Главная » Просмотр файлов » Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле

Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 12

Файл №1105029 Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле) 12 страницаТопологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029) страница 122019-03-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Åñëè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ïðàâåå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñâîçíèêàþò (èëè èñ÷åçàþò) ëóíêè èëè ïàðàáîëû, òî òî÷êè ðàíãà0ëåæàò íàðàçíûõ ëèñòàõ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.Ñëåäñòâèå 3. Åñëè òî÷êè ðàíãà 0 ëåæàò íà îäíîì áèôóðêàöèîííîì ëèñòå,òî íèêàêèì øåâåëåíèåì ñèñòåìû (íèêàêèìè èçìåíåíèÿìè ôóíêöèéf (r)èV (r))íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü ëóíêó èëè ïàðàáîëó, âîçíèêàþùóþ (èëè èñ÷åçàþùóþ,åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ äóãà èìååò òèïB)ïðàâåå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ (äðóãè-ìè ñëîâàìè, òàêóþ áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó íå äàåò íèêàêàÿ ïàðà ôóíêöèé(f, V ))(ñì.ðèñ.27).80Ðèñ.

27: èëëþñòðàöèÿ ê ñëåäñòâèþ 3.Ñëó÷àé 3. Òî÷êè (V (0), 0) è (V (L), 0) èìåþò òèï ôîêóñ-ôîêóñ.Òàê êàêV (0)èV (L) ëîêàëüíûå ìàêñèìóìû ôóíêöèèV (r)(ñì.ðèñ.28), òîáèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó ïàðàáîëó ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà (ïîòåíöèàë èìååò õîòÿ áû îäèí âíóòðåííèé ëîêàëüíûé ìèíèìóì íàîòðåçêå[0; L]).Ðèñ. 28: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r)è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû,îáëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ.Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ìîãóò ëåæàòü êàê íà îäíîì, òàê è íà ðàçíûõ81áèôóðêàöèîííûõ ëèñòàõ.Ñôîðìóëèðóåì ëåììó, ñîäåðæàùóþ â ñåáå ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî ïðîâåäåííîãî âûøå èññëåäîâàíèÿ, êàêèå îãðàíè÷åíèÿ äàþò òî÷êè ðàíãà0íà ðàñïîëîæåíèåáèôóðêàöèîííûõ äóã.Óòâåðæäåíèå 7 Åñëè òî÷êè ðàíãà 0 ìîæíî ñîåäèíèòü íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå íåïðåðûâíûì ìîíîòîííûì ïîhïóòåì, òî ïðàâåå îáåèõ òî÷åê ðàíãà0îòñóòñòâóþò äóãè ëóíîê è ïàðàáîë (ò.å.

âñå âåðøèíû ëóíîê è ïàðàáîëèìåþò êîîðäèíàòóh ≤ max{V (0), V (L)}).Èçó÷èì ñëó÷àé ñîâïàäåíèÿ íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå äâóõ òî÷åê ôîêóñôîêóñ, ò.å. ñëó÷àé, êîãäà íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå èçîáðàæåíà îäíà èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà, à èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà èìååò äâå îñîáûå òî÷êè ðàíãà0òèïàôîêóñ-ôîêóñ.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíû äâà âàðèàíòà:1) òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ëåæàò íà ðàçíûõ áèôóðêàöèîííûõ ëèñòàõ, è êàæäàÿèç íèõ èìååò â ïðîîáðàçå òîð ñ îäíîé ïåðåòÿæêîé (ñì.ðèñ.29;2) äâå òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ ñêëååíû â îäíó òî÷êó íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå â ïðîîáðàçå èìååì òîð ñ äâóìÿ ïåðåòÿæêàìè (ñì.ðèñ.30.Êàê ñëåäñòâèå, îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå òîëüêî ïî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü ñëîæíîñòü ôîêóñíîé îñîáåííîñòè íåîáõîäèìòàêæå àíàëèç ãðàôèêà ôóíêöèèV (r).82Ðèñ. 29: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r) è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû, îá-ëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè ôîêóñ-ôîêóñ, ñîâïàäàþùèìè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (ïåðâûé ñëó÷àé).Ðèñ.

30: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r) è áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû, îá-ëàäàþùåé äâóìÿ òî÷êàìè ôîêóñ-ôîêóñ, ñîâïàäàþùèìè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (âòîðîé ñëó÷àé).1.9Ëèóâèëëåâà ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõâðàùåíèÿ ñ èçó÷åííûìè ðàíåå èíòåãðèðóåìûìè ãàìèëüòîíîâûìè ñèñòåìàìèÑîãëàñíî òåîðåìå ÔîìåíêîÖèøàíãà äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìûëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ83Q3h1èQ3h2òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.Ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ìîæåò áûòü îäíîãîèç äâóõ òèïîâ:ñëåäóþùèå:A−AW − W,èëèr = ∞, ε = −1.ïðè ýòîì ìåòêè íà öåíòðàëüíîì ðåáðåVl − VlÌîëåêóëà âòîðîãî òèïà êàê ãðàô âñòðå÷àåòñÿ âî ìíî-ãèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìàõ (ñëó÷àé Æóêîâñêîãî, ñëó÷àé äèíàìèêè øåðîõîâàòîãîýëëèïñîèäà íà ïëîñêîñòè, ñèñòåìà Êîâàëåâñêîé), îäíàêî óêàçàííûé íàáîð ìåòîêíà ðåáðåVl − Vlâñòðå÷àåòñÿ ëèøü â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâíà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ (ôîðìàëüíî ýòà ñèñòåìà îòëè÷àåòñÿ îò èññëåäóåìîéàâòîðîì, òàê êàê ôóíêöèÿV (r) = 0äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ, ò.å.

ïîòåíöèàë íåÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà). Ïîýòîìó ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, îáëàäàþùàÿ ïðè íåêîòîðîìH = hìå÷åíîé ìîëåêóëîé âòîðîãî òèïà, ìîæåò îêàçàòüñÿëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíîé ñðåäè èçó÷åííûõ ñèñòåì òîëüêî ãåîäåçè÷åñêîìó ïîòîêóíà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèH = h(ýòîò âîïðîñ ìû îáñóäèì íèæå).Ðàññìîòðèì ìîëåêóëó ïåðâîãî òèïà:èëèr =∞A−A. Îíà îáëàäàåò ìåòêàìè r = 0, r = 1/2â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ýíåðãèèH =h(ñì.òåîðåìó 6).

Òàêàÿ ìî-ëåêóëà âñòðå÷àåòñÿ ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ èçâåñòíûõ ñèñòåìàõ. Ïîýòîìó ñèñòåìà íàìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèìå÷åíóþ ìîëåêóëóA − A,H = h, ïðè êîòîðûõ îíà èìååòÿâëÿåòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíîé ïî÷òè âñåì êëàññè-÷åñêèì èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì ñ òàêîé æå ìîëåêóëîé. Îïèøåì ïîäðîáíåå ñëó÷àé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èññëåäóåìûõ ñèñòåì è ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ.Íàïîìíèì, ÷òî èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüQ3hñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðà-ùåíèÿ ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (ñì. òåîðåìó 5).Óòâåðæäåíèå 8 Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííîé ïàðîéôóíêöèé(f (r), V (r)),äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèèçíà÷åíèé ýíåðãèè òî÷åê âîçâðàòà è òî÷åê òèïàè äëÿ ëþáîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû âQ ⊆ Q3h0ìåòðèêè âðàùåíèÿ, çàäàâàåìûé ôóíêöèåé84Vl 6= BH = h0(êðîìåáèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ)ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîêF0 (r),òàêîé, ÷òî ñèñòåìà(f (r), V (r))íàQ(F0 (r), 0)è ñèñòåìàýêâèâàëåíòíû ïðèýíåðãèÿõh0íà ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì óðîâíå ýíåðãèè ëèóâèëëåâîh0 > max V (r)è ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ïðè ìåíüøèõ(ò.å.

èõ ìîëåêóëû áåç ìåòîê ñîâïàäàþò).Äîêàçàòåëüñòâî.Ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê ìåòðèêè âðàùåíèÿ íà ìíîãîîáðàçèè âðà-ùåíèÿ, ò.å. ïîòîê áåç ïîòåíöèàëà, çàäàåòñÿ ôóíêöèåéF0 (r), r ∈ [0, L]. Ãàìèëüòîíèàíòàêîé ñèñòåìû èìååò âèäH=ãäåKp2rK2,+22F02 (r) äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë. Èç ýòèõ âûðàæåíèé ïîëó÷àåì, ÷òîáèôóðêàöèîííûå äóãè èìåþò âèäk2, ãäå2f 2 (ri )h =f 0 (ri ) = 0.Ò.å.

