Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Òåì íå ìåíåå, èíòåðåñíî, ÷òî â ïîòîêàõ ñ ïîòåíöèàëîì (ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõh)îñòàåòñÿ ñëåä ïîòîêîâ ñ íóëåâûì ïîòåíöèàëîì, ïîýòîìó îáðàçíî ìîæíî ñêàçàòü,÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ñ ïîòåíöèàëîì ðàñïàäàåòñÿ â êîìïîçèöèþ íåñêîëüêèõñèñòåì, ÷àñòü êîòîðûõ ãðóáî (íî íå òîíêî!) ýêâèâàëåíòíà ïîòîêàì ñ íóëåâûì ïîòåíöèàëîì, à ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ ëèóâèëëåâî èì ýêâèâàëåíòíà.86Ïðèâåäåì äðóãîé, íàãëÿäíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèèF0 (r), çàäàþùåé ãåî-äåçè÷åñêèé ïîòîê, ëèóâèëëåâî (èëè ãðóáî ëèóâèëëåâî) ýêâèâàëåíòíûé äàííîé ñèñòåìå ñ ïîòåíöèàëîì â ôèêñèðîâàííîé çîíå ýíåðãèé. Îòìåòèì, ÷òî ïðèâûáîð ôóíêöèèF0 (r)h > Vmaxîáóñëîâëåí ïðèíöèïîì Ìîïåðòþè, îäíàêî ïðèâåäåííûå íè-æå ðàññóæäåíèÿ âåðíû äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ ýíåðãèéh (òàê êàê ìû íå çàíèìàåìñÿèññëåäîâàíèåì òðàåêòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì, òî ðàññóæäåíèÿ íèæå äëÿêàæäîé çîíû ýíåðãèè äàþò öåëûé êëàññ ïîäõîäÿùèõ ôóíêöèéF0 (r),à íå åäèí-ñòâåííóþ ôóíêöèþ, êàê â ïðèíöèïå Ìîïåðòþè).Ïóñòü ìîëåêóëà íàQ3 ⊆ Q3h , h ∈ [hi , hi+1 ],ïîñòðîåííàÿ äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãî-îáðàçèè âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì, èìååò âèä äåðåâà, ò.å.
â âåðøèíàõ ãðàôà ñòîÿòàòîìûAèB.Ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî àòîìîâëåêóëû (ïóñòü ìû èìååìpàòîìîâðàññóæäåíèÿì, èñêîìàÿ ôóíêöèÿïîòîêîì íà íåé, äîëæíà èìåòüAèqF0 (r),Aàòîìîâè àòîìîâB ).Bâ îäíîé ïîëîâèíå ìî-Òîãäà, ñîãëàñíî ïðåäûäóùèìçàäàþùàÿ ìíîãîîáðàçèå ñ ãåîäåçè÷åñêèìp ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ è q ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ,ïðè÷åì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèèF0 (r)íàì âàæíî òîëüêî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåå¼ çíà÷åíèé â ëîêàëüíûõ ìèíèìóìàõ è ìàêñèìóìàõ.×èñëî àòîìîâA è B â âûáðàííîé çîíå ýíåðãèè äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû (f (r), V (r))ìîæíî îïðåäåëèòü ïî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ñëåäóþùèì îáðàçîì:a) âû÷èñëÿåì êîëè÷åñòâî ïàð áèôóðêàöèîííûõ ïîääóã, ïåðåñåêàåìûõ çàäàííûìóðîâíåì ýíåðãèè è èìåþùèõ îáùóþ òî÷êó âîçâðàòà êàæäàÿ òàêàÿ ïàðà ïîääóãäîáàâëÿåò îäèí àòîìAè îäèí àòîìBâ ìîëåêóëó;b) âû÷èñëÿåì êîëè÷åñòâî ïàðàáîë, ïåðåñåêàåìûõ çàäàííûì óðîâíåì ýíåðãèè,à òàêæå îïðåäåëÿåì èõ òèï êàæäàÿ ïàðàáîëà òèïàìîëåêóëó äâà àòîìàA(èëèA(òèïàB)äîáàâëÿåò âB ).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìîëåêóëû-ïðåäñòàâèòåëÿ êàæäîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî áëîêàìû ñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþFi (r), çàäàþùóþ ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ è,òåì ñàìûì, ýêâèâàëåíòíûé (â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå) ðàññìàòðèâàåìîìó áëîêóãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê.Íà ðèñóíêå 31 ïîêàçàíû ýíåðãåòè÷åñêèå îáëàñòè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôóíê-87öèèF0 (r),à òàêæå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ñèñòåìû(F0 (r), 0)äëÿ ïðèìå-ðà, ïðèâåäåííîãî â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà (ñì.ïàðàãðàô 1.6).
(Æèðíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû äóãè òèïàîñòàëüíûå äóãè èìåþò òèïB,A.).k4321hF0 HrLF0 HrL1, 2F0 HrL43rkrkrkhhhÐèñ. 31: âåðõíèé ãðàôèê: ìîäåëüíûé ïðèìåð áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ (1, 2, 3, 4 çîíû, ðàçäåëåííûåîñîáûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèèh è çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè h òî÷åê âîçâðàòà); íèæíèå ãðàôèêè: âåðõíèéðèñóíîê ãðàôèê ôóíêöèèF0 (r), çàäàþùåé ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê â ñîîòâåòñòâóþ-ùåé çîíå, íèæíèé ðèñóíîê áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãîãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà.882Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ2.1Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ â êâàíòîâûõ ñèñòåìàõ èìîòèâàöèÿ äëÿ èõ èçó÷åíèÿÂî ââåäåíèè ê íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ñíà÷àëà íåôîðìàëüíî ðàññêàæåì î òîì, ïî÷åìóèíòåðåñíî èññëåäîâàòü ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.
Ïðåäâàðèòåëüíî èçëîæèììîòèâàöèþ äëÿ èçó÷åíèÿ ðåøåòîê íåôîðìàëüíûì ÿçûêîì.Ïîä êâàíòîâûìè ñèñòåìàìè ìû áóäåì ïîíèìàòü îáúåêòû, îáðàçîâàííûå êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷àñòèö, îáû÷íî àòîìîâ èëè ìîëåêóë, ïîâåäåíèå êîòîðûõ ìîæåòáûòü îïèñàíî ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîé íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ñì.ðàáîòû Á.Æèëèíñêîãî [35]-[37]). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà ìîæåò ñóùåñòâîâàòüâ ñ÷åòíîì ÷èñëå ñîñòîÿíèé, õàðàêòåðèçóåìûõ äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè îïðåäåëåííûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, èëè, ýêâèâàëåíòíî, íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë. Ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì â êâàíòîâîé òåîðèè ñîïîñòàâëÿþòñÿ îïåðàòîðû, ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. Îïåðàòîðû âîáùåì ñëó÷àå íå êîììóòèðóþò.
×òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íàáîðà ïîïàðíî êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ.Óäîáíî áûëî áû íàçûâàòü ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñëîìñòåïåíåé ñâîáîäû è êîíå÷íûì ÷èñëîì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî, â ðåàëüíîñòèòàêèå ñèñòåìû âñòðå÷àþòñÿ î÷åíü ðåäêî.Îäíà èç ñàìûõ ïðîñòûõ ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì àòîì âîäîðîäà.
Ýòî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ ïîëíûì ðåãóëÿðíûì (íî áåñêîíå÷íûì) íàáîðîì êâàíòîâûõñîñòîÿíèé, îáðàçóþùèõ ñèëüíî âûðîæäåííûå ãðóïïû óðîâíåé (íàçûâàåìûå êëåòêàìè), êîòîðûå ñóùåñòâóþò áëàãîäàðÿ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè çàäà÷è. Êàæäàÿ89êëåòêà ìîæåò áûòü íåçàâèñèìî ðàññìîòðåíà êàê êâàíòîâàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îäíàêî äàæå ëåãêîå âîçìóùåíèå àòîìà âîäîðîäà ïîñòîÿííûìè ýëåêòðè÷åñêèìè è ìàãíèòíûìè ïîëÿìè âåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ ñëîæíûõíàáîðîâ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé, ñèëüíî çàâèñÿùèõ îò íàáîðà âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ,õàðàêòåðèçóþùèõ âîçìóùåíèå.Ïîýòîìó ñèñòåìû êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîñòûìè, åñëèâñå èõ ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü óïîðÿäî÷åíû â ðåãóëÿðíûå ðåøåòêè, õàðàêòåðèçóåìûå íåñêîëüêèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ïðèíèìàþùèìè ïîñëåäîâàòåëüíûå öåëûåçíà÷åíèÿ.
