Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ñëîè ñëîåíèÿ Çåéôåðòà çàäàþòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:{r =ϕconst, k=const, pr=const, ϕ∈Zmod2π}, ïàðàìåòð íà ñëîå-îêðóæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ïîëó÷àåòñÿïóòåì ïðÿìîãî óìíîæåíèÿ íà îêðóæíîñòü (ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà) îäíîìåðíîãî ñëîåíèÿ íà òðàíñâåðñàëüíîì ñå÷åíèèk.Ptr , çàäàâàåìîãî ëèíèÿìè óðîâíÿ ôóíêöèèÒ.å. ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé61(2(h0 − V (r)) − p2r )f 2 (r).Ôóíêöèÿk ôóíêöèÿ Áîòòà íà íåîñîáûõ ïîâåðõíîñòÿõQ3h , ãäå ïðÿìàÿ h =constíå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè âîçâðàòà áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ.Òàê êàê íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå â îäíîé òî÷êå ïåðåñåêàþòñÿòî ïðèr1 6= r2 6= · · · =6 rsäàþò, ò.å.çíà÷åíèÿ ôóíêöèèUk (r)sêðèâûõ,â ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìàõ ñîâïà-Uk (r1 ) = Uk (r2 ) = · · · = Uk (rs ).Êàñàòåëüíûé âåêòîð ê áèôóðêàöèîííûì äóãàì âñåãäà ëåæèò â ïåðâîé èëè òðåòüåé ÷åòâåðòè, ïîýòîìó íåâàæíî, ìåíÿåì ìû êîîðäèíàòóôàçîâîãî ïîðòðåòà ñèñòåìû.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòüíèè èíòåãðàëàíàäãðàôèêîìk.UkÅñëè ÷èñëî ìàêñèìóìîâ ýòîèëès+1käëÿ ïîñòðîåíèÿïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷å-òî ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîéñîñòîèò èç îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Ïðèñ íàäãðàôèêîì èìååòs+1s,Ukhh < h0ñïåðåñå÷åíèåêîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêåòîðîâ Ëèóâèëëÿ â îäèí òîð Ëèóâèëëÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç îñîáûé ñëîé.Ëîêàëüíî èìååì ñòðóêòóðó òðèâèàëüíîãî ñëîåíèÿ (ñ ïàðàìåòðîìîêðóæíîñòè).
Ïðè ôèêñèðîâàííîìíà ñëîå-Vs ..Ðèñ. 19: âåðõíèé ðèñóíîê: ãðàôèê ôóíêöèèppr (r) = 2(h − Uk (r)),ϕϕ èìååì äâóìåðíîå ñëîåíèå íà ïëîñêîñòè (r, pr )(ñì.ðèñóíîê 19), êîòîðîå äàåò íàì àòîìöèèh ≥ h0Uk (r); íèæíèé ðèñóíîê: ãðàôèê ôóíê-çàäàþùåé äâóìåðíîå ñëîåíèå.62Òåîðåìà 5 (êëàññèôèêàöèÿ ìîëåêóë). Ðàññìîòðèì ñèñòåìó íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííóþ ïàðîé ôóíêöèé(f (r), V (r)).ÏóñòüQ ⊆ Q3hòà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîéQÒîãäà ìîëåêóëà ñèñòåìû íàîòíîñèòåëüíî îñèh,k ñâÿçíàÿ êîìïîíåí ôóíêöèÿ Áîòòà.ñèììåòðè÷íà (áåç ó÷åòà îðèåíòàöèè íà ðåáðàõ)à îðèåíòàöèÿ íà ðåáðàõ çàäàåòñÿ â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿÒ.å. ìîëåêóëà èìååò âèäW − W,ãäå êàæäàÿW ýòî ëèáî îäèí àòîìáî äåðåâî.
Âñå íåêîíöåâûå âåðøèíû äåðåâà ýòî ñåäëîâûå àòîìûâåðøèíû èìåþò òèïA.Vllîäíî, à èñõîäÿùèõÏðè ýòîì ïðè(ïðèk < 0îðèåíòàöèè íà ðåáðàõ ìîëåêóëàíàêî îðèåíòàöèÿ íà êóñêàõk>0Vl ,A,k.ëè-à êîíöåâûåâõîäÿùåå ðåáðî äëÿ êàæäîãî àòîìàêàðòèíà àíòèñèììåòðè÷íà, ò.å. áåç ó÷åòàW −Wñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñèW+ = W (k > 0)W− = W (k < 0)èh,îä-ïðîòèâîïîëîæíà,ñì.ðèñ.21).Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç àíàëèçà áèôóðêàöèîííîé äèà-ãðàììû è èç ëåììû 21..Çàìå÷àíèå.ÀòîìûVl 6= Bâîçíèêàþò íàQ,ëîæåíèå íåñêîëüêèõ áèôóðêàöèîííûõ äóã òèïàBåñëè ïðèH =hïðîèñõîäèò íà-è ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõëèñòîâ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.1.8Âû÷èñëåíèå ìåòîê äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿÓòâåðæäåíèå 3 Ðåãóëÿðíàÿ èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3h èìååò ñòðóêòóðó ëîêàëüíî òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ñî ñëîåì îêðóæíîñòü, ñîãëàñîâàííîãî ñîñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, ò.å.
ñëîèîêðóæíîñòè ñîäåðæàòñÿ â ñëîÿõ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.Íàïîìíèì, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâîêðîìå ïîëþñîâ, èìååò êîîðäèíàòûðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâåS 2.(r, ϕ, pr , k),ãäå(r, ϕ)T ∗S 2â êàæäîé òî÷êå, êîðäèíàòû íà êîíôèãó-Ñëîèîêðóæíîñòè âíå ïîëþñîâ çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì63îáðàçîì:{r =const, pr=const, k=const, ϕ∈Rmod2πZ}. Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäàÿòàêàÿ îêðóæíîñòü ëåæèò íà îäíîì ñëîå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, ò.ê. ïåðâûå èíòåãðàëûíå çàâèñÿò îòϕ.Åñëè òðàåêòîðèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ïîëþñ, òî ÷òîáû ïîëó÷èòü ñëîé-îêðóæíîñòü,âðàùàåì êîêàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â ïîëþñå. Òàê êàêS 1 -äåéñòâèå çàäàåòñÿ âðà-ùåíèåì êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñëè òî÷êà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâàïðîåêòèðóåòñÿ â ïîëþñ (ïðè ýòîì ñêîðîñòü0,òîëüêî â îñîáûõ òî÷êàõ ðàíãàQ3h ,íîñòèv 6= 0,òàê êàêk = 0, v = 0ìîæåò áûòüà ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ðåãóëÿðíûå ïîâåðõ-ò.å.
ïîâåðõíîñòè, íå ñîäåðæàùèå îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0),òîS 1 -äåéñòâèåçàäàåò âðàùåíèå êîêàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â ïîëþñå..S1Îòìåòèì, ÷òî ëîêàëüíîòðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå ñî ñëîåìÿâëÿåòñÿ ðàññëî-åíèåì Çåéôåðòà áåç îñîáûõ ñëîåâ.Òåîðåìà 6 (êëàññèôèêàöèÿ ìå÷åíûõ ìîëåêóë). Ïóñòü Q3 ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòàíåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèíàQ3h .
Ïóñòü W − WQ3 .a) Ìåòêè íà ðåáðàõ òèïàA − Vlb) Ìåòêè íà ðåáðàõ òèïàVs − Vl ,ïîëóïëîñêîñòè (k>0èëèìîëåêóëû:ïðÿìîék < 0): r = ∞, ε = +1.Vl − Vl(ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíîk = 0): r = ∞, ε = −1.d) Åñëè ìîëåêóëàW −W(íàïîìíèì, ÷òîQ3A − A,èìååò âèäþùèì îáðàçîì: ðàçðåæåì ìíîãîîáðàçèåM+4r = 0, ε = +1.ãäå îáà ñåäëîâûõ àòîìà íàõîäÿòñÿ â îäíîéc) Ìåòêè íà öåíòðàëüíîì ðåáðå òèïàè ìîëåêóëà ñèñòåìûM4òî ìåòêàïî ïîâåðõíîñòè ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà÷àåò ñòðîãî ìåíüøèì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè, ÷åìQ3h ).h,îñîáûõ òî÷åê ðàíãà íîëü.
Òîãäà ñîîòâåòñòâåííîòð¼õ ñëó÷àÿõrÊóñîêîïðåäåëÿåòñÿ ñëåäó-Q3íà äâà êóñêàM−4 ,M−4êîòîðûé îòâå-ìîæåò ñîäåðæàòü 2, 1 èëè 0r=1,2r=0èëèr = ∞.Âî âñåõε = +1.e) Åñëè ìîëåêóëàW −Wîòëè÷íà îòA − A,ñåìüþ, ïîëó÷àåìóþ îòáðàñûâàíèåì âñåõ àòîìîâ64òî îíà ñîäåðæèò åäèíñòâåííóþA.Ìåòêànâ ýòîì ñëó÷àå ðàâíà÷èñëó îñîáûõ òî÷åê ðàíãà íîëü íà ìíîãîîáðàçèèÄîêàçàòåëüñòâî.M−4(ñì. ïóíêò d)).a) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê íàì íåîáõîäèìî âûáðàòü äîïóñòèìûåñèñòåìû êîîðäèíàò íà ãðàíè÷íûõ òîðàõ àòîìîâ.
Íàïîìíèì ïðàâèëà èõ âûáîðà.3-àòîìÏóñòü ñíà÷àëàèìååò òèïïåðâîãî áàçèñíîãî öèêëàA,ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîëíîòîðèåì. Òîãäà â êà÷åñòâåλ áåð¼òñÿ ìåðèäèàí ïîëíîòîðèÿ, ò.å. öèêë, ñòÿãèâàþùèé-ñÿ â òî÷êó âíóòðè ïîëíîòîðèÿ.  êà÷åñòâå âòîðîãî öèêëàöèêë, äîïîëíÿþùèéµáåð¼òñÿ ïðîèçâîëüíûéλ äî áàçèñà. Öèêë µ ìîæíî ñ÷èòàòü ñëîåì ðàññëîåíèÿ Çåéôåð-òà (åãî îðèåíòàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îðèåíòàöèåé ãàìèëüòîíîâàïîòîêà íà êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè).
Îðèåíòàöèÿ öèêëàïàðà(λ, µ)λâûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáûáûëà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà.3-àòîìà Vl .Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñåäëîâîãîS 1 -ðàññëîåíèÿÎí èìååò ñòðóêòóðó òðèâèàëüíîãîíàä äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòüþ.  êà÷åñòâå ïåðâîãî áàçèñíîãî öèêëàλ âîçüìåì ñëîé ýòîãî ðàññëîåíèÿ (ñ åñòåñòâåííîé îðèåíòàöèåé). Òåïåðü ðàññìîòðèìïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå3-àòîìà. Îíî âûñåêàåò íà êàæäîì ãðàíè÷íîì òîðå íåêîòîðûéöèêë, êîòîðûé ìû è âîçüìåì â êà÷åñòâå âòîðîãî áàçèñíîãî öèêëàÂû÷èñëèì òåïåðü ìåòêèrèεíà ðåáðåA − Vl .Âòîðîé öèêë ýòî ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà. Ïåðâûé (âûäåëåííûé) öèêëµ.µ1λ2îêîëî àòîìàAîêîëî ñåäëîâîãîàòîìà ýòî òàêæå ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà.
Òàê êàê ðàññëîåíèå Çåéôåðòà ãëîáàëüíî, òîk > 0λ2 = µ1(èëèçíà÷åíèåϕk < 0),(îáà êîíöà ðåáðàâåä¼ò ñåáÿ îäèíàêîâî: ëèáî âîçðàñòàåò, ëèáî óáûâàåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ.λ2µ2Vl .ñîîòâåòñòâóþò îäíîé ïîëóïëîñêîñòèïîýòîìó âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìàì îñîáûõ òðàåêòîðèéÑëåäîâàòåëüíî, îðèåíòàöèè öèêëîâÇäåñüA − Vlλ2èµ10 1=1 pñîâïàäàþò).
Ïîëó÷àåì ·λ1.µ1(λ1 , µ1 ) áàçèñ íà òîðå îêîëî àòîìà A, à (λ2 , µ2 ) áàçèñ íà òîðå îêîëî àòîìàÏåðâûé ýëåìåíò âî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû ñêëåéêè ðàâåíìàòðèöû ðàâåí−1.Îòñþäà ñðàçó ïîëó÷àåì ìåòêè:651,ò.ê. îïðåäåëèòåëür = 0, ε = +1.Vs − Vl ,b) Âû÷èñëèì òåïåðü ìåòêè íà ðåáðåè òîé æå ïîëóïëîñêîñòè (k>0èëèãäå îáà êîíöà ðåáðà ëåæàò â îäíîék < 0).Òàê êàê ïåðâûå áàçèñíûå öèêëû âáëèçè ñåäëîâûõ àòîìîâ ýòî ñëîè (ãëîáàëüíîãî) ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, òî îíè ñîâïàäàþò. Ïîëó÷àåì ìàòðèöó ñêëåéêèλ2=µ2Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìåòêàÍà ðåáðårðàâíà10 λ1 · .p −1µ1∞,à ìåòêàεðàâíà+1.Vl − A ìàòðèöà ñêëåéêè ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê äàííîé.
Ìåòêè rèε äëÿäàííîé ìàòðèöû îñòàíóòñÿ òàêèìè æå.c) Âû÷èñëèì ìåòêè íà ðåáðåÒàê êàê ïðèk<0k>0Vl − Vl , ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé k = 0.äâèæåíèå ïî ïàðàëëåëÿì ïðîèñõîäèò â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿϕ,à ïðèVl ýòî ñëîè ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, îäíàêî îíè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå â ñòîðîíó óáûâàíèÿϕ,òî ïåðâûå áàçèñíûå öèêëû âáëèçè ðåáåðñòîðîíû. Ïîýòîìó ìàòðèöà ñêëåéêè ñëåäóþùàÿ:λ2−1 0=µ2Çíà÷èò, ìåòêè òàêèå: λ1 · .p 1µ1r = ∞, ε = −1.d) Îñòàëîñü âû÷èñëèòü ìåòêó íà ðåáðåA−Aìîëåêóëû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàýòîãî ïóíêòà íàì ïîíàäîáèòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ ôàêòîâ.
Ñôîðìóëèðóåìè äîêàæåì èõ è, ïîëüçóÿñü èìè, äîêàæåì ïóíêò d) òåîðåìû.Óòâåðæäåíèå 4 Ðàçðåæåì ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî T ∗ S 2 ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ âäîëü ñâÿçíîé êîìïîíåíòûQ3èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3h .Òîãäà îíî ðàñïàäåòñÿ íà äâà ñâÿçíûõ êóñêà, ïðè÷åì ðîâíî îäèí èç íèõ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ýíåðãèÿì, ñòðîãî ìåíüøèìh(íàçîâåì åãîM−4 ,à âòîðîé êóñîêM+4 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå0}.áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà óðîâíåìÝòî ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ãðàôîì66Ggoriz ,{k =ó êîòîðîãî êàæäîå ðåáðî îðèåí-òèðîâàíî ïî âîçðàñòàíèþ ýíåðãèè. Èç àíàëèçà ãðàôèêà ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëàñðàçó ñëåäóåò, ÷òî èç êàæäîé âåðøèíû ýòîãî ãðàôà âûõîäèò ðîâíî îäíî ðåáðî.Ðàçðåçàíèå êîìïëåêñà ïî íåîñîáîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòåðàçðåçàåì íåêîòîðîå ðåáðî ãðàôàGgoriz .Q3îçíà÷àåò, ÷òî ìûßñíî, ÷òî ïðè ýòîì ãðàô ðàñïàäåòñÿ íàäâà ñâÿçíûõ êóñêà.Òàêæå ðàññìîòðèì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñàóðîâíåì ýíåðãèè{h = h0 }.Îíà ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ãðàôîì0Ghvertic,êàæäàÿ ïîëî-âèíà êîòîðîãî èìååò òàêóþ æå ñòðóòêòóðó: åñëè îðèåíòèðîâàòü åãî ðåáðà ïî âîçðàñòàíèþ íà íèõ àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëàK,òî â êàæäóþ âåðøèíó áóäåòâõîäèòü ðîâíî îäíî ðåáðî.Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó íà êîìïëåêñå è äëÿ ýíåðãèèèì ãðàôk = 0,h0 ýòîé òî÷êè ïîñòðî-0Ghvertic.
