Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÈÌÅÍÈÌ.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒíà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 514.7, 514.8ÊÀÍÒÎÍÈÑÒÎÂÀ ÅËÅÍÀ ÎËÅÃÎÂÍÀÒÎÏÎËÎÃÈ×ÅÑÊÀß ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÈÍÒÅÃÐÈÐÓÅÌÛÕÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÍÀ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈßÕÂÐÀÙÅÍÈß Â ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÎÌ ÏÎËÅ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿäèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:Àêàäåìèê À.Ò. ÔîìåíêîÌîñêâà 2015Ñîäåðæàíèå1Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå.41.1Ââåäåíèå . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2Èññëåäîâàíèå îñîáûõ òî÷åê è îñîáûõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . .1.314Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ â îêðåñòíîñòè òî÷åê âîçâðàòà. Òåîðåìà êëàññèôèêàöèè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììèçó÷àåìûõ ñèñòåì. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.4Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äóã áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû431.5Ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481.6Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà èññëåäóåìîé ñèñòåìû1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîñòðîåíèå ãðóáîé ìîëåêóëû ñèñòåìû íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8Âû÷èñëåíèå ìåòîê äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ. . . . .1.9Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñèçó÷åííûìè ðàíåå èíòåãðèðóåìûìè ãàìèëüòîíîâûìè ñèñòåìàìè253. .596383Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ2.189Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ â êâàíòîâûõ ñèñòåìàõ è ìîòèâàöèÿäëÿ èõ èçó÷åíèÿ. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .892.2Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ. Îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . .912.3Ìîíîäðîìèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .952.4Âû÷èñëåíèå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.598Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ñêëåéêè ïî ðåøåòêå ïåðåìåííûõäåéñòâèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21092.6Âû÷èñëåíèå ìåòîê è ìàòðèöû ìîíîäðîìèè ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõäåéñòâèÿ2.73. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ ËàãðàíæàÇàêëþ÷åíèå11411812531Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿâ ïîòåíöèàëüíîì ïîëå.1.1Ââåäåíèå ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ øèðîêèé êëàññ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî äâóìåðíîé ñôåðå ñ ìåòðèêîé âðàùåíèÿ, çàäàâàåìîé ôóíêöèåéf (r) (â ñëó÷àå, êîãäà ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ âêëàäûâàåòñÿ â R3 , ýòàôóíêöèÿ çàäàåò îáðàçóþùóþ ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ), â ïðîèçâîëüíîì ãëàäêîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëåV (r).
Èçâåñòíî, ÷òî òàêèå ñèñòåìû ïîëíû (ò.å. ñîîòâåòñòâóþùèåïîòîêè ïîëíû) è ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ïî Ëèóâèëëþ, ïîýòîìó äëÿ èõ èññëåäîâàíèÿ ïðèìåíèìà òåîðèÿ òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè, ñîçäàííàÿ À.Ò. Ôîìåíêîè åãî øêîëîé, ñì.[1]. Íà îñíîâå ýòîé òåîðèè ìû äàåì òîïîëîãè÷åñêóþ (ëèóâèëëåâó) êëàññèôèêàöèþ óêàçàííûõ ñèñòåì. Ñóòü òåîðèè Ôîìåíêî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,÷òî èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îãðàíè÷åííîé íà òðåõìåðíîå íåîñîáîå êîìïàêòíîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå, ýôôåêòèâíûì îáðàçîìñîïîñòàâëÿåòñÿ íåêîòîðûé äèñêðåòíûé èíâàðèàíò, èìåþùèé ñòðóêòóðó ãðàôà ñ÷èñëîâûìè ìåòêàìè. Ýòîò èíâàðèàíò, íàçûâàåìûé ìå÷åíîé ìîëåêóëîé, èëè èíâàðèàíòîì ÔîìåíêîÖèøàíãà, äà¼ò ïîëíîå îïèñàíèå (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè) ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äàííîé ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ, îïðåäåëÿåìîãî çàìûêàíèÿìè òðàåêòîðèé îáùåãî ïîëîæåíèÿ.Ñ öåëüþ âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãîêëàññà ñèñòåì, ìû èññëåäóåì òèïû îñîáåííîñòåé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà è ñòðîèìáèôóðêàöèîííûå êîìïëåêñû ñèñòåì, ââåäåííûå À.Ò.Ôîìåíêî.
Ïîäðîáíåå ñì.ðàáîòûÀ.Ò.Ôîìåíêî [2] è [3], ðàáîòó À.Ò.Ôîìåíêî è À.Â.Áîëñèíîâà [1], à òàêæå ðàáîòó ðàáîòó À.Ò.Ôîìåíêî è À.Þ.Êîíÿåâà [33].Íàïîìíèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ óïîìÿíóòîé òåîðèåé êëàññèôèêà-4öèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîéêëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, à òàêæå å¼ ïðèëîæåíèÿ êèññëåäîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñì. â ðàáîòå À.Ò.Ôîìåíêî [31], à òàêæå â ðàáîòàõ À.Â.Áîëñèíîâà è À.Ò.Ôîìåíêî [1], â òàêæå â ðàáîòàõ À.Ò.Ôîìåíêî [8],[9],À.Â.Áîëñèíîâà è À.Ò.Ôîìåíêî [10],[6], À.Ò.Ôîìåíêî è Ï.Â.Ìîðîçîâà [12], À.Â.Áîëñèíîâà,À.Ò.Ôîìåíêî è À.À.Îøåìêîâà [13], Å.À.Êóäðÿâöåâîé, È.Ì.Íèêîíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî[14], Å.À.Êóäðÿâöåâîé, À.Ò.Ôîìåíêî [15], À.Ò.Ôîìåíêî, À.Þ.Êîíÿåâà [16].Ïóñòüìà, ãäå(M 4 , ω, H)M4 âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòå- ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû, îïðåäåëÿþùèé ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëåω, Hω −1 dH =sgrad H .
Èíòåãðèðóåìîñòü îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëàèKñèñòåìû, ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìîãî ñH , ïðè÷åì âåêòîðíûå ïîëÿsgrad Hsgrad K ïîëíû.Îïðåäåëåíèå 1 Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà-M4çûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ìíîãîîáðàçèÿâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâHèíà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïî-K.Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé òåîðåìå Ëèóâèëëÿ (ñì. ðàáîòó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî[1]), ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùåå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, â êîìïàêòíîì ñëó÷àå ñîñòîèò èç äâóìåðíûõ òîðîâ (òîðîâËèóâèëëÿ) è îñîáûõ ñëîåâ.
Òîðû Ëèóâèëëÿ çàïîëíÿþò ïî÷òè âñåñëîè çàïîëíÿþò ìíîæåñòâî ìåðûÍàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå(H(x), K(x)),M 4,à îñîáûå0.Φ : M 4 → R2òàêîå, ÷òî åñëèx ∈ M 4,òîΦ(x) =íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà.Åñëè rk dΦ(x)< 2,òî òî÷êàðàæåíèÿ ìîìåíòà, à òî÷êàxíàçûâàåòñÿ îñîáîé (êðèòè÷åñêîé) òî÷êîé îòîá-ξ = Φ(x) îñîáûì çíà÷åíèåì. ÌíîæåñòâîΣ ⊂ R2îñîáûõ çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé. íàøåé ðàáîòå ãëàâíûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè câîáîäû íà òðåõìåðíûå íåîñîáûå (dH56= 0íè âîäíîé òî÷êå) ñâÿçíûå êîìïàêòíûå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèH(x) = h},íà êîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàëKQ3h = {x ∈ M 4 |ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Áîòòà,ò.å.
ìíîæåñòâî åãî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèåíåâûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Ýòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ ìîãóò áûòüëèáî îêðóæíîñòüþ, ëèáî äâóìåðíûì òîðîì, ëèáî áóòûëêîé Êëåéíà.  ðåàëüíûõìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ êðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà ïîñëåäíèõ äâóõ òèïîâ âñòðå÷àþòñÿêðàéíå ðåäêî. Äëÿ èññëåäóåìûõ â íàøåé ðàáîòå ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì êðèòè÷åñêèåìíîæåñòâà âñåãäà ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè.Ðàññìîòðèì ðåãóëÿðíûé óðîâåíü ýíåðãèèíèÿ ìîìåíòà ñîîòâåòñòâóåò îòðåçîê ïðÿìîéH = h,h=êîòîðîìó â îáðàçå îòîáðàæå-const.
Íà ýòîì óðîâíå êàæäîìóðåãóëÿðíîìó çíà÷åíèþ èç îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ò.å. êàæäîé ðåãóëÿðíîéòî÷êå ýòîãî îòðåçêà) îòâå÷àåò òîð èëè íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå òîðîâ Ëèóâèëëÿ, àòî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîéh=const ñ äóãàìè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòâå-÷àåò íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì,ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷êè ïî äàííîé ïðÿìîé â ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà òîðîâ Ëèóâèëëÿ, èëè áèôóðêàöèÿ.Îïðåäåëåíèå 2 Äâå èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû, åñëèñóùåñòâóåò ïîñëîéíûé äèôôåîìîðôèçì èõ ôàçîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Íàðÿäó ñ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ íà âñ¼ì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè,ìû áóäåì ãîâîðèòü î ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè íà îòäåëüíûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ.Îïðåäåëåíèå 3 Êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè çàìêíóòîé èíâàðèàíòíîé(ò.å.
öåëèêîì ñîñòîÿùåé èç ñëîåâ) îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿâ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ 3-àòîìîì (ïîäðîáíåå î 3-àòîìàõñì. ñòàòüþ À.Ò.Ôîìåíêî, Õ.Öèøàíãà [17]).Òàêèì îáðàçîì, 3-àòîìû êîäèðóþò áèôóðêàöèè òîðîâ Ëèóâèëëÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîåñëè ôèêñèðîâàòü ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà äàííîì îñîáîì ñëîå, òî â6áîòòîâñêîì ñëó÷àå èìååòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ áèôóðêàöèé. Íàïîìíèìòàêæå, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë ôóíêöèÿ Áîòòà, òî3-àòîìòèïàÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì Çåéôåðòà (ñì. îïðåäåëåíèå íèæå) ñ îñîáûìè ñëîÿìè(2, 1)íàä2-àòîìîì.Íàïîìíèì, ÷òî ðàññëîåííûì ïîëíîòîðèåì íàçûâàåòñÿ ïîëíîòîðèå, ðàññëîåííîåíà îêðóæíîñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: âîçüìåì òðèâèàëüíî ðàññëîåííûé íà îòðåçêèöèëèíäðD2 ×[0, 1] è ñêëåèì åãî îñíîâàíèÿ D2 ×{0} è D2 ×{1} ïî äèôôåîìîðôèçìó,ÿâëÿþùåìóñÿ ïîâîðîòîì íà óãîë2πα, α ∈ Q.Îïðåäåëåíèå 4 Êîìïàêòíîå îðèåíòèðóåìîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Çåéôåðòà, åñëè íà íåì ìîæíî çàäàòü ñòðóêòóðó ðàññëîåíèÿÇåéôåðòà, ò.å.
ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïðîñòûå çàìêíóòûå êðèâûå (ñëîè)òàê, ÷òî êàæäûé ñëîé èìååò öåëèêîì ñîñòîÿùóþ èç ñëîåâ îêðåñòíîñòü, ïîñëîéíî ãîìåîìîðôíóþ ðàññëîåííîìó ïîëíîòîðèþ.3-àòîìû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì 2-àòîìû îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìèáóêâàìè.  íàøåé ðàáîòå âñòðå÷àþòñÿ àòîìû òðåõ òèïîâ:A, BèVk(ïîäðîáíååñì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1]). Óêàçàííûå àòîìû èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 1.èVk .Êàæäîé íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3hÐèñ.
1: àòîìû òèïîâA, Bãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ áàçîé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà7Q3h .ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûéÂíóòðåííèå òî÷êè ðåáåð ýòîãîãðàôà îòâå÷àþò ðåãóëÿðíûì ñëîÿì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, à âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþòîñîáûì ñëîÿì. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3, êàæäîé âåðøèíå ãðàôà ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðûé àòîì. Ïîëó÷åííûé îðèåíòèðóåìûé ãðàô ñ âåðøèíàìè-àòîìàìèíàçûâàåòñÿ ìîëåêóëîé.Ìîëåêóëà ñîäåðæèò ìíîãî èíôîðìàöèè î ñòðóêòóðå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, îäíàêîýòà èíôîðìàöèÿ íå ïîëíà, â òîì ñìûñëå, ÷òî ìîëåêóëà íå îïðåäåëÿåò äèôôåîìîðôíûé òèï ìíîãîîáðàçèÿQ3h ,à òåì áîëåå, ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà íåì (ñ òî÷íîñòüþ äîïîñëîéíîãî äèôôåîìîðôèçìà).
Íàïðèìåð, ìîëåêóëà âèäàìíîãîîáðàçèåQ3hA − A ñîîáùàåò íàì, ÷òîñêëååíî èç äâóõ ïîëíîòîðèé, åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàññëîåííûõíà êîíöåíòðè÷åñêèå òîðû. Îäíàêî, êàêèì îáðàçîì ïðîèçâåäåíà ñêëåéêà, êàêîå âðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ìíîãîîáðàçèå è êàêîå ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà íåì ìîëåêóëà íå ñîîáùàåò. Ïîýòîìó ê ìîëåêóëå íåîáõîäèìî äîáàâèòü èíôîðìàöèþ î ñêëåéêåîòäåëüíûõ àòîìîâ.Ðàçðåæåì êàæäîå ðåáðî ìîëåêóëû ïîñåðåäèíå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