Òàêèå êâàíòîâûå ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóþò êëàññè÷åñêèì èíòåãðèðóåìûìãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì, äèíàìèêà êîòîðûõ ðåãóëÿðíà è ñâÿçàíà ñ òîðè÷åñêèìèðàññëîåíèÿìè.Ïîÿñíèì ñîîòâåòñòâèå íà ñàìîì ïðîñòîì ïðèìåðå êîãäà ïåðåìåííûå äåéñòâèåãëîáàëüíî îïðåäåëåíû. Äëÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàáîð êâàíòîâûõ÷èñåë, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîâìåñòíûé ñïåêòð êâàíòîâûõ îïåðàòîðîâ, ìîæåò áûòüãëîáàëüíî óïîðÿäî÷åí â ðåãóëÿðíóþ ðåøåòêó, çâåíüÿ êîòîðîé õàðàêòåðèçóþòñÿêâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ñâÿçàííûìè ñ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè ïîïàðíî êîììóòèðóþùèõ êâàíòîâûõ îïåðàòîðîâ, îòâå÷àþùèõ êëàññè÷åñêèì èíòåãðàëàì äâèæåíèÿ.Äðóãîå åñòåñòâåííîå ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñâÿçàíî ñ íåðåãóëÿðíûìñïåêòðîì êâàíòîâûõ ñèñòåì.
Ýòà õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà îáû÷íî âîçíèêàåò â áîëåå ñëîæíîì, ÷åì ðåãóëÿðíîå, äâèæåíèè. Îäíàêî, äàæå â ñëó÷àå ðåãóëÿðíîãî äâèæåíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ñëîæíîñòü äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæåò âîçðàñòèâ ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèôóðêàöèé (è â êëàññè÷åñêîì, è â êâàíòîâîìñëó÷àÿõ). Ñëîæíîñòü èíòåãðèðóåìîé êëàññè÷åñêîé (èëè êâàíòîâîé) ñèñòåìû ëåã÷å âñåãî óâèäåòü, àíàëèçèðóÿ îáðàç åå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (è áèôóðêàöèîííóþäèàãðàììó).Òàêèì îáðàçîì, ãëàâíîé ìîòèâàöèåé äëÿ èçó÷åíèÿ ðåøåòîê èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå àíàëîãè÷íûõ ðåøåòîê â êâàíòîâûõñèñòåìàõ (ýòè ðåøåòêè âèäíû â ýêñïåðèìåíòàõ).Äàäèì ñíà÷àëà íåôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ90èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.
Åñëè ðàññìîòðåòü ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ðåãóëÿðíóþ ÷àñòü îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, òîýòà ðåãóëÿðíàÿ ÷àñòü ýòî íåêîòîðîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñ öåëî÷èñëåííîéàôôèííîé ñòðóêòóðîé. Ýòà öåëî÷èñëåííàÿ àôôèííàÿ ñòðóêòóðà çàäàåòñÿ ïåðåìåííûìè äåéñòâèåóãîë, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìèâíå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Åñëè íàðèñîâàòü ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ñ öåëûìè çíà÷åíèÿìè, òî èõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äàäóò íàì ðåøåòêó, êîòîðàÿíå áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, êàêèì èìåííî öèêëàì íà òîðå îòâå÷àþò âûáðàííûå ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ. 2010-2011 ãîäàõ À.Ò.Ôîìåíêî ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùóþ ãèïîòåçó.
