Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Åé ñîîòâåòñòâóåò îñîáåííîñòü òèïà ñåäëîñåäëî, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñåäëîâûõ áèôóðêàöèé B × B .(I)(λβ7 , −λα9 ) −−→(I)Bβ7 −−→ (λβ7 , λα4 ),(IV )(λβ7 , −λα9 ) −−→(II)(λβ7 , −λα9 ) −−→(V II)(λβ7 , −λα9 ) −−−→(II)Bβ7 −−→ (λβ7 , λα4 ),(I)(λα4 , λβ7 ) −−→(II)(λα4 , λβ7 ) −−→(I)Bα4 −−→ (λα4 , −λβ2 ),(I)(λβ2 , −λα9 ) −−→(IV )(λβ2 , −λα9 ) −−→(I)Bβ2 −−→ (λβ2 , λα4 ),(I)(λα9 , λβ7 ) −−→(V II)(λα9 , λβ7 ) −−−→(I)Bα9 −−→ (λα9 , −λβ2 ),(II)(λα9 , λβ7 ) −−→(IV )(IV )Bα9 −−→ (λα9 , −λβ2 ).(λα9 , λβ7 ) −−→Ðàññìîòðèì îñîáóþ òî÷êó Y1 c ïðåäñòàâëåíèåì B × B , àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:(I)−−→ (λβ4 , λα7 )(I)(λβ4 , −λα2 ) −−→ Bβ4 (III)−−−→ (λβ4 , λα7 ),(I)(I)(λα2 , λβ4 ) −−→ Bα2−−→ (λα2 , −λβ9 )(V )−−→ (λα2 , −λβ9 ),92(I)(I)(λα7 , λβ4 ) −−→ Bα7−−→ (λα7 , −λβ9 )(V )−−→ (λα7 , −λβ9 ),(III)(III)(λα7 , λβ4 ) −−−→ Bα7−−−→ (λα7 , −λβ9 )(V I)−−→ (λα7 , −λβ9 ),(I)(I)(λβ9 , −λα2 ) −−→ Bβ9−−→ (λβ9 , λα7 )(III)−−−→ (λβ9 , λα7 ),(V )(V )(λβ9 , −λα2 ) −−→ Bβ9−−→ (λβ9 , λα7 )(V I)−−→ (λβ9 , λα7 ).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ àòîìîâ Bα4 è Bβ4 ïîëó÷åíû äâå ðàçëè÷íûå äîïóñòèìûåñèñòåìû êîîðäèíàò.
Äàëåå áóäóò èñïîëüçîâàíû âòîðûå ñèñòåìû êîîðäèíàò,âîçíèêøèå èç òî÷åê X1 è Y1 ñîîòâåòñòâåííî.Èòàê, ïîêà îïðåäåëåíû äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îòíîñÿùèåñÿ ê äåñÿòè ãèïåðáîëè÷åñêèì áèôóðêàöèÿì α2 , β2 , α4 , β4 , α5 , β5 , α7 , β7 , α9 , β9 .Îñòàëîñü ïîñòðîèòü äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îòíîñÿùèåñÿ ê áèôóðêàöèÿì α1 , β1 , α3 , β3 , β6 , α8 , β8 , α10 , β10 , γ1 , δ1 , γ2 , δ2 , êîòîðûå èìåþò ýëëèïòè÷åñêèé òèï A.Íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè A1 , ñîîòâåòñòâóþùåì ñåìåéñòâó II,r[α3 α4 ] = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, öèêëû λα3 è λα4 èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 1è îáðàçóþò áàçèñ. Âòîðîé öèêë èìååò îðèåíòàöèþ, çàäàííóþ ãàìèëüòîíîâûìïîòîêîì, ïîýòîìó áàçèñ ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî àòîìàAα3 . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì äîïóñòèìûå áàçèñû äëÿ îñòàëüíûõ áèôóðêàöèé. Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿþòñÿ àòîì Aβ6 . Äëÿ íåãî íåëüçÿ óêàçàòü âòîðîéáàçèñíûé öèêë, òàê êàê ïîêà íå èçâåñòíû ñîîòâåòñòâóþùèå r−ìåòêè êðóãîâûõ ìîëåêóë.(II)Aα3 −−→ (λα3 , λα4 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè B1 :(III)(λβ3 , λβ4 ) −−−→ Aβ3 .Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè A2 :(V I)(λα8 , λα7 ) −−→ Aα8 ,93(V )(λα8 , λα7 ) −−→ Aα8 ,Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè B2 :(IV )Aβ8 −−→ (λβ8 , λβ7 ),(V II)Aβ8 −−−→ (λβ8 , λβ7 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè A3 :(V )(λγ1 , λα2 ) −−→ Aγ1 .Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè B3 :(IV )Aδ1 −−→ (λδ1 , λβ2 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè A4 :(II)Aγ2 −−→ (λγ2 , λα9 ),(V II)Aγ2 −−−→ (λγ2 , λα9 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè B4 :(III)(λδ2 , λβ9 ) −−−→ Aδ2 ,(V I)(λδ2 , λβ9 ) −−→ Aδ2 .Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê S0 , e1 , êîòîðûå âîçíèêàþò â ñëó÷àå g = 0,λ = 0 (ñì.
