà÷èò äóãå β10 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêà 2A.Êàìåðà 8'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 7' â êàìåðó 8' òî÷êè Y2 è V2 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êå B4 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàþò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà B3 , íîâàÿ òî÷êàêàñàíèÿ U3 è íîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ Z2 . Íà äóãå U3 Z2 îòñóòñòâóþò êðèòè÷åñêèå äâèæåíèÿ (ñì. [19]), ïîýòîìó îíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû. Äóãà U3 B3 - ïðîäîëæåíèå äóãè β2 , ïîýòîìó ïåðåñòðîéêà íà íåéèçâåñòíà, è îáîçíà÷åíèå äóãè ñîõðàíåíî. Åù¼ îäíà íåèçâåñòíàÿ ïåðåñòðîéêà âîçíèêàåò íà äóãå B3 Z2 . Îáîçíà÷èì ýòó äóãó δ1 .

Îñòàëüíûå ïåðåñòðîéêè61ïåðåíîñÿòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.Äëÿ íîâîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âçÿòî îáîçíà÷åíèå Z2 , êîòîðîå âîçíèêëî âêàìåðå 5. Äåëî â òîì, ÷òî â êàìåðó 8 ìîæíî ïîïàñòü èç êàìåðû 5, äâèãàÿñüïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç êàìåðû 1', 9' (ñì. ðèñ. 2.1). Ïðè òàêîì äâèæåíèè ÷àñòüáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó Z2 , íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìóîáîçíà÷åíèå ïåðåíîñèòñÿ.

Ïî àíàëîãè÷íûì ïðè÷èíàì íîâàÿ äóãà îáîçíà÷åíà÷åðåç δ1 .Êàìåðà 9'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 8' â êàìåðó 9' òî÷êè U1 è U3 ïðèáëèæàþòñÿ äðóã êäðóãó, çàòåì îíè èñ÷åçàþò, ïðîïàäàþò ñîåäèíÿþùèå èõ äóãè α5 è β3 . Îñòàëüíàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó ïåðåíîñèì ïåðåñòðîéêè.Êàìåðà 4'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 3' â êàìåðó 4' òî÷êè Y1 è Y3 ïðèáëèæàþòñÿ êòî÷êå B1 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàåò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà. ż íóæíî îáîçíà÷èòü B4 , êàê è âîçíèêøóþ â êàìåðå 7' òî÷êó âîçâðàòà. Êàìåðà 4'ãðàíè÷èò ñ êàìåðîé 7' (ñì. ðèñ. 2.1), ïîýòîìó ìîæíî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä èçîäíîé êàìåðû â äðóãóþ. Ïðè òàêîì ïåðåõîäå èç êàìåðû 7' â êàìåðó 4' ÷àñòüáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó âîçâðàòà B4 , íå ìåíÿåòñÿ,ïîýòîìó îáîçíà÷åíèå òî÷êè ïåðåíîñèòñÿ â êàìåðó 4'.Êàìåðà 5'Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 4' â êàìåðó 5' òî÷êè Y2 è V2 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êå B4 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàþò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà B3 , íîâàÿ òî÷êàêàñàíèÿ U3 è íîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ Z2 .

Íà äóãå U3 Z2 îòñóòñòâóþò êðèòè÷åñêèå äâèæåíèÿ (ñì. [19]), ïîýòîìó îíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû. Äóãà U3 B3 - ïðîäîëæåíèå äóãè β2 , ïîýòîìó ïåðåñòðîéêà íà íåéèçâåñòíà, è îáîçíà÷åíèå äóãè ñîõðàíåíî. Îáîçíà÷åíèÿ íîâûõ òî÷åê âçÿòû èçêàìåðû 8', òàê êàê îíà ãðàíè÷èò ñ êàìåðîé 5' (ñì. ðèñ. 2.1). Ïðè ïåðåõîäå èçêàìåðû 8' â â êàìåðó 5' ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, êîòîðàÿ ñîäåðæèòòî÷êè B3 , U3 , Z2 , íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó âñå îáîçíà÷åíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ.62Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 6.

 ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè â êàìåðàõ 1, 1' - 9, 9' (ñì. ðèñ.2.5-2.13) â ïðîîáðàçàõ ðåãóëÿðíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ëåæèòíåêîòîðîå ÷èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ, êîòîðûå ãðóïïèðóþòñÿ â ñåìåéñòâà. ×èñëî òîðîâ â êàæäîì ñåìåéñòâå I-VII ðàâíî îäíîìó.Äàííûé ðåçóëüòàò âçÿò èç [38].

