Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Âûáåðåì íàMϕγ0 ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿâäîëü îðáèòäåçè÷åñêèå. Äëÿ ëþáîé òî÷êèϕmod2π , òàêîå ÷òîãåîäåçè÷åñêîéíàòûγϕ ,(èçâåñòíî, ÷òî èõ ðîâíî äâå, ñì. êíèãó À.Áåññåñïåöèàëüíûå êîîðäèíàòû (íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû ) ñëåäó-þùèì îáðàçîì. Ïóñòü(ò.å. ñäâèãè íà óãîëM ≈ S2S 1 -äåéñòâèÿ)m ∈ M \ {N, S}m ∈ Rϕ (γ0 ) = γϕ .ñîåäèíÿþùåé òî÷êèNèm.S.RϕÈçîìåòðèèïåðåâîäÿò ãåîäåçè÷åñêèå â ãåî-ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåÎïðåäåëèì ïàðàìåòðNèÒîãäà òî÷êàmrêàê äëèíó îòðåçêàáóäåò èìåòü êîîðäè-(r, ϕ).Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. êíèãó À.Áåññå [23]), ÷òî ìåòðèêógìîæíî çàïèñàòü â âèäåds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 ,ãäåf (r) : [0, L] → Räëèíà ãåîäåçè÷åñêîé íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ïîëîæèòåëüíàÿ íàγ0 .[0, L],f (0) = f (L) = 0.Òàêæå âûïîëíåíû óñëîâèÿðàññìàòðèâàòü ãëàäêèå ôóíêöèèf (r).ÏóñòüV (r)(0, L),ãäåLÌû áóäåì ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêåíàçîâåì å¼ ïîòåíöèàëîì.Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ìåòðèêà íà ìíîãîîáðàçèèMðåãóëÿðíà âíå ïîëþñîâ.

Ñôîð-ìóëèðóåì óòâåðæäåíèå î òîì, êîãäà ìåòðèêà íàMáóäåò ÿâëÿòüñÿ ãëàäêîé â ïî-ëþñàõ.Êîììåíòàðèé. Óïîòðåáëÿåìûé çäåñü òåðìèí ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ îòíþäü íå îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåðõíîñòüMäûâàòüñÿ â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîñ ìåòðèêîéR3ds2îáÿçàòåëüíî äîëæíà âêëà-â âèäå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãäåds2èíäóöèðóåòñÿ îáúåìëþùåé åâêëèäîâîé ìåòðèêîé. Áîëåå òîãî, èçâåñòíû ïðèìåðû, êîãäà ýòî íå òàê (ñì.áîëåå ïîäðîáíî ëåììó 2). Íàïðèìåð, èçâåñòåí öåëûéêëàññ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, íå âêëàäûâàþùèõñÿ âR3 ,ÿâëÿþùèõñÿ ìíîãîîáðà-çèÿìè Áåðòðàíà (ñì. ðàáîòó Å.À.Êóäðÿâöåâîé è Ä.À.Ôåäîñååâà [30]).

 ñëó÷àå,åñëè ìíîãîîáðàçèåMâêëàäûâàåòñÿ âR3 ,äî îñè âðàùåíèÿ.15ôóíêöèÿf (r)èìååò ñìûñë ðàññòîÿíèÿËåììà 1 (À.Áåññå [23]). Ìåòðèêà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ M è ôóíêöèÿ V (r)íà íåì ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè â ïîëþñàõ (ò.å. â òî÷êàõñòâóþò ãëàäêèå ôóíêöèèïðÿìîé1)R,òàêèå ÷òîF = F (r)èW = W (r),F |[0,L] = f, W |[0,L] = Vr=0èr = L),åñëè ñóùå-îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîéè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:F (−r) = −F (r) = F (2L−r), ò.å. ôóíêöèè F (r) è F (L+r) íå÷åòíû (èëè, ÷òîýêâèâàëåíòíî, ôóíêöèÿF (r) ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì2Lè íå÷åòíà) èF 0 (0) =1, F 0 (L) = −1;2)W (−r) = W (r) = W (2L − r),÷òî ýêâèâàëåíòíî, ôóíêöèÿW (r)ò.å. ôóíêöèèW (r)èW (L + r) ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì2L÷åòíû (èëè,è ÷åòíà).Êîììåíòàðèé.

