Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïîýòîìó ÷òîáû èçó÷àòü ñâîéñòâàáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü îáëàñòük > 0.Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äàäèì íåñêîëüêîîïðåäåëåíèé.Ïóñòüγ : (r1 , r2 ) → R2Íàïîìíèì, ÷òî êðèâàÿγ 0 (r∗ )γ ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ â ïëîñêîñòè.r∗ ,íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé â òî÷êååñëè âåêòîð ñêîðîñòèîòëè÷åí îò íóëÿ.Îïðåäåëåíèå 10 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâàÿ γ èìååò îñîáåííîñòü òèïàðîæäåííàÿ òî÷êà âîçâðàòà â òî÷êår∗ ,åñëèγ 0 (r∗ ) = 0, γ 00 (r∗ ) 6= 0, hγ 000 (r∗ ), wi =6 0,ãäåàw åäèíè÷íûé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé âåêòîðóhγ 000 (r∗ ), wi ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâv :=γ 000 (r∗ )èÍåòðóäíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àålim∗r→r−γ 0 (r)γ 0 (r)=−v,lim=v∗r→r+|γ 0 (r)||γ 0 (r)|22γ 00 (r∗ ),|γ 00 (r∗ )|w.íåâû-(ò.å.r∗ ýòî òî÷êà âîçâðàòà êðèâîéâåêòîðóòà,−v ),γ(r∗ −ε,r∗ )èïðè÷åì îñòðèå êðèâîé ñîíàïðàâëåíîε>0è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîìγ(r∗ ,r∗ +ε)γ,äâå äóãè, èñõîäÿùèå èç òî÷êè âîçâðà-ðàñïîëîæåíû ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïðÿìîéγ(r∗ ) + tv, t ∈ R,êàñàòåëüíîé ê êðèâîé (ò.å.
â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïðÿìîé).À èìåííî, åñëèhγ 000 (r∗ ), wi > 0, òî ýòè äóãè ðàñïîëîæåíû â ïîëóïëîñêîñòÿõ ñ âíóò-ðåííèìè íîðìàëÿìè−wèwñîîòâåòñòâåííî. ïàðàãðàôå 1.3 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íåâûðîæäåííàÿ òî÷êà âîçâðàòà ÿâëÿåòñÿïîëóêóáè÷åñêîé ïàðàáîëîé (âèäày 2 = x3 ).Îïðåäåëåíèå 11 Äóãîé áèôóðêàöèîííîé êðèâîé c íîìåðîì i (äóãîé ñ íîìåðîì i)íàçîâåì ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, îïðåäåë¼ííóþ íà èíòåðâàëåíîìåðîìi(r1i , r2i )äâå â âåðõíåé è â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî îñè(äóã ñh).Îïðåäåëåíèå 12 Ïîääóãîé äóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé ñ íîìåðîì i íàçîâ¼ì ãëàäêóþ ÷àñòü äóãè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ëåæàùóþ ëèáî ìåæäó ñîñåäíèìè òî÷êàìè âîçâðàòà, ëèáî îïðåäåëåííóþ íà èíòåðâàëå(r1i , r1∗ )èëè(rk∗ , r2i ),ãäår1∗ , rk∗ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ òî÷êè âîçâðàòà íà äóãå.Ëåììà 4 Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà îáëàñòè r ∈ [0, L], íàçûâàåìóþýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì:Uk (r) =k2+ V (r).2f 2 (r)Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: íà ïðîìåæóòêå, ñîäåðæàùåìñÿ â îáëàñòèIèçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, åñëèf 0 (r) > 0 (V 0 (r) > 0):Uk0 (r)ìîíîòîííî óáûâàåò, åñëèòîííî âîçðàñòàåò, åñëèk02 > k 2 (r)k02 < k 2 (r)íà ýòîì ïðîìåæóòêå, èÅñëèf 0 (r) < 0 (V 0 (r) < 0),ìîíî-íà ýòîì ïðîìåæóòêå.Íà ïðîìåæóòêå, èìåþùåì ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ îáëàñòüþìåòðà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé,Uk0 (r)Uk0 (r)Ièçìåíåíèÿ ïàðà-ìîíîòîííî óáûâàåò.òî õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè èçìåíÿåòñÿ íà ïðî-òèâîïîëîæíûé.23Äîêàçàòåëüñòâî.Ðåøèì íåðàâåíñòâîUk0 0 (r) > 0:Uk0 0 (r) = −Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîk02 f 0 (r)+ V 0 (r) > 0.f 3 (r)k02 f 0 (r) < f 3 (r)V 0 (r).k02 <òî åñòü ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëÏðèf 0 (r) > 0ïîëó÷àåìf 3 (r)V 0 (r)= k 2 (r),f 0 (r)Uk0 (r)ìîíîòîííî âîçðàñòàåò.