Äëÿ êîððåêòíîãî îïðåäåëåíèÿ ñåìåéñòâòîðîâ Ëèóâèëëÿ â îáùåì ñëó÷àå, Ï. Ï. Àíäðåÿíîâ ïîñòðîèë êðóãîâûå ìîëåêóëû áåç ìåòîê òî÷åê X2 , Y2 , X3 , Y3 , X4 , Y4 , A3 , B3 , A4 , B4 , Z2 , ïðè ïîìîùèïàêåòà ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé Wolfram Mathematica 6.0, è ââåë íîâîå áîëååìåëêîå ðàçáèåíèå òîðîâ íà ñåìåéñòâà. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùàÿ:1. Ñíà÷àëà âñå òîðû ðàçäåëèì íà ñåìåéñòâà òàê, áóäòî â ïðîîáðàçàõ äóãγ1 , γ2 , δ1 , δ2 íåò íè îäíîãî òîðà Ëèóâèëëÿ.

Òîãäà ðàçáèåíèå íà ñåìåéñòâà â îáùåì ñëó÷àå áóäåò òàêèì æå, êàê è â ãðàíè÷íûõ ñëó÷àÿõ.  îäíîì ãðàíè÷íîìñëó÷àå, íåêîòîðûå òîðû ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè, ïðè ýòîì òå æå òîðû ìîãóò ïðèíàäëåæàòü îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòèâ äðóãîì ãðàíè÷íîì ñëó÷àå Íåêîòîðûå òîðû ìîãóò áûòü íå ïðåäñòàâëåíû âîäíîì ãðàíè÷íîì ñëó÷àå, íî òîãäà îáÿçàòåëüíî áóäóò ïðèñóòñòâîâàòü âî âòîðîì. Êîìáèíèðóÿ ñåìåéñòâà äëÿ äâóõ ãðàíè÷íûõ ñëó÷àåâ, ìû ïîëó÷èì íîâîå,áîëåå ìåëêîå ðàçáèåíèå.

Îáîçíà÷èì ýòè ñåìåéñòâà i (1 òîð), ii (1 òîð), iii (1òîð), iv (1 òîð), v (1 òîð), vi (1 òîð), vii (2 òîðà), viii (2 òîðà).iiiiiiivvviviiviiiλ=0×(2)(1)(4)(3)g=0VIIII×IVV××VII(5)×III2. Òåïåðü ïîñìîòðèì íà êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê X2 , Y2 , X3 , Y3 , X4 , Y4 , A3 ,63B3 , A4 , B4 , Z2 .  ïðîîáðàçå äóã γ1 , γ2 , δ1 , δ2 åñòü òîðû Ëèóâèëëÿ, ïîýòîìó íåêîòîðûå ñåìåéñòâà ìîãóò îòîæäåñòâèòüñÿ, èëè ÷àñòü îäíîãî ñåìåéñòâà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ äðóãèì ñåìåéñòâîì.  ðåçóëüòàòå ïðîâåðêè ýòèõ êðóãîâûõ ìîëåêóë îêàçàëîñü, ÷òî ñåìåéñòâà i, iv ñêëåèëèñü, ñåìåéñòâî v ñêëåèëîñü ñ ïîëîâèíîé ñåìåéñòâà viii, à ñåìåéñòâî vi ñêëåèëîñü ñ ïîëîâèíîé ñåìåéñòâà vii. Ââåä¼ì íîâûå îáîçíà÷åíèÿ I = i = iv, II = ii, III = iii, IV = v, V = vi, V +V I =vii, IV + V II = viii, ìû ïîëó÷èëè êîððåêòíîå ðàçáèåíèå.64Ãëàâà 3Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ âîêðåñòíîñòÿõ âûðîæäåííûõîäíîìåðíûõ îðáèò è íåâûðîæäåííûõïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ.3.1Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ.Íàïîìíèì, ÷òî Mg4 = {f1 = r12 + r22 + r32 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g}, ãäå f1è f2 - ôóíêöèè, ëåæàùèå â ÿäðå ñêîáêè Ëè-Ïóàññîíà è ÿâëÿþùèåñÿ ïåðâûìèèíòåãðàëàìè óðàâíåíèé (2.1.2).Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà H è èíòåãðàëà K íà Mg4 , îáîçíà÷èâ èõ Hgλ è Kgλ ñîîòâåòñòâåííî.Òåîðåìà 12.

(Í. Ñ. Ñëàâèíà [23])  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè âñå òî÷êèðàíãà íîëü íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû:√p2gz−λ2gz−λz2 − 112ω1 = ± z − 1 2, ω2 = 0, ω3 = 2, ν1 = ±, ν2 = 0, ν3 = ,2z − 12z − 1zz65ãäå z - ëþáîé äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ:(2gz − λ)22gz − λ p 22z(z − 1)− λz(z − 1) 2± z − 1 = 0.(2z 2 − 1)22z − 1(3.1.1)2Äðóãèõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ó ãàìèëüòîíèàíîâñòðàíñòâåMg4H(g, λ)íà ôàçîâîì ïðî-íåò.Äîêàçàòåëüñòâî.Êîîðäèíàòû ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ íà ôàçîâîì ïðîñòðàí-ñòâå ñèñòåìû áóäåì èñêàòü èç óñëîâèÿ sgrad H(x) = 0, ò.å.

