Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(Í.Ñ. Ñëàâèíà [24])Èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû òèïà Êîâàëåâñêîéßõüè íà ñëåäóþùèõ 3 óðîâíÿõ ýíåðãèèh1 , h23 , h28 (ñîîòâåòñòâåííûå ñëîåíèÿ112Ëèóâèëëÿ çàäàíû ìå÷åíûìè ìîëåêóëàìè â òàáëèöàõ 5.1, 5.2, 5.3) ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì ñëó÷àÿ Æóêîâñêîãî íà 3 óðîâíÿõ ýíåðãèè 7, 9, 2 ñîîòâåòñòâåííî; íà 2 óðîâíÿõ ýíåðãèèh1èh28ëèóâèë-ëåâî ýêâèâàëåíòíû èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì ñëó÷àÿ Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíàÑðåòåíñêîãî íà 2 óðîâíÿõ ýíåðãèè 1 è 4 ñîîòâåòñòâåííî. Ìîëåêóëû, âîçíèêøèå â ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè Æóêîâñêîãî è Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî,è èõ îáîçíà÷åíèÿ âçÿòû èç òàáëèö 5.4, 5.6 [22, ò.
2].5.3Òåîðåìà î ñòàáèëèçàöèè òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äëÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè íà áîëüøèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè H .Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè R2 (h, k) äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììP(g, λ) (ñì. ðèñ. 2.2). Áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî â îáëàñòèçíà÷åíèé H ≥ H0 ÷àñòè äèàãðàìì, ïîïàâøèå â ïîëóïëîñêîñòü {h ≥ H0 }PHPãîìåîìîðôíû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç g,λ0 = (g, λ) ∩ {h ≥ H0 } ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ïîïàâøåé â ïîëóïëîñêîñòü {h ≥ H0 }.  äàëüíåéøåì ìûáóäåì ðàññìàòðèâàòü áîëüøèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè H , ïîýòîìó íàçîâ¼ì ìíîæåñòâîPH0g,λâûñîêî ýíåðãåòè÷åñêîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé. Òîãäà âåðíàòåîðåìà.Òåîðåìà 21. (Í.Ñ.
Ñëàâèíà [24]) Ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå ýíåðãèèH = H0òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõHáîëüøèõñêèå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòèH0âûñîêî ýíåðãåòè÷å-R2 (h, k) ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüè èçîìîðôíû äðóã äðóãó ïðè ëþáûõ íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâg, λ â ñëåäóþùåì ñìûñëå: ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì ïîëóïëîñêîñòåé, ñîâìåùàþùèé ýòè âûñîêî ýíåðãåòè÷åñêèå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû (ñì.ðèñ. 2.2). Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèHñåìåéñòâî ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíî îäíîé ñèñòåìå íà óðîâíåh4 ,èíûìè ñëî-âàìè, òîïîëîãè÷åñêèé òèï èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñòàáèëèçèðóåòñÿ íàáîëüøèõ óðîâíÿõ ýíåðãèèH.113Ðèñ. 5.2: Âûñîêî ýíåðãåòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàÇàìå÷àíèå 14.  ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîéßõüè ìîëåêóëàíà óðîâíåh4âñòðå÷àåòñÿ â êàæäîé èç 18 êàìåð ïðè çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèH ≥ H0 .
Ýòà âûñîêîýíåðãåòè÷åñêàÿ ìîëåêóëà îêàçûâàåòñÿ ãðóáî ëèóâèë-ëåâî ýêâèâàëåíòíà ìîëåêóëå, îáíàðóæåííîé ðàíåå â èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìå Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî (ñì. ìå÷åíóþ ìîëåêóëó 7 èç òàáëèöû5.6 [22, ò. 2]). Îäíàêî, ýòè ñèñòåìû ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê÷èñëîâûå ìåòêè ðàçëè÷íû. Òàêèì îáðàçîì, ýòî âûñîêî ýíåðãåòè÷åñêîå ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ îêàçûâàåòñÿ íîâûì, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíî íå âñòðå÷àåòñÿâ äðóãèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìàõ, èññëåäîâàííûõ ðàíåå.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì íà ðèñ. 2.2 áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ñëó-÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüè.
