Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 6
Текст из файла (страница 6)
È. Õàðëàìîâîé, Ï. Å. Ðÿáîâà [33]ââåäåíî ïîíÿòèå ýëåêòðîííîãî àòëàñà, ñîçäàíà êîìïüþòåðíàÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó îïðåäåëåíèþ.Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî (ìîëåêóë áåç ìåòîê) äëÿ ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîéßõüè ñ ïðîèçâîëüíûìè g è λ áûëî íà÷àòî â ðàáîòàõ È. Í. Ãàøåíåíêî,34Ï. Å. Ðÿáîâà è Ì. Ï. Õàðëàìîâà (ñì.
[18, 19, 12]). Èñ÷åðïûâàþùèé îòâåò, äàþùèé ïîëíîå îïèñàíèå ãðóáîé òîïîëîãèè, ïðèâåä¼í â ðàáîòå [20]. Àâòîðàìèäîêàçàíî, ÷òî äëÿ 29 êàìåð íà ïëîñêîñòè (g, h) èìååòñÿ äåâÿòü ãðóïï ýêâèâàëåíòíûõ ìîëåêóë (áåç ìåòîê), ñîäåðæàùèõ 22 óñòîé÷èâûõ ãðàôà è 6 íåóñòîé÷èâûõ ïî îòíîøåíèþ ê êîëè÷åñòâó êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà êðèòè÷åñêèõóðîâíÿõ (ñì. [20], ñòð. 57).Ï. Å.
Ðÿáîâ â [34] íàø¼ë êðèòè÷åñêèå òî÷êè ðàíãà 0 è 1, à òàêæå óêàçàë ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ èõ òèïà.  ðàáîòå Í. Ñ. Ëîãà÷¼âîé (Ñëàâèíîé) [23]äàíî îïèñàíèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòÿõ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõîðáèò è íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîéßõüè ñïîëóëîêàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, ò.å. íå â ìàëîé îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè, à âîêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ.
 [23] äîêàçûâàåòñÿ áîòòîâîñòü (òåîðåìà 10 äàííîé ðàáîòû) äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, èíåâûðîæäåííîñòü ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ (òåîðåìû 12,13). Òî÷êè ðàíãà íîëüòàêæå áûëè èññëåäîâàíû Ì. Ï. Õàðëàìîâûì â [35], ãäå îí ââåë ïîíÿòèå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ íà ìíîæåñòâåðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñòàòà, óêàçàë ðàçäåëÿþùèå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ è äîêàçàë, ÷òî òàêèõ êëàññîâ 13, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïîëíûé ïðîîáðàçòî÷êè, îòâå÷àþùåé îòíîñèòåëüíîìó ðàâíîâåñèþ.Ï. Â. Ìîðîçîâ â [36] èññëåäîâàë ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû Êîâàëåâñêîéßõüè äëÿ ñëó÷àÿ g = 0, à èìåííî âû÷èñëèë èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãàäëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèóâèëëåâûõ ñëîåíèé.35Ãëàâà 2Èíòåãðèðóåìûé ñëó÷àéÊîâàëåâñêîé-ßõüè.2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.Ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé íà ñëó÷àé çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà.Ãèðîñòàòîì íàçûâàåòñÿ òâ¼ðäîå òåëî, â êîòîðîì çàêðåïë¼í ìàõîâèê.
Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé âèä óðàâíåíèé è ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ýòîé ñèñòåìû.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ïóàññîíà ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà ñçàêðåïëåííîé òî÷êîé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, â ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñè êîòîðîéíàïðàâëåíû âäîëü îñåé èíåðöèè òåëà:Aω̇ = (Aω + λ) × ω − a × ν,ν̇ = ν × ω.(2.1.1)Çäåñü ω âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà-íîñèòåëÿ, ν åäèíè÷íûé âåðòèêàëüíûé âåêòîð, A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà òåíçîðà èíåðöèè, a = (a1 , a2 , a3 ) âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç íåïîäâèæíîé òî÷êè ê öåíòðó ìàññ, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåñà ãèðîñòàòà íà ðàññòîÿíèå îò åãî öåíòðà ìàññ äîíåïîäâèæíîé òî÷êè, λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò. çàäà÷å Êîâàëåâñêîéßõüè íà ãèðîñòàò íàêëàäûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: ìîìåíòû èíåðöèè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì A1 = A2 = 2A3 = A,36öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè (a3 =0), à ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò íàïðàâëåí âäîëü îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè(λ1 = λ2 = 0, λ3 = λ 6= 0). ýòèõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èíòåãðàëû áóäóò çàâèñåòü îò ïàðàìåòðîâ A, a1 , a2 , îò êîòîðûõ ìîæíî èçáàâèòüñÿ ïðè ïîìîùè èçâåñòíûõ çàìåí(íàïðèìåð, ñì.
[37]). íîâûõ ïåðåìåííûõ ãàìèëüòîíèàí è ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû ïðèìóòñëåäóþùèé âèä:H=ω̃12+ω̃22ω̃32+− ν̃1 ,2(ω̃3 + λ̃)ν̃3.2Õ.Ì. ßõüÿ óêàçàë â [30, 31], ÷òî ñèñòåìà îáëàäàåò äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì K ÷åòâåðòîé ñòåïåíè:Γ = ν̃12 + ν̃22 + ν̃32 ,G = ω̃1 ν̃1 + ω̃2 ν̃2 +K = (ω̃12 − ω̃22 + ν̃1 )2 + (2ω̃1 ω̃2 + ν̃2 )2 + 2λ̃(ω̃3 − λ̃)(ω̃12 + ω̃22 ) + 4λ̃ω̃1 ν̃3 .Íàðÿäó ñ êîîðäèíàòàìè (ω, ν) ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû (s, r) íà ëèíåéíîì ñîïðÿæ¼ííîì ïðîñòðàíñòâå e(3)∗ , ãäå e(3) - àëãåáðàËè ãðóïïû Ëè E(3) äâèæåíèé òðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:ṡi = {si , H},r˙i = {ri , H},(2.1.2)ãäå H(s, r) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà, à {, } - ñòàíäàðòíî îïðåäåë¼ííàÿíà e(3)∗ ñêîáêà Ëè-Ïóàññîíà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé (ñì.
[22]).Ôóíêöèèf1 = r12 + r22 + r32 , f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3(2.1.3)ëåæàò â ÿäðå ñêîáêè Ëè-Ïóàññîíà (ôóíêöèè Êàçèìèðà) è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè óðàâíåíèé (2.1.2). Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (2.1.2) íàñîâìåñòíûå ÷åòûðåõìåðíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèé f1 è f2Mg4 = {f1 = r12 + r22 + r32 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g},37ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ïàðàìåòð g èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé). Ýòà ñèñòåìà áóäåòèíòåãðèðóåìîé íà ïîâåðõíîñòè Mg4 , åñëè íà íåé ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàëüíîíåçàâèñèìàÿ ñ H ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ K(s, r), òàêàÿ ÷òî {H, K} = 0.