ïðèðàâíèâàÿ êíóëþ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé 2.1.5 è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ 2.1.6:ν2 = 0,ω2 = 0,(ω − λ)ω + ν = 0,313⇔ν3 ω1 − ν1 ω3 = 0,ν12 + ν32 = 1,2ω ν + (ω + λ)ν = 2g.1 133(10)Ïîñëåäíèé ïåðåõîä ñäåëàí â ïðåäïîëîæåíèè ν2 = ω2 = 0. Åñëè ïðåäïîëî-(ω3 − λ)ω2 = 0,(ω3 − λ)ω1 + ν3 = 0,ν = 0,2ν2 ω3 − ν3 ω2 = 0,ν3 ω1 − ν1 ω3 = 0,ν ω − ν ω = 0,1 22 1(ω3 − λ)ω2 = 0,(ω3 − λ)ω1 + ν3 = 0,ν = 0,2⇔ν3 ω2 = 0,ν3 ω1 − ν1 ω3 = 0,ν ω = 0,1 2æèòü, ÷òî ω2 6= 0, òî:(ω − λ)ω2 = 0, 3ν2 = 0,(ω3 − λ)ω1 + ν3 = 0,ν ω − ν ω = 0,3 11 3ν3 = 0,ν1 = 0.Ýòîò âàðèàíò íåâîçìîæåí â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ Γ = ν12 + ν22 + ν32 = 1.Åñëè â (10) ν3 = 0, òîãäà:(ω3 − λ)ω1 = 0,−ν ω = 0,1 3ν12 = 1,2ω ν = 2g,1 1⇔(ω3 − λ)ω1 = 0,ν ω = 0,1 3ν1 = ±1,2ω ν = 2g,1 1⇔(ω3 − λ)ω1 = 0,ω = 0,3ν1 = ±1,ω = ±g,166⇔ω3 − λ = 0,ω = 0,3ν1 = ±1,ω = ±g,1Òàêèì îáðàçîì, åñëè ν3 = 0, òî λ = 0.

È ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû íà Mg4 :ω1 = ±g; ω2 = 0; ω3 = 0; ν1 = ±1; ν2 = 0; ν3 = 0.Ïóñòü òåïåðü ν3 6= 0:ω3 ω1 ν1 − λω1 ν1 + ν3 ν1 = 0,ν3 ω12 − ν1 ω3 ω1 = 0,3 11 31ν1 21⇔222() + 1 = 2,(ïðåäïîëàãàÿν=60)=1,|:ν+νν3331ν3ν3ν12ω ν + (ω + λ)ν = 2g.| : ν2ω1 + ω3 + λ = 2g ,1 1333ν3ν31ν1Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ. Ïóñòü= z, = s. Çàìåòèì,÷òî z 6= ±1.

Òàêν3ν3êàê åñëè z = ±1 =⇒ ν3 = ±1, è èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñëåäîâàëîáû, ÷òî ν1 = 0, à ñèñòåìà èìåëà áû âèä:(ω − λ)ω ± 1 = 0,ω1 = 0,31⇐⇒ ∅(ω + λ) = ±2g,ν = ±1,(ω3 − λ)ω1 + ν3 = 0, | · ν1ν ω − ν ω = 0, | · ω33(òàê êàê íåñîâìåñòíû ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû)Èòàê, âåðí¼ìñÿ ê çàìåíå. Ñëîæèì ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû. Ïîëó÷èì:ν3 ω12 − λω1 ν1 + ν3 ν1 = 0, | : ν32ν ω = ν ω , | : ν3 11 33s2 + 1 = z 2 ,2ω s + ω + λ = 2gz,13zω12 − λω1 sz + s = 0,ω1 = sω3 ,⇔s2 + 1 = z 2 ,ω3 = 2gz − λ ,2s2 + 1⇔zω12 − λω1 sz + s = 0,ω = sω ,13s2 + 1 = z 2 ,2ω s + ω + λ = 2gz,13zω12 − λω1 sz + s = 0,2gz − λω1 = s,2+12s⇔√s=±z 2 − 1,2gz − λω3 =,2s2 + 167⇔zω12 − λω1 sz + sω = sω ,13s2 + 1 = z 2 ,2s2 ω + ω + λ =33zω12 − λω1 sz + s = 0,√2gz − λω1 = ± z 2 − 12z 2 − 1⇔√s = ± z 2 − 1,2gz − λω3 =,2z 2 − 1Ïîäñòàâèì â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû s(z) è ω1 (z):(2gz − λ)22gz − λ1√−λz±= 0.(2z 2 − 1)22z 2 − 1z2 − 1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ òî÷åê, íàéäåííûõ èç óñëîâèÿ sgrad H = 0, óñëîzâèå sgrad K = 0 òàêæå âûïîëíåíî.

Òåîðåìà äîêàçàíà. ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè, îñîáûìè òî÷êàìè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ÿâëÿþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ è âîçâðàòà, èçîëèðîâàííûõ òî÷åêíåò (ñì. [19]). Èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [19] òàêæå âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïðåäëîæåíèå 2.

Характеристики

Список файлов диссертации