Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ìåòêà r = 0 (ñì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1]). Ïðè h > h(b)òîð Ëèóâèëëÿ ïðîåêòèðóåòñÿ âî âñþ ñôåðó.  ýòîì ñëó÷àåQ3 ≈ RP 3 ,ò.å. ìåòêàr = 1/2.2 ñëó÷àé. Íà (a; b) ñóùåñòâóþò ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû ôóíêöèè V (r) (ðèñ.20b).S 2 . Ïóñòü ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ íîâûé âàðèàíò ïðîåêöèè òîðà Ëèóâèëëÿ íàýíåðãèÿV (r),h íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ëîêàëüíûìè ýêñòðåìóìàìè ôóíêöèèà èìåííî,hmin < h < hmaxêîëüöî (ïàðàìåòðóðàâíåíèÿrÒîãäà ïðîåêöèÿ òîðà Ëèóâèëëÿ íà ñôåðó ýòîìîæåò èçìåíÿòüñÿ âíóòðè îòðåçêàV (r) = h).Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå[r1 , r2 ],Q3 ≈ S 1 × S 2 ,ãäår1 , r2 êîðíèñëåäîâàòåëüíî, ìåòêàr = ∞.Çàòåì, ïðè óâåëè÷åíèè óðîâíÿ ýíåðãèèh,ïðèh > hmaxýôôåêò, âîçíèêàþùèéîò íåìîíîòîííîñòè ïîòåíöèàëà, ïðîïàäàåò.
Íàïðèìåð, åñëè, êàê íà ðèñóíêå 20b,h(a) ãëîáàëüíûé ìèíèìóì íàðàíãà0,[a; b]ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþèìåííî, íà èíòåðâàëåïîâåðõíîñòüQ3h(a, a + ε)(íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå ýòî òî÷êàr = a),ïîâåðõíîñòüñíîâà ÿâëÿåòñÿ ñôåðîéò.å. â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êèQ3 ýòî ñôåðà, òî ïðèa,àh > hmaxS 3.Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî òèï ïîâåðõíîñòèQ3öèîííîé äèàãðàììå, íå ñîäåðæàùåé îñîáûõ òî÷åê ðàíãà68äî ëóíêè íà áèôóðêà-0,è òèï ïîâåðõíîñòèQ3ïîñëå ëóíêè, ñîâïàäàþò. Äðóãèìè ñëîâàìè, ëóíêè íå âëèÿþò íà òèï èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Íà òèïÐèñ.
20: âèäû ïðîåêöèéQ3Q3hâëèÿþò òîëüêî îñîáûå òî÷êè ðàíãàíà ñôåðóS20.â çàâèñèìîñòè îò ôóíêöèèV (r).Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ïóíêòà d) òåîðåìû.Ìåòêà íà ðåáðåíîñòèQ3hA−Aïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì òèïîì ïîâåðõ-(ñì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1]). Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà íàìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ èìååò ðîâíî äâå îñîáûå òî÷êè ðàíãàýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì òî÷êàì, ýòîh1è0 (ñì. ëåììó 3). Ïóñòüh2 , h1 < h2 .Òîãäà, ïîëüçóÿñü ðå-çóëüòàòàìè ëåììû 22, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:åñëè ìîëåêóëàìåòêàrðàâíàA−Añîîòâåòñòâóåò ýíåðãèèòîQ3h ≈ S 1 × S 2 ,çíà÷èò,∞;ïðèh1 < h < h2ïðèh > h2èìååìQ3h ≈ S 3 ,ïîýòîìór = 0;èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüÂî âñåõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìåòêàòàöèþh < h1 ,Q3h .69Q3h ≈ RP 3 ,ε = +1,à çíà÷èò,r = 1/2.âûáðàâ ïîäõîäÿùóþ îðèåí-Íàì îñòàëîñü äîêàçàòü ïóíêò e), ò.å.