Íà ñàìîì äåëå, ôóíêöèè F (r) è W (r) íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîéíàì â äàëüíåéøåì íå ïîíàäîáÿòñÿ. Èõ ñóùåñòâîâàíèå âàæíî ëèøü â îêðåñòíîñòè êîíöîâ îòðåçêàV (r).è[0, L]äëÿ ïðîâåðêè ÷åòíîñòè è íå÷åòíîñòè ôóíêöèéf (r)Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òîáû ôóíêöèèV (r)ïðîäîëæàëèñü â îêðåñòíîñòè êîíöîâ îòðåçêà[0, L]èf (r)äîëæíûì îáðàçîì.Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèèT ∗MêMñî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîéω = dp ∧ dqè ôóíêöèåéÃàìèëüòîíà1H = g ij (q)pi pj + V (q),2ãäåq = (q 1 , q 2 ) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íàþùèå èìïóëüñû, ò.å. êîîðäèíàòû âìåòðèêèTq∗ M ,à(1)M ≈ S 2 , p = (p1 , p2 )g ij ñîîòâåòñòâó- ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöåg.Îïðåäåëåíèå 9 Ïóñòü (M, g) ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ ñ ìåòðèêîé âðàùåíèÿds2 = dr2 +f 2 (r)dϕ2 . Ïóñòü ôóíêöèè f (r), r ∈ [0, L], è V (r), r ∈ [0, L], óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 1.

Òîãäà áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïàðà ôóíêöèé[0, L],(f (r), V (r)), r ∈çàäàåò íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ(M, g).Îòìåòèì, ÷òî ìíîãîîáðàçèå(M, g)íå âñåãäà âêëàäûâàåòñÿ â16R3 ,ò.å. îíî íå îáÿçà-òåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ.

Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèé êðèòåðèé.Ëåììà 2 (M.Engman [25]). Ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ (M, g) èçîìåòðè÷íî C 1 -âêëàäûâàåòñÿâR3òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf 0 (0) = 1, f 0 (L) = −1è|f 0 (r)| ≤ 1äëÿ âñåõr ∈ [0, L].Çàìå÷àíèå.ôóíêöèÿ ñëó÷àå, êîãäà ìíîãîîáðàçèåu(r),ùåíèåì êðèâîéòàêàÿ ÷òîf 0 (r)2 + u0 (r)2 = 1,(f (r), u(r)) ∈ R2 (x, z)Mâêëàäûâàåòñÿ âè ïîâåðõíîñòüâîêðóã îñèOz ,MR3 ,ñóùåñòâóåòïîëó÷àåòñÿ âðà-ò.å. ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:(f (r)cosϕ, f (r)sinϕ, u(r)), r ∈ [0, L], ϕ ∈ [0, 2π].Âñþäó äàëåå â ñòàòüå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèèf (r), V (r), r ∈ [0, L]óäîâëå-òâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 1.Óòâåðæäåíèå 1 Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1) íà ìíîãîîáðàçèèâðàùåíèÿ äëÿ âñåõ ïàð(f (r), V (r))ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé â ñìûñëå Ëè-óâèëëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñèñòåìû ÷åòûðåõìåðíî êàæäàÿ åãî òî÷êà çàäàåòñÿ êîîðäèíàòàìè(pr , pϕ , r, ϕ),ãäå(pr , pϕ ) èìïóëüñû òî÷êè,(r, ϕ) êîîðäèíàòûòî÷êè.2) Ñèñòåìà èìååò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà:èíòåãðàë ýíåðãèèH=p2ϕp2r+ 2+ V (r)22f (r)è äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàëèíòåãðàëKK = pϕ(òàê êàêṗϕ = − ∂H=0).∂ϕÎòìåòèì, ÷òîîïðåäåëåí íà âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, â òîì ÷èñëå, â ïîëþñàõ.173) Äâèæåíèå òî÷êè ïî ìíîãîîáðàçèþ âðàùåíèÿ, çàäàííîìó ôóíêöèåéïîëå äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëàV (r)f (r),âçàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà:ṗi = −∂H∂H, q˙i =∂qi∂piÒàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà ãàìèëüòîíîâà, å¼ ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ÷åòûðåõìåðíî, èîíà èìååò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà, ïîýòîìó ñèñòåìà èíòåãðèðóåìà (ñì., íàïðèìåð,ðàáîòû À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî [1] è Å.Î.Êàíòîíèñòîâîé [26],[27],[28])..Ëåììà 3 Íàòóðàëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ M , òàêàÿ ÷òîf 0 (r)2 + V 0 (r)2 > 0, èìååò ðîâíî äâå îñîáûå òî÷êè (â T ∗ M ) ðàíãà 0: òî÷êó(p, q) = (0, N )è òî÷êó(p, q) = (0, S),à òàêæå 2ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îñî-(pr , pϕ , r, ϕ) = (0, k(r), r, ϕ) ðàíãà 1 ñ ïàðàìåòðàìè (r, ϕ) ∈ I × R/2πZ,q0 (r)k(r) := ±f (r) f (r)V, r ∈ I , I îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà (0, L),f 0 (r)áûõ òî÷åêãäåçàäàâàåìîå íåðàâåíñòâîìV 0 (r)f 0 (r) > 0(è ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî÷èñëà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâíûõ èíòåðâàëîâçèÿ âðàùåíèÿM(0, r1 )è(r2 , L)), N(ñ êîîðäèíàòîéëþáîãî èíòåðâàëàIiIi = (r1i , r2i )è, âîçìîæíî, ãðàíè÷-èS ñåâåðíûé è þæíûé ïîëþñû ìíîãîîáðà-r=0èr=Lâûïîëíåíî ëèáîñîîòâåòñòâåííî).

