Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ïðèíà(r1i , r2i )A,ïî äóãå òèïà(r1i ), 0)),ëåæàùåéïàðàìåòð ïðîáåãàåò ëóíêó, äâèãàÿñü îòçàòåì ïî äóãå òèïàBäî òî÷êè(V (r2i ), 0);åñëèòî äâèæåíèå ïî äóãå ïðîèñõîäèò â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.f HrLrr11r12r21r22r31r32VHrLrr11r12kVHr21 Lr21r22 r31r32kkhaL r Î Hr11 ,r12 D: f ¢Hr11 L=V ¢Hr12 L=0hbL r Î Hr31 ,r32 L: f ¢Hr31 L= f ¢Hr32 L=0VHr2i Lrji ;êëþâ:b) äóãà òèïà ïàðàáîëà:hcL r Î @r21 ,r22 D: V ¢Hr21 L=V ¢Hr22 L=0Ðèñ. 6: òèïû áèôóðêàöèîííûõ äóã: a) ïîâåäåíèå ôóíêöèéòî÷åêVHr23-i Lf (r) è V (r) â îêðåñòíîñòèr ∈ (r11 , r21 ] : f 0 (r11 ) = V 0 (r21 ) = 0;r ∈ (r13 , r23 ) : f 0 (r13 ) = f 0 (r23 ) = 0;d) äóãà òèïà ëóíêà:V 0 (r22 ) = 0.37c) äóãà òèïàr ∈ [r12 , r22 ] : V 0 (r12 ) =Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì ïóíêò 1).Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèèk 2 (r)V 0 (r)1=− 0 .F (r) := 2 , a(r) :=f (r)2F (r)Äëÿ òîãî, ÷òîáû êðèâàÿ áûëà ðåãóëÿðíà âa0 (r)íå ñòðåìèëàñü êr → rjiÒàê êàêè ïóñòüF (r)íàäî ÷òîáû ïðèr → rjiôóíêöèÿ0.a0 (r) = −ÏóñòüU (rji ),V 00 (r)F 0 (r) − V 0 (r)F 00 (r)F 0 (r)2F 0 (rji ) = 0.
ôóíêöèÿ Ìîðñà, òîÏîýòîìó â îêðåñòíîñòè òî÷êèrji ,F 00 (rji ) 6= 0.ïîëîæèâÒàêæår̃ = r − rji ,V 0 (rji ) 6= 0.èìååì:F (r̃) = a0 + a1 r̃2 + o(r̃2 ), V (r̃) = c0 + c1 r̃ + c2 r̃2 + o(r̃2 ), a1 6= 0, c1 6= 0,ïîýòîìó1 +2c2 r̃)2a1 r̃a0 (r̃) ∼ − 2c2 ·2a1 r̃−(c=(2a1 r̃)2 )Ïóñòü òåïåðür→0V 0 (0) = 0, F 0 (0) = 1,ñòè0(àíàëîãè÷íîèc12a1 r̃→∞=6 0.r → L):V 00 (0) 6= 0 (V (r) ôóíêöèÿ Ìîðñà) ïîýòîìó â îêðåñòíî-èìååìF (r) = a0 + 1 · r + a2 r2 + o(r2 ), V (r) = c0 + c1 r2 + o(r2 ), c1 6= 0,ïîýòîìóa0 (r) =2c1 r·2a1 −2c1 (2a1 r+1)|r=0(2a2 r+1)2= −2c1 6= 0.Ïóíêò 2) ñëåäóåò èç ïóíêòîâ 1) è 2) ëåììû 8 è èç ëåììû 9.Ïóíêò 3) ñëåäóåò èç ëåììû 10.Äîêàæåì ïóíêò 4).Åñëè íà êîíöàõ èíòåðâàëàèìååìk(r) → +∞.(r1i , r2i ) : f 0 (r1i ) = f 0 (r2i ) = 0,Ñëåäîâàòåëüíî, èH(r) → +∞.òî ïðèr → r1i (r2i )Òî åñòü îáà êîíöà ñîîòâåòñòâó-þùåé áèôóðêàöèîííîé êðèâîé óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü ïî îáåèì êîîðäèíàòàì ïðèñòðåìëåíèèrê êîíöàì èíòåðâàëà(r1i , r2i ).äèàãðàììå äóãó òèïà êëþâ.38Çíà÷èò, ìû èìååì íà áèôóðêàöèîííîéÏóñòü íà êîíöàõ èíòåðâàëàèH(r) → +∞r → r1i ,ïðèáåñêîíå÷íîñòü.