Ñïóñòèì (ïîäíèìåì) ýòó òî÷êó ïî ïîñòðîåííîìó ãðàôó íà óðîâåíüò.å. íà ãðàôGgoriz .Îíà ïîïàäåò íà îäíó èç äâóõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ãðàôàGgoriz . Òåì ñàìûì, íà âñåõ òî÷êàõ êîìïëåêñà áåç îáðàçà Q3 ìîæíî ââåñòè îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè. Äâå òî÷êè ýêâèâàëåíòíû, åñëè îíè ïîñëå îïèñàííîé ïðîöåäóðûïîïàäàþò â îäíó êîìïîíåíòó ðàçðåçàííîãî ãðàôàGgoriz .
Ñîîòâåòñòâåííî, è M 4 \Q3ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ñâÿçíûõ ïîäìíîæåñòâà: êàæäîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç âñåõ òåõòî÷åê, ÷üè îáðàçû íà êîìïëåêñå ýêâèâàëåíòíû.Îäíàêî ñàìîM 4 \ Q3ïðè ýòîì íå ñâÿçíî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïî òî÷-êå èç êàæäîãî ñâÿçíîãî êóñêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èõ ìîæíî ñîåäèíèòü êàêèì-òîïóòåì. Ñòÿíåì ýòîò ïóòü ïî âåðòèêàëüíûì ãðàôàì íà ãîðèçîíòàëüíûé ãðàô. Åãîêîíöû, òåì ñàìûì, îêàæóòñÿ â ðàçíûõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõ ðàçðåçàííîãî ãðàôàGgorizè, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû íåïðåðûâíûì ïóòåì..Ëåììà 22 Òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñâÿçíîé êîìïîíåíòû Q3 èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3hîïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì îñîáûõ òî÷åê ðàíãàÄîêàçàòåëüñòâî.Áóäåì ïðîåöèðîâàòüQ3híà ñôåðóS20íàM−4 .ïðè ïîìîùè ïðîåêöèè,îïðåäåëÿþùåé êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå ê ñôåðå.
Äëÿ èçó÷åíèÿ ïðîåêöèè íàì ïîíàäîáèòñÿ ãðàôèê ïîòåíöèàëà, ò.å. ôóíêöèè67V (r).Íàïîìíèì, êàê óñòðîåíà ïðîåêöèÿ. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèèh=h0 â òî÷êó (r, ϕ) íà ñôåðå ïðè ïðîåêöèè ïåðåõîäÿò âñå òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà(r, ϕ, pr , k),óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþp2rk2+ 2+ V (r) = h0 .22f (r)Òî åñòü åñëè õîòÿ áû îäíà òî÷êàäàííîì çíà÷åíèè1 ñëó÷àé.Ïóñòüh = h0ÔóíêöèÿV (r)òî÷êàV (r)(r, ϕ, pr , k)(r, ϕ)ïðèíàäëåæèò ïðîåêöèè.ìîíîòîííà (ðèñ.20a).âîçðàñòàåò íà[a; b].Òîãäà, åñëèïðîåêòèðóåòñÿ â øàïêó íà ñôåðåíàì ïîäõîäÿò âñå çíà÷åíèÿóäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, òî ïðèS2h > h(a) (h < h(b)),(òàê êàê â äàííîì ñëó÷àår ∈ [a, r0 ],òàêèå ÷òîr0 < b).òîð ËèóâèëëÿV (a) = h(a)èÇíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àåQ3 ≈ S 3 , ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