[1], à òàêæå ðèñ. 2.3-2.4) â åäèíûõ îáîçíà÷åíèÿõ (ñì. òàáëèöó2.1):(I)(λβ1 , λβ4 ) −−→ Aβ1 ,(I)Aα1 −−→ (λα1 , λα4 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè e2 , êîòîðàÿ âîçíèêàåò â ñëó÷àå λ = 0 (ñì.[1], à òàêæå ðèñ. 2.3) â åäèíûõ îáîçíà÷åíèÿõ (ñì. òàáëèöó 2.1):(I)Aα10 −−→ (λα10 , λα9 ),(IV )Aα10 −−→ (λα10 , λα9 ).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z6 , êîòîðàÿ âîçíèêàåò â ñëó÷àå g = 0 (ñì.[36], à òàêæå ðèñ. 2.4) â åäèíûõ îáîçíà÷åíèÿõ (ñì.
òàáëèöó 2.1):(I)(λβ10 , λβ9 ) −−→ Aβ10 ,(V )(λβ10 , λβ9 ) −−→ Aβ10 .944.2Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ.Ðàññìîòðèì ðåáðî ìîëåêóëû è äâà öèêëà λ+ è λ− , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííûìè áàçèñíûìè öèêëàìè íà àòîìàõ, ñîåäèí¼ííûõ äàííûìðåáðîì. Ïðàâèëî, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó r−ìåòêàìè íà ð¼áðàõ ìîëåêóëû è èíäåêñàìè ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ öèêëîâ, ôîðìóëèðóåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:1) åñëè r = 0, òî λ+ è λ− èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 1;2) åñëè r = ∞, òî λ+ è λ− èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 0, ò.å.
ãîìîëîãè÷íû;3) åñëè r = 21 , òî λ+ è λ− èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 2.Áóäåì àíàëèçèðîâàòü êàæäîå ñåìåéñòâî ïî îòäåëüíîñòè.Ñåìåéñòâî IÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî A∗β5 , C2α5 , Bα4 , Bβ4 , Bβ7 ,Bβ2 , Bα9 , Bα2 , Bα7 , Bβ9 , Aα1 , Aβ1 , 2Aα10 , 2Aβ10 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî M, Z1 , X1 , X5 , Y1 , Y5 , A1 , B1 ,V1 , U1 , B2 , U2 , A2 , V2 , A4 , B4 , A3 , B3 , V3 , U3 .Èíôîðìàöèÿ, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç êðóãîâûõ ìîëåêóë, òàêîâà:95òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿMλα1 , λβ11Z1λα4 , λβ52Z1λα5 , λβ51Z1λα5 , λβ41Z1λα4 , λβ41X1λα4 , λβ71X1λα4 , λβ21X1λα9 , λβ21X1λα9 , λβ71X5λα10 , λβ20X5λα10 , λβ70X5λα1 , λβ20Y1λα2 , λβ91Y1λα7 , λβ91Y1λα7 , λβ41Y1λα2 , λβ41Y5λβ1 , λα20Y5λβ10 , λα20Y5λβ10 , λα70V1λα2 , λβ50U1λα5 , λβ20U2λα9 , λβ50V2λα5 , λβ90Áàçèñû íà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ãðàíèöàõ 3-àòîìîâ äîëæíûèìåòü ðàçíóþ îðèåíòàöèþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè äâå áèôóðêàöèè ðàñïîëîæåíû îáå ñëåâà (èëè îáå ñïðàâà) ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè I, òî îðèåíòàöèèñîîòâåòñòâóþùèõ äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñîâïàäàþò.