Ãàìèëüòîíèàí ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîéßõüè, äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëû (ôóíêöèè Êàçèìèðà) è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë K â êîîðäèíàòàõ (s̃, r̃), ñâÿçàííûõ ëèíåéíûìè çàìåíàìè ñ êîîðäèíàòàìè (s, r), ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:s̃21 s̃22 (s̃3 + λ̃)2H=+ +− r̃1 ,442f1 = r̃12 + r̃22 + r̃32 , f2 = s̃1 r̃1 + s̃2 r̃2 + s̃3 r̃3 ,(2.1.4)s̃21 − s̃22s̃1 s̃2λ̃K=(+ r̃1 )2 + (+ r̃2 )2 − (s̃3 + 2λ̃)(s̃21 + s̃22 ) − 2λ̃r̃3 s̃1 .422Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ 2.1.2 â íîâûõ êîîðäèíàòàõ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:s̃2s̃2 r̃3s̃1s̃1 r̃3s̃˙ 1 = − (s̃3 +2λ̃), r̃˙1 =−r̃2 (s̃3 +λ̃), s̃˙ 2 = (s̃3 +2λ̃)+r̃3 , r̃˙2 = −+r̃1 (s3 +λ̃), s̃˙ 3 =2222(2.1.5)Ñâÿçü ìåæäó ñèñòåìîé, çàäàííîé â êîîðäèíàòàõ (ω, ν), è ñèñòåìîé, çàäàííîé â êîîðäèíàòàõ (s, r), óñòàíîâëåíà â [6]:s̃1 = −2ω̃1 ,s̃2 = −2ω̃2 ,s̃3 = −ω̃3 − λ̃,r̃1 = ν̃1 ,r̃2 = ν̃2 ,r̃3 = ν̃3 .(2.1.6)Âñþäó â äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òîëüêî êîîðäèíàòû (s̃, r̃) è(ω̃, ν̃), è ïîýòîìó áóäåì îáîçíà÷àòü èõ ÷åðåç (s, r) è (ω, ν) ñîîòâåòñòâåííî.2.2Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè R2(g, λ)Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà µ äëÿ íàøåé çàäà÷è:38(2.2.1)µ = H × K : Mg4 → R2 (h, k)Îïðåäåëåíèå 22.
Òî÷êàðàæåíèÿ ìîìåíòàµ,xåñëèMg4 íàçûâàåòñÿðàíã dµ(x) ìåíüøåèçêðèòè÷åñêîé òî÷êîé îòîá2. ż îáðàçµ(x)âR2 (h, k)íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì.Îïðåäåëåíèå 23. Îáðàç âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåí-òà íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîéΣ.Îáû÷íî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ íàáîð ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ, èìåþùèõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ è âîçâðàòà. ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ = Σ(g, λ) áóäåò çàâèñåòü îò ïàðàìåòðîâ g, λ.  [19] óêàçàíû êðèâûå íà ïëîñêîñòè R2 (g, λ),ðàçäåëÿþùèå îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûìè òèïàìè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, à òàêæå íàéäåí ÿâíûé âèä áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè R2 (h, k).Îáîçíà÷èì ÷åðåç Θ(g, λ) ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò èç òåõ çíà÷åíèé (g, λ) ∈R2 (g, λ), ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êîòîðûå ìåíÿåòñÿ âèä äèàãðàììû Σ(g, λ) (òàêèå çíà÷åíèÿ (g, λ) áóäåì íàçûâàòü áèôóðêàöèîííûìè ). Òîãäà ýòî ìíîæåñòâîóñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà 6.
(Ï. Å. Ðÿáîâ [19]) ÌíîæåñòâîêðèâûõΓiΘ(g, λ)ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì(i=1,2,3,4,5), ãäåΓ1 = {(g, λ) | 1 − 4λg = 0},ron4 − 1 4t1Γ2 =−2t3 , −t ∈ − √ , 0 ,4t22rn t2 − 1 po3Γ3 =, −t t ∈ [−1, 0) ,4trrno(3t2 − 1)2(t2 − 1)3 Γ4 =−,t ∈ (−∞, +∞) ,334ttrrn (t2 − 1)3o(3t2 − 1)2 , −Γ5 =t ∈ [−1, 0) .2t32t339Ðèñ. 2.1: Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâîÇàìå÷àíèå 2. Ï. Å. Ðÿáîâ â [19] äîêàçàë, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèâûåΓi ìåíÿåòñÿ òèï áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.
