Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Íåäîñòàþùèå ìåòêè êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê102V1 , U1 , V2 , U2ìîæíî âûïèñàòü è áåç ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë Òîïàëîâà, òàê êàê îíè ïîÿâëÿþòñÿ â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé è â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèg = 0. ðàáîòå [1] ïðèâåä¼í îòâåò, íî íå óêàçàí ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ýòèõìåòîê. Íàì äëÿ âû÷èñëåíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë îñòàëîñü òîëü-Aβ6 , à òàêæå îïðåäåëèòüâ ñåìåéñòâàõ òîðîâ V I, V II ñîîòâåòñòâåííî.r-ìåòêè êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè V1 . Ïîýòîìóêî âûáðàòü âòîðîé áàçèñíûé öèêë äëÿ àòîìàïîëîæåíèå öèêëîâλα8 , λβ8Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, çíàÿïðèâåä¼ì äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ äîêàçàòåëüñòâî íàõîæäåíèÿ âñåõ íåäîñòàþùèõ ìåòîê êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åêV1 , U1 , V2 , U2 , V3 , U3 ,îòêóäà áóäåòïîëó÷åíî ñîîòíîøåíèå íà äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþùååïîëîæåíèå öèêëàäëÿ àòîìàλβ6â ñåìåéñòâàõIV, V ,è âûáðàí âòîðîé áàçèñíûé öèêëAβ6 .Èòàê, âåðí¼ìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 15.Ïðèìåíèì ôîðìóëó Òîïàëîâà (1.3.1) äëÿ ïîäñ÷¼òà íåäîñòàþùèõ r−ìåòîê.• òî÷êà V1Ðàññìîòðèì êðóãîâóþ ìîëåêóëó òî÷êè V1 , èìåþùóþ âèä A − A∗ − A (òàáëèöà 3.2).
Íàõîäèììàòðèöóñêëåéêèíà ðåáðå, îòíîñÿùåìñÿ ê ñåìåéñòâó II:!!!−2 1λα3λβ5 +λα4−1 1λα42Çíà÷èò, ìåòêà r ðàâíà íóëþ. Âòîðóþ ìàòðèöó ñêëåéêè îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ Òîïàëîâà. Òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ - S1 ×S2 , ïîýòîìó H1 (S1 ×S2 ) = Z, à çíà÷èò N (W ∗ ) = 0.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1 èìååì ε = +1, à ñëåäîâàòåëüíî â ìàòðèöå ñêëåéêè b > 0.Pne = n + ri + p/2 = [a/b] − 1 + {a/b} + 1/2 = a/b − 1/2, ãäå ÷åðåç [x] è{x} îáîçíà÷åíû öåëàÿ è äðîáíàÿ ÷àñòè ÷èñëà x.Ïî ôîðìóëå Òîïàëîâà ïîëó÷èìb(a/b − 1/2) = 0 ⇒ 2a = b ⇒ a = 1, b = 2 ⇒ r = 1/2.λ β5=Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå íà äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþùåå ïîëîæåíèå öèêëà λβ6 â ñåìåéñòâå IV:103λ β6!!!12λβ5, k ∈ Z.xk 2k − 1−λα5Âòîðàÿ ñòðîêà ìàòðèöû çàäàåò ìíîæåñòâî äëÿ âûáîðà âòîðîãî ýëåìåíòà=äîïóñòèìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ β6 .
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè çàôèêñèðóåì âàðèàíò, ñîîòâåòñòâóþùèé k = 0.(IV )Aβ6 −−→ (λβ6 , λα5 ).Ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè V1 , ñîåäèíÿþùåå áèôóðêàöèè Aβ6 è Bα2 (òàáëèöà 3.2). Òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ - H3 , ïîýòîìóN (W ∗ ) = 0.  ìàòðèöå ñêëåéêè b > 0, òàê êàê ε = +1 ïî ïðåäëîæåíèþ 1.Pne = n + ri + p/2 = [a/b] + {a/b} + 1/2 = a/b + 1/2,Ïî ôîðìóëå Òîïàëîâà ïîëó÷èìb(a/b + 1/2) = 0 ⇒ 2a = −b ⇒ a = −1, b = 2 ⇒ r = 1/2.Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå íà äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò,îïðåäåëÿþùååïîëîæåíèå!öèêëà !λβ6 â ñåìåéñòâå V:!λ β6−12λα2, k ∈ Z.=xk 2k + 1λ β9Çàôèêñèðóåì âàðèàíò ïðè k = 0.(V )(λβ6 , λβ9 ) −−→ Aβ6 .• òî÷êà U1Ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè U1 ñ íåèçâåñòíîé êîíå÷íîéìåòêîé r(òàáëèöà 3.2).
