Главная » Просмотр файлов » Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле

Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 3

Файл №1105029 Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле) 3 страницаТопологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029) страница 32019-03-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Âûáåðåì íàMϕγ0 ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿâäîëü îðáèòäåçè÷åñêèå. Äëÿ ëþáîé òî÷êèϕmod2π , òàêîå ÷òîãåîäåçè÷åñêîéíàòûγϕ ,(èçâåñòíî, ÷òî èõ ðîâíî äâå, ñì. êíèãó À.Áåññåñïåöèàëüíûå êîîðäèíàòû (íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû ) ñëåäó-þùèì îáðàçîì. Ïóñòü(ò.å. ñäâèãè íà óãîëM ≈ S2S 1 -äåéñòâèÿ)m ∈ M \ {N, S}m ∈ Rϕ (γ0 ) = γϕ .ñîåäèíÿþùåé òî÷êèNèm.S.RϕÈçîìåòðèèïåðåâîäÿò ãåîäåçè÷åñêèå â ãåî-ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåÎïðåäåëèì ïàðàìåòðNèÒîãäà òî÷êàmrêàê äëèíó îòðåçêàáóäåò èìåòü êîîðäè-(r, ϕ).Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. êíèãó À.Áåññå [23]), ÷òî ìåòðèêógìîæíî çàïèñàòü â âèäåds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 ,ãäåf (r) : [0, L] → Räëèíà ãåîäåçè÷åñêîé íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ïîëîæèòåëüíàÿ íàγ0 .[0, L],f (0) = f (L) = 0.Òàêæå âûïîëíåíû óñëîâèÿðàññìàòðèâàòü ãëàäêèå ôóíêöèèf (r).ÏóñòüV (r)(0, L),ãäåLÌû áóäåì ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêåíàçîâåì å¼ ïîòåíöèàëîì.Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ìåòðèêà íà ìíîãîîáðàçèèMðåãóëÿðíà âíå ïîëþñîâ.

Ñôîð-ìóëèðóåì óòâåðæäåíèå î òîì, êîãäà ìåòðèêà íàMáóäåò ÿâëÿòüñÿ ãëàäêîé â ïî-ëþñàõ.Êîììåíòàðèé. Óïîòðåáëÿåìûé çäåñü òåðìèí ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ îòíþäü íå îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåðõíîñòüMäûâàòüñÿ â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîñ ìåòðèêîéR3ds2îáÿçàòåëüíî äîëæíà âêëà-â âèäå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãäåds2èíäóöèðóåòñÿ îáúåìëþùåé åâêëèäîâîé ìåòðèêîé. Áîëåå òîãî, èçâåñòíû ïðèìåðû, êîãäà ýòî íå òàê (ñì.áîëåå ïîäðîáíî ëåììó 2). Íàïðèìåð, èçâåñòåí öåëûéêëàññ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, íå âêëàäûâàþùèõñÿ âR3 ,ÿâëÿþùèõñÿ ìíîãîîáðà-çèÿìè Áåðòðàíà (ñì. ðàáîòó Å.À.Êóäðÿâöåâîé è Ä.À.Ôåäîñååâà [30]).

 ñëó÷àå,åñëè ìíîãîîáðàçèåMâêëàäûâàåòñÿ âR3 ,äî îñè âðàùåíèÿ.15ôóíêöèÿf (r)èìååò ñìûñë ðàññòîÿíèÿËåììà 1 (À.Áåññå [23]). Ìåòðèêà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ M è ôóíêöèÿ V (r)íà íåì ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè â ïîëþñàõ (ò.å. â òî÷êàõñòâóþò ãëàäêèå ôóíêöèèïðÿìîé1)R,òàêèå ÷òîF = F (r)èW = W (r),F |[0,L] = f, W |[0,L] = Vr=0èr = L),åñëè ñóùå-îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîéè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:F (−r) = −F (r) = F (2L−r), ò.å. ôóíêöèè F (r) è F (L+r) íå÷åòíû (èëè, ÷òîýêâèâàëåíòíî, ôóíêöèÿF (r) ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì2Lè íå÷åòíà) èF 0 (0) =1, F 0 (L) = −1;2)W (−r) = W (r) = W (2L − r),÷òî ýêâèâàëåíòíî, ôóíêöèÿW (r)ò.å. ôóíêöèèW (r)èW (L + r) ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì2L÷åòíû (èëè,è ÷åòíà).Êîììåíòàðèé.