À ïðè(r1i , r2i ) : f 0 (r1i ) = 0, V 0 (r2i ) = 0.k → +∞Òîãäàò.å. áèôóðêàöèîííàÿ äóãà îäíèì êîíöîì óõîäèò íàr → r2iïîëó÷àåìk → 0, H(r) → H(r2i ),áèôóðêàöèîííîé äóãè ýòî òî÷êà, ëåæàùàÿ íà îñèh.ò.å. äðóãîé êîíåö ýòîì ñëó÷àå èìååì íàáèôóðêàöèîííóþ äóãó òèïà ïàðàáîëà.Íàêîíåö, åñëèèíòåðâàëà(r1i , r2i )V 0 (r1i ) = 0V 0 (r2i ) = 0,èh.ëåæàò íà îñèÏîêàæåì òåïåðü, ÷òî â òî÷êàõòî îáà êîíöà áèôóðêàöèîííîé äóãè äëÿÝòîò ñëó÷àé îïèñûâàåò äóãó òèïà ëóíêà.r,V 0 (r) = 0ãäåèr 6= r(P ) (P ïîëþñ), áèôóð-êàöèîííûå äóãè ãëàäêèå.ÏóñòüV 0 (r1 ) = 0.Òîãäàf 0 (r1 ) 6= 0. òåðìèíàõ ôóíêöèéF (r)èV (r)áèôóðêà-öèîííûå äóãè ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:a(r) = − òî÷êår1èìååì òî÷êår1V 0 (r1 ) = 0,èìååìV 0 (r), H(r) = a(r)F (r) + V (r).F 0 (r)ïîýòîìóV 0 (r1 ) = 0,a(r1 ) = 0.ïîýòîìóa(r1 ) = 0.00 (ra0 (r1 ) = − VF 00 (r11)) 6= 0, ò.ê.
V (r) ôóíêöèÿ Ìîðñà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñäåëàòüçàìåíóh = h(a) = h(k 2 ).Èìååìa = 0, h0r = a0r · F 6= 0,Òàê êàêa(k) = k 2 ,h0a =h0ra0r= F > 0,ñëåäîâàòåëüíî,òîh ∼ a ∼ k2.h(k 2 ) ∼ c · k 2 .Çíà÷èò, â òî÷êår1äóãà èìååò âèäïîýòîìó â ýòîé òî÷êå äóãà ãëàäêàÿ.Äîêàæåì ïóíêò 5) òåîðåìû.a) Äëÿ äóãè òèïà êëþâ íà êîíöàõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ(r1i , r2i )èìååìf 0 (r1i ) =f 0 (r2i ) = 0, ïîýòîìó ôóíêöèÿ k(r) âûãëÿäèò òàê, êàê íà ðèñóíêå 7a. Ïóñòü V 0 (r) > 0íà(r1i , r2i ).Èçîáðàçèì ñõåìàòè÷åñêè, ïîëüçóÿñü ëåììîé 4, ãðàôèê ôóíêöèèäëÿ íåêîòîðîãîk0 > k ∗ ,ãäåk∗ íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèèÃðàôèê ïîêàçàí íà ðèñóíêå 7b.
Ëîêàëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèèòî÷êå íà äóãå òèïàäóãå òèïàïðèB.Aíà(r1i , r2i ).Uk0 (r) ñîîòâåòñòâóåòáèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ëîêàëüíûé ìàêñèìóì òî÷êå íàÌû âèäèì, ÷òî ïðèH = hlocmax ,k(r)Uk0 (r)H = hlocminò.å. ïåðåñåêàÿ êëþâ ïðÿìîé39çíà÷åíèå ïàðàìåòðàk = k0 ,ráîëüøå, ÷åìïåðåñå÷åíèå ñ äóãîé òèïàBïðîèñõîäèò ïðè íàèìåíüøåì çíà÷åíèè ïàðàìåòðàíà÷èíàåòñÿ èç áåñêîíå÷íîñòè ïî äóãå òèïàBr.Çíà÷èò, äâèæåíèå ïî êëþâó(ñì.ðèñ.7d).
ÏðèV 0 (r) < 0èìååìäâèæåíèå ïî êëþâó â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè (ñì.ðèñ.7c,e).kHrLaLk0k*rri1ri2r2r1Uk0 HrLkABk0bLr2dLV ¢> 0Ari1r1 < r2rhri2r2r1r1BUk0 HrLkBAk0cLV ¢< 0eLAr1r2Br1 < r2rri1r1r2Ðèñ. 7: ïîâåäåíèå ïàðàìåòðàríà áèôóðêàöèîííîé äóãå òèïà êëþâ.b) Ïóñòü äëÿ äóãè òèïà ïàðàáîëàöèèk(r)hri2V 0 (r1i ) = 0. ýòîì ñëó÷àå ïîâåäåíèå ôóíê-èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 8a, ò.å. â ìàëîé îêðåñòíîñòè(r1i , r1i + ε)èìååìk 0 (r) > 0. Ñîãëàñíî ëåììå 5, â ýòîé îêðåñòíîñòè h0 (r) > 0, ïîýòîìó âåêòîð ñêîðîñòèíà ïàðàáîëå ïðè äâèæåíèè îò å¼ âåðøèíû, ëåæèò â ïåðâîé ÷åòâåðòè. Ò.å. óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðàríà÷èíàåòñÿ îò âåðøèíû (ñì.ðèñ.8b).
 ñëó÷àå, åñëèèìååì äâèæåíèå â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó (ñì.ðèñ.8c,d).40V 0 (r2i ) = 0Ðèñ. 8: ïîâåäåíèå ïàðàìåòðàríà áèôóðêàöèîííîé äóãå òèïà ïàðàáîëà.ñ) Ïóñòü íà äóãå òèïà ëóíêà, îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëåóñëîâèåV 0 (r) > 0.h,âûïîëíåíîÏîëüçóÿñü àíàëîãè÷íûìè ïóíêòó a) ðàññóæäåíèÿìè, ïîëó÷àåì,÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðàíà îñè(r1i , r2i ),ïî äóãå òèïàA.Ïðèräâèæåíèå ïî äóãå íà÷èíàåòñÿ èç òî÷êè, ëåæàùåéV 0 (r) < 0äâèæåíèå ïî äóãå ïðîèñõîäèò â ïðîòèâî-ïîëîæíóþ ñòîðîíó (ñì.ðèñ.9a-e)..41Ðèñ.