Ìàòðèöà ñêëåéêè íà ðåáðå, îòíîñÿùåìñÿ ê ñåìåéñòâóIII:!!λα51 1=−λβ40 −1• òî÷êè V3 , U3!−λβ3⇒ r = 0.λβ4Êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê V3 è U3 ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ êðóãîâûìè ìîëåêóëàìè òî÷åê V1 è U1 (ðåáðà ìîëåêóë ñîåäèíÿþò òå æå áèôóðêàöèè è îòíîñÿòñÿ ê òàêèì æå ñåìåéñòâàì òîðîâ). Ïîýòîìó r ìåòêè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû.Òåïåðü ìû çíàåì ïîëîæåíèå öèêëà λβ6 è âòîðîé öèêë, äîïîëíÿþùèé åãîäî áàçèñà. Ïîýòîìó äàëåå âñå íåèçâåñòíûå ìåòêè ìîæíî ïîñ÷èòàòü áåç ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Òîïàëîâà.104• òî÷êà V2Ïîñ÷èòàåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè V2 , êîòîðîå ñîåäèíÿåòAβ6 !è Bβ9 è îòíîñèòñÿ ê ñåìåéñòâó V.! áèôóðêàöèè!λβ90 1−λβ6=⇒ r = 0.−λα21 −2λβ9Ðàññìîòðèì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå áèôóðêàöèè Aα8 è Bβ9 , îòíîñÿùååñÿ êñåìåéñòâó! V.!!λα8−1 1λβ9⇒ r = 0.=λα70 1λα7Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå áèôóðêàöèè Aα8 è Bβ9 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâóVI.
!!!λα8−1 1λβ9=⇒ r = 0.λα70 1λα7Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå áèôóðêàöèè Aβ6 è C2α5 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâóIV.!!!λβ60 1λα5⇒ r = 0.=λα51 −2−λβ5• òî÷êà U2Íàéä¼ì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðå, ñîåäèíÿþùåì áèôóðêàöèè Aβ8 è Bα9 ,îòíîñÿùåìñÿê ñåìåéñòâóIV.!!!λα9−1 2λβ8⇒ r = 12 .λ β70 1λβ7Ïîñ÷èòàåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðå, ñîåäèíÿþùåì áèôóðêàöèè Aβ8 èBα9 , îòíîñÿùåìñÿê!ñåìåéñòâó!! VII.λα9−1 2λβ8=⇒ r = 12 .λ β70 1λβ7Èòàê, ïîäñ÷¼ò ìåòîê íà ð¼áðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõ îäíîìåð=íûõ îðáèò çàâåðø¼í.
Òåîðåìà 15 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.105Ãëàâà 5Îñíîâíûå òåîðåìû. Ïîëíûé ïåðå÷åíüèíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿèíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿÊîâàëåâñêîé-ßõüè.5.1Âû÷èñëåíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë.Òåïåðü ìû ìîæåì âû÷èñëèòü âñå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè.Íàïîìíèì, ÷òî êðèâàÿ τ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé â ïëîñêîñòè R2 (h, k) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëè îíà ïåðåñåêàåò áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó Σ òðàíñâåðñàëüíî è íå ïðîõîäèò ÷åðåç îñîáûå òî÷êè Σ.Ïîëíûé ïðîîáðàç Qτ = µ−1 (τ ) êðèâîé τ â M 4 - ýòî òðåõìåðíîå ãëàäêîåìíîãîîáðàçèå ñî ñòðóêòóðîé ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ, âñå îñîáåííîñòè êîòîðîãîÿâëÿþòñÿ áîòòîâñêèìè.
Íà Qτ âîçíèêàåò èíâàðèàíò ýòîãî ñëîåíèÿ - ìå÷åíàÿìîëåêóëà W ∗ (τ ), êîòîðàÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ãëàäêîé èçîòîïèè τ â êëàññå äîïóñòèìûõ êðèâûõ.  êà÷åñòâå êðèâîé ìîæíî τ ðàññìîòðåòü îêðóæíîñòü ìàëîãîðàäèóñà ñ öåíòðîì â íåêîòîðîé èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êå áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû Σ. Òàêàÿ ìîëåêóëà W ∗ (τ ) íàçûâàåòñÿ êðóãîâîé ìîëåêóëîé îñîáîé òî÷êè.
 [1] îïèñàí àëãîðèòì, êàê ñêëåèòü èç êóñî÷êîâ êðóãîâûõ ìîëåêóëîñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ìå÷åíóþ ìîëåêóëó W ∗ äëÿ ëþáîé106äîïóñòèìîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè R2 (h, k). Îäíàêî, èñòîðè÷åñêè âûäåëåíûêðèâûå τ = {H = h0 }, ãäå H - ýòî ãàìèëüòîíèàí èëè èíòåãðàë ýíåðãèè. Íàðèñóíêàõ 5-13 òàêèå êðèâûå îáîçíà÷åíû áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè.Èòàê, ïîñëå çàâåðøåíèÿ âû÷èñëåíèé êðóãîâûõ ìîëåêóë, âûáîðà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò è îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ, ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîàëãîðèòìó, îïèñàííîìó â [1]. Ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííûõ äîïóñòèìûõ ñèñòåìêîîðäèíàò è âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ áûëè âû÷èñëåíû âñåìàòðèöû ñêëååê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë.
Ðåçóëüòàò ïðèâåä¼í â òàáëèöàõ5.1, 5.2, 5.3. Ïî ìàòðèöàì ñêëååê áûëè âû÷èñëåíû ÷èñëîâûå ìåòêè. Èòîãîâûåðåçóëüòàòû ñôîðìóëèðîâàíû â ñëåäóþùèõ òåîðåìàõ.Òåîðåìà 17. (Í.Ñ. Ñëàâèíà [24]) Èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà Êîâàëåâñêîé-ßõüè â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòàãðàëà ïëîùàäåégè óðîâíÿ ýíåðãèèHλ,èíòå-ðàñïàäàåòñÿ íà 29 ñëîåíèé Ëèóâèë-ëÿ, êîòîðûå ïîïàðíî ëèóâèëëåâî íåýêâèâàëåíòíû. Ïîëíûé ñïèñîê èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèíåáèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâg, λ,êëàññèôèöèðóþùèé âñå ýòè29 ñëîåíèé, ïðèâåäåí â òàáëèöàõ 5.1, 5.2, 5.3.Äîêàçàòåëüñòâî. ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ áûëè ïîñòðîåíû äîïóñòèìûå ñèñòå-ìû êîîðäèíàò è îïðåäåëåíî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå áàçèñíûõ öèêëîâ.
Ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì, îïèñàííûé â [1], áûëè âû÷èñëåíû âñå ìàòðèöû ñêëååê íàð¼áðàõ 29 èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë.Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì íà ðèñ. 5.1 èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ìîëåêóëó, âîçíèêøóþ íà óðîâíå ýíåðãèè h21 (ñì. êàìåðó 5' ðèñ. 2.9).Ïîñòðîèì ìàòðèöû ñêëååê äëÿ êàæäîãî èç 6 ð¼áåð äàííîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ìîëåêóëû. Êàæäîå ðåáðî îáîçíà÷åíî ðèìñêîé öèôðîé, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ê êàêîìó ñåìåéñòâó òîðîâ äàííîå ðåáðî îòíîñèòñÿ. Çíàÿ áàçèñíûåöèêëû íà âñåõ äóãàõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, èçâëåêàåì âñþ íåîáõîäèìóþèíôîðìàöèþ èç ðèñ.
4.1, à èìåííî:107Òàáëèöà 5.1: Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëûÐèñ. 5.1: Èçîýíåîãåòè÷åñêàÿ ìîëåêóëà108h21Òàáëèöà 5.2: Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû (ïðîäîëæåíèå)109Òàáëèöà 5.3: Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû (ïðîäîëæåíèå)λα2λ β4!λ β6λ β9!= Cα2 ,α1λα1λα4!−2 1−1 1=!1 20 −1λα1λα4!!,!λα2,−λβ9!!λα5λα20 −1λα2,= Cα5 ,α2=−λβ5−λβ9−1 0−λβ9!!!!λβ6λ β60 1λα5,= Cα5 ,β6=λα51 −2λα5−λβ5!!!!λβ3λα5−1 1λα5= Cβ3 ,α5=,λβ4λ β40 1λ β4!!!!λβ1λα5−1 1λα5.= Cβ1 ,α5=λβ4λ β40 1λβ4Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ ïðîäåëàíû äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ 29 ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ, ïî ìàòðèöàì ñêëååê ïîñ÷èòàíû âñå r, ε è n ìåòêè. Ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëåí â òàáëèöàõ 5.1, 5.2, 5.3. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ïåðå÷èñëåííûå ìå÷åíûåìîëåêóëû ïîïàðíî íåèçîìîðôíû ⇒ ïî òåîðåìå ÔîìåíêîÖèøàíãà ñîîòâåò= Cβ6 ,α2!λα2−λβ9=!!ñòâóþùèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íå ýêâèâàëåíòíû.110Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåì ñàìûì ïîëíîñòüþ çàâåðøåíà òîíêàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñëîåíèé ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîé-ßõüè (èìååòñÿ ââèäó äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî íà Mg4 , çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ g, λ).
Ïðîâîäÿ ñðàâíèòåëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñðåäè ýòèõ ñëîåíèé åñòü ñëîåíèÿ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ðàíåå èçâåñòíûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â äðóãèõ ñëó÷àÿõèíòåãðèðóåìîñòè òâåðäîãî òåëà. Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñëîåíèé îçíà÷àåò ëèóâèëëåâó ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íàêàêèõ-òî óðîâíÿõ ýíåðãèè. Èç ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì ñëåäóåò, ÷òî çàìûêàíèÿ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé îáîèõ ñèñòåì íàìíîæåñòâå ïîëíîé ìåðû ñîâïàäàþò (ñì. [40]). Äàëåå áóäåì ôîðìóëèðîâàòüòåîðåìû â òåðìèíàõ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.5.2Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè, Êîâàëåâñêîé, Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè g = 0,Æóêîâñêîãî, Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî íà íåêîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùèõ òð¼õ òåîðåì áûëè èñïîëüçîâàíû ðåçóëüòàòû,ïîëó÷åííûå â äàííîé ðàáîòå (òàáëèöû 5.1, 5.2, 5.3), â ðàáîòàõ [1], [36], à òàêæåòàáëèöû 5.1-5.11 èç [22, ò.
2].Òåîðåìà 18. Èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû òèïà Êîâàëåâñêîéßõüè íà ñëåäó-þùèõ 10 óðîâíÿõ ýíåðãèèh1 , h2 , h3 , h5 , h6 , h7 , h8 , h14 , h16 , h17(ñîîòâåòñòâåí-íûå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ çàäàíû ìå÷åíûìè ìîëåêóëàìè â òàáëèöàõ 5.1, 5.2)ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì òèïà Êîâàëåâñêîé íà10 óðîâíÿõ ýíåðãèèA, C, D, B, J, H, E, I, F, G ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëåäíèå 10ìîëåêóë è èõ îáîçíà÷åíèÿ âçÿòû èç [1].Òåîðåìà 19. (Í.Ñ. Ñëàâèíà [24])Èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû òèïà Êîâàëåâñêîéßõüè íà ñëåäóþùèõ 10 óðîâíÿõ ýíåðãèè111h1 , h2 , h3 , h18 , h19 , h20 , h21 , h26 , h28 , h29(ñîîòâåòñòâåííûå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ çàäàíû ìå÷åíûìè ìîëåêóëàìè â òàáëèöàõ 5.1, 5.2, 5.3) ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñåðèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìÊîâàëåâñêîéßõüè ïðèg = 0 íà 10 óðîâíÿõ ýíåðãèè A, C, D, B, F, G, E, H, J, Iñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëåäíèå 10 ìîëåêóë è èõ îáîçíà÷åíèÿ âçÿòû èç [36].Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà ïðèâîäèò ñîîòâåòñòâèå ýêâèâàëåíòíûõ ñëîåíèé â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè, â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé (λ = 0), â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè g = 0.Ñëó÷àé Êî- Ñëó÷àéâàëåâñêîéÑëó÷àéÊîâàëåâñêîé- Êîâàëåâñêîéßõüèßõüèïðèg=0Ah1ACh2CDh3DBh5−Jh6−Hh7−Eh8−Ih14−Fh16−Gh17−−h18B−h19F−h20G−h21E−h26H−h28J−h29IÒåîðåìà 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