Åñëèf 0 (r) < 0,òîèìååì ìîíîòîííîå óáûâàíèå ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà ïðè âûïîëíåíèè òîãî æåíåðàâåíñòâà.Ïðîìåæóòêè, íå ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòÿì îïðåäåëåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ, õàðàêòåðèçóþòñÿ óñëîâèåì:V 0 (r) < 0.Ïîëó÷àåìf 0 (r)V 0 (r) < 0.f 3 (r)V 0 (r) < 0 < k02 f 0 (r),Ïîýòîìó ïðèò.å. ïðèf 0 (r) > 0f 0 (r) > 0èìååìýôôåêòèâíûéïîòåíöèàë óáûâàåò íà ýòèõ ïðîìåæóòêàõ..Ñôîðìóëèðóåì ïîëåçíîå óòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðà ìîíîòîííîñòèáèôóðêàöèîííûõ äóã.Ëåììà 5 Ïðè k > 0 âåêòîð ñêîðîñòè â òî÷êàõ áèôóðêàöèîííîé êðèâîé ëåæèòëèáî â 1 ÷åòâåðòè êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè(h, k),ëèáî â 3 ÷åòâåðòè, ëèáî ðàâåí0 (â òî÷êàõ âîçâðàòà).Äîêàçàòåëüñòâî.Íàïîìíèì, ÷òî áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ çàäàåòñÿ ïàðàìåòðè÷å-ñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì:fV 0γ = { 0 + V, f2fÂâåäåì îáîçíà÷åíèå:0p := ( ffV0 )0 .sfV 0}.f0Òîãäà âåêòîð ñêîðîñòè èìååò âèäγ̇ =p + 2V 0f{1, q 0 }.fV2f0Òàê êàê âòîðàÿ êîîðäèíàòà âñåãäà ïîëîæèòåëüíà (f> 0), òî çíàêè îáåèõ êîîðäèíàòîïðåäåëÿþòñÿ çíàêîì îáùåãî ìíîæèòåëÿ.
Òî åñòü, åñëè24(p + 2V 0 ) > 0,òî âåêòîðñêîðîñòè ëåæèò â 1 ÷åòâåðòè; åñëè(p + 2V 0 ) < 0,òî âåêòîð ñêîðîñòè ëåæèò â 3÷åòâåðòè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âåêòîð ñêîðîñòè ðàâåí 0..Çàìå÷àíèå.∂k(r)∂rÂûðàæåíèåp + 2V 0ðàâíî0òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà∂ 2 Uk (r)∂r2== 0.Äàäèì îïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷íûì òèïàì áèôóðêàöèîííûõ äóã. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå äóãè èç îïðåäåëåíèé óäîâëåòâîðÿþò ëåììå 5.Îïðåäåëåíèå 13 Äóãîé òèïà ïðîñòàÿ ïàðàáîëà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñèh(â ïëîñêîñòèh, k )ãëàäêàÿ (âñþäó, êðîìå, âîçìîæíî, âåðøèíûïàðàáîëû) äóãà, èìåþùàÿ îäíó òî÷êó, ëåæàùóþ íà îñèh,è óõîäÿùàÿ íà ïëþñáåñêîíå÷íîñòü ïî îáåèì êîîðäèíàòàì â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.Îïðåäåëåíèå 14 Äóãîé òèïà ñîñòàâíàÿ ïàðàáîëà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿîòíîñèòåëüíî îñèhíåïðåðûâíàÿ äóãà, èìåþùàÿ îäíó òî÷êó, ëåæàùóþ íà îñèh(âåðøèíà ïàðàáîëû), ñîñòîÿùàÿ èç ãëàäêèõ (âñþäó, êðîìå, âîçìîæíî, âåðøèíûïàðàáîëû) ïîääóã, ðàçäåëåííûõ òî÷êàìè âîçâðàòà, è óõîäÿùàÿ íà ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü ïî îáåèì êîîðäèíàòàì â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.Îïðåäåëåíèå 15 Äóãîé òèïà ïðîñòàÿ ëóíêà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñèh(â ïëîñêîñòèh, k )çàìêíóòàÿ äóãà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ãëàä-êèõ (âñþäó, êðîìå, âîçìîæíî, ëåâîé âåðøèíû ëóíêè) ïîääóã, ðàçäåëåííûõ äâóìÿòî÷êàìè âîçâðàòà, è èìåþùàÿ äâå òî÷êè, ëåæàùèå íà îñèh(âåðøèíû ëóíêè).