Òàêèì îáðàçîì ïëîñêîñòüR2 (g, λ) ðàçáèâàåòñÿ íà 18 êàìåð (ðèñ. 2.1). Áîëåå òîãî, ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâg, λ ñòðîãî âíóòðè êàæäîé êàìåðû òèï áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, òî åñòü âíóòðè êàìåð äèàãðàììû ãîìåîìîðôíû( [32, 33, 37]).Òåîðåìà 7. (Ï. Å. Ðÿáîâ [19]) Âñå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ ìî-ìåíòà (2.2.1) â çàäà÷å Êîâàëåâñêîéßõüè ïðèíàäëåæàò îáúåäèíåíèþ êðèâûõΣ1 ∪ Σ2 ,Σ ⊂ Σ1 ∪ Σ2 , ãäåk = 1,k = 1 + (h − λ2 )2 ,2ïðè g = 0Σ1 :∪h ≥ −1h ≥ λ22h = ω 2 + λ2 − g ,12ω1ïðè g =6 0,k = 1 + ω 4 + 2gωò.å.11h = 2g 2 − λ2 − s + λ2 ,22s2Σ2 :k = −4λ2 g 2 + (s + λ2 )2 −èλ2 (λ2 +2s2 )s240ïðèλ 6= 0èh ≥ 0,k = 0ïðèλ = 0.Ðèñ. 2.2: 18 òèïîâ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììÐÿáîâ òàêæå ïîêàçàë, ÷òî âêëþ÷åíèå, óêàçàííîå â òåîðåìå 7, ñòðîãîå, ò.å.áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ (â îáùåì ñëó÷àå) íå ñîâïàäàåò ñ Σ1 ∪ Σ2 .Òàêèì îáðàçîì, ïðè íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ g è λ ñëåäóåò ðàçëè÷àòü 18 òèïîâ äèàãðàìì (ñì. ðèñ.
2.2).Çàìå÷àíèå 3. Äëÿ ñëó÷àÿλ = 0 áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è ïåðåñòðîéêèòîðîâ Ëèóâèëëÿ ïðè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà áûëèíàéäåíû â ðàáîòàõ Ì. Ï. Õàðëàìîâà [29, 9]. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿg = 0áûëè ïîëó÷åíû Ï. Å. Ðÿáîâûì [19]. Èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãàäëÿ ñëó÷àåâλ = 0èg = 0áûëè âû÷èñëåíû â ðàáîòàõ À. Â. Áîëñèíîâà,Ï. Ðèõòåðà, À. Ò. Ôîìåíêî [1] è Ï. Â.
Ìîðîçîâà [36] ñîîòâåòñòâåííî.412.3Ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè âíóòðè âîñåìíàäöàòè êàìåð. Áîòòîâîñòü èíòåãðàëà íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ ñèñòåìû.2.3.1Ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè íà ãðàíèöàõ êàìåð 1, 1',2, 2', 6, 6', 7 è 7' êàìåð.Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè g (ïðè λ = 0), ò.å. ïðîõîäÿ ïî íèæíåé ãðàíèöåêàìåð 1, 2, 6 è 7 (ñì. ðèñ. 2.1), ïîëó÷àåì 4 òèïà áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé (ñì. ðèñ.
2.3). Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè λ (ïðè g = 0),ò. å. ïðîõîäÿ ïî ëåâîé áîêîâîé ãðàíèöå êàìåð 1, 2', 6', 7', òàêæå ïîëó÷àåì 4òèïà áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì. ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåìàõ ïîëíîñòüþ îïèñàíû ïåðåñòðîéêè è ñåìåéñòâàòîðîâ íà ãðàíèöàõ êàìåð 1, 2, 2', 6, 6', 7, 7'.Òåîðåìà 8. (Ì. Ï. Õàðëàìîâ, Ï. Å. Ðÿáîâ [12]) Ïðèg = 0 â ïðîîáðàçàõ âñåõãëàäêèõ äóã áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ëåæàò ïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè 3-àòîìàìè:äóãè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììòèï 3-àòîìàα1 , α2 , α4 , α5 , α6 , α9 , α10 , α11 , α12Aα3 , α7 , α82Aδ1 , δ2A∗β1 , β2 , β3 , β5 , β6Bβ42BγC2Ðåãóëÿðíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íàR2 (h, k)ÿâëÿþòñÿ îáðà-çàìè íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òîðîâ Ëèóâèëëÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
