Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Åñëè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ïðàâåå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñâîçíèêàþò (èëè èñ÷åçàþò) ëóíêè èëè ïàðàáîëû, òî òî÷êè ðàíãà0ëåæàò íàðàçíûõ ëèñòàõ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.Ñëåäñòâèå 3. Åñëè òî÷êè ðàíãà 0 ëåæàò íà îäíîì áèôóðêàöèîííîì ëèñòå,òî íèêàêèì øåâåëåíèåì ñèñòåìû (íèêàêèìè èçìåíåíèÿìè ôóíêöèéf (r)èV (r))íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü ëóíêó èëè ïàðàáîëó, âîçíèêàþùóþ (èëè èñ÷åçàþùóþ,åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ äóãà èìååò òèïB)ïðàâåå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ (äðóãè-ìè ñëîâàìè, òàêóþ áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó íå äàåò íèêàêàÿ ïàðà ôóíêöèé(f, V ))(ñì.ðèñ.27).80Ðèñ.
27: èëëþñòðàöèÿ ê ñëåäñòâèþ 3.Ñëó÷àé 3. Òî÷êè (V (0), 0) è (V (L), 0) èìåþò òèï ôîêóñ-ôîêóñ.Òàê êàêV (0)èV (L) ëîêàëüíûå ìàêñèìóìû ôóíêöèèV (r)(ñì.ðèñ.28), òîáèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó ïàðàáîëó ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà (ïîòåíöèàë èìååò õîòÿ áû îäèí âíóòðåííèé ëîêàëüíûé ìèíèìóì íàîòðåçêå[0; L]).Ðèñ. 28: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r)è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû,îáëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ.Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ìîãóò ëåæàòü êàê íà îäíîì, òàê è íà ðàçíûõ81áèôóðêàöèîííûõ ëèñòàõ.Ñôîðìóëèðóåì ëåììó, ñîäåðæàùóþ â ñåáå ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî ïðîâåäåííîãî âûøå èññëåäîâàíèÿ, êàêèå îãðàíè÷åíèÿ äàþò òî÷êè ðàíãà0íà ðàñïîëîæåíèåáèôóðêàöèîííûõ äóã.Óòâåðæäåíèå 7 Åñëè òî÷êè ðàíãà 0 ìîæíî ñîåäèíèòü íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå íåïðåðûâíûì ìîíîòîííûì ïîhïóòåì, òî ïðàâåå îáåèõ òî÷åê ðàíãà0îòñóòñòâóþò äóãè ëóíîê è ïàðàáîë (ò.å.
âñå âåðøèíû ëóíîê è ïàðàáîëèìåþò êîîðäèíàòóh ≤ max{V (0), V (L)}).Èçó÷èì ñëó÷àé ñîâïàäåíèÿ íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå äâóõ òî÷åê ôîêóñôîêóñ, ò.å. ñëó÷àé, êîãäà íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå èçîáðàæåíà îäíà èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà, à èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà èìååò äâå îñîáûå òî÷êè ðàíãà0òèïàôîêóñ-ôîêóñ.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíû äâà âàðèàíòà:1) òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ëåæàò íà ðàçíûõ áèôóðêàöèîííûõ ëèñòàõ, è êàæäàÿèç íèõ èìååò â ïðîîáðàçå òîð ñ îäíîé ïåðåòÿæêîé (ñì.ðèñ.29;2) äâå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ñêëååíû â îäíó òî÷êó íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå â ïðîîáðàçå èìååì òîð ñ äâóìÿ ïåðåòÿæêàìè (ñì.ðèñ.30.Êàê ñëåäñòâèå, îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå òîëüêî ïî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü ñëîæíîñòü ôîêóñíîé îñîáåííîñòè íåîáõîäèìòàêæå àíàëèç ãðàôèêà ôóíêöèèV (r).82Ðèñ. 29: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r) è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû, îá-ëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè ôîêóñ-ôîêóñ, ñîâïàäàþùèìè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (ïåðâûé ñëó÷àé).Ðèñ.
30: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r) è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû, îá-ëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè ôîêóñ-ôîêóñ, ñîâïàäàþùèìè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (âòîðîé ñëó÷àé).1.9Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõâðàùåíèÿ ñ èçó÷åííûìè ðàíåå èíòåãðèðóåìûìè ãàìèëüòîíîâûìè ñèñòåìàìèÑîãëàñíî òåîðåìå ÔîìåíêîÖèøàíãà äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìûëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ83Q3h1èQ3h2òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.Ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ìîæåò áûòü îäíîãîèç äâóõ òèïîâ:ñëåäóþùèå:A−AW − W,èëèr = ∞, ε = −1.ïðè ýòîì ìåòêè íà öåíòðàëüíîì ðåáðåVl − VlÌîëåêóëà âòîðîãî òèïà êàê ãðàô âñòðå÷àåòñÿ âî ìíî-ãèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìàõ (ñëó÷àé Æóêîâñêîãî, ñëó÷àé äèíàìèêè øåðîõîâàòîãîýëëèïñîèäà íà ïëîñêîñòè, ñèñòåìà Êîâàëåâñêîé), îäíàêî óêàçàííûé íàáîð ìåòîêíà ðåáðåVl − Vlâñòðå÷àåòñÿ ëèøü â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâíà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ (ôîðìàëüíî ýòà ñèñòåìà îòëè÷àåòñÿ îò èññëåäóåìîéàâòîðîì, òàê êàê ôóíêöèÿV (r) = 0äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ, ò.å.
ïîòåíöèàë íåÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà). Ïîýòîìó ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, îáëàäàþùàÿ ïðè íåêîòîðîìH = hìå÷åíîé ìîëåêóëîé âòîðîãî òèïà, ìîæåò îêàçàòüñÿëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíîé ñðåäè èçó÷åííûõ ñèñòåì òîëüêî ãåîäåçè÷åñêîìó ïîòîêóíà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèH = h(ýòîò âîïðîñ ìû îáñóäèì íèæå).Ðàññìîòðèì ìîëåêóëó ïåðâîãî òèïà:èëèr =∞A−A. Îíà îáëàäàåò ìåòêàìè r = 0, r = 1/2â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ýíåðãèèH =h(ñì.òåîðåìó 6).
Òàêàÿ ìî-ëåêóëà âñòðå÷àåòñÿ ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ èçâåñòíûõ ñèñòåìàõ. Ïîýòîìó ñèñòåìà íàìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèìå÷åíóþ ìîëåêóëóA − A,H = h, ïðè êîòîðûõ îíà èìååòÿâëÿåòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíîé ïî÷òè âñåì êëàññè-÷åñêèì èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì ñ òàêîé æå ìîëåêóëîé. Îïèøåì ïîäðîáíåå ñëó÷àé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èññëåäóåìûõ ñèñòåì è ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ.Íàïîìíèì, ÷òî èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüQ3hñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðà-ùåíèÿ ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (ñì. òåîðåìó 5).Óòâåðæäåíèå 8 Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííîé ïàðîéôóíêöèé(f (r), V (r)),äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèèçíà÷åíèé ýíåðãèè òî÷åê âîçâðàòà è òî÷åê òèïàè äëÿ ëþáîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû âQ ⊆ Q3h0ìåòðèêè âðàùåíèÿ, çàäàâàåìûé ôóíêöèåé84Vl 6= BH = h0(êðîìåáèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ)ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîêF0 (r),òàêîé, ÷òî ñèñòåìà(f (r), V (r))íàQ(F0 (r), 0)è ñèñòåìàýêâèâàëåíòíû ïðèýíåðãèÿõh0íà ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì óðîâíå ýíåðãèè ëèóâèëëåâîh0 > max V (r)è ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ïðè ìåíüøèõ(ò.å.
èõ ìîëåêóëû áåç ìåòîê ñîâïàäàþò).Äîêàçàòåëüñòâî.Ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê ìåòðèêè âðàùåíèÿ íà ìíîãîîáðàçèè âðà-ùåíèÿ, ò.å. ïîòîê áåç ïîòåíöèàëà, çàäàåòñÿ ôóíêöèåéF0 (r), r ∈ [0, L]. Ãàìèëüòîíèàíòàêîé ñèñòåìû èìååò âèäH=ãäåKp2rK2,+22F02 (r) äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë. Èç ýòèõ âûðàæåíèé ïîëó÷àåì, ÷òîáèôóðêàöèîííûå äóãè èìåþò âèäk2, ãäå2f 2 (ri )h =f 0 (ri ) = 0.Ò.å.
áèôóðêàöèîí-íàÿ äèàãðàììà äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïàðàáîë ñ îáùåéâåðøèíîé. Ïàðàáîëû ìîãóò èìåòü òèïñêàÿ ïîâåðõíîñòüQ3hAèëèB,ïðè ýòîì êàæäàÿ èçîýíåðãåòè÷å-ñâÿçíà, è åå ìîëåêóëà èìååò âèä äåðåâà, îïèñàííîãî â òåîðåìåêëàññèôèêàöèè ìå÷åíûõ ìîëåêóë íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ, ëèáî îíà èìååò âèäA − A.Èç ïðèíöèïà Ìîïåðòþè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ, çàäàííîé ïàðîé ôóíêöèé(f (r), V (r))ïðèh > Vmaxñóùåñòâóåò ãåîäåçè-F0 (r)),ëèóâèëëåâî (è äàæå÷åñêèé ïîòîê (ò.å. ñóùåñòâóåò çàäàþùàÿ åãî ôóíêöèÿòðàåêòîðíî) ýêâèâàëåíòíûé äàííîé ñèñòåìå ñ ïîòåíöèàëîì. Îäíàêî ïðèh < Vmaxïðèíöèï Ìîïåðòþè ïðèìåíÿòü íåëüçÿ.
Îïèøåì ïîäðîáíåå ýòîò ñëó÷àé.Òàê êàê ìû èññëåäóåì ëèóâèëëåâó ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì íà ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõQ3 ,òî äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëîì ìîæíîíàéòè ñèñòåìó áåç ïîòåíöèàëà (ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê) ñ òàêîé æå ìîëåêóëîé. Áî-Q3h0ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé k(r) =p± (2(h0 − V (r)))f 2 (r) äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì, èpôóíêöèåé ek(r) = ± 2hF02 (r) äëÿ ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà (ïîäðîáíåå ñì. ëåììó 21ëåå ïîäðîáíî: ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà(f (r), V (r), h0 ) è, íàïðèìåð, äëÿ ýíåðãèèpF0 (r) = f (r) h0 − V (r). Òîãäà ãðóáûå ìîëåêóëû (ìîëåêóëû áåçâûøå).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äàííûõh = 1,ôóíêöèÿìåòîê) ñèñòåì ñîâïàäàþò. Îäíàêî, êàê õîðîøî èçâåñòíî (ñì. òåîðåìó 2 Íãóåíà è85Ïîëÿêîâîé, èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüâñåãäàRP 3Q3häëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ ýòî(äëÿ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì ýòî âåðíî òîëüêî ïðèh0 > Vmax ).Òàê êàê áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà ñîñòîèò èç ïàðàáîë ñ îáùåé âåðøèíîé, òî â íåé íåò áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè.  èññëåäóåìûõ ñèñòåìàõ ñ ïîòåíöèàëîì (ò.å. íå ÿâëÿþùèõñÿ ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêîì)áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà óñòðîåíà ñëîæíåå: íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (è,ñëåäîâàòåëüíî, â òîïîëîãèè) ñèñòåìû ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïðîèçâîëüíîå (íî êîíå÷íîå) ÷èñëî ïåðåñòðîåê.
Ïîýòîìó ñèñòåìà íàýíåðãèèhQ3hâ ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ èçìåíåíèÿìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûå ìîëåêóëû.Ñôîðìóëèðóåì ðÿä âàæíûõ ñëåäñòâèé èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.Ñëåäñòâèÿ.1.  öåëîì ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì íå ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíû ïîòîêàì áåç ïîòåíöèàëà, ò.å. â êëàññå ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûõñèñòåì óáðàòü ïîòåíöèàë íåëüçÿ, òî åñòü êëàññ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì ñóùåñòâåííîøèðå, ÷åì êëàññ ìåòðèê âðàùåíèÿ áåç ïîòåíöèàëà.2.
Òåì íå ìåíåå, íà áîëüøèõ ýíåðãèÿõ (ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ìîïåðòþè) ïîòåíöèàë ìîæíî óáðàòü. Áîëåå òîãî, ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëîìÿâëÿþòñÿ òðàåêòîðíî ýêâèâàëåíòíûìè ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêàì.3.  ìàëûõ ýíåðãèÿõ êàðòèíà ñëîæíåå è èíòåðåñíåå: îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî ðàçðåçàòü îáëàñòü ìàëûõ ýíåðãèé íà çîíû ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ðàññìîòðèìîäíó çîíó ýíåðãèé. Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìà â ýòîé çîíå ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíà ïîòîêó áåç ïîòåíöèàëà, òàê êàê ïðè äàííûõ ýíåðãèÿõ òèïûñîâïàäàòü (äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ âñåãäàëîìQ3 ≈ S 1 × S 2 , S 3èëèRP 3 ,Q3 ≈ RP 3 ,Q3ìîãóò íåà äëÿ ñèñòåì ñ ïîòåíöèà-ñì.ëåììó 22)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