âû÷èñëèòü ìåòêónîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ìåòêóÐàçðåæåì ìíîãîîáðàçèåQ+äàåòñÿ íà äâà êóñêà:èn.Äëÿ ñèñòåì íà ìíîãî-ìîæíî âû÷èñëÿòü òîëüêî äëÿ ñåìüèQ3híà äâå ÷àñòè âäîëü ïîâåðõíîñòèVs − Vl (r = ∞).k = 0.Q− . Êàæäûé èç ýòèõ êóñêîâ èìååò òèï ïðÿìîãî ïðîèçâå-äåíèÿ (ñì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1]). ßñíî, ÷òî ñêëåéêàT0 = {H = h, K = 0}òîðóQ− )Îíî ðàñïà-äàåò ìíîãîîáðàçèåQ3h .Q+èQ−ïîÍà êîíöå êàæäîãî êóñêà (Q+ èíàõîäèòñÿ ñåäëîâîé àòîì. Âáëèçè ýòîãî àòîìà ïåðâûé áàçèñíûé öèêë íà òîðå ýòî ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà. ßñíî, ÷òî åñëèíà òîðàõ âQ+èQ−ñîîòâåòñòâåííî, òîλ+ è λ− ïåðâûå áàçèñíûå öèêëûλ+ = −λ− , ïîýòîìó ìàòðèöà ñêëåéêè èìååòâèä−1 0,p 1ãäåp íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî.
Èçâåñòíî, ÷òîìåíòàëüíóþ ãðóïïó ìíîãîîáðàçèÿñëó÷àå ýòîÅñëèQ+Q3h ≈ S 3 ,èQ3h ,pïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ôóíäà-ñêëååííîãî èç äâóõ ïîëíîòîðèé (â äàííîìQ− ), à èìåííî: π1 (Q3h ) = Zp . Ïîýòîìó, åñëè Q3h ≈ S 1 × S 2 , òî p = 0.òîp = 1.ÅñëèQ3h ≈ RP 3 ,òîp = 2.Òåïåðü, êîãäà ìû çíàåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî îñèðåáðåhVs −Vl , ìû ìîæåì ïîñ÷èòàòü ìåòêó n ïî îïðåäåëåíèþ (ñì. êíèãó À.Â.Áîëñèíîâà,À.Ò.Ôîìåíêî [1]):n =P[ αβii ] +èñõîäÿùèå ðåáðàñêëåéêè íà ðåáðåA − VlPâõîäÿùèå ðåáðà[− βδii ] +Pâíóòðåííèå ðåáðà[− αγii ].Òàê êàê ìàòðèöàðàâíà0 1M =,1 pVl − A èìååò âèä α β−p 1=.=γ δ1 0òî ìàòðèöà ñêëåéêè íà òîì æå ðåáðåM −1 ñèëó òîãî, ÷òî ìîëåêóëà ñèììåòðè÷íà, íî ñèììåòðè÷íûå ðåáðà70A − VlèVl − A,îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíûì îáðàçîì, òî ìàòðèöà íà ðåáðåÇíà÷èò, äëÿ âõîäÿùåãî ðåáðàβA − VlÒàêèì îáðàçîì, âêëàäû â ìåòêó0,èìååìòîçíà÷èò,Pn=ðàâíàp 1=.γ −δ1 0−αâêëàä â ìåòêóñèììåòðè÷íîãî åìó èñõîäÿùåãî ðåáðàäàþòVl − Aâíóòðåííèå ðåáðànVl − A,nðàâåí âêëàäó â ìåòêónîòíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.îò âõîäÿùèõ ðåáåð è îò èñõîäÿùèõ â ñóììåp] = p.[− αγii ] = [− −1Òàêèì îáðàçîì, åñëè äëÿQ3hh < min{h1 , h2 }, òî n = 0, åñëè h1 < h < h2 , òî n = 1, è åñëè h > max{h1 , h2 },n = 2.Òåîðåìà 6 äîêàçàíà..Ìû êëàññèôèöèðîâàëè âñå ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîìñ òî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
Âîçíèêàåò âîïðîñ: âñå ëè ñèñòåìûíà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì ðåàëèçóþòñÿ â êëàññå ñèñòåì íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì? Îòâåò äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 7 Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííîé ïàðîé (f (r), V (r)),íàéäåòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñèñòåìà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
Äðóãèìè ñëîâàìè, íàéäóòñÿ îáðàçóþùàÿ ôóíêöèÿf2 (r),çàäàþùàÿ ïîâåðõíîñòü âR3 ,è ïîòåíöèàëV2 (r), òàêèå ÷òî ñèñòåìà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, çàäàííàÿ ïàðîé(f2 (r), V2 (r)),ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå, çàäàííîé ïàðîéÄîêàçàòåëüñòâî.ðîé ôóíêöèé(f (r), V (r)).Ðàññìîòðèì ñèñòåìó íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííóþ ïà-(f (r), V (r)), r ∈ [0; L].Ñîãëàñíî ëåììå 1,f 0 (0) = +1, f 0 (L) = −1.Êðèòåðèåì âëîæåííîñòè ìíîãîîáðàçèÿ, çàäàííîãî ôóíêöèåéëåììå 2, ñëóæèò óñëîâèå|f 0 (r)| ≤ 1íà[0; L].f (r),âR3 ,ñîãëàñíîÏðîäåôîðìèðóåì ôóíêöèþf (r)òà-êèì îáðàçîì, ÷òîáû îíà ñòàëà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäíåìó óñëîâèþ ñ ñîõðàíåíèåìóñëîâèÿ íà çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé â êîíöàõ îòðåçêà.1) Íîðìèðóåì ôóíêöèþçíà÷åíèå0M = |fmax|f (r),à èìåííî, ïîäåëèì ôóíêöèþ íà ìàêñèìàëüíîååå ïðîèçâîäíîé íà îòðåçêå71[0; L].Ïîëó÷èìf1 (r) =f (r).
