Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Òåîðåìà êëàññèôèêàöèè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì èçó÷àåìûõ ñèñòåì. ïàðàãðàôå1.2ìû ïîêàçàëè, ÷òî âñå íåðåãóëÿðíûå òî÷êè íà áèôóðêàöèîííûõêðèâûõ ýòî íåâûðîæäåííûå òî÷êè âîçâðàòà è òîëüêî îíè (äàëåå ìû ïîêàæåì,÷òî åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ(3) èç ëåììû 9, òî÷êè âîçâðàòà ÿâëÿþòñÿ ïîëóêóáè÷å-ñêèìè).  ýòîì ïàðàãðàôå ìû èññëåäóåì ïîâåäåíèå áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ è òîïîëîãèþ ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè òî÷åê âîçâðàòà, à çàòåì ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåìòåîðåìó êëàññèôèêàöèè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõâðàùåíèÿ.Íàïîìíèì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèäp2ϕp2rp2H=+ 2+ V (r) = r + Uk (r).22f (r)2Îáîçíà÷èì ÷åðåçγìíîæåñòâî ïàð âèäàγ = {(Uk (r), k) | ∃r : Uk0 (r) = 0},kãäå ïàðàìåòð, àf 0 (r) = V 0 (r) = 0,rëèáîUk0 (r) = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî ëèáîq 30 (r), ïîýòîìó â ñëó÷àåk = k(r) = ± f (r)Vf 0 (r) ïåðåìåííàÿ.

Èç óñëîâèÿf 0 (r)V 0 (r) > 0èf 0 (r)2 +V 0 (r)2 > 0 ïàðàìåòðèçîâàííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ γèìååò ñëåäóþùèéâèä0γ = {(ãäåaèòåðâàëåbf (r)V (r)+ V (r), ±2f 0 (r) ñîñåäíèå íóëè ôóíêöèèsf 3 (r)V 0 (r)) | a < r < b},f 0 (r)f (r)f 0 (r)V 0 (r),òàêèå ÷òîf 3 (r)V 0 (r)f 0 (r)>0íà èí-(a, b).Ëåììà 8 (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè γ ).Äëÿ ëþáîãîr èç îòêðûòîãî ïîäìíîæåñòâà Iâèÿ ðàâíîñèëüíû:30èíòåðâàëà(0, L) ñëåäóþùèå óñëî-1) îñîáàÿ òî÷êà(0, k(r), r, ϕ)ðàíãà1îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (è ñîîòâåòñòâó-þùàÿ îñîáàÿ îêðóæíîñòü) íåâûðîæäåíà2) ïàðàìåòðèçîâàííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ ðåãóëÿðíà â òî÷êå3) ÷èñëîk(r)íàk 0 (r)0,ò.å.ríå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèèIr4) òî÷êà÷èñëîîòëè÷íî îòr00Uk(r)(r)ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèèîòëè÷íî îò0,00Uk(r)(r) =Äîêàçàòåëüñòâî.Uk(r) (r),ò.å.ãäå(3f 0 (r)2 − f (r)f 00 (r))V 0 (r)+ V 00 (r).f (r)f 0 (r)(2)Èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî åñëè âûïîëíåíîóñëîâèå (2), òî ëîêàëüíî èìååì0Uk(r)(r) = 0 ⇔ r = r(k) ∈ C ∞ .Ëåììà äîêàçàíà..Ëåììà 9 (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè òî÷êè âîçâðàòà).

Äëÿ ëþáîãîïðîìåæóòêà(r1i , r2i )1) ôóíêöèÿk(r)ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû:íà(r1i , r2i )ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé2) â ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå r0 ôóíêöèèk(r) íà (r1i , r2i ) âûïîëíåíû ñëåäóþùèåäîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íà ïîëóêóáè÷åñêóþ òî÷êó âîçâðàòà:0Uk(r(r0 ) = 00)00 Uk(r(r0 ) = 00)(3)000Uk(r(r0 ) 6= 00)f 0 (r0 ) 6= 03) ëþáàÿ íåðåãóëÿðíàÿ òî÷êàèíòåðâàëîìIi ,räóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ïàðàìåòðèçîâàííîéÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé òî÷êîé âîçâðàòà (à ïîòîìó ïîëóêóáè-÷åñêîé òî÷êîé âîçâðàòà).31Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ âû÷èñëèòåëü-íûì.

Ïðèâåäåì òîëüêî èäåþ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè óñëîâèé 2) è 3). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 10, òî÷êàr0ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé (ïîëóêóáè÷åñêîé) òî÷-êîé âîçâðàòà ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé(h(r), k(r))òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:h0 (r0 ) = 0, k 0 (r0 ) = 0, h000 (r0 )k 00 (r0 ) − h00 (r0 )k 000 (r0 ) 6= 0.Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòè óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû óñëîâèÿì (3) íàýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëUk (r).(m)000Êîììåíòàðèé. Åñëè Uk(r(r0 ) = 0, íî ñóùåñòâóåò m > 0 òàêîå, ÷òî Uk(r0 ) (r0 ) 6=0)0,òîãäà òî÷êàr0âñå ðàâíî áóäåò íåâûðîæäåííîé òî÷êîé âîçâðàòà, îäíàêî óæåíå ïîëóêóáè÷åñêîé.Èçîáðàçèì ñõåìàòè÷åñêè ïîâåäåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëUk(r̃) (r̃) è áèôóðêàöèîííîé êðèâîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè âîçâðàòà.

Ôóíêöèÿ Uk(r̃) (r̃)èìååò äâà ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìà òî÷êó ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è òî÷êó ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ãèïåðáîëè÷åñêàÿ è ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòèöèèUk (r)Hk=k(r0 ) ).Çíà÷èò, â ñëó÷àå, êîãäàèìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ.4a (åñëèòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèèUk (r)000(r0 ) > 0,Uk(r0)000Uk(r(r0 ) < 0,0)ãðàôèê ôóíê-òî îáëàñòè âîçðàñ-ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè).Ñëåäñòâèå 1. Ñîãëàñíî ëåììàì 8 è 9, åñëè ôóíêöèÿ k(r) ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîéíà ëþáîì èíòåðâàëåIi ,òî ëþáàÿ íåêðèòè÷åñêàÿ òî÷êàrôóíêöèèk(r)ÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíîé òî÷êîé ïàðàìåòðèçîâàííîé áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, à âñå åå êðèòè÷åñêèå òî÷êèr∗ÿâëÿþòñÿ ïîëóêóáè÷åñêèìè òî÷êàìè âîçâðàòà áèôóðêàöèîííîéêðèâîé, ò.å. áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ ñîñòîèò èç ðåãóëÿðíûõ òî÷åê è òî÷åê âîçâðàòà.Èç ëåìì 8 è 9 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ýòèõ ëåìì, ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âîçâðàòà.

Çíà÷èò, ëîêàëüíî âåòâè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû âîêðåñòíîñòè òî÷êè âîçâðàòà âûãëÿäÿò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.4b.  ïðîîáðàçåòî÷åê èç îáëàñòè, íàõîäÿùåéñÿ âíóòðè êëþâà, ÷èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ íà åäèíèöó32áîëüøå, ÷åì â ïðîîáðàçå òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ ñíàðóæè êëþâà (ñì. ðèñ.4b).Òåïåðü îïðåäåëèì, êàêàÿ èç ýòèõ âåòâåé îòâå÷àåò ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòè,à êàêàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé.UkŽ HrŽ LkIIIm T2m T2Hm+1LT 2hyp.ell.rŽm T2ell.Hm+1LT2hyp.m T2hyp.hell.aLbLÐèñ.

4: a) ãðàôèê ôóíêöèèUk̃(r̃) ;b) êëþâû òèïîâ II (ñëåâà) è I (ñïðàâà).Ëåììà 10  îêðåñòíîñòè òî÷êè âîçâðàòà ðåãóëÿðíûé ó÷àñòîê áèôóðêàöèîííîéêðèâîé, ñîñòîÿùèé èç òî÷åê, îòâå÷àþùèõ àòîìó A, ëåæèò ëåâåå ðåãóëÿðíîãîó÷àñòêà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ñîñòîÿùåãî èç òî÷åê, îòâå÷àþùèõ àòîìó B.Äîêàçàòåëüñòâî.òàêîì, ÷òîÏðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðàf 0 (r0 ) · k̃ < 0,ïðè óâåëè÷åíèè ýíåðãèèðåç ìîðñîâñêèé ëîêàëüíûé ìèíèìóìh0ôóíêöèèâîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùàÿ çíà÷åíèþíèìóìà ôóíêöèèk̃H = h,Uk̃0 (r)k̃ ,áëèçêîì ê íóëþ èïðè ïðîõîæäåíèèh÷å-âîçíèêàåò íîâàÿ îáëàñòü(Òî åñòü, òî÷êå ëîêàëüíîãî ìè-Uk̃0 (r) îòâå÷àþò òî÷êà (h0 , k̃0 ) íà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé è àòîìA ýëëèòè÷åñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü ðàíãàÏðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè óðîâíÿ ýíåðãèèñîâñêèé ëîêàëüíûé ìàêñèìóìh0ôóíêöèè1h,îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.)ïðè ïðîõîæäåíèèh÷åðåç ìîð-Uk̃0 (r) äâå îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæå-íèÿ (â òîì ÷èñëå óïîìÿíóòàÿ âûøå) ñëèâàþòñÿ â îäíó.

(Òî åñòü, òî÷êå ëîêàëüíîãîìàêñèìóìà ôóíêöèèUk̃0 (r)îòâå÷àþò òî÷êà33(h0 , k̃0 )íà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé èàòîì B ãèïåðáîëè÷åñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü ðàíãàòà.)1îòîáðàæåíèÿ ìîìåí-.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì ðàçëè÷èÿ êëþâîâ.Ëåììà 11 Ñóùåñòâóåò ÷åòûðå êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ òèïà ïîâåäåíèÿ áèôóðêàöèîííîé êðèâîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè âîçâðàòà, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ çíàêàìè ôóíêöèéh00 (r)èk 00 (r)â òî÷êå âîçâðàòàr0 :ñëó÷àèh00 (r0 ) > 0, k 00 (r0 ) > 0(ëîêàëüíî ìû èìååì íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå íåâûðîæäåííóþ òî÷êó âîçâðàòà òèïà I) èh00 (r0 ) < 0, k 00 (r0 ) < 0(èìååì íåâûðîæäåííóþ òî÷êó âîçâðàòàòèïà II) (ñì.ðèñ.5) è ïîëó÷àåìûå èç íèõ îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî îñèÄîêàçàòåëüñòâî.h.Ñîãëàñíî êíèãå Ï.Ê.Ðàøåâñêîãî [34] (ãëàâà 1, Ÿ7), â îêðåñò-íîñòè òî÷êè âîçâðàòà ôóíêöèèh(r)èk(r)èìåþò âèä11h(r) = h00 (r0 )(r − r0 )2 + o((r − r0 )2 ), k(r) = k 00 (r0 )(r − r0 )2 + o((r − r0 )2 ),22ò.å.

ëîêàëüíî ôóíêöèèh(r) è k(r) ýòî ïàðàáîëû. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ïðè h00 (r0 ) >0 è k 00 (r0 ) > 0 ïðè ïîäõîäå ê òî÷êå âîçâðàòà ñëåâà (r → r0 − 0) ôóíêöèè h(r) è k(r)óáûâàþò (àíàëîãè÷íî ïðèr → r0 + 0)ôóíêöèè âîçðàñòàþò. Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àåèìååì êëþâ òèïà I.Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ïîëó÷àåì, ÷òî ïðèh00 (r0 ) < 0 è k 00 (r0 ) < 0 èìååìêëþâ òèïà II.Òàê êàê âåêòîð ñêîðîñòè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé ïðèk > 0ïåðâîé èëè òðåòüåé ÷åòâåðòè, äðóãèõ íàáîðîâ çíàêîâ ôóíêöèéâåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè áûòü íå ìîæåò.34âñåãäà ëåæèò âh00 (r0 )èk 00 (r0 )âÐèñ. 5: Êëþâ: a) òèïà I; b) òèïà II. ñëåäóþùåé òåîðåìå ìû îïèøåì ñòðóêòóðó áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì îáùåãî âèäà.Òåîðåìà 4 (êëàññèôèêàöèÿ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõâðàùåíèÿ).

Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ìíîãîîáðàçèèM,âðàùåíèÿçàäàííóþ ïàðîé ôóíêöèé(f (r), V (r)), r ∈ [0, L].Ïðåäïîëîæèì, ÷òîâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:a) ôóíêöèÿf (r) ôóíêöèÿ Ìîðñà íà èíòåðâàëåöèÿ Ìîðñà íà îòðåçêår,íóëåé íàb)òàêèõ ÷òîf 0 (r) = 0),V 0 (r)2 + f 0 (r)2 > 0ãäåW (r) ôóíê-Mèìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýêâàòîðîâ (ò.å.ò.å.

ôóíêöèÿf 0 (r)èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî(0, L))Ïóñòü1, 2),ôóíêöèÿ[0, L] (íàïîìíèì, ÷òî W (r)|[0,L] = V (r)) (îòñþäà, â ÷àñòíî-ñòè, ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîîáðàçèåòî÷åê(0, L),rjiíà(0, L) âñå òàêèå òî÷êè, â êîòîðûõ ëèáîf 0 (rji ) = 0,ëèáîV 0 (rji ) = 0 (j =r10 = 0 < r20 = r1 < r11 < r21 < r22 < . . . < r1i < r2i < · · · < r1N = r2 < r2N = L.Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðèçîâàííóþ áèôóðêàöèîííóþ êðèâóþ, äóãè êîòîðîé îïðåäåëåíû íà ïðîìåæóòêàõNG(r1i , r2i ), N ∈ N.i=0Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:351) ïàðàìåòðèçîâàííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äóãà ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè ëþáîãî(r1i , r2i )q 3f (r)V 0 (r)2) åñëè ôóíêöèÿ k(r) = ±f 0 (r)êîíöà ëþáîãî èíòåðâàëàíàIiÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé, òî ïàðàìåòðè-çîâàííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äóãà íå èìååò òî÷åê íàêîïëåíèÿ íåðåãóëÿðíûõ òî÷åê(ò.å. ôóíêöèÿk(r) èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê), è êàæäàÿ ååíåðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé òî÷êîé âîçâðàòà (îòñóòñòâèå òî÷åê íàêîïëåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïëîñêîñòè(h, k)áèôóðêàöèîííûå äóãè èìåþò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê âîçâðàòà);3) åñëèk(r) ôóíêöèÿ Ìîðñà íà(r1i , r2i ),òî òî÷êè âîçâðàòà äåëÿò áèôóð-êàöèîííóþ äóãó íà ðåãóëÿðíûå ó÷àñòêè äâóõ òèïîâ (òèïàBñêàÿ è òèïàA ýëëèïòè÷å- ãèïåðáîëè÷åñêàÿ), êàæäûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì1-ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ýëëèïòè÷åñêèõ èëè ãèïåðáîëè÷åñêèõ (ñîîòâåòñòâåííî) îêðóæíîñòåé ðàíãà1ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà, ïðè÷åì òèïû ðåãóëÿðíûõó÷àñòêîâ (ïîääóã) ÷åðåäóþòñÿ âäîëü äóãè, òàê ÷òî â ìàëîé îêðåñòíîñòè ëþáîéòî÷êè âîçâðàòà ëåâàÿ ïîääóãà, ïðèìûêàþùàÿ ê ýòîé òî÷êå, èìååò òèïïðàâàÿ òèïB;A,àòèï äóãè ïîñòîÿíåí âäîëü âñåé ïîääóãè.4) Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñîñòîèò èç äóã òðåõ òèïîâ: ïàðàáîëà, êëþâèëè ëóíêà:a) åñëèf 0 (r1i ) = f 0 (r2i ) = 0,òî äóãà, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ èíòåðâàëîìIi ,èìååòòèï êëþâ (ñì.ðèñ.3b);b) åñëèf 0 (r1i ) = V 0 (r2i ) = 0íàÿ èíòåðâàëîìc) åñëèIi ,(èëèV 0 (r1i ) = f 0 (r2i ) = 0),òî äóãà, ïàðàìåòðèçîâàí-èìååò òèï ïàðàáîëà (ñì.ðèñ.3à);V 0 (r1i ) = V 0 (r2i ) = 0, òî äóãà, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ èíòåðâàëîì Ii , èìååòòèï ëóíêà (ñì.ðèñ.3ñ); òî÷êàõr,ãäå5) ÏàðàìåòðrV 0 (r) = 0áèôóðêàöèîííûå äóãè ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè.íà áèôóðêàöèîííîé äóãå âåäåò ñåáÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:a) íà äóãå òèïà êëþâ ïðè óâåëè÷åíèèV 0 (r) > 0íà(r1i , r2i )rîòr1iäî ïåðâîé òî÷êè âîçâðàòà ïðèïàðàìåòð ïðîáåãàåò äóãó òèïàñòè, çàòåì âñå îñòàâøèåñÿ äóãè; ïðèV 0 (r) < 036B,èäóùóþ èç áåñêîíå÷íî-äâèæåíèå ïî äóãå ïðîèñõîäèò âïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè;rb) íà äóãå òèïà ïàðàáîëà ïðè óâåëè÷åíèèîòr1iäîr2i ,åñëèV 0 (r1i ) = 0,ïàðàìåòð ïðîáåãàåò ïàðàáîëó, íà÷èíàÿ îò òî÷êè, ëåæàùåé íà îñèV 0 (r2i ) = 0,â áåñêîíå÷íîñòü ïî áèôóðêàöèîííîé äóãå; åñëèh,òîè óõîäÿòî äâèæåíèå ïî äóãåïðîèñõîäèò â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè;rc) íà äóãå òèïà ëóíêà ïðè óâåëè÷åíèèr1iîòäî ïåðâîé òî÷êè âîçâðàòàïàðàìåòð ïðîáåãàåò ÷àñòü ëóíêè, íà÷èíàÿ îò òî÷êè ((Víà îñèh.òî÷êè(V (r1i ), 0)V 0 (r) < 0,V 0 (r) > 0Ò.å.

Характеристики

Список файлов диссертации