Íà ëþáîì êîíöåV 0 (r)f 0 (r) = 0,ëèáîr=0èëèr = L. ÷àñòíîñòè, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíîîñèh.Îíà ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê(h, k) = (V (0), 0), (h, k) = (V (L), 0),ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè îñîáûõ òî÷åê(p, q) = (0, N )è(p, q) = (0, S)ðàíãà0,è èçêðèâîé, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà ñåìåéñòâà òî÷åê ðàíãà1è äîïóñêàþùåé ãëàäêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ âèäàsf (r)V 0 (r)f (r)V 0 (r)h(r) =+V(r),k(r)=±f(r),2f 0 (r)f 0 (r)ãäå ïàðàìåòðr êðèâîé ïðîáåãàåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî Iñîñòîèò èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà äóã, ãäå íà18(ñì. âûøå). Ýòà êðèâàÿ(2i − 1)-îéè(2i)-îéäóãàõ(ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî îñèh), i = 1, 2, ..., ïàðàìåòð r ïðîáåãàåò èíòåðâàëIi .Îñîáàÿ òî÷êàòîãäà, êîãäà(0, N )(ñîîòâåòñòâåííî(0, S))íåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêîV 00 (0) (ñîîòâåòñòâåííî V 00 (L)) îòëè÷íî îò 0.

Åñëè ýòà òî÷êà íåâû-ðîæäåíà, òî îíà èìååò òèï öåíòðöåíòð èëè ôîêóñôîêóñ, â çàâèñèìîñòè îòçíàêà sgn V00(0) = +1Çàìå÷àíèå.èëè−1(ñîîòâåòñòâåííî sgn V00(L) = +1èëè−1). ëåììå 3 áèôóðêàöèîííûå äóãè çàäàíû ñâîèìè ïàðàìåòðè÷åñêè-ìè óðàâíåíèÿìè. Ïîâåäåíèå äóã, à èìåííî: èçëîìû, ïåðåñå÷åíèÿ è ñàìîïåðåñå÷åíèÿáóäóò èññëåäîâàíû â ïîñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì íàèT ∗Mäâå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ ôóíêöèÿìè ÃàìèëüòîíàHpϕ .0Îñîáûå òî÷êè ðàíãà ýòî ôàçîâûå òî÷êè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîëîæåíèÿìè ðàâíî-âåñèÿ îáåèõ ýòèõ ñèñòåì. Íî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âòîðîé ñèñòåìû, ò.å. ñèñòåìûv = sgradpϕ ýòî òðåáóåìûå òî÷êè (p, q) = (0, N ) è (p, q) = (0, S).

Íåïîñðåäñòâåííîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îáå ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ ïåðâîé ñèñòåìû(ñ ãàìèëüòîíèàíîìH ),à ïîòîìó èìåþò ðàíãÍàéäåì îñîáûå òî÷êè ðàíãàèsgradK0.1. Ýòî òå òî÷êè, â êîòîðûõ âåêòîðíûå ïîëÿ sgradHêîëëèíåàðíû è îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ. Íàïîìíèì, ÷òî òðàåêòî-ðèè ñèñòåìûv = sgradK ýòî îêðóæíîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ íàéäåííûõ âûøåòî÷åê. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ðàíãà1, òî òàêî-âîé ÿâëÿåòñÿ è âñÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íåå òðàåêòîðèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, çàìêíóòàÿòðàåêòîðèÿ ñèñòåìûîñîáîé ðàíãà1v = sgradK ,íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, áóäåòâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè îíà òàêæå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîéòðàåêòîðèåé ñèñòåìûv = sgradH , ëèáî öåëèêîì ñîñòîèò èç åå íåïîäâèæíûõ òî÷åê.Ïîêàæåì, ÷òî ïðîåêöèÿ ëþáîé òàêîé òðàåêòîðèè íå ïðîõîäèò ÷åðåç ïîëþñàïîâåðõíîñòèM(èíà÷å ãîâîðÿ, âî âñåõ òî÷êàõ òðàåêòîðèèäåëå, òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿsgradK0 < r < L).íà ïðîñòðàíñòâàõTN∗ M(èëè ñàìîìTS∗ M )ýòî êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè è îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà.

Ðàññìîòðèì òî÷êó,19ëåæàùóþ íà êàêîé-òî èç ýòèõ îêðóæíîñòåé. Îíà èìååò íåíóëåâîé èìïóëüñ, ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ((p̄, N ) èëè(p̄, S),ãäåp̄ 6= 0),ïîêèíåòíè ñ êàêîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìûdHèdpϕTN∗ M(èëèTS∗ M ),âûõîäÿùàÿ èç ýòîé òî÷êèïîýòîìó îíà íå ñîâïàäàåòv = sgradK .Òåïåðü ÿâíûé âèä òî÷åê ðàíãàêîâåêòîðîâv = sgradH ,1âûòåêàåò èç óñëîâèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèâ ýòèõ êîîðäèíàòàõ.Îïðåäåëèì òèï îñîáûõ òî÷åê, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì èç [[1],÷åñêàÿ ñòðóêòóðà â òî÷êàõ ðàíãà0 EΩ=−E0§1.10.2].Ñèìïëåêòè-(â ïîëþñàõ) çàäàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé ìàòðèöåé.0Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êàñóùåñòâóþò ÷èñëàλèµxíåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàòàêèå, ÷òî ìàòðèöàðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.

ÇäåñüλAH + µAMíå âûðîæäåíà è èìååòAH = Ω−1 d2 H|x , AM = Ω−1 d2 M |x .Ââåäåì â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû(x, y, px , py )íà ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå:x = f (r)cosϕ, y = f (r)sinϕ.Íàïîìíèì, ÷òî ìåòðèêà íàMèìååò âèäÑîãëàñíî ëåììå 1, â ïîëþñàõ èìååìds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 .|f 0 (r)| = 1,ïîýòîìó ìåòðèêà â ïîëþñàõèìååò âèäds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 = f 0 (r)2 dr2 + f 2 (r)dϕ2 = dx2 + dy 2 .Ñëåäîâàòåëüíî, ãàìèëüòîíèàíHâ ïîëþñå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:1H = (p2x + p2y ) + V (0).2Çàïèøåì äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ(x, y, px , py ):pϕ = K = xpy − ypx .ÅñëèV (f −1 (px2 + y 2 )) ôóíêöèÿ Ìîðñà, òî â ìàëîé îêðåñòíîñòè ïîëþñàpV (f −1 ( x2 + y 2 )) = c0 + c1 (x2 + y 2 ) + o(x2 + y 2 ), c1 6= 0,20ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:1 H = (p2x + p2y ) + c0 + c1 (x2 + y 2 ) + o(x2 + y 2 )2K = xpy − ypxÒîãäàdH = px dx + py dy + 2c1 xdx + 2c1 ydy, dK = −ydpx + xdpy + py dx − px dy .Çàòåìâû÷èñëÿåì ìàòðèöû âòîðûõ äèôôåðåíöèàëîâ:0 0 0 −10 10 0 1000d2 H =  , d2 K = . 0 0 2c 0 1 00010 00 2c1−1 0 00ßñíî, ÷òî ôîðìûd2 Kè1 0d2 H0íåçàâèñèìû.Çàòåì âû÷èñëÿåì ìàòðèöû00100 −100100AH = Ω−1 d2 HèAK = Ω−1 d2 K .Òàê êàê0 −1,0000ïîëó÷àåì0 −1 00010 000 −2c1 . , AK = 0 0 −100000 10000 0 −2c10 0AH = 1 00 1Îñòàëîñü íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû0 −µ −2c1 λµ00λAH + µAK = λ000λµ210−2c1 λ.−µ0Ω−1 =Åñëèc1 > 0,òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿîñîáàÿ òî÷êà ðàíãàÅñëèc1 < 0,ñëåäóþùèå:0kñëåäóþùèå:√k = ±i( 2c1 λ ± µ),à çíà÷èò,íåâûðîæäåíà è èìååò òèï öåíòðöåíòð.ñäåëàåì çàìåíó√k = ±( 2cλ ± iµ),c = −c1 , c > 0,òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿà çíà÷èò, îñîáàÿ òî÷êà ðàíãà0kíåâûðîæäåíà èèìååò òèï ôîêóñôîêóñ.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ñèëó ïðåäñòàâëåíèÿ÷òîc1 = sgnV 00 (0),c1ò.å.V (z) = c0 + c1 · z 2 + o(z 2 ),ïîëó÷àåì, ýòî çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà â ïîëþñå..Ïàðàìåòðèçîâàííóþ êðèâóþ èç ëåììû 3 íàçîâåì ïàðàìåòðèçîâàííîé áèôóðêà-öèîííîé êðèâîé, èëè ïðîñòî áèôóðêàöèîííîé êðèâîé.Òàê êàê áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñèäîìó èíòåðâàëó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿh, òî êàæ-(r1i , r2i ) ñîîòâåòñòâóþò äâå ñèììåòðè÷íûå íåïðå-ðûâíûå êðèâûå íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå.

Характеристики

Список файлов диссертации