9: ïîâåäåíèå ïàðàìåòðàríà áèôóðêàöèîííîé äóãå òèïà ëóíêà.Îòìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿëîêàëüíîãî ìàêñèìóìàri ,k0ñóùåñòâóåò áîëüøå äâóõ òî÷åêâ êîòîðûõ çíà÷åíèÿ ôóíêöèèUk0 (ri )ñîâïàäàþò, òî åñòüíà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé è íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå (ñì.îïðåäåëåíèå 22) âíåêîòîðîé òî÷êå ïåðåñåêàþòñÿ áîëüøå äâóõ äóã òèïà B, òî â ïðîîáðàçå ýòîé òî÷êèáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðîèñõîäèò ãèïåðáîëè÷åñêàÿïåðåñòðîéêà, èìåþùàÿ òèïVk(ñì.ëåììó 21).Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðà ôóíêöèé(f (r), V (r)), çàäàþùèõ ñèñòåìó íà ìíî-ãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 4.421.4Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äóã áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû ýòîì ïàðàãðàôå èçó÷èì âîïðîñ î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè áèôóðêàöèîííûõ äóã:îá èõ ïåðåñå÷åíèè äðóã ñ äðóãîì è î ñàìîïåðåñå÷åíèè.Èç òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè âîçâðàòà ýòî òî÷êèk 0 (r∗ ) = 0.(h(r∗ ), k(r∗ ))òàêèå, ÷òîÒàêèì îáðàçîì, ðåãóëÿðíûå ÷àñòè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé çàäàíû íàîáëàñòèN−1G∗(ri∗ , ri+1),i=0∗= r2r0∗ = r1 , rNãäåè êàæäîìó èíòåðâàëó èç∗)(ri∗ , ri+1îòâå÷àåò ãëàäêàÿ êðèâàÿñ êîíöàìè â òî÷êàõ âîçâðàòà (â ñëó÷àå ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî èíòåðâàëîâ îäèí èçêîíöîâ êðèâûõ ìîæåò óõîäèòü â áåñêîíå÷íîñòü).Îòâåòèì íà ñëåäóþùèå âîïðîñû: ìîæåò ëè êðèâàÿ, îïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå∗),(ri∗ , ri+1ñàìîïåðåñåêàòüñÿ? ìîãóò ëè ïåðåñåêàòüñÿ êðèâûå, îïðåäåëåííûå íà ñî-ñåäíèõ èíòåðâàëàõ? ìîãóò ëè ïåðåñåêàòüñÿ êðèâûå, îïðåäåëåííûå íå íà ñîñåäíèõèíòåðâàëàõ? ìîãóò ëè ïåðåñåêàòüñÿ áåñêîíå÷íûå õâîñòû êðèâîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèh?Ëåììà 12 Ïîääóãà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé (ñì.îïð.12), îïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå∗),(ri∗ , ri+1íå ìîæåò ñàìîïåðåñåêàòüñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü êðèâàÿ ñàìîïåðåñåêàåòñÿ (ñì.ðèñ.10), òîãäà íà íåé ñó-ùåñòâóþò òî÷êè, â êîòîðûõ âåêòîð ñêîðîñòè íå ïðèíàäëåæèò13èëè÷åòâåðòè.Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ óòâåðæäåíèåì ëåììû 5.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êðèâàÿ ñàìîïåðåñåêàåòñÿ, òî ó íåå ñóùåñòâóþò òàêèå äâà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà÷òîγ(t0 ) = γ(t1 ).Òîãäà õîòÿ áû â êàêîé-òî òî÷êå íà îòðåçêå[t0 , t1 ]âåêòîð îáÿçàí áóäåò âûéòè çà ïðåäåëû ïåðâîé èëè òðåòüåé ÷åòâåðòè.43t0 , t1 ,òàêèåêàñàòåëüíûé.Ðèñ. 10: áèôóðêàöèîííàÿ äóãà ñ ñàìîïåðåñå÷åíèåìËåììà 13 Ñîñåäíèå ïîääóãè îäíîé è òîé æå äóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé (ò.å.äóãè, îïðåäåëåííûå íà ñîñåäíèõ èíòåðâàëàõ, ðàçäåëåííûõ òî÷êîé âîçâðàòà) íå ïåðåñåêàþòñÿ .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòük(a) = k(b) = k0 ,ãäåa, b çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðàrññîñåäíèõ èíòåðâàëîâ (ñì. ðèñóíîê 11).Íà èíòåðâàëå(a, b) ãðàôèê ôóíêöèè k(r) íàõîäèòñÿ ïîëíîñòüþ ïîä ïðÿìîé k =k0 , ëèáî ïîëíîñòüþ íàä íåé (ò.ê.