ÒîãäàMf1 (r)äëÿ ôóíêöèè[0; L],âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íà ìîäóëü ïðîèçâîäíîé:|f10 (r)| ≤ 1íàîäíàêî ïåðåñòàåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå íà çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé â êîíöàõîòðåçêà.f (r)2) Òàê êàêâ îêðåñòíîñòÿõ(0, ε)íîòîííû. À èìåííî,V (r)èè ôóíêöèè Ìîðñà, òî ñóùåñòâóåò(L − ε, L)f (r)êîíöîâ îòðåçêà[0; L]ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íàε > 0,ôóíêöèè(0, ε)f (r)òàêîå ÷òîèV (r)ìî-è ìîíîòîííî óáûâàåò íà(L − ε, L). Çàìåíèì ôóíêöèþ f1 (r) íà [0; L] íà ôóíêöèþ f2 (r) ñëåäóþùèì îáðàçîì:f2 (r) = f1 (r)íà(0, ε),íàïðè÷åì äëÿ âñåõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ(òàêóþ ôóíêöèþôóíêöèè[ε, L − ε], f20 (0) = +1, f20 (L) = −1, f2 (r)−x2eïðîìåæóòêåâûïîëíåíî:(k)(k)f2 (ε) = f1 (ε)f2 (r) ìîæíî ïîñòðîèòü, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ñêëåéêó ñ ïîìîùüþâ îêðåñòíîñòè òî÷êèr = ε).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì çàäàåìf2 (r)íà(L − ε, L).f2 (r)Ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ|f20 (r)| ≤ 1kìîíîòîííî âîçðàñòàåòíà[0; L]èáóäåò óäîâëåòâîðÿòü îáîèì òðåáóåìûì óñëîâèÿì:f20 (0) = +1, f20 (L) = −1.Îäíàêî òèï, êîëè÷åñòâî è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõîïðåäåëÿþòñÿ ïîâåäåíèåì ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëàUk (r) =k22f 2 (r)+ V (r)òî÷íî, ïîâåäåíèåì åãî ïðîèçâîäíîé, èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ôóíêöèåéòåîðåìó 4)), ò.å.