Íà ñàìîì äåëå, ôóíêöèè F (r) è W (r) íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîéíàì â äàëüíåéøåì íå ïîíàäîáÿòñÿ. Èõ ñóùåñòâîâàíèå âàæíî ëèøü â îêðåñòíîñòè êîíöîâ îòðåçêàV (r).è[0, L]äëÿ ïðîâåðêè ÷åòíîñòè è íå÷åòíîñòè ôóíêöèéf (r)Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òîáû ôóíêöèèV (r)ïðîäîëæàëèñü â îêðåñòíîñòè êîíöîâ îòðåçêà[0, L]èf (r)äîëæíûì îáðàçîì.Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèèT ∗MêMñî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîéω = dp ∧ dqè ôóíêöèåéÃàìèëüòîíà1H = g ij (q)pi pj + V (q),2ãäåq = (q 1 , q 2 ) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íàþùèå èìïóëüñû, ò.å. êîîðäèíàòû âìåòðèêèTq∗ M ,à(1)M ≈ S 2 , p = (p1 , p2 )g ij ñîîòâåòñòâó- ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöåg.Îïðåäåëåíèå 9 Ïóñòü (M, g) ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ ñ ìåòðèêîé âðàùåíèÿds2 = dr2 +f 2 (r)dϕ2 . Ïóñòü ôóíêöèè f (r), r ∈ [0, L], è V (r), r ∈ [0, L], óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 1.

Òîãäà áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïàðà ôóíêöèé[0, L],(f (r), V (r)), r ∈çàäàåò íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ(M, g).Îòìåòèì, ÷òî ìíîãîîáðàçèå(M, g)íå âñåãäà âêëàäûâàåòñÿ â16R3 ,ò.å. îíî íå îáÿçà-òåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ.

Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèé êðèòåðèé.Ëåììà 2 (M.Engman [25]). Ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ (M, g) èçîìåòðè÷íî C 1 -âêëàäûâàåòñÿâR3òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf 0 (0) = 1, f 0 (L) = −1è|f 0 (r)| ≤ 1äëÿ âñåõr ∈ [0, L].Çàìå÷àíèå.ôóíêöèÿ ñëó÷àå, êîãäà ìíîãîîáðàçèåu(r),ùåíèåì êðèâîéòàêàÿ ÷òîf 0 (r)2 + u0 (r)2 = 1,(f (r), u(r)) ∈ R2 (x, z)Mâêëàäûâàåòñÿ âè ïîâåðõíîñòüâîêðóã îñèOz ,MR3 ,ñóùåñòâóåòïîëó÷àåòñÿ âðà-ò.å. ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:(f (r)cosϕ, f (r)sinϕ, u(r)), r ∈ [0, L], ϕ ∈ [0, 2π].Âñþäó äàëåå â ñòàòüå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèèf (r), V (r), r ∈ [0, L]óäîâëå-òâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 1.Óòâåðæäåíèå 1 Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1) íà ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ äëÿ âñåõ ïàð(f (r), V (r))ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé â ñìûñëå Ëè-óâèëëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñèñòåìû ÷åòûðåõìåðíî êàæäàÿ åãî òî÷êà çàäàåòñÿ êîîðäèíàòàìè(pr , pϕ , r, ϕ),ãäå(pr , pϕ ) èìïóëüñû òî÷êè,(r, ϕ) êîîðäèíàòûòî÷êè.2) Ñèñòåìà èìååò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà:èíòåãðàë ýíåðãèèH=p2ϕp2r+ 2+ V (r)22f (r)è äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàëèíòåãðàëKK = pϕ(òàê êàêṗϕ = − ∂H=0).∂ϕÎòìåòèì, ÷òîîïðåäåëåí íà âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, â òîì ÷èñëå, â ïîëþñàõ.173) Äâèæåíèå òî÷êè ïî ìíîãîîáðàçèþ âðàùåíèÿ, çàäàííîìó ôóíêöèåéïîëå äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëàV (r)f (r),âçàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà:ṗi = −∂H∂H, q˙i =∂qi∂piÒàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà ãàìèëüòîíîâà, å¼ ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ÷åòûðåõìåðíî, èîíà èìååò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà, ïîýòîìó ñèñòåìà èíòåãðèðóåìà (ñì., íàïðèìåð,ðàáîòû À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1] è Å.Î.Êàíòîíèñòîâîé [26],[27],[28])..Ëåììà 3 Íàòóðàëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ M , òàêàÿ ÷òîf 0 (r)2 + V 0 (r)2 > 0, èìååò ðîâíî äâå îñîáûå òî÷êè (â T ∗ M ) ðàíãà 0: òî÷êó(p, q) = (0, N )è òî÷êó(p, q) = (0, S),à òàêæå 2ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îñî-(pr , pϕ , r, ϕ) = (0, k(r), r, ϕ) ðàíãà 1 ñ ïàðàìåòðàìè (r, ϕ) ∈ I × R/2πZ,q0 (r)k(r) := ±f (r) f (r)V, r ∈ I , I îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà (0, L),f 0 (r)áûõ òî÷åêãäåçàäàâàåìîå íåðàâåíñòâîìV 0 (r)f 0 (r) > 0(è ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî÷èñëà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâíûõ èíòåðâàëîâçèÿ âðàùåíèÿM(0, r1 )è(r2 , L)), N(ñ êîîðäèíàòîéëþáîãî èíòåðâàëàIiIi = (r1i , r2i )è, âîçìîæíî, ãðàíè÷-èS ñåâåðíûé è þæíûé ïîëþñû ìíîãîîáðà-r=0èr=Lâûïîëíåíî ëèáîñîîòâåòñòâåííî).

