Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÈÌ.Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÑËÀÂÈÍÀ ÍÈÍÀ ÑÅÐÃÅÅÂÍÀÓÄÊ 517.938.5+514.762ÒÎÏÎËÎÃÈ×ÅÑÊÀß ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈßÈÍÒÅÃÐÈÐÓÅÌÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÒÈÏÀ ÊÎÂÀËÅÂÑÊÎÉ-ßÕÜÈ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:àêàäåìèê À. Ò. ÔîìåíêîÌîñêâà 2013ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå13114Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ1.1Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû íà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.1Ïîíÿòèå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû . . . . . 141.1.2Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. . . . . . . . . . . . . . .
. . . 171.2Ãðóáûå òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. . . . . . . . . . . . . . 181.31.2.1Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ. 211.2.4Îñîáûå òî÷êè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì. . . .
. . . . . 221.2.5Ïîíÿòèå 3-àòîìà è ïîñòðîåíèå ãðóáîé ìîëåêóëû. . . . . . 25Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1Ìàòðèöû ñêëåéêè è äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò.. . 291.3.2×èñëîâûå ìåòêè. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 311.3.3Ôîðìóëà Òîïàëîâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Èíòåãðèðóåìûé ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé è åãî îáîáùåíèå íà ñëó÷àéçàäà÷è î äâèæåíèè òÿæ¼ëîãî ãèðîñòàòà. . . . . . . . . . . . . . . 3322Èíòåãðèðóåìûé ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé-ßõüè.362.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 362.2Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè R2 (g, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3Ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè âíóòðè âîñåìíàäöàòè êàìåð. Áîòòîâîñòü èíòåãðàëà íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1Ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè íà ãðàíèöàõ êàìåð 1,1', 2, 2', 6, 6', 7 è 7' êàìåð. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 422.3.2Òåîðåìà î áîòòîâîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.3Ïåðåõîä âíóòðü êàìåð 1, 2, 2', 6, 6', 7, 7' ñ ãðàíèö. Îïðåäåëåíèå ïåðåñòðîåê âî âñåõ êàìåðàõ. . . . . . . . . . . . . 473Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòÿõ âûðîæäåííûõîäíîìåðíûõ îðáèò è íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. 6543.1Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. . . . .
653.2Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò. . . . . . . 77Âûáîð áàçèñíûõ öèêëîâ â ñåìåéñòâàõ òîðîâ è âû÷èñëåíèåíåäîñòàþùèõ ìåòîê êðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò.914.1Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò. . . . . . . . . . . . . 914.2Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ. . . . . 954.3Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òîïàëîâà è çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû 15. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025Îñíîâíûå òåîðåìû. Ïîëíûé ïåðå÷åíü èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà äëÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüè.5.1106Âû÷èñëåíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë. . . . . . . . . . . . . . 10635.2Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè, Êîâàëåâñêîé, Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè g = 0, Æóêîâñêîãî, Ãîðÿ÷åâà×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî íà íåêîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3Òåîðåìà î ñòàáèëèçàöèè òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äëÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîé-ßõüè íà áîëüøèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Ëèòåðàòóðà1164ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè îïèñûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñèñòåì òèïà Êîâàëåâñêîéßõüè.  ðàáîòå àêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿ ðàíåå ïðåäëîæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà (ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë [1], ôîðìóëàÒîïàëîâà [2]).Ïåðâûå ðàáîòû ïî èññëåäîâàíèþ òîïîëîãèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõè ñèñòåì, êëàññèôèêàöèè îñîáåííîñòåé, ïîñòðîåíèþ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì è îïðåäåëåíèþ òèïîâ áèôóðêàöèé, âû÷èñëåíèþ ëîêàëüíûõ èãëîáàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, òðàåêòîðíûõ èíâàðèàíòîâ ïðèíàäëåæàò À.
Ò. Ôîìåíêî, Õ. Öèøàíãó [3], À. Â. Áîëñèíîâó [4], A. À. Îøåìêîâó [5, 6, 7], Â. Ñ. Ìàòâååâó [8], Ì. Ï. Õàðëàìîâó [9, 10], Ï. È. Òîïàëîâó [2],Î. Å. Îð¼ë [11], Ï. Å. Ðÿáîâó [12, 13, 14, 15], Ï. Â. Ìîðîçîâó [16, 17].Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî (ìîëåêóë áåç ìåòîê) äëÿ ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîéßõüè ñ ïðîèçâîëüíûìè g è λ áûëî íà÷àòî â ðàáîòàõ È. Í. Ãàøåíåíêî,Ï.
Å. Ðÿáîâà è Ì. Ï. Õàðëàìîâà (ñì. [18, 19, 12]). Èñ÷åðïûâàþùèé îòâåò, äàþùèé ïîëíîå îïèñàíèå ãðóáîé òîïîëîãèè, ïðèâåä¼í â ðàáîòå Ï. Å. Ðÿáîâà èÌ. Ï. Õàðëàìîâà [20]. Àâòîðàìè äîêàçàíî, ÷òî äëÿ 29 êàìåð íà ïëîñêîñòè(g, h) èìååòñÿ äåâÿòü ãðóïï ýêâèâàëåíòíûõ ìîëåêóë (áåç ìåòîê), ñîäåðæàùèõ22 óñòîé÷èâûõ ãðàôà è 6 íåóñòîé÷èâûõ ïî îòíîøåíèþ ê êîëè÷åñòâó êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà êðèòè÷åñêèõ óðîâíÿõ (ñì. [20], ñòð. 57). íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè îïèñûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñèñòåì òèïàÊîâàëåâñêîéßõüè.
Íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû îïðåäåëÿåò ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà êàæäîé òð¼õìåðíîé ðåãóëÿðíîé5èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Äâå èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì, ïåðåâîäÿùèéñëîåíèå Ëèóâèëëÿ îäíîé ñèñòåìû â ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ äðóãîé ñèñòåìû. Åñëèòîðû Ëèóâèëëÿ íà âñþäó ïëîòíîì ìíîæåñòâå ÿâëÿþòñÿ çàìûêàíèÿìè íåðåçîíàíñíûõ òðàåêòîðèé (êàê â áîëüøèíñòâå êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè), òî Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì îçíà÷àåò, ÷òî ñðàâíèâàåìûå ñèñòåìû èìåþò îäèíàêîâûå çàìûêàíèÿ ðåøåíèé íà òð¼õìåðíûõ óðîâíÿõ ïîñòîÿííîé ýíåðãèè (ñì. [21]). Òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ÔîìåíêîÖèøàíãà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿíåêîòîðûì ãðàôîì ñ ÷èñëîâûìè ìåòêàìè (ñì.
[22]). Ïîýòîìó êëàññèôèêàöèÿòîïîëîãè÷åñêèõ òèïîâ ñèñòåì Êîâàëåâñêîéßõüè ñâîäèòñÿ ê ïîäñ÷¼òó èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà, ÷òî è âûïîëíåíî â íàñòîÿùåé ðàáîòå.Öåëü äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïðåñëåäóåò ñëåäóþùèå öåëè:1.  ñëó÷àå çàäà÷è Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè âñåõ íåêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõïàðàìåòðîâ g, λ âû÷èñëèòü âñå èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãà (ñ ïîìîùüþïîñòðîåííûõ äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò è îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ).2.
Ñðåäè íàéäåííûõ ñëîåíèé íàéòè ñëîåíèÿ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ðàíåå èçâåñòíûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â èçâåñòíûõ ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòèòâåðäîãî òåëà.3. Îáíàðóæèòü íîâûå ñëîåíèÿ, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíû íèêàêèì ðàíåå îáíàðóæåííûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â èçâåñòíûõñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè òâåðäîãî òåëà.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïîñòðîåííàÿ À.
Ò. Ôîìåíêî,6Õ. Öèøàíãîì, À. Â. Áîëñèíîâûì è äðóãèìè. Ïðè ïðîâåðêå íåâûðîæäåííîñòèïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû è êëàññè÷åñêîé äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ñ ïðèâëå÷åíèåì êîìïüþòåðíûõ ïàêåòîâñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:1.
Âû÷èñëåíû âñå èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãà â ñëó÷àå çàäà÷è Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè âñåõ íåêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ g, λ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà ïîëíàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ñèñòåì òèïà Êîâàëåâñêîéßõüè.2. Íàéäåíû ñëîåíèÿ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ðàíåå èçâåñòíûì ñëîåíèÿì,âîçíèêøèì â ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé, Êîâàëåâñêîéßõüè ïðèg = 0, ñëó÷àå Æóêîâñêîãî, ñëó÷àå Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî, ÷òîîçíà÷àåò ëèóâèëëåâó ýêâèâàëåíòíîñòü âûøåïåðå÷èñëåííûõ ñèñòåì ñèñòåìåÊîâàëåâñêîé-ßõüè íà íåêîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè.3.
Îáíàðóæåíû íîâûå ñëîåíèÿ, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíû íèêàêèì ðàíåå îáíàðóæåííûì ñëîåíèÿì, âîçíèêøèì â èçâåñòíûõñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè.4. Äîêàçàíî, ÷òî òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äëÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì Êîâàëåâñêîé-ßõüè ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà áîëüøèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè H , ò.å. ñëîåíèÿ íà âûñîêèõ óðîâíÿõ ýíåðãèè ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû (èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà ñîâïàäàþò). Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî ýòà âûñîêîýíåðãåòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà èçâåñòíîìó ðàíåå ñëó÷àþ èíòåãðèðóåìîñòè Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî íà îäíîì èç óðîâíåéýíåðãèè.
 òî æå âðåìÿ ýòè äâå ñèñòåìû òîíêî ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíû.5. Âû÷èñëåíû âñå êðóãîâûå ìîëåêóëû ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè âñåõ íåêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ g, λ.6. Äîêàçàíà áîòòîâîñòü äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõïîâåðõíîñòÿõ ñèñòåìû.77.
Ïîëó÷åíî äîêàçàòåëüñòâî íåâûðîæäåííîñòè è äàíà êëàññèôèêàöèÿ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû Êîâàëåâñêîé-ßõüè.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòüÏîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èçîìîðôèçìîâ ëèóâèëëåâûõ ñëîåíèé ðàçëè÷íûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ïðè èçó÷åíèè âîçìóùåíèé èññëåäîâàííûõ ñèñòåì, â òîì ÷èñëå íåèíòåãðèðóåìûõ.
Ïîäðîáíî îïèñàííàÿ íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå òåõíèêà âû÷èñëåíèÿ ãëîáàëüíûõòîïîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ïðè êëàññèôèêàöèè ñëîåíèé äðóãèõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè.Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèèÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ãåîìåòðè÷åñêîì çàñåäàíèè ñåìèíàðà ïðîô.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