Âñå îíè íà ïîëóïëîñêîñòè {h ≥ H0 } èçîìîðôíû îäíîé äèàãðàììå ñ ïåðåñòðîéêàìè àòîìîâ, óêàçàííûìè íà ðèñóíêå 5.2.Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ñðàâíèâàòü ëþáûå äâå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëûíà áîëüøèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ g, λ, òîð¼áðà ýòèõ ìîëåêóë, ñîåäèíÿþùèå ñîîòâåòñòâåííûå áèôóðêàöèè, îòíîñÿòñÿê îäíîèìåííûì äóãàì áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì è ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûì ñåìåéñòâàì òîðîâ. Ïîýòîìó ìîëåêóëû è ìåòêè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò.Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáùàÿ ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà ïðè H = H0 èìååò âèä, óêàçàííûé íà ðèñ.
5.3.Òåîðåìà äîêàçàíà.114Ðèñ. 5.3: Âûñîêî ýíåðãåòè÷åñêîå ñëîåíèå115Ëèòåðàòóðà[1] À. Â. Áîëñèíîâ , Ï. Ðèõòåð, À. Ò. Ôîìåíêî,âîë÷êà Êîâàëåâñêîé,Meòoä êðóãîâûõ ìîëåêóë u òîïîëîãuÿMameì. ñáîðíèê, 191:2 (2000), 342.Âû÷èñëåíèå òîíêîãî èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ îñíîâíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, Ìàòåì. ñáîðíèê, 187:3 (1996), 143[2] Ï. È.
Òîïàëîâ,160.Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò è êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòèèíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ,[3] À. Ò. Ôîìåíêî, Õ. Öèøàíã,ñåð. ìàòåì., 53:3 (1990), 546575.Ãëàäêàÿ òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, Ìàòåì. ñáîðíèê, 186:1 (1995), 328.[4] À. Â. Áîëñèíîâ,[5] A. A. Oshemkov,Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid body motionequations, Topological classication of integrable Hamiltonian systems, AMS, Providence,RI, 1991, 67146.Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî äëÿ îñíîâíûõ èíòåãðèðóåìûõñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà, Òðóäû Ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíà-[6] À. À. Îøåìêîâ,ëèçó, 25:2 (1993), 23109.Îïèñàíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, Òðóäû Ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó,[7] À.
À. Îøåìêîâ,23 (1999), 122132.Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òîïîëîãè÷åñêîå ñòðîåíèå íàñûùåííûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê òèïà ñåäëî-ñåäëî èôîêóñ-ôîêóñ, Ìàòåì. ñáîðíèê, 187:4 (1996), 2958.[8] Â. Ñ. Ìàòâååâ,Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç êëàññè÷åñêèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà, Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, 273:6 (1983), 13221325.[9] Ì. Ï. Õàðëàìîâ,116[10] Ì.
Ï. Õàðëàìîâ,òåëà,Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷ äèíàìèêè òâ¼ðäîãîËåíèíãðàäñêèé óí-ò, 1988.Ôóíêöèè âðàùåíèÿ äëÿ èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷, ñâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèÿìÀáåëÿ. Òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà, Ìàòåì. ñáîðíèê,[11] Î. Å. Îð¼ë,186:2 (1995), 105128.[12] Ï. Å. Ðÿáîâ, Ì.
Ï. Õàðëàìîâ,ßõüè,Áèôóðêàöèè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå ÊîâàëåâñêîéÐåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, 2:2 (1997), 2540.Biurcation sets in a problem on motion of a rigid body in uidand in the generalization of this problem, Regular and Chaotic Dynamic, 3:2 (1998), 8291.[13] O. E. Orel, P. E. Ryabov,[14] P. E. Ryabov,Biurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in uid,Regular and Chaotic Dynamic, 4:4 (1999), 5976.[15] Ï.
Å. Ðÿáîâ,Áèôóðêàöèè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå Ñîêîëîâà,Òåîðåòè÷åñêàÿ èìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà, 134:2 (2003), 207226.[16] Ï. Â. Ìîðîçîâ,Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñëó÷àÿ Êëåáøà,Ìàòåì. ñáîðíèê, 193:10 (2002), 113138.Òîïîëîãèÿ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè Ñòåêëîâà èÑîêîëîâà óðàâíåíèé Êèðõãîôà, Ìàòåì. ñáîðíèê, 195:3 (2004), 69114.[17] Ï. Â. Ìîðîçîâ,Èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ è òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû îäíîãîñëó÷àÿ äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà, Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà, 29 (1997), 17.[18] È.
Í. Ãàøåíåíêî,Áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî çàäà÷è î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóãíåïîäâèæíîé òî÷êè â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè, Äèññ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, Ìîñêâà,[19] Ï. Å. Ðÿáîâ,ÌÃÓ, 1997.[20] Ì. Ï. Õàðëàìîâ, Ï. Å. Ðÿáîâ,ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüÿ,Äèàãðàììû Ñìåéëà-Ôîìåíêî è ãðóáûå èíâàðèàíòûÂåñòí.
Óäìóðòñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõ. Êîìïüþò. íàóêè, 4(2011), 4059.Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõíåâûðîæäåííûõ ãàìèëüòîíèàíîâ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé òðåõìåðíîé ñôåðå, Óñïåõè[21] Íãóåí Òüåí Çóíã, À. Ò. Ôîìåíêî,ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, 45:6(276) (1990), 91111.[22] À. Â. Áîëñèíîâ , À.
Ò. Ôîìåíêî,Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû cucòeìû, ÓäÃÓ, 1999.117Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ è âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû Êîâàëåâñêîéßõüè, Ìàòåì. ñáîð-[23] Í. Ñ. Ëîãà÷¼âà,íèê, 203:1 (2012), 3160.Êëàññèôèêàöèÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè c òî÷íîñòüþäî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè, Äîêëàäû Àêàäåìèè Íàóê, 452:3 (2013), 252255.[24] Í. Ñ. Ñëàâèíà,The theory of invariants of multidimensional integrable Hamiltonian[25] A. T. Fomenko,systems,Advances in Soviet Mathematics. American Math.
Soc, 6 (1991), 127.[26] À. Ò. Ôîìåíêî,ïî Ëèóâèëëþ,Òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì èíòåãðèðóåìûõÔóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 4(22) (1988), 3851.[27] A. T.Fomenko, A. Yu.KonyaevHamiltonian systems,New approach to symmetries and singularities in integrableTopology and its Applications, 159 (2012), 19641975.Êëàññèôèêàöèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ðàíãà íóëü èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, Ìàòåì. ñáîðíèê, 201:8 (2010), 63102.[28] À. À. Îøåìêîâ,[29] Ì. Ï.
Õàðëàìîâ,âàëåâñêîé,Áèôóðêàöèè ñîâìåñòíûõ óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå Êî-Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, 47:6 (1983), 922930.[30] H. M. Yehia,New integrable cases in dynamics îf rigid bodies,Mech. Res. Com., 13:3(1986), 169172.[31] Õ. Ì. ßõüÿ,Íîâûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àu çàäà÷u î äâèæåíèè ãèðîñòàòà,ÂåñòíèêÌÃÓ ñåð. ìaòeì., ìåõàí., 4 (1987), 8890.Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé-ßõüÿ, Ìåõàíèêà òâ¼ðäîãî òåëà, 40[32] Ì. Ï. Õàðëàìîâ, È. È. Õàðëàìîâà, Å.
Ã. Øâåäîâ,(2010), 7790.[33] È. È. Õàðëàìîâà, Ï. Å. Ðÿáîâ,ñòàòà Êîâàëåâñêîéßõüè,Ýëåêòðîííûé àòëàñ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ãèðî-Âåñòí. Óäìóðòñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõ. Êîìïüþò. íàóêè, 2(2011), 147162.Àíàëèòè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿÊîâàëåâñêîé-ßõüÿ, Âåñòí. Óäìóðòñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõ. Êîìïüþò. íàóêè, 4 (2010),[34] Ï. Å. Ðÿáîâ,2530.Àíàëèòè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñòàòàÊîâàëåâñêîé-ßõüÿ, Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà, 42 (2012), 4660.[35] Ì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