Òàêèì îáðàçîìáàçèñû96λ +λ(λβ5 , β5 2 α4 ), (λα5 , −λβ5 ), (λα4 , λβ7 ), (λβ2 , −λα9 ), (λα9 , λβ7 ), (λα2 , λβ4 ),(λα7 , λβ4 ), (λβ9 , −λα2 ), (λβ1 , λβ4 ) èìåþò îäíó îðèåíòàöèþ, à áàçèñû(λβ5 , −λα5 ), (λα5 , λβ4 ), (λβ7 , λα4 ), (λβ2 , λα4 ), (λα9 , −λβ2 ), (λβ4 , λα7 ),(λα2 , −λβ9 ), (λβ9 , λα7 ), (λα1 , λα4 ) èì ïðîòèâîïîëîæíóþ.Ïåðå÷èñëåííûå âûøå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âçàèìíîåðàñïîëîæåíèå âñåõ öèêëîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ñåìåéñòâó I . Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íàðèñ. 4.1. Öèêëû λ ïîêàçàíû çäåñü êàê ýëåìåíòû öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêè Γ,îòâå÷àþùåé òîðó Ëèóâèëëÿ. Ñàì òîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôàêòîðïðîñòðàíñòâî R2 /Γ.Ñåìåéñòâî IIÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî A∗β5 , Bα4 , Bβ7 , Bα4 ,Bα9 , Aα3 , Aγ2 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Z1 , X1 , X3 , A1 , V1 ,B2 , U2 , A4 , V3 .Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë ìîæíî èçâëå÷ü ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ:òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿZ1λα4 , λβ52X1λα4 , λβ71X1λα9 , λβ71X3λα3 , λβ70X3λγ2 , λβ70A1λα3 , λα41U2λα9 , λβ50A4λα9 , λγ21 ýòîì ñåìåéñòâå îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λβ5 ,λβ5 +λα4), (λα9 , λβ7 ), (λα4 , λβ7 )2ñîâ-ïàäàþò è ïðîòèâîïîëîæíû îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λβ7 , λα4 ), (λα3 , λα4 ), (λγ2 , λα9 ).Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ.
4.1.Ñåìåéñòâî IIIÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî C2α5 , Bβ4 , Bβ9 , Aβ3 , Aδ2 .97Ðèñ. 4.1: Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå áàçèñíûõ öèêëîâ â ñåìåéñòâàõ òîðîâ98Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Z1 , Y1 , Y3 , B1 , U1 , A2 , V2 ,B4 , U3 .Èíôîðìàöèÿ, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ êðóãîâûõ ìîëåêóë, òàêîâà.òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿZ1λα5 , λβ41Y1λα7 , λβ91Y1λα7 , λβ41Y3λβ3 , λα70Y3λδ2 , λα70B1λβ3 , λβ41V2λα5 , λβ90B4λδ2 , λβ91 ýòîì ñåìåéñòâå áàçèñû (λβ3 , λβ4 ), (λδ2 , λβ9 ) èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, à îðèåíòàöèÿ áàçèñîâ (λα5 , λβ4 ), (λβ4 , λα7 ), (λβ9 , λα7 ) åé ïðîòèâîïîëîæíà.Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 4.1.Ñåìåéñòâî IVÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî A∗β5 , C2α5 , Bβ7 , Bβ2 , Bα9 ,Aβ8 , Aδ1 , Aβ6 , 2Aα10 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Z1 , Z2 , X1 , X4 , X5 , V1 , U1 , B2 ,U2 , V2 , A4 , B3 , V3 , U3 .Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë ìîæíî èçâëå÷ü ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ:99òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿZ1λα5 , λβ51Z2λδ1 , λβ60X1λα9 , λβ21X1λα9 , λβ71X4λα10 , λδ11X5λα10 , λβ20X5λα10 , λβ70U1λα5 , λβ20B2λβ8 , λβ71U2λα9 , λβ50B3λδ1 , λβ21Òàê êàê íà äóãå γ2 òîð èç ñåìåéñòâà IV íå èñïûòûâàåò ïåðåñòðîéêè (ñì.
X2íà ðèñ. 3.1), òî r[δ1 − β8 ] = ∞, à çíà÷èò λδ1 è λβ8 èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 0.Òàêæå èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè Z2 ñëåäóåò, ÷òî r[δ1 − β6 ] = ∞, à çíà÷èòλδ1 è λβ6 èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 0.Îðèåíòàöèÿ áàçèñîâ (λα5 , −λβ5 ), (λβ7 , −λα9 ), (λβ2 , −λα9 ) ïðîòèâîïîëîæíà îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λα10 , λα9 ), (λβ8 , λβ7 ), (λδ1 , λβ2 ).Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 4.1.Ñåìåéñòâî VÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Bα2 , Bα7 , Bβ9 , Aα8 , Aγ1 , Aβ6 ,2Aβ10 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Y1 , Y4 , Y5 , Z2 , V1 , A2 , V2 , B4 ,A3 , V3 .Èíôîðìàöèÿ, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ êðóãîâûõ ìîëåêóë, òàêîâà.100òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿY1λα2 , λβ91Y1λα7 , λβ91Y4λγ1 , λβ101Y5λβ10 , λα20Y5λβ10 , λα70Z2λβ6 , λγ11A2λα8 , λα71A3λγ1 , λα21Òàê êàê íà äóãå δ2 òîð èç ñåìåéñòâà V íå èñïûòûâàåò ïåðåñòðîéêè (ñì.
Y2íà ðèñ. 3.1), òî r[γ1 − α8 ] = ∞, à çíà÷èò λγ1 è λα8 èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ0.Îðèåíòàöèÿ áàçèñîâ (λα8 , λα7 ), (λγ1 , λα2 ) ïðîòèâîïîëîæíà îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λα2 , −λβ9 ), (λβ9 , λα7 ).Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 4.1.Ñåìåéñòâî VIÁèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Bβ9 , Aα8 , Aδ2 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Y1 , Y2 , Y3 , A2 , V2 , B4 .Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë ìîæíî èçâëå÷ü ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ:òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿY1λα7 , λβ91Y2λα8 , λδ21Y3λα7 , λδ20A2λα8 , λα71B4λδ2 , λβ91Îðèåíòàöèÿ áàçèñà (λβ9 , λα7 ) ïðîòèâîïîëîæíà îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λα8 , λα7 ),(λδ2 , λβ9 ).Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 4.1.Ñåìåéñòâî VII101Áèôóðêàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî Bβ7 , Bα9 , Aβ8 , Aγ2 .Îñîáûå òî÷êè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ñåìåéñòâó, - ýòî X1 , X2 , X3 , B2 , U2 , A4 .Èíôîðìàöèÿ, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ êðóãîâûõ ìîëåêóë, òàêîâà:òî÷êà ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿX1λα9 , λβ71Y2λβ8 , λγ21Y3λβ7 , λγ20B2λβ8 , λβ71A4λγ2 , λα91Îðèåíòàöèÿ áàçèñà (λα9 , λβ7 ) ïðîòèâîïîëîæíà îðèåíòàöèè áàçèñîâ (λβ8 , λβ7 ),(λγ2 , λα9 ).Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ.
4.1.Çàìå÷àíèå 12. Íà ðèñóíêå 4.1 ïîëîæåíèå öèêëîâλα8â ñåìåéñòâåVIèλ β8â ñåìåéñòâåV IIñ òåì, ÷òî ïîêà íåèçâåñòíû íåêîòîðûåëåêóë òî÷åêU2 , V2 .λβ6â ñåìåéñòâàõIV, V ,óêàçàíî ïóíêòèðîì. Ýòî ñâÿçàíîr−ìåòêèíà ð¼áðàõ êðóãîâûõ ìî-Äàëåå ýòè ìåòêè áóäóò íàéäåíû ïðè çàâåðøåíèè äîêà-çàòåëüñòâà òåîðåìû 15, ÷òî ïîçâîëèò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèåýòèõ öèêëîâ â óêàçàííûõ ñåìåéñòâàõ. Íà ðèñóíêå 4.1 ïðèâåä¼í îòâåò äëÿïîëíîòû èçëîæåíèÿ.4.3Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òîïàëîâà è çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 15. ýòîì ïàðàãðàôå áóäåò çàâåðøåíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 15 î ìåòêàõ íàð¼áðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò, à òàêæå áóäåòâûáðàí âòîðîé áàçèñíûé öèêë äëÿ àòîìà Aβ6 .Çàìå÷àíèå 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