Íà ëþáîì êîíöåV 0 (r)f 0 (r) = 0,ëèáîr=0èëèr = L. ÷àñòíîñòè, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíîîñèh.Îíà ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê(h, k) = (V (0), 0), (h, k) = (V (L), 0),ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè îñîáûõ òî÷åê(p, q) = (0, N )è(p, q) = (0, S)ðàíãà0,è èçêðèâîé, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà ñåìåéñòâà òî÷åê ðàíãà1è äîïóñêàþùåé ãëàäêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ âèäàsf (r)V 0 (r)f (r)V 0 (r)h(r) =+V(r),k(r)=±f(r),2f 0 (r)f 0 (r)ãäå ïàðàìåòðr êðèâîé ïðîáåãàåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî Iñîñòîèò èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà äóã, ãäå íà18(ñì. âûøå). Ýòà êðèâàÿ(2i − 1)-îéè(2i)-îéäóãàõ(ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî îñèh), i = 1, 2, ..., ïàðàìåòð r ïðîáåãàåò èíòåðâàëIi .Îñîáàÿ òî÷êàòîãäà, êîãäà(0, N )(ñîîòâåòñòâåííî(0, S))íåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêîV 00 (0) (ñîîòâåòñòâåííî V 00 (L)) îòëè÷íî îò 0.

Åñëè ýòà òî÷êà íåâû-ðîæäåíà, òî îíà èìååò òèï öåíòðöåíòð èëè ôîêóñôîêóñ, â çàâèñèìîñòè îòçíàêà sgn V00(0) = +1Çàìå÷àíèå.èëè−1(ñîîòâåòñòâåííî sgn V00(L) = +1èëè−1). ëåììå 3 áèôóðêàöèîííûå äóãè çàäàíû ñâîèìè ïàðàìåòðè÷åñêè-ìè óðàâíåíèÿìè. Ïîâåäåíèå äóã, à èìåííî: èçëîìû, ïåðåñå÷åíèÿ è ñàìîïåðåñå÷åíèÿáóäóò èññëåäîâàíû â ïîñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì íàèT ∗Mäâå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ ôóíêöèÿìè ÃàìèëüòîíàHpϕ .0Îñîáûå òî÷êè ðàíãà ýòî ôàçîâûå òî÷êè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîëîæåíèÿìè ðàâíî-âåñèÿ îáåèõ ýòèõ ñèñòåì. Íî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âòîðîé ñèñòåìû, ò.å. ñèñòåìûv = sgradpϕ ýòî òðåáóåìûå òî÷êè (p, q) = (0, N ) è (p, q) = (0, S).

Íåïîñðåäñòâåííîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îáå ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ ïåðâîé ñèñòåìû(ñ ãàìèëüòîíèàíîìH ),à ïîòîìó èìåþò ðàíãÍàéäåì îñîáûå òî÷êè ðàíãàèsgradK0.1. Ýòî òå òî÷êè, â êîòîðûõ âåêòîðíûå ïîëÿ sgradHêîëëèíåàðíû è îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ. Íàïîìíèì, ÷òî òðàåêòî-ðèè ñèñòåìûv = sgradK ýòî îêðóæíîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ íàéäåííûõ âûøåòî÷åê. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ðàíãà1, òî òàêî-âîé ÿâëÿåòñÿ è âñÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íåå òðàåêòîðèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, çàìêíóòàÿòðàåêòîðèÿ ñèñòåìûîñîáîé ðàíãà1v = sgradK ,íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, áóäåòâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè îíà òàêæå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîéòðàåêòîðèåé ñèñòåìûv = sgradH , ëèáî öåëèêîì ñîñòîèò èç åå íåïîäâèæíûõ òî÷åê.Ïîêàæåì, ÷òî ïðîåêöèÿ ëþáîé òàêîé òðàåêòîðèè íå ïðîõîäèò ÷åðåç ïîëþñàïîâåðõíîñòèM(èíà÷å ãîâîðÿ, âî âñåõ òî÷êàõ òðàåêòîðèèäåëå, òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿsgradK0 < r < L).íà ïðîñòðàíñòâàõTN∗ M(èëè ñàìîìTS∗ M )ýòî êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè è îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà.

Ðàññìîòðèì òî÷êó,19ëåæàùóþ íà êàêîé-òî èç ýòèõ îêðóæíîñòåé. Îíà èìååò íåíóëåâîé èìïóëüñ, ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ((p̄, N ) èëè(p̄, S),ãäåp̄ 6= 0),ïîêèíåòíè ñ êàêîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìûdHèdpϕTN∗ M(èëèTS∗ M ),âûõîäÿùàÿ èç ýòîé òî÷êèïîýòîìó îíà íå ñîâïàäàåòv = sgradK .Òåïåðü ÿâíûé âèä òî÷åê ðàíãàêîâåêòîðîâv = sgradH ,1âûòåêàåò èç óñëîâèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèâ ýòèõ êîîðäèíàòàõ.Îïðåäåëèì òèï îñîáûõ òî÷åê, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì èç [[1],÷åñêàÿ ñòðóêòóðà â òî÷êàõ ðàíãà0 EΩ=−E0§1.10.2].Ñèìïëåêòè-(â ïîëþñàõ) çàäàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé ìàòðèöåé.0Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êàñóùåñòâóþò ÷èñëàλèµxíåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàòàêèå, ÷òî ìàòðèöàðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.

ÇäåñüλAH + µAMíå âûðîæäåíà è èìååòAH = Ω−1 d2 H|x , AM = Ω−1 d2 M |x .Ââåäåì â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû(x, y, px , py )íà ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå:x = f (r)cosϕ, y = f (r)sinϕ.Íàïîìíèì, ÷òî ìåòðèêà íàMèìååò âèäÑîãëàñíî ëåììå 1, â ïîëþñàõ èìååìds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 .|f 0 (r)| = 1,ïîýòîìó ìåòðèêà â ïîëþñàõèìååò âèäds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 = f 0 (r)2 dr2 + f 2 (r)dϕ2 = dx2 + dy 2 .Ñëåäîâàòåëüíî, ãàìèëüòîíèàíHâ ïîëþñå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:1H = (p2x + p2y ) + V (0).2Çàïèøåì äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ(x, y, px , py ):pϕ = K = xpy − ypx .ÅñëèV (f −1 (px2 + y 2 )) ôóíêöèÿ Ìîðñà, òî â ìàëîé îêðåñòíîñòè ïîëþñàpV (f −1 ( x2 + y 2 )) = c0 + c1 (x2 + y 2 ) + o(x2 + y 2 ), c1 6= 0,20ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:1 H = (p2x + p2y ) + c0 + c1 (x2 + y 2 ) + o(x2 + y 2 )2K = xpy − ypxÒîãäàdH = px dx + py dy + 2c1 xdx + 2c1 ydy, dK = −ydpx + xdpy + py dx − px dy .Çàòåìâû÷èñëÿåì ìàòðèöû âòîðûõ äèôôåðåíöèàëîâ:0 0 0 −10 10 0 1000d2 H =  , d2 K = . 0 0 2c 0 1 00010 00 2c1−1 0 00ßñíî, ÷òî ôîðìûd2 Kè1 0d2 H0íåçàâèñèìû.Çàòåì âû÷èñëÿåì ìàòðèöû00100 −100100AH = Ω−1 d2 HèAK = Ω−1 d2 K .Òàê êàê0 −1,0000ïîëó÷àåì0 −1 00010 000 −2c1 . , AK = 0 0 −100000 10000 0 −2c10 0AH = 1 00 1Îñòàëîñü íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû0 −µ −2c1 λµ00λAH + µAK = λ000λµ210−2c1 λ.−µ0Ω−1 =Åñëèc1 > 0,òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿîñîáàÿ òî÷êà ðàíãàÅñëèc1 < 0,ñëåäóþùèå:0kñëåäóþùèå:√k = ±i( 2c1 λ ± µ),à çíà÷èò,íåâûðîæäåíà è èìååò òèï öåíòðöåíòð.ñäåëàåì çàìåíó√k = ±( 2cλ ± iµ),c = −c1 , c > 0,òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿà çíà÷èò, îñîáàÿ òî÷êà ðàíãà0kíåâûðîæäåíà èèìååò òèï ôîêóñôîêóñ.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ñèëó ïðåäñòàâëåíèÿ÷òîc1 = sgnV 00 (0),c1ò.å.V (z) = c0 + c1 · z 2 + o(z 2 ),ïîëó÷àåì, ýòî çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà â ïîëþñå..Ïàðàìåòðèçîâàííóþ êðèâóþ èç ëåììû 3 íàçîâåì ïàðàìåòðèçîâàííîé áèôóðêà-öèîííîé êðèâîé, èëè ïðîñòî áèôóðêàöèîííîé êðèâîé.Òàê êàê áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñèäîìó èíòåðâàëó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿh, òî êàæ-(r1i , r2i ) ñîîòâåòñòâóþò äâå ñèììåòðè÷íûå íåïðå-ðûâíûå êðèâûå íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее