Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Óäàëèì âñå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ (ýòîêðèòè÷åñêèå äóãè, ñîñòîÿùèå èç òî÷åê ðàíãà1, à òàêæå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ðàíãà 0)èç áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.  ðåçóëüòàòå êîìïëåêñ ðàñïàäåòñÿ íà îáúåäèíåíèåíåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ñâÿçíûõ îáëàñòåé, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü êàìåðàìè.Îòìåòèì, ÷òî êàìåðû ìîãóò íå áûòü îäíîñâÿçíûìè, à ïåðåìåííûå äåéñòâèÿìîãóò áûòü íå îïðåäåëåíû â íåîäíîñâÿçíûõ îáëàñòÿõ. Ïîýòîìó â êàæäîé íåîäíîñâÿçíîé êàìåðå íàì íåîáõîäèìî ñäåëàòü ñèñòåìó ðàçðåçîâ òàê, ÷òîáû êàìåðà áåçëèíèé ðàçðåçîâ ñòàëà îäíîñâÿçíîé â ïîëó÷åííîé îáëàñòè ïåðåìåííûå äåéñòâèÿáóäóò êîððåêòíî îïðåäåëåíû.Îïèøåì ïîäðîáíåå, êàêèå èìåííî ñèñòåìû ðàçðåçîâ ìû ìîæåì äåëàòü.
Íåîäíîñâÿçíîñòü âîçíèêàåò â êàìåðå èç-çà íàëè÷èÿ â íåé èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åêðàíãà0.Ðàçðåçû ýòî ãëàäêèå äóãè, ñîäåðæàùèå îñîáûå òî÷êè ðàíãà0,ëåæàùèåíà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå. Ìû âñåãäà ìîæåì ñäåëàòü ðàçðåçû òàêèì îáðàçîì,÷òî ïîëó÷åííàÿ êàìåðà ñ ðàçðåçàìè ñòàíîâèòñÿ îäíîñâÿçíîé.Êàæäóþ êàìåðó ñ ðàçðåçàìè (åñëè îíè íåîáõîäèìû, ÷òîáû ñäåëàòü îáëàñòü îäíîñâÿçíîé) íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå áóäåì îáîçíà÷àòüïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà÷åìPenèPnΦâRnîáîçíà÷èì ÷åðåçP n.Pen ,Òîãäàäèôôåîìîðôíû. Áóäåì, äëÿ ïðîñòîòû, íàçûâàòüÈíîãäà ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü êàìåðó93Penà åå îáðàçΦ(Pen )Pen = Φ−1 (P n ),Pnïðè-òîæå êàìåðîé.íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå ñ ååäèôôåîìîðôíûì îáðàçîìΦ(Pen )âRnïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòàΦ.Îïðåäåëåíèå 25 Ïóñòü ñóùåñòâóåò è ôèêñèðîâàíà 1−ôîðìà α íà Φ−1 (P n ), òàêàÿ, ÷òîndα = ω . Òîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê â P n ⊂ Rn , îáðàçîâàííîå ïåðåñå÷åíèÿìèïîâåðõíîñòåé óðîâíÿôóíêöèé{ξ ∈ P n : I1 (ξ) = c1 /N, .
. . , In (ξ) = cn /N, N ∈ N, ci ∈ Z}Ii , îïðåäåëåííûõ ïî ôîðìóëàì (4), íàçîâåì ðåøåòêîé R ïåðåìåííûõ äåé-ñòâèÿ (èëè ïðîñòî ðåøåòêîé).ÂûáèðàåìNäîñòàòî÷íî áîëüøèì äëÿ òîãî, ÷òîáû âáëèçè áèôóðêàöèîííûõ äóã(à òàêæå âáëèçè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0)êîëè÷åñòâî ëèíèé óðîâ-íÿ áûëî äîñòàòî÷íûì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïî ïîëó÷åííîé ðåøåòêå ìåòîê íà ðåáðàõèíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ïîäðîáíåå ñì.