Îïðåäåëåíèå 16 Äóãîé òèïà ñîñòàâíàÿ ëóíêà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñèh(â ïëîñêîñòèòî÷êè, ëåæàùèå íà îñèhh, k )íåïðåðûâíàÿ çàìêíóòàÿ äóãà, èìåþùàÿ äâå(âåðøèíû ëóíêè), è ñîñòîÿùàÿ èç ãëàäêèõ (âñþäó,êðîìå, âîçìîæíî, ëåâîé âåðøèíû ëóíêè) ïîääóã, ðàçäåëåííûõ òî÷êàìè âîçâðàòà.Îïðåäåëåíèå 17 Äóãîé òèïà ïðîñòîé êëþâ íàçûâàåòñÿ äóãà, ñîñòîÿùàÿ èçäâóõ ãëàäêèõ ïîääóã, ðàçäåëåííûõ òî÷êîé âîçâðàòà è óõîäÿùèõ íà áåñêîíå÷íîñòüïî îáåèì êîîðäèíàòàì â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.25Îïðåäåëåíèå 18 Äóãîé òèïà ñîñòàâíîé êëþâ íàçûâàåòñÿ äóãà, ñîñòîÿùàÿ èçãëàäêèõ ïîääóã, ðàçäåëåííûõ òî÷êàìè âîçâðàòà, îáà êîíöà êîòîðîé óõîäÿò íàáåñêîíå÷íîñòü ïî îáåèì êîîðäèíàòàì â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.Ïðèìåðû äóã, îïèñàííûõ â îïðåäåëåíèÿõ 1318, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 3.kkkhhhaLbLkcLkkhhhdLeLfLÐèñ.
3: òèïû áèôóðêàöèîííûõ äóã: a) ïðîñòàÿ ïàðàáîëà; b) ïðîñòàÿ ëóíêà; c)ïðîñòîé êëþâ; d) ñîñòàâíàÿ ïàðàáîëà; e) ñîñòàâíàÿ ëóíêà; f ) ñîñòàâíîé êëþâ.Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòàÿ äóãà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñîñòàâíîé äóãè òàêîãîæå òèïà. Äàëåå âìåñòî ñîñòàâíîé êëþâ áóäåì ãîâîðèòü ïðîñòî êëþâ (òî æåîòíîñèòñÿ è ê ïàðàáîëå, è ê ëóíêå).Äàëåå (ïîä)äóãîé òèïàA((ïîä)äóãîé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà) áóäåì íàçûâàòü(ïîä)äóãó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ïðîîáðàçó êàæäîé òî÷êè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò àòîìA.(Ïîä)äóãîé òèïàVp((ïîä)äóãîé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà) áóäåì íà-çûâàòü (ïîä)äóãó, ïðîîáðàçó êàæäîé òî÷êè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò àòîìíîñòè, àòîìòèïîâòèïàAB,èVp(â ÷àñò-B ).
Îòìåòèì, ÷òî áèôóðêàöèîííûå äóãè ïî÷òè âñþäó ñîñòîÿò èç òî÷åêB,à áèôóðêàöèèVkìîãóò âîçíèêàòü òîëüêî íà ïåðåñå÷åíèè (ïîä)äóãïðè÷åì ìîãóò âîçíèêàòü òîëüêî áèôóðêàöèè óêàçàííîãî òèïà (ñì.ëåììó21).26Îïðåäåëåíèå 19 Îáëàñòüþ âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùåé çíà÷åíèþ èí-k , íàçîâåì îáëàñòü, â êîòîðîéppr (r) = ± 2(h − Uk (r)) íåîòðèöàòåëüíî.òåãðàëàöèèKðàâíîìóïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ôóíê-Ëåììà 6 Åñëè â òî÷êå (h, k) = (h(r ∗ ), 0), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå, çíà÷åíèåV 00 (r∗ ) > 0,V 00 (r∗ ) < 0,òî ïàðàáîëà â îêðåñòíîñòè ñâîåé âåðøèíû èìååò òèïòî â îêðåñòíîñòè ñâîåé âåðøèíû ïàðàáîëà èìååò òèïÄîêàçàòåëüñòâî.±f (r∗ )qf (r∗ )V 0 (r∗ )f 0 (r∗ )Òàê êàê òî÷êà(H(r∗ ), 0)A.ÅñëèB.ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëå, òîk(r∗ ) == 0, ò.å. V 0 (r∗ ) = 0.
Òàê êàê V (r) ôóíêöèÿ Ìîðñà, òî V 00 (r∗ ) 6=0.Äàëåå, òàê êàêU0 (r) = V (r),èìååò ìèíèìóì â òî÷êår∗ ,òî åñëèV 00