 òè-ïè÷íîì íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïî èíâàðèàíòàì ÔîìåíêîÖèøàíãà ìîæíî âîññòàíîâèòü ñòðóêòóðó ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ýòîéðåøåòêå è ëèíèÿì óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ïî êðàéíåéìåðå ÷àñòü èíâàðèàíòà ÔîìåíêîÖèøàíãà, à èìåííî, ÷èñëîâûå ìåòêè íà ðåáðàõñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàôà-ìîëåêóëû.Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå çíàíèÿ òîëüêî ðåøåòêè äëÿ ýòîãî íåäîñòàòî÷íî íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñòðóêòóðîé (ñì. îá ýòîì íèæå) ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõäåéñòâèÿ (íåîäíîçíà÷íîñòü èõ âûáîðà íà ðåçóëüòàò íå âëèÿåò). ðàáîòå ãèïîòåçà Ôîìåíêî áóäåò äîêàçàíà äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì ñS 1 -ñèììåòðèåé,ìîëåêóëà êîòîðûõ ñîñòîèò òîëüêî èç àòîìîâ òèïàAèVk .Òàêæå ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ãðóïïó ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê ðàíãà2.20.Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.
ÎïðåäåëåíèÿÄëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåøåòîê ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ. Íàïîìíèì åå.91Òåîðåìà 8 (Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ, ñì.[1]). Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîá-(M 2n , ω) çàäàíà âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàðàçèèv = sgradH , F1 , . . . , Fníÿ èíòåãðàëîâTξ åå ïåðâûå èíòåãðàëû,F1 , . . . , Fn .Âñå âåêòîðíûå ïîëÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâ-sgradFiïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëíûìè.Òîãäà:1)Tξòîêîâ ãëàäêîå ëàãðàíæåâî ïîäìíîãîîáðàçèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïî-sgradF1 , .
. . , sgradFn .2) Åñëè ïîäìíîãîîáðàçèåòîðóT n.Tξñâÿçíî è êîìïàêòíî, òîTξäèôôåîìîðôíîn−ìåðíîìóÝòîò òîð íàçûâàåòñÿ òîðîì Ëèóâèëëÿ.3) Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèUòîðà Ëèóâèëëÿàëüíî, ò.å. ïîñëîéíî äèôôåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ òîðà4) Â îêðåñòíîñòèTnTξòðèâè-íà äèñêDn .U = T n ×Dn ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàò (I1 , . . .
, In , ϕ1 , . . . , ϕn ),íàçûâàåìûõ ïåðåìåííûìè äåéñòâèåóãîë, ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:a)I1 , . . . , In êîîðäèíàòû íà äèñêåêîîðäèíàòû íà òîðåb)ω=PDn ,àϕ1 , . . . , ϕn ñòàíäàðòíûå óãëîâûåT n , ϕi ∈ R/2πZ.dϕi ∧ dIi .c) Ïåðåìåííûå äåéñòâèÿIiÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, è èõìîæíî âûðàçèòü ôîðìóëàìè1Ii (ξ) =2πIα,(4)γi (ξ)γ1 (ξ), . . .
, γn (ξ)ãäåãîìîëîãèéH1 (Tξ )òàêàÿ, ÷òî1−öèêëûíà òîðå Ëèóâèëëÿè íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îòξ, αTξ ,îáðàçóþùèå áàçèñ ãðóïïû êàêàÿëèáî1−ôîðìàâU (ξ),dα = ω .d)  ïåðåìåííûõ äåéñòâèåóãîë ãàìèëüòîíîâ ïîòîêäîì òîðå Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòèU,vâûïðÿìëÿåòñÿ íà êàæ-ò.å. ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþòâèäI˙i = 0, ϕ̇i = qi (I1 , . . . , In ), i = 1, . . . , n.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà êàæäîì òîðå ïîòîê92vçàäàåò óñëîâíîïåðèîäè÷åñêîå äâè-æåíèå, à òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáìîòêàìè òîðà (ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè).Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåçà ÷åðåçΣΦ(x)îáîçíà÷àåòñÿ îáðàç òî÷êèxïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà.Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ðàçáèâàåò îáðàç îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íà íåñêîëüêî îáëàñòåé (îòêðûòûõ ñâÿçíûõ ìíîæåñòâ).  êàæäîé òàêîé îáëàñòè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî ðåøåòîê ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ïîýòîìó ìû áóäåì îïðåäåëÿòüðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå.Íàïîìíèì, ÷òî íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþò îñîáûì ñëîÿì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