ãëàâó 2.6). Ïîÿñíèì âûáîð ïîäõîäÿùåãî çíà÷åíèÿN.Åñëè âûáðàòüNìàëåíüêèì (íàïðèìåð,N = 1),òî ïîëó÷åííàÿðåøåòêà ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìîæåò ñîñòîÿòü èç î÷åíü ìàëåíüêîãî ÷èñëà ëèíèéóðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷èñëèòü òðåáóþùèåñÿ íàì ìåòêè íà ðåáðàõ ìîëåêóëû, à òàêæå ÷òîáû âû÷èñëèòü ìàòðèöû ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0,íàì íåîáõîäèìî âûáèðàòü áàçèñû íà ðåøåòêåè ñðàâíèâàòü èõ, à èìåííî, äâèãàòü èõ ïî ðåøåòêå ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì(ñì. ïîäðîáíåå ïàðàãðàô 2.6), à çàòåì çàïèñûâàòü ìàòðèöó ïåðåõîäà ìåæäó íèìè.Åñëè ÷èñëî ëèíèé óðîâíÿ íà ðåøåòêå ìàëî, òî ìû íå ìîæåì âûïîëíèòü îïèñàííóþïðîöåäóðó. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî áðàòü ÷èñëîNäîñòàòî÷íî áîëüøèì, òåì ñàìûì,îáåñïå÷èâàÿ äîñòàòî÷íîå â îïèñàííîì íàìè ñìûñëå ÷èñëî ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, îáðàçóþùèõ ðåøåòêó.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âûáèðàÿ áîëüøîåN,ìûäîáèâàåìñÿ òîãî, ÷òî ÿ÷åéêè ðåøåòêè ñòàíîâÿòñÿ ìàëåíüêèìè.Òàê îïðåäåëåííàÿ ðåøåòêà â êàìåðåPníå çàâèñèò îò âûáîðà íåïðåðûâíîãî ñå-ìåéñòâà áàçèñíûõ öèêëîâ íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ, òàê êàê äâà îðèåíòèðîâàííûõ íàáîðàáàçèñíûõ öèêëîâ íà òîðåíèåì (ìàòðèöåé èçT n ñâÿçàíû óíèìîäóëÿðíûì öåëî÷èñëåííûì ïðåîáðàçîâà-SL(n, Z)).  ñèëó ôîðìóë äëÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ïîñëåäíèåïîäâåðãàþòñÿ òîìó æå ñàìîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, ÷òî è öèêëû, à èõ çíà÷åíèÿ, èìåþùèå âèäc/N, c ∈ Z,î÷åâèäíî, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî òàêèõ çàìåí.94 îïðåäåëåíèè ðåøåòêè òàêæå åñòü íåîäíîçíà÷íîñòü îòíîñèòåëüíî âûáîðà ôîðìûα,òàêîé, ÷òîdα = ω .Ôèêñèðóåì 1-ôîðìóαâ êàæäîé êàìåðå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàìììû. Òîãäàïðè çàìåíå âíóòðè êàìåðû 1-ôîðìû(ò.å.dβ = 0)αíà 1-ôîðìóòàêóþ ÷òîdα = dα0ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ èçìåíÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z0Zα =γiãäå äëÿ êàæäîãîZα+γiβ,γii ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò òîðà(ýòî ñëåäóåò èç ãîìîëîãè÷íîñòè öèêëîâβα0 = α + β ,γiäëÿ ñîñåäíèõ òîðîâ, çàìêíóòîñòè ôîðìûè ôîðìóëû Ñòîêñà.
Ïîäðîáíåå ñì.[1]).Íîâàÿ ðåøåòêà áóäåò ñîñòàâëåíà èç äðóãèõ ëèíèé óðîâíÿ, íåñêîëüêî ñìåùåí-íûõ ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíûì. ÏîñêîëüêóNâûáèðàëîñü äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîîçíà÷àåò, ÷òî ëèíèè ðåøåòêè ðàñïîëîæåíû äîñòàòî÷íî ïëîòíî, êà÷åñòâåííûé âèäðåøåòêè íå ïîìåíÿåòñÿ. À èìåííî, ðàññìîòðèì ðàñøèðåííûé íàáîð ëèíèé óðîâíÿïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, îáðàçóþùèõ ðåøåòêó, ò.å.
ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå ëèíèé{(h, k) : Ii (h, k) = ci /N, ci ∈ Z}, à òàêæå ëèíèé óðîâíÿ {(h, k) : Ii (h, k) = cei }Rcei = ci /N − γi β ). Ýòè ñåìåéñòâà ëèíèé óðîâíÿ íå ïåðåñåêàþòñÿ â ðåãóëÿð-óðîâíÿ(çäåñüíîé îáëàñòè, òàê êàê ýòî ñèñòåìà ëèíèé óðîâíÿ îäíîé ôóíêöèè (ôóíêöèèIi ).Îáåðåøåòêè (îòâå÷àþùàÿ ïåðâîé è îòâå÷àþùàÿ âòîðîé ñèñòåìå ëèíèé óðîâíÿ) âëîæåíû â ðàñøèðåííóþ ñèñòåìó ëèíèé óðîâíÿ, ïîýòîìó ìåòêè, âû÷èñëåííûå ïî îáåèìðåøåòêàì, ñîâïàäàþò.2.3Ìîíîäðîìèÿ äàëüíåéøåì ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 9 Ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ìàòðèöû ìîíîäðîìèè âñåõ èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.Ïåðåä òåì, êàê äàòü îïðåäåëåíèå ìîíîäðîìèè, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü íåñêîëüêîâñïîìîãàòåëüíûõ ïîíÿòèé.95Áàçèñîì íà òîðå äàëåå áóäåì íàçûâàòü áàçèñ â ãðóïïå ãîìîëîãèé (ñ êîýôôèöèåíòàìè èçZ).Îïðåäåëåíèå 26 Îðèåíòàöèþ, ââåäåííóþ óêàçàííûì ñïîñîáîì, áóäåì íàçûâàòüîðèåíòàöèåé, ñîãëàñîâàííîé ñ äàííîé íóìåðàöèåé ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.Ðàññìîòðèì èíòåãðèðóåìóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìóãðàëàìèHè(M 4 , ω, H)ñ ïåðâûìè èíòå-K .
Çàôèêñèðóåì íóìåðàöèþ ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ I1 , I2â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 26. Ðàññìîòðèì ïåòëþγâ îáðàçå îòîáðàæåíèÿ ìî-ìåíòà, îáõîäÿùóþ èçîëèðîâàííîå îñîáîå çíà÷åíèå â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèèè ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé. Ïóñòüγ(0) = γ(1) = ξ0 = (h0 , k0 ).Ïî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ ïðîîáðàçîì ýòîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ òîð èëè íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå òîðîâ. ÏóñòüTξ0 ëþáîé ðåãóëÿðíûé òîð èç ïîëíîãî ïðîîáðàçà ñèëó òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ ïðè äâèæåíèè òî÷êèïîðîæäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâèçìåíåíèè ïàðàìåòðà íà êðèâîéγTξ ,ξïî ïåòëå(γ10 , γ20 )γáàçèñ(γ10 , γ20 )íà òîðåTξ0 = Φ0−1 (γ(1)).íà òîðåòîðTξ0òîðû â ïðîîáðàçå äèôôåîìîðôíî äåôîðìèðó-Tξ0 = Φ−10 (γ(0)),çîì ïåðåíåñòè åãî íà òîðû èç îêðåñòíîñòèïåòëåγïðè ýòîì ïðè íåïðåðûâíîìþòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ñåìåéñòâî òîðîâïîýòîìó, çàäàâ áàçèñΦ−1 (h0 , k0 ).U (Tξ0 ).Tξ0 = Φ−10 (γ(0))Φ−10 (γ(t))),ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðà- ðåçóëüòàòå ïîëíîãî îáõîäà ïîïåðåéäåò â áàçèñ(γ11 , γ21 )íà òîðåÂîçíèêàåò ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó.Îïðåäåëåíèå 27 Ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííîãî îñîáîãî çíà÷åíèÿ ñèñòåìû, îòâå÷àþùåé âûáðàííîìó ñåìåéñòâó òîðîâ.Îòìåòèì, ÷òî ôèêñàöèÿ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà âîêðóã îñîáîãî çíà÷åíèÿ ñóùåñòâåííà, ò.ê.
ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðèöû ìîíîäðîìèè áåç ôèêñàöèè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà ìû ìîæåì âûáðàòü ëþáîå èç äâóõ íàïðàâëåíèé îáõîäà, è â ðåçóëüòàòå ïîëó-96÷èì ìàòðèöû, íåñîïðÿæåííûå äðóã äðóãó â ãðóïïå1 −101è1 1SL(2, Z),íàïðèìåð, ìàòðèöû.0 1 îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ãàìèëüòîíîâîé ìîíîäðîìèè, êâàíòîâàÿ ãàìèëüòîíîâà ìîíîäðîìèÿ èìååò íåäàâíþþ èñòîðèþ, íà÷àëî êîòîðîé äàòèðóåòñÿ ñòàòüåéJ.J.Duistermaat 1980 ãîäà On global action-angle variables [38].
Ïðèëîæåíèÿ ìîíîäðîìèè ê êâàíòîâîìó ñïåêòðó áûëè ðàññìîòðåíû â 2000 ãîäó â ñòàòüå R.Cushmanè D.A.Sadovskii Monodromy in the hydrogen atom in crossed elds [39]. Íà÷èíàÿ ñ1998 ãîäà áûëè ñäåëàíû îñíîâíûå øàãè â ýòîé íàóêå áûëè âûïóùåíû ñòàòüè S.VuNgoc Quantum monodromy in integrable systems (1999) [40] ñ õîðîøåé êâàíòîâîéôîðìàëèçàöèåé è ñòàòüè ñ ïðèìåðàìè: M.S.Child Quantum states in a Champagnebottle (1998) [41], R.Cushman and D.A.Sadovskii Monodromy in the hydrogen atomin crossed elds (2000) [39], L.Grondin, D.Sadovskii, and B.Zhilinskii Monodromyin systems with coupled angular momenta and rearrangement of bands in quantumspectra (2001) [42], D.Sadovskii and B.Zhilinskii Monodromy, diabolic points, andangular momentum coupling (1999) [43].
Ïîñëå âûõîäà ýòèõ ñòàòåé ìîíîäðîìèÿñòàëà îáùèì èíñòðóìåíòîì äëÿ àíàëèçà ñïåêòðà âî ìíîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.Ãàìèëüòîíîâà (Êâàíòîâàÿ) ìîíîäðîìèÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñëóæèò äåìîíñòðàöèåé íåñóùåñòâîâàíèÿ ãëîáàëüíûõ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ (èëè õîðîøèõ êâàíòîâûõ÷èñåë).  êâàíòîâûõ ñèñòåìàõ îíà ìîæåò áûòü îáíàðóæåíà êàê òî÷å÷íûé äåôåêòâ ðåøåòêå ñîâìåñòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé êâàíòîâûõ îïåðàòîðîâ. Àíàëîãè÷íûìîáðàçîì åå ìîæíî îáíàðóæèòü â ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ êëàññè÷åñêèõ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Äàëåå â ðàáîòå áóäóò ïîñòðîåíû ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ íåñêîëüêèõñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ (â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñèñòåìû ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê) è ïî íèì âû÷èñëåíû ìàòðèöû ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèéîòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.972.4Âû÷èñëåíèå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿÏî îïðåäåëåíèþ ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ ýòî ìíîãîîáðàçèå, íà êîòîðîì çàäàíîS 1 -äåéñòâèå(ñì.
ãëàâó 1.2), ñëåäîâàòåëüíî, âñå íåñòàöèîíàðíûå òðàåêòîðèè âåê-òîðíîãî ïîëÿãðèðîâàíèÿsgradKãîìåîìîðôíû îêðóæíîñòè. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå öèêëîâ èíòå-γ1 = γ1 (h, k)ìîæíî âçÿòü ýòè òðàåêòîðèè. Ïîëó÷àåì1I1 (h, k) =2πãäå ôîðìàαI1α=2πIγ1γ1 êàíîíè÷åñêàÿ1−ôîðìàkkdϕ + pr dr =2πIdϕ = k,γ1íàT ∗M 2,òàêàÿ ÷òîdα = ω .Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ âòîðîé ïåðåìåííîé äåéñòâèÿ íà îáëàñòèk > 0,ò.å. ââåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Äëÿ ýòîãî âûïèøåì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ïî ïåðåìåííîéϕäëÿ ãàìèëüòîíèàíàH:ϕ̇ =Âûáåðåì öèêëγ2 (h, k)γ2 (z) = (z, pr (z))íà òîðåk, k̇ = 0.f 2 (r)Th,k = Φ−1 (h, k)(5)óñëîâèåìñîãëàñîâàí ñ îðèåíòàöèåé öèêëàγ2+ ⊂ γ2 ,ϕ|γ2 = 0,ïðè÷åì öèêëäëÿ êîòîðîãîpr (z) > 0.Òîãäà èìååìZ1I2 (h, k) =2π1α=2πγ2Ïóñòüγ3 = γH (h, k, t), t1 ≤ t ≤ t2Z1kdϕ + pr dr =2πγ2(5)) îò òî÷êèγH (t2 )äî òî÷êèpr dr.γ2 äóãà òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿsgradHz(t), γ4 = γK (h, k, t), t∗1 ≤ t ≤ t∗2 äóãàìåæäó ñîñåäíèìè ìèíèìóìàìè ôóíêöèèòðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿZ−sgradK · (sgnK) = −sgrad|K|γH (t1 ),òàêàÿ, ÷òî öèêë(ñì.ðèñóíîê 32).98γ3 · γ4(ñì.óðàâíåíèå íàϕ̇ãîìîëîãè÷åí öèêëóγ2Ðèñ.
32: âûáîð öèêëîâ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.Òîãäà1I2 (h, k) =2πZÒàê êàêH=+1I2 (h, k) =πk2+ V (r) =2f 2 (r)p2r2+ Uk (r),òîZpr drγ3ppr (r) = ± 2(H − Uk (r)),ïîýòîìór2Z(h,k)r2Z(h,k)sp1k22(H − Uk (r))dr =2(H − 2− V (r))dr,π2f (r)r1 (h,k)ãäå1pr dr =2πγ3 ·γ4γ2p2r2Z1pr dr =2πr1 (h,k)r1 (h, k), r2 (h, k) äâà ñîñåäíèõ êîðíÿ ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ â ïîñëåäíåì èí-òåãðàëå, òàêèõ ÷òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî íà èíòåðâàëå(r1 (h, k), r2 (h, k)).Òàêèì îáðàçîì, âíå ëó÷à ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿ I2 (h, k), îòâå÷àþùàÿ óêàçàííîìór2 (h,k)R q21öèêëó γ2 , èìååò âèä: I2 (h, k) =2(H − 2fk2 (r) − V (r))dr.πr1 (h,k) ðåçóëüòàòå ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó:99Òåîðåìà 9 Äëÿ âñåõ ïàð (h, k) ∈ Φ(M 4 ) ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿ I1 (h, k) èìååò âèäI1 (h, k) = k .{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) : k > 0}Äëÿ âñåõ ïàð{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) : k < 0})ïåðåìåííóþ äåéñòâèÿ(àíàëîãè÷íî äëÿ âñåõ ïàðI2 (h, k)ìîæíî îïðåäåëèòü ïîôîðìóëå1πI2 (h, k) =r2Z(h,k)s2(H −k2− V (r))dr,2f 2 (r)(6)r1 (h,k)ãäår1 , r2 êîðíè óðàâíåíèÿ0 < r1 < r2 < LèW (H, k, r) = 2(H −W (H, k, r) > 0äëÿk22f 2 (r)I1 (h, k) = kóðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿòàêèå, ÷òîr ∈ (r1 , r2 ).Îòìåòèì, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿò.å.
çàäàþòñÿ ôîðìóëîé− V (r)) = 0I1îïðåäåëåíû ãëîáàëüíî,íà âñåì îáðàçå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà. ËèíèèI2 íåëüçÿ çàäàòü îäíîé ôîðìóëîé íà âñåì îáðàçå îòîá-ðàæåíèÿ ìîìåíòà (â ÷àñòíîñòè, åñëè çàäàâàòü èõ ïî ôîðìóëå (4) íà âñåì îáðàçåîòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, òî â òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà îñèh,âîçíèêàåò èçëîì, êîòî-ðîãî áûòü íå äîëæíî, òàê êàê ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ãëàäêèå).Íåâîçìîæíîñòü çàäàòü ëèíèè óðîâíÿ âñåõ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ íà âñåì îáðàçåîòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ïî îäíèì è òåì æå ôîðìóëàì ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì îñîáûõçíà÷åíèé ðàíãà0, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
