Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ìû íàõîäèìñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè åå íóëÿ: f (0) = 0), àäîìíîæåíèå íà áëèçêóþ ê íóëþ ôóíêöèþ íèâåëèðóåò âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèès(r). Ïîýòîìó ïðè èçìåíåíèÿõ ïàðû (f (r), V (r)) íà ïàðó (f2 (r), V2 (r)) äóãà òèïàA íåçíà÷èòåëüíî ìåíÿåò ñâîå ðàñïîëîæåíèå, è ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðàε,÷òî íà èíòåðâàëå(0, ε)âñå êîìáèíàòîðíûå õàðàêòåðèñòèêè äèàãðàììûè êîìïëåêñà (ñì. ïàðàãðàô 1.6), ò.å.
êîëè÷åñòâî è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òî÷åê íàëîæåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã, ñîõðàíÿòñÿ, ÷åãî ìû è äîáèâàëèñü. ðåçóëüòàòå ïðîèçâåäåííûõ èçìåíåíèé ìû ïîëó÷èëè ïàðóf2 (r) îáðàçóþùàÿ ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ â73R3 ,àV2 (r)(f2 (r), V2 (r)),ãäå ïîòåíöèàë, òàêóþ ÷òîñèñòåìà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, çàäàâàåìàÿ ýòîé ïàðîé ôóíêöèé, ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ñèñòåìå(f (r), V (r))íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ..Ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà äëÿ ñèñòåìû, ïðèâåäåííîé äëÿ ïðèìåðà â ïàðàãðàôå6(àë-ãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà), ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 21.AAr=0¶=1r=0¶=1ABr=0¶=1r=¥¶=1Bn=2r=¥¶=-1r=0¶=1Br=¥¶=1ABr=0¶=1r=0¶=1AAÐèñ. 21: ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà äëÿ ñèñòåìû, ïðèâåäåííîé â ïðèìåðå èç ïàðàãðàôà 1.6.Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòü ìåòîê â èíâàðèàíòå Ôîìåíêî-Öèøàíãà îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0 íà M−4 (ñì.
òåîðåìó 6, ïóíêòû d) è e). Îïèøåì ñïîñîá,ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü ìåñòîíàõîæäåíèå îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0 íàáèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå.Íàïîìíèì, ÷òî îñîáûå òî÷êè ðàíãà(h, k) = (V (L), 0),ò.å. ëåæàò íà îñè0h.èìåþò êîîðäèíàòûôóíêöèèUk (r) =2f 2 (r)(h, k), íåîáõîäèì àíàëèç ãðàôèêà+V (r) (ñì.ïàðàãðàô 1.6). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû îïðåäåëèòüêîëè÷åñòâî ëèñòîâ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà, îòâå÷àþùèõ òî÷êåíà îñèh,èÒàêæå âñïîìíèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿêîëè÷åñòâà ëèñòîâ êîìïëåêñà, îòâå÷àþùèõ òî÷êåk2(h, k) = (V (0), 0)íàì íåîáõîäèìî èçó÷èòü ïîâåäåíèå ôóíêöèèïîòåíöèàëà.74(h, 0), ëåæàùåéU0 (r) = V (r),ò.å.
ïîâåäåíèå0Íàïîìíèì, ÷òî îñîáûå òî÷êè ðàíãàäëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿìîãóò èìåòü òèï ôîêóñ-ôîêóñ è öåíòð-öåíòð (ñì. ëåììó 3).  ñëó÷àå, åñëè òî÷êàèìååò òèï öåíòð-öåíòð, îíà ëåæèò íà áèôóðêàöèîííîé äóãå â òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îñèh.Ïðè ýòîì, òàê êàê â òî÷êå ðàíãàâûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåV 00 (r) = +1,ìèíèìóì, à ïîòîìó òî÷êà0 (r = 0òî â òî÷êårèëèr = L)òèïà öåíòð-öåíòðV (r)èìååò ëîêàëüíûéôóíêöèÿ(V (r), 0) ëåæèò íà áèôóðêàöèîííîé äóãå òèïà A.
Òåïåðüñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 5 Åñëè îáå îñîáûå òî÷êè ðàíãà 0 ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ èìåþò òèï öåíòð-öåíòð, òî ýòè òî÷êè ëåæàò íà ðàçíûõ ëèñòàõ áèôóðêàöèîííîãî êîìëïåêñà.Äîêàçàòåëüñòâî.àë èìååò â òî÷êàõòî÷êàðàíãàr0Ñîãëàñíî óñëîâèþ è ëåììå 3,V 00 (0) = V 00 (L) = +1, ò.å. ïîòåíöè-r = 0 è r = L ëîêàëüíûå ìèíèìóìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ïîòåíöèàëà íà èíòåðâàëå(0; L).À çíà÷èò, òî÷êè0 íàõîäÿòñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ (íà ðèñóíêå 22 ýòèîáëàñòè ðàçäåëåíû òî÷êîé(r0 , V (r0 )))è, ñëåäîâàòåëüíî, ëåæàò íà ðàçíûõ ëèñòàõáèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà..Ðèñ. 22: èëëþñòðàöèÿ ê óòâåðæäåíèþ 5.Ñôîðìóëèðóåì ïîëåçíîå î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíî ëóíîê è ïàðàáîë íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå.75Ëåììà 23 Ïóñòü íà îòðåçêå (r1 , r2 ) ∈ [0; L] âûïîëíåíî óñëîâèå sgn V 0 (r) = const,ïðè÷åìëàñòèV 0 (r1 ) = V 0 (r2 ) = 0[r1 , r2 ](ñì.ðèñ.23).
Òîãäà íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå îá-èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðàrñîîòâåòñòâóþò äâå áèôóðêàöèîííûå äóãè:îäíà ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà, îäíà ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.Ðèñ. 23: èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 23.Ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ, íàïðÿìóþ ñëåäóþùèå èç ëåììû.Ñëåäñòâèå 1. Ïðè âîçìóùåíèè ïîòåíöèàëà V (r) ìåòîäîì äîáàâëåíèÿ â íåãîîäíîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è îäíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ñì.ðèñ.23), íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå âîçíèêàþò äâå äóãè äóãà òèïàAè äóãà òèïàB.Òîåñòü ïðè óêàçàííîì âîçìóùåíèè äóãè âîçíèêàþò ïàðàìè.  ÷àñòíîñòè, ïðè ìàëîì âîçìóùåíèè ïîòåíöèàëà íà ó÷àñòêå ìîíîòîííîñòè ôóíêöèèf (r)âîçíèêàåòëóíêà.Ñëåäñòâèå 2.
Åñëè íà èíòåðâàëå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã(r1 , r2 ), ïîÿâèâøåìñÿ ïðè ìàëîì âîçìóùåíèè ïîòåíöèàëà V (r), èìååì sgn V 0 (r) =constèsgn f 0 (r)V 0 (r) > 0,òî ïàðà âîçíèêàþùèõ äóã òèïîâAèBîáðàçóåò áè-ôóðêàöèîííóþ êðèâóþ òèïà ëóíêà.Ñëåäñòâèå 3. Åñëè íà èíòåðâàëå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã(r1 , r2 ), ïîÿâèâøåìñÿ ïðè ìàëîì âîçìóùåíèè ïîòåíöèàëà V (r), èìååì sgn V 0 (r) =const,à ôóíêöèÿf 0 (r)ìåíÿåò çíàê íà ýòîì èíòåðâàëå, òî íà áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå ìîãóò âîçíèêíóòü ñëåäóþùèå íàáîðû äóã: äâå ïàðàáîëû (òèïîâ76AèBêàæäàÿ), ïàðàáîëà òèïàäóãà ëóíêè òèïàf 0 (r)íà îòðåçêåA.Aè äóãà ëóíêè òèïàB,ëèáî ïàðàáîëà òèïàBèÒèïû âîçíèêàþùèõ äóã îïðåäåëÿþòñÿ ïîâåäåíèåì ôóíêöèè[r1 , r2 ].Òàêèì îáðàçîì, èçìåíÿÿ ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ, äîáàâëÿÿ â íåå áèôóðêàöèþ, îïèñàííóþ â ëåììå, à òàêæå ìåíÿÿ ôóíêöèþf (r)(äîáàâëÿÿ â íåå áèôóð-êàöèè òàêîãî æå âèäà), ìû ìîæåì äîáàâëÿòü â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó äóãèâñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ (ñì.òåîðåìó 4).
Ðàñïîëîæåíèå íà äèàãðàììå òî÷åê ðàíãàôèêñèðîâàíî. Âîçíèêàåò âîïðîñ: äàþò ëè òî÷êè ðàíãà00îãðàíè÷åíèÿ íà ðàñïîëî-æåíèå íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå áèôóðêàöèîííûõ äóã, êîòîðûå ìû ìîæåìïîëó÷èòü óêàçàííûìè áèôóðêàöèÿìè?0Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ èçó÷èì ïîäðîáíåå ðàñïîëîæåíèå òî÷åê ðàíãàíàëèñòàõ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà, à òàêæå âûÿñíèì, äàþò ëè òèïû òî÷åê ðàíãà0êàêèå-ëèáî îãðàíè÷åíèÿ íà ðàñïîëîæåíèå áèôóðêàöèîííûõ äóã íà áèôóðêàöè-îííîé äèàãðàììå. Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè.Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå äóãó òèïà êëþâ, íàì íåîáõîäèìî ëîêàëüíî èçìåíèòü òîëüêî ôóíêöèþf (r)(íàïðèìåð, íà îòðåçêå ìîíîòîííîñòè äîáàâèòü ê ôóíêöèè ïàðó: ëîêàëüíûé ìèíèìóì ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, ò.ê.
äëÿ íàëè÷èÿ êëþâà íà îòðåçêåâûïîëíåíèå óñëîâèÿf 0 (r1 ) = f 0 (r2 ) = 0,ìàíèïóëÿöèé ñ ôóíêöèåéV (r)[r1 , r2 ] íåîáõîäèìîñì. òåîðåìó 4). Ñëåäîâàòåëüíî, íèêàêèõäëÿ ïîëó÷åíèÿ êëþâà ïðîèçâîäèòü íå òðåáóåòñÿ.Ñëåäîâàòåëüíî, êëþâû íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü âëþáûõ êîëè÷åñòâàõ, à òàêæå â ëþáîé îáëàñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà. Äàëååíàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü áèôóðêàöèîííûå äóãè òèïà ëóíêà è ïàðàáîëà.Äàëåå, êîãäà ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü ñëîâîñî÷åòàíèÿ âîçíèêíîâåíèå äóãè è èñ÷åçíîâåíèå äóãè, ìû áóäåì èìåòü â âèäó âîçíèêíîâåíèå è èñ÷åçíîâåíèå âåðøèíû(ò.å. òî÷êè, ëåæàùåé íà îñèh)ñîîòâåòñòâóþùåé äóãè.Ñëó÷àé 1.
Òî÷êè (V (0), 0) è (V (L), 0) èìåþò òèï öåíòð-öåíòð.Òî÷êèr = 0èr = Lÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè ìèíèìóìàìè ïîòåíöèàëàÑëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò âíóòðåííèé ëîêàëüíûé ìàêñèìóì77V (r0 )V (r).ïîòåíöèàëà,r0 ∈ (0; L)(ñì.ðèñ.22). Òàê êàê ëîêàëüíîìó ìàêñèìóìó ïîòåíöèàëà îòâå÷àåò ãè-ïåðáîëè÷åñêàÿ äóãà íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå, òî ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Óòâåðæäåíèå 6 Ïóñòü ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ èìååò äâå îñîáûåòî÷êè ðàíãà0òèïà öåíòð-öåíòð.
Òîãäà:a) áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå äâå äóãè òèïà(êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò òî÷êó òèïà öåíòð-öåíòð) è îäíó äóãó òèïàb) ëîêàëüíî èçìåíÿÿ ôóíêöèèf (r)èV (r)AB;îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì, ìû ìî-æåì ïîëó÷èòü áèôóðêàöèîííûå äóãè òèïà ëóíêà è ïàðàáîëà â ëþáîé îáëàñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ìåæäó òî÷êàìè öåíòð-öåíòð (ñì.ðèñ.24à),ïðàâåå îáåèõ òî÷åê öåíòð-öåíòð (ðèñ.24b) èëè ëåâåå îáåèõ òî÷åê öåíòð-öåíòð(ðèñ.24c).Ðèñ. 24: âîçìîæíûå âèäû ôóíêöèèV (r)äëÿ ñèñòåìû, èìåþùåé äâå òî÷êè òèïàöåíòð-öåíòð.Êîììåíòàðèé. Ïóíêò b) óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ñîäåðæèò äâå îñîáûå òî÷êè ðàíãà0òèïà öåíòð-öåíòð, òî áèôóðêàöèîííûå êðèâûå ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ îòíîñè-òåëüíî ýòèõ òî÷åê ëþáûì äîïóñòèìûì (ñì.òåîðåìó 4 è îïèñàíèå ñëó÷àÿ îáùåãîïîëîæåíèÿ â ãëàâå 1.5) ñïîñîáîì.78Ñëó÷àé 2.
Òî÷êà (V (0), 0) èìååò òèï öåíòð-öåíòð, à òî÷êà (V (L), 0) èìååòòèï ôîêóñ-ôîêóñ.Åñëè ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðàr = r0 ,ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì ïîòåíöèàëà íà îòðåçêåòàêîå ÷òî[0; L]r0 ∈ (0, L)èV (r0 )(ñì.ðèñ.25), òî òî÷êè ôîêóñ-ôîêóñ è öåíòð-öåíòð ëåæàò íà ðàçíûõ ëèñòàõ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà. Ýòîíàáëþäåíèå ñëåäóåò èç àíàëèçà ðèñóíêà 25.Ðèñ. 25: âîçìîæíûé âèä ôóíêöèèV (r)äëÿ ñèñòåìû, èìåþùåé îäíó òî÷êó òèïàöåíòð-öåíòð è îäíó òî÷êó òèïà ôîêóñ-ôîêóñ.Èç ýòîãî íàáëþäåíèÿ âûòåêàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Ñëåäñòâèå 1.
Åñëè òî÷êè öåíòð-öåíòð è ôîêóñ-ôîêóñ ëåæàò íà îäíîì ëèñòåáèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà, òî âñå ëóíêè è ïàðàáîëû âîçíèêàþò (â ñëó÷àåëóíîê òàêæå èñ÷åçàþò) ìåæäó òî÷êàìè ðàíãà790(ñì.ðèñ.26a, b).Ðèñ. 26: ôóíêöèÿV (r)è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû äëÿ ñëó÷àÿ, åñëèòî÷êè öåíòð-öåíòð è ôîêóñ-ôîêóñ ëåæàò íà îäíîì ëèñòå áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.Ñëåäñòâèå 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
