Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Íàøà äàëüíåéøàÿ öåëü íàó÷èòüñÿ ïî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå âîññòàíàâëèâàòü áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ (ñì. îïðåäåëåíèå 22). Íàïîìíèì, ÷òî â ãëàâå 1.4 áûëè îïèñàíû âñåâîçìîæíûå òèïû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ. Îäíàêî íåêîòîðûåíåóñòîé÷èâûå êîíôèãóðàöèè äóã áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû (ò.å. òå êîíôèãóðàöèè, êîòîðûå ìàëûì øåâåëåíèåì èçìåíÿþò ñâîé òèï) ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.Äëÿ ýòîãî íèæå ìû îïðåäåëèì ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ìû îòáðàñûâàåì òå ñèòóàöèè, êîãäà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàíåóñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî ìàëûõ øåâåëåíèé.Íàïîìíèì, ÷òî òàêîå áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ. Îí ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.

Çàìåòèì, ÷òî â îáðàçå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòàìîãóò áûòü ðåãóëÿðíûå çíà÷åíèÿ(h, k),êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò áîëåå ÷åì îäíàñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà (òîð) èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿMh,k = Φ−1 (h, k). Ýòî ìîæ-íî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàä òî÷êîé(h, k)èìååòñÿ íåñêîëüêîðàçëè÷íûõ ëèñòîâ îáëàñòè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé èíòåãðàëîâ. ßñíî, ÷òî ýòè ëèñòû ìîãóò ñêëåèâàòüñÿ òîëüêî âäîëü áèôóðêàöèîííûõ äóã. Ñîâîêóïíîñòü ñêëååííûõ ëèñòîâ è äóã íàçîâåì áèôóðêàöèîííûì êîìïëåêñîì (ïîäðîáíåå ñì.

â ðàáîòàõÀ.Ò.Ôîìåíêî [2], [3]). Äàäèì òåïåðü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå.48Îïðåäåëåíèå 22 (À.Ò.Ôîìåíêî) Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñâÿçíûå êîìïîíåíòû èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèéMh,k ,ñ åñòå-ñòâåííîé ôàêòîðòîïîëîãèåé, íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííûì êîìïëåêñîì (ò.å. áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ ïîëó÷àåòñÿ èç ìíîãîîáðàçèÿM4ïðè îòîæäåñòâëåíèè âòî÷êó êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèéMh,k ).Äàäèì òåïåðü äðóãîå, áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåñà, òàêæåââåäåííîå À.Ò.Ôîìåíêî (ñì.

ðàáîòû À.Ò.Ôîìåíêî [2], [3], à òàêæå ðàáîòó À.Ò.Ôîìåíêîè À.Þ.Êîíÿåâà [16]).Ïóñòü(M 2n , ω) ãëàäêîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå,v = sgradH ãëàä-êàÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ôóíêöèîíàëüíîíåçàâèñèìûìè è ïîïàðíî êîììóòèðóþùèìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìèÐàññìîòðèì ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ äàííîé ñèñòåìû. Òî÷êèëåíòíûìè, åñëèf (x) = f (y)fäëÿ ëþáîãî èíòåãðàëàx, y ∈ M 2nñèñòåìûf1 = H, . . .

, fn .íàçîâåì ýêâèâà-v = sgradH .Òàêèìîáðàçîì, ñëîè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ êëàññàìè îïèñàííîé ýêâèâàëåíòíîñòèòî÷åê ìíîãîîáðàçèÿM 2n .Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîâñåõ ðåãóëÿðíûõ ñëîåâ ñëîåíèÿ âZM 2n . Ìíîæåñòâî Z äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâóçàìêíóòî è ìîæåò áûòü ïðåä-ñòàâëåíî â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñëîåâ ðàçìåðíîñòè íå áîëåån.Îïðåäåëåíèå 23 (À.Ò.Ôîìåíêî) Ðàññìîòðèì òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C n ,òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ:1) ðåãóëÿðíûå òîðû Ëèóâèëëÿ (èç ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ);2) ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ìíîæåñòâàÏîëó÷åííîå ïðîñòðàíñòâîÏðîñòðàíñòâîñòðóêòóðóñòâîCnCnCnZ.íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííûì êîìïëåêñîì.ÿâëÿåòñÿ õàóñäîðôîâûì è ïî÷òè âî âñåõ ñâîèõ òî÷êàõ èìååòn-ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.

Ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïðîñòðàí-ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñòðàòèôèöèðîâàííîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííî-ñòÿìè.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ÃàìèëüòîíàHíåðåçîíàíñíàÿ (ò.å. ïî÷òè êàæäûéòîð Ëèóâèëëÿ ÿâëÿåòñÿ çàìûêàíèåì ëþáîé èíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèè, ïðèíàäëå-49æàùåé ýòîìó òîðó), òî ñòðàòèôèöèðîâàííîå ìíîãîîáðàçèåçàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà îáðàçóþùèõ ãðóïïûâìåñòî èñõîäíûõ èíòåãðàëîâRn ,Cnñ îñîáåííîñòÿìè íåòî åñòü íå ìåíÿåòñÿ, åñëèf1 , . . .

, fn ìû âîçüìåì íîâûé íàáîð ôóíêöèé g1 , . . . , gn ,êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç èñõîäíûå ôóíêöèè (ïîäðîáíååñì.ðàáîòó À.Ò.Ôîìåíêî è À.Þ.Êîíÿåâà [16]).Âòîðîå îïðåäåëåíèå áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì è îòðàæàåò åãî âàæíîå ñâîéñòâî: èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îïèñàííîãî âûøå âûáîðàïåðâûõ èíòåãðàëîâ. Îäíàêî, òàê êàê â íàøåé çàäà÷å ïåðâûå èíòåãðàëû ôèêñèðîâàíû, òî ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ è ïåðâûì îïðåäåëåíèåì áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.Áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ èññëåäîâàíèÿ òîïîëîãèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Ïîíÿòèå áèôóðêàöèîííîãîêîìïëåêñà áûëî èñïîëüçîâàíî â îïóáëèêîâàííûõ ðàáîòàõ ïî èññëåäîâàíèþ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, íàïðèìåð, â ðàáîòå À.Þ.Ìîñêâèíà [32], à òàêæåâ ðàáîòå À.Â.Áîëñèíîâà, À.Â.Áîðèñîâà, È.Ñ.Ìàìàåâà [11].Îïðåäåëåíèå 24 Îïèøåì ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ, òî åñòü òå âîçìîæíîñòèâçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äóã, êîòîðûå ìû äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü:1) ÷èñëî êðèâûõ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà, êîíå÷íî;2) ÷èñëî òî÷åê âîçâðàòà íà áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ êîíå÷íî;3) òî÷åê, â êîòîðûõ òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ è ñàìîïåðåñåêàþòñÿ áèôóðêàöèîííûå êðèâûå, êîíå÷íîå ÷èñëî;4) â ëþáîé òî÷êå íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ òîëüêî äâå áèôóðêàöèîííûå äóãè, ïðè÷åì ïåðåñå÷åíèå òðàíñâåðñàëüíî (ñì.ëåììó 17íèæå);5) çàïðåùåíî ïîëíîå èëè ÷àñòè÷íîå íàëîæåíèå áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ.Îòìåòèì, ÷òî ïóíêòû 1) è 2) ñëåäóþò èç òåîðåì ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôîâ. äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èññëåäóåìûå íàìè ñèñòåìû ýòî ñèñòåìû îáùåãî ïîëîæåíèÿ (îäíàêî, â ñèòóàöèÿõ, êîãäà ýòî íå çàòðóäíÿåò èññëåäîâàíèÿ,50ïóíêòû 4) è 5) ìû çàïðåùàòü íå áóäåì).Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé ëåììû ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûì, ïîýòîìó ìûåãî îïóñòèì.Ëåììà 17 Ìàëûì ãëàäêèì èçìåíåíèåì ôóíêöèé f (r) è V (r), çàäàþùèõ ñèñòåìóíà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû â êàæäîé òî÷êå íàáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàëèñü èëè ñàìîïåðåñåêàëèñü íåáîëåå, ÷åì äâå áèôóðêàöèîííûå äóãè.Èññëåäóåì ïîäðîáíåå ïóíêò 5).

Åñëè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå âîçíèêàåò íàëîæåíèå äâóõ äâóã, òî â ïðîîáðàçå òî÷åê, ãäå âîçíèêàåò íàëîæåíèå, ìîæåò ïðîèñõîäèòü äâå âåùè: ëèáî ïðîèñõîäèò óäâîåíèå àòîìà (íàïðèìåð, â òî÷êàõ, ãäåíàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà äâå äóãè òèïàB,â ïðîîáðàçå ìû èìååì àòîì2B ),ëèáî âîçíèêàåò áîëåå ñëîæíàÿ îñîáåííîñòü îíà íàçûâàåòñÿ âèëêîé (cì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1]). Òî åñòü â îáùåì ñëó÷àå ïî áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå ñ ÷àñòè÷íûì íàëîæåíèåì äâóõ äóã íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü, êàê óñòðîåí ïðîîáðàç íàêëàäûâàþùèõñÿ äðóã íà äðóãà ó÷àñòêîâ êðèâûõ.

Îäíàêî â ñèñòåìàõíà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ íà ýòîò âîïðîñ âñåãäà ìîæíî äàòü îäíîçíà÷íûé îòâåò.Ëåììà 18 Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî íàòóðàëüíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ íå äîïóñêàåò îñîáåííîñòè òèïà âèëêà.Äîêàçàòåëüñòâî.Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ñèñòåìû, èìåþùåé îñîáåííîñòü òèïàâèëêà, ëîêàëüíî âûãëÿäèò è âåäåò ñåáÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè íåêîòîðîìk = k0ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë èìååò îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì. Çàòåì ïðè óâåëè÷åíèèkäîk = k1ýòîò ëîêàëüíûé ìèíèìóì ðàñïàäàåòñÿ â òðè ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìà,èäóùèå â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: ìèíèìóì, ìàêñèìóì è ìèíèìóì, ïðè÷åì çíà÷åíèÿâ ëîêàëüíûõ ìèíèìóìàõ ñîâïàäàþò. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèèkîòk1äîk2êàðòèíêà êà÷åñòâåííî îñòàåòñÿ òàêîé æå.Íàïðèìåð, ýòà ñèòóàöèÿ îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ñëåäóþùåãî âèäà (ε ïàðàìåòð):f (x) = x2 · (x2 − ε).51Îäíàêî, äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ òàêàÿ ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà.

Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëÒ.å. óðàâíåíèåUk (r)äîëæåí âåñòè ñåáÿ òàê æå, êàê ôóíêöèÿ èç ïðèìåðà.Uk0 (r) = 0:f 3 (r)V 0 (r)= k2f 0 (r)äîëæíî èìåòü îäèí êîðåíü ïðèk = k0 , à, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî k1 > k0 ñðàçó òðèêîðíÿ. Òàêîå íåâîçìîæíî â ñèëó óêàçàííîé çàâèñèìîñòè óðàâíåíèÿ îò ïàðàìåòðàk .Ñëåäñòâèå 3. Åñëè äâå áèôóðêàöèîííûå äóãè äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ ÷àñòè÷íî íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà, ýòî âñåãäà îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòè÷íî ñîâïàäàþùèå äóãè äàþò â ïðîîáðàçå àòîì2Aèëè2B .Òàêóþ áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòüïðèr ∈ (r1 , r2 ) íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå èìååì äóãó òèïà êëþâ; îïðåäåëèìïðèr ∈ (r3 , r4 )ôóíêöèèf (r)èV (r)òàê, ÷òî ïðèr ∈ (r3 , r∗ ), r∗ < rmin ,òî÷êà âîçâðàòà êëþâà, îïðåäåëåííîãî íà èíòåðâàëåñîâïàäàþò ñ ôóíêöèÿìèäåëèì íà(r1 , r2 ),ôóíêöèèãäåf (r)rminèV (r)f (r) è V (r) íà ïåðâîì óêàçàííîì èíòåðâàëå.

Çàòåì äîîïðå-(r∗ , r4 ) ôóíêöèè f (r) è V (r) òàê, ÷òîáû ôóíöèÿ k(r) èìåëà åäèíñòâåííûéëîêàëüíûé ìèíèìóì íà(r3 , r4 ). Òîãäà ïîëó÷èì áèôóðêàöèîííóþ äóãó òèïà êëþâè áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó òèïà âèëêà. Èñõîäÿ èç ëåììû, ïðè íàëîæåíèèáèôóðêàöèîííûõ äóã èìååì àòîìÇàìå÷àíèå.2B .Ñèòóàöèÿ, êîãäà íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ñèñòåìû íà ìíî-ãîîáðàçèè âðàùåíèÿ âîçíèêàåò ÷àñòè÷íîå íàëîæåíèå äâóõ äóã, íåóñòîé÷èâàÿ (íàëîæåíèå äóã ìîæíî ïåðåâåñòè â ïåðåñå÷åíèå äóã ìàëûì øåâåëåíèåì ôóíêöèèUk (r)).Îäíàêî, â ýòîì ñëó÷àå ïî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ, ïîýòîìó, êîãäà ýòî íå çàòðóäíÿåò èññëåäîâàíèÿ,ýòîò ñëó÷àé ìû çàïðåùàòü íå áóäåì.Íà ðèñóíêå 15 ïîêàçàí ïðèìåð áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îáùåãî âèäà.52khÐèñ. 15: ïðèìåð áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îáùåãî âèäà.1.6Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà èññëåäóåìîé ñèñòåìû×òîáû ïîñòðîèòü áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ, àíàëèçà òîëüêî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íåäîñòàòî÷íî.

Характеристики

Список файлов диссертации