èçìåíèâ ôóíêöèþf (r)(áîëåå0 (r)f (r)Vf 0 (r)â îêðåñòíîñòÿõ êîíöîâ îòðåçêà[0; L],(ñì.ìûìîãëè èçìåíèòü ïîâåäåíèåUk (r) â ýòèõ îêðåñòíîñòÿõ. Ïîýòîìó ïåðâûì øàãîì íîð-ìèðóåì òîé æå êîíñòàíòîéMf (r)èV (r)ïîòåíöèàëV (r). Ïîâòîðèì, ÷òî òàê êàêM ôóíêöèè Ìîðñà, òî â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõêîíöîâ îòðåçêà ïîâåäåíèå ôóíêöèèíèòüñÿ íà ïðîìåæóòêàõôóíêöèþV (r): V1 (r) =V1 (r)áû ôóíêöèè(δ, ε)èUk (r)(0, δ), δ ≤ ε(è(L − δ, L))íå èçìåíèëîñü, îäíàêî îíî ìîãëî èçìå-(L − ε, L − δ).(ïîëó÷èì íîâóþ ôóíêöèþÅñëè ýòî ïðîèçîøëî, ïîäïðàâèìV2 (r))íà ýòèõ ïðîìåæóòêàõ òàê, ÷òî-f2 (r)V20 (r)f (r)V 0 (r)èèìåëè îäèíàêîâûé õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè íà ýòèõf 0 (r)f20 (r)ïðîìåæóòêàõ. ðåçóëüòàòå ïðîèçâåäåííûõ èçìåíåíèé íàä ôóíêöèÿìè(f2 (r), V2 (r))èçìåíè-ëîñü ðàñïîëîæåíèå êðèâûõ, îïðåäåëåííûõ â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ êîíöîâ îòðåçêà,ò.å. íà ïðîìåæóòêàõ(0, ε)è(L − ε, L).Èññëåäóåì ïîäðîáíåå ýòè èçìåíåíèÿ.72Ïåðâûé ñëó÷àé: êîíåö îòðåçêàr=0(è/èëèr = L) òî÷êà òèïà ôîêóñôîêóñ.Çíà÷èò, ìû ìåíÿëè áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó â îêðåñòíîñòè èçîëèðîâàííîãîîñîáîãî çíà÷åíèÿ ðàíãàε0 < ε,âûáåðåì0.Òàê êàê çíà÷åíèå èçîëèðîâàííîå, òî ïðè íåîáõîäèìîñòèòàêîå ÷òî íà ïðîìåæóòêå(0, ε0 )íå îïðåäåëåíà íè îäíà áèôóðêà-öèîííàÿ äóãà.
Çíà÷èò, íè îäíà áèôóðêàöèîííàÿ äóãà (êðîìå, âîçìîæíî, äóãè íàïðîìåæóòêå(L − ε, L))íå èçìåíèëàñü ïðè íàøèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.Âòîðîé ñëó÷àé: êîíåö îòðåçêàr=0(è/èëèr = L) òî÷êà òèïà öåíòðöåíòð.Çíà÷èò, ìû ìåíÿëè áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó â îêðåñòíîñòè îñîáîãî çíà÷åíèÿðàíãà0,ñîîòâåòñòâóþùåãî òî÷êå òèïà öåíòðöåíòð. Ìû çíàåì, êàê óñòðîåíà äèà-ãðàììà (è êîìïëåêñ) â îêðåñòíîñòè öåíòðà: ýòî âñåãäà äóãà òèïàîñîáîå çíà÷åíèå ðàíãàA,ñîäåðæàùàÿ0. Ïîýòîìó, ïðè íàøèõ èçìåíåíèÿõ â îêðåñòíîñòè (0, ε) ìîã-ëà èçìåíèòü ñâîå ðàñïîëîæåíèå (íî íå òèï) ëèøü îäíà áèôóðêàöèîííàÿ äóãà äóãà òèïàA,ñîäåðæàùàÿ èçîëèðîâàííîå îñîáîå çíà÷åíèå.Âûÿñíèì, êàê ñèëüíî ìîãëî èçìåíèòüñÿ ìåñòîïîëîæåíèå äóãèAâ ñëó÷àå2.Áèôóðêàöèîííûå äóãè çàäàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (ñì.
òåîðåìó 4).Êëþ÷åâîé ôóíêöèåé â ýòèõ óðàâíåíèÿõ, êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ÿâëÿåòñÿf (r)V 0 (r)/f 0 (r).Ïðè íîðìèðîâêå íàíî çàòåì ìû ïîäïðàâëÿåìíèå ôóíêöèès(r).f 0 (r)Mïîâåäåíèå ýòîé ôóíêöèès(r)s(r) =íå ìåíÿåòñÿ, ýòà ôóíêöèÿ ìîæåò ñèëüíî èçìåíèòü ïîâåäå-Îäíàêî íà ïðîìåæóòêå(0, ε)èìååì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ:f 0 (0) = +1, |f 0 (r)| ≤ 1 (ÿñíî, ÷òî âòîðîãî óñëîâèÿ âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ), à òàêæåôóíêöèÿf (r) ìàëà (ò.ê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