a è b ñîñåäíèå êîðíè óðàâíåíèÿ k(r) = k0â ñèëóòîãî, ÷òî ýòè òî÷êè îòâå÷àþò ñîñåäíèì êðèâûì). Òîãäà ïî ëåììå 4 ôóíêöèÿUk0 (r)ìîíîòîííà íàçíà÷åíèék(b)èaèb(a, b).(ñì. ðèñ.11), ïîýòîìóïàðàìåòðàh(a) = h(b)r,Uk0 (a) 6= Uk0 (b),òî åñòü íå ñóùåñòâóåòïðèíàäëåæàùèõ ñîñåäíèì ïîäèíòåðâàëàì, ÷òîîäíîâðåìåííî. Ýòî è îçíà÷àåò òðåáóåìîå..k 2 HrLk02Uk0 HrLIIIabIIIIVrUHaLUHbLIaIIIIIIVrbÐèñ. 11: èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 13.44k(a) =Ëåììà 14 Ðåãóëÿðíûå ó÷àñòêè (ïîääóãè) îäíîé è òîé æå äóãè áèôóðêàöèîííîéêðèâîé, íå ÿâëÿþùèåñÿ ñîñåäíèìè (ò.å. íå èìåþùèå îáùåé òî÷êè âîçâðàòà), ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, ïðè÷åì ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ äóãè âñåâîçìîæíûõ òèïîâ: À ñÀ, À ñ  è  ñ Â.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðèâåäåì ïðèìåðû, êàê ìîãóò âûãëÿäåòü ãðàôèêè ôóíêöèék(r) è Uk0 (r), ÷òîáû ðåàëèçîâûâàëèñü âñå âèäû ïåðåñå÷åíèé äóã: ñì.
ðèñóíîê 12a,b,c.Áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ, ðåàëèçóþùàÿ ñðàçó âñå òèïû ïåðåñå÷åíèé, ïîêàçàíà íàðèñóíêå 12d..k 2 HrLk 2 HrLk02k02Uk0 HrLraLUk0 HrLrrrbLk 2 HrLk02AUk0 HrLrBABcLrÐèñ. 12: a)-c) âîçìîæíûé âèä ãðàôèêîâ ôóíêöèédLk 2 (r) è Uk0 (r), ðåàëèçóþùèõ ðàç-ëè÷íûå òèïû ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã; d) áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ, ðåàëèçóþùàÿ âñå âîçìîæíûå òèïû ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã.45Ëåììà 15 Äâà áåñêîíå÷íûõ õâîñòà (ò.å. äâà íåîãðàíè÷åííûõ ðåãóëÿðíûõ ó÷àñòêà) îäíîé è òîé æå äóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé (ýòî äóãà òèïà êëþâ, òàê êàêõâîñòû ïàðàáîëû, î÷åâèäíî, íå ïåðåñåêàþòñÿ â ñèëó òîãî, ÷òî ëåæàò â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ) íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèhè ïîkà çíà÷èò, è(òàê êàê õâîñòû óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü ïîîäíîâðåìåííî).Äîêàçàòåëüñòâî.(r1 , r2 ).hk,Íàðèñóåì òèïè÷íûé âèä ãðàôèêà ôóíêöèèk(r)íà èíòåðâàëåÝòà ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ íà ýòîì èí-òåðâàëå.
Ôèêñèðóåì çíà÷åíèåk0áîëüøåå ñàìîãî áîëüøîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.Òîãäà ãðàôèê ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîéñòâóþò çíà÷åíèÿìaèbïàðàìåòðàäóãå áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, àk = k0r,r=bðîâíî â äâóõ òî÷êàõ, êîòîðûå ñîîòâåò-ïðè÷åìUk0 (a) 6= Uk0 (b)è, çíà÷èò,ïðèíàäëåæèò ïåðâîé ãëàäêîé ïîñëåäíåé.  ñèëó òîãî, ÷òî ïåðåñå÷åíèéðîâíî äâà, ïîëüçóÿñü ëåììîé 4, ïîëó÷àåì, ÷òîïîýòîìór=ah(a) 6= h(b)Uk0 (r) ìîíîòîíåí íà èíòåðâàëå (a, b),(ñì.ðèñ.13)..k 2 HrLk02arbUk0 HrL UHaLUHbLabrÐèñ. 13: èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 15.Òåïåðü îòâåòèì íà âîïðîñ: ìîãóò ëè ïåðåñåêàòüñÿ ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå äóãèáèôóðêàöèîííîé êðèâîé (ò.å.
äóãè, ïàðàìåòðèçîâàííûå ðàçíûìè èíòåðâàëàìèîáëàñòèIèçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé)?46IiËåììà 16 Äâå äóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ïàðàìåòðèçîâàííûå èíòåðâàëàìè(r1i , r2i ) 6= (r1j , r2j ) ìîãóò òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàòüñÿ íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå, ò.å. èìåòü îáùóþ òî÷êó, ïðè÷åì ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ëþáûå èõ ðåãóëÿðíûåïîääóãè: À ñ À, À ñ Â,  ñ Â.Äîêàçàòåëüñòâî.bÏåðåñå÷åíèå äâóõ äóã îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿñ ðàçíûõ îòðåçêîâ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, òàêèå, ÷òîUk0 (r).Ìû õîòèì, ÷òîáûUk0 (a) = Uk0 (b)ìåð ãðàôèêà ôóíêöèèÍàðèñóåìUk0 (r) (ò.ê. èìåííî òî÷êè ýêñòðåìóìàk(r) = k0 ).ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿè òî åñòü ìû õîòèì ñîâïàäåíèÿ çíà÷å-íèé â äâóõ ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìàõ ãðàôèêàUk0 (r)k(a) = k(b) = k0 .aÍà ðèñóíêå 14a ïðèâåäåí ïðè-Uk0 (r), äëÿ êîòîðîãî ðåàëèçóþòñÿ âñå òèïû ïåðåñå÷åíèé äóã,óêàçàííûå â óñëîâèè. Íà ðèñóíêå 14b ïðèâåäåí ïðèìåð êðèâûõ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû, èìåþùèõ ïåðåñå÷åíèÿ äóã A-A, A-B è B-B..Uk0 HrLmaxh3maxmaxh2minh1minminr0LaLAABBbLÐèñ.
14: âåðõíèé ðèñóíîê ãðàôèê ôóíêöèèUk0 (r), äëÿ êîòîðîãî ðåàëèçóþòñÿ âñåòèïû ïåðåñå÷åíèé äóã èç óñëîâèÿ ëåììû 16; íèæíèé ðèñóíîê ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, îòâå÷àþùàÿ ãðàôèêó ôóíêöèèïåðåñå÷åíèé äóã èç óñëîâèÿ ëåììû 16.47Uk0 (r)è ðåàëèçóþùàÿ âñå òèïûÂûâîä. ïàðàãðàôàõ 1.2 è 1.3 èññëåäîâàíî, èç êàêèõ òèïîâ äóã ìîæåò ñîñòî-ÿòü áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà.  ïàðàãðàôå 1.4 èçó÷åíî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåýòèõ äóã. Êàê ñëåäñòâèå, áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû, ïðèâåäåííûå íà ðèñóíêàõ,èëëþñòðèðóþùèõ òåîðåìó 4, íå åäèíñòâåííûå âîçìîæíûå. Âîçìîæíû òàêæå ëþáûå øåâåëåíèÿ ýòèõ äèàãðàìì, äîïóñêàþùèå âñåâîçìîæíûå ïåðåñå÷åíèÿ êðèâûõäðóã ñ äðóãîì, óäîâëåòâîðÿþùèå ëåììàì 1216.1.5Ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ìû ïîëíîñòüþ èññëåäîâàëè óñòðîéñòâî áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