áèôóðêàöèîí-íàÿ äèàãðàììà äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïàðàáîë ñ îáùåéâåðøèíîé. Ïàðàáîëû ìîãóò èìåòü òèïñêàÿ ïîâåðõíîñòüQ3hAèëèB,ïðè ýòîì êàæäàÿ èçîýíåðãåòè÷å-ñâÿçíà, è åå ìîëåêóëà èìååò âèä äåðåâà, îïèñàííîãî â òåîðåìåêëàññèôèêàöèè ìå÷åíûõ ìîëåêóë íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ, ëèáî îíà èìååò âèäA − A.Èç ïðèíöèïà Ìîïåðòþè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ, çàäàííîé ïàðîé ôóíêöèé(f (r), V (r))ïðèh > Vmaxñóùåñòâóåò ãåîäåçè-F0 (r)),ëèóâèëëåâî (è äàæå÷åñêèé ïîòîê (ò.å. ñóùåñòâóåò çàäàþùàÿ åãî ôóíêöèÿòðàåêòîðíî) ýêâèâàëåíòíûé äàííîé ñèñòåìå ñ ïîòåíöèàëîì. Îäíàêî ïðèh < Vmaxïðèíöèï Ìîïåðòþè ïðèìåíÿòü íåëüçÿ.

Îïèøåì ïîäðîáíåå ýòîò ñëó÷àé.Òàê êàê ìû èññëåäóåì ëèóâèëëåâó ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì íà ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõQ3 ,òî äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëîì ìîæíîíàéòè ñèñòåìó áåç ïîòåíöèàëà (ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê) ñ òàêîé æå ìîëåêóëîé. Áî-Q3h0ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé k(r) =p± (2(h0 − V (r)))f 2 (r) äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì, èpôóíêöèåé ek(r) = ± 2hF02 (r) äëÿ ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà (ïîäðîáíåå ñì. ëåììó 21ëåå ïîäðîáíî: ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà(f (r), V (r), h0 ) è, íàïðèìåð, äëÿ ýíåðãèèpF0 (r) = f (r) h0 − V (r). Òîãäà ãðóáûå ìîëåêóëû (ìîëåêóëû áåçâûøå).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äàííûõh = 1,ôóíêöèÿìåòîê) ñèñòåì ñîâïàäàþò. Îäíàêî, êàê õîðîøî èçâåñòíî (ñì. òåîðåìó 2 Íãóåíà è85Ïîëÿêîâîé, èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüâñåãäàRP 3Q3häëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ ýòî(äëÿ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì ýòî âåðíî òîëüêî ïðèh0 > Vmax ).Òàê êàê áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà ñîñòîèò èç ïàðàáîë ñ îáùåé âåðøèíîé, òî â íåé íåò áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè.  èññëåäóåìûõ ñèñòåìàõ ñ ïîòåíöèàëîì (ò.å. íå ÿâëÿþùèõñÿ ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêîì)áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà óñòðîåíà ñëîæíåå: íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (è,ñëåäîâàòåëüíî, â òîïîëîãèè) ñèñòåìû ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïðîèçâîëüíîå (íî êîíå÷íîå) ÷èñëî ïåðåñòðîåê.

Ïîýòîìó ñèñòåìà íàýíåðãèèhQ3hâ ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ èçìåíåíèÿìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûå ìîëåêóëû.Ñôîðìóëèðóåì ðÿä âàæíûõ ñëåäñòâèé èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.Ñëåäñòâèÿ.1.  öåëîì ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì íå ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíû ïîòîêàì áåç ïîòåíöèàëà, ò.å. â êëàññå ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûõñèñòåì óáðàòü ïîòåíöèàë íåëüçÿ, òî åñòü êëàññ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì ñóùåñòâåííîøèðå, ÷åì êëàññ ìåòðèê âðàùåíèÿ áåç ïîòåíöèàëà.2.

Òåì íå ìåíåå, íà áîëüøèõ ýíåðãèÿõ (ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ìîïåðòþè) ïîòåíöèàë ìîæíî óáðàòü. Áîëåå òîãî, ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëîìÿâëÿþòñÿ òðàåêòîðíî ýêâèâàëåíòíûìè ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêàì.3.  ìàëûõ ýíåðãèÿõ êàðòèíà ñëîæíåå è èíòåðåñíåå: îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî ðàçðåçàòü îáëàñòü ìàëûõ ýíåðãèé íà çîíû ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ðàññìîòðèìîäíó çîíó ýíåðãèé. Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìà â ýòîé çîíå ëèóâèëëåâî íå ýêâèâàëåíòíà ïîòîêó áåç ïîòåíöèàëà, òàê êàê ïðè äàííûõ ýíåðãèÿõ òèïûñîâïàäàòü (äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ âñåãäàëîìQ3 ≈ S 1 × S 2 , S 3èëèRP 3 ,Q3 ≈ RP 3 ,Q3ìîãóò íåà äëÿ ñèñòåì ñ ïîòåíöèà-ñì.ëåììó 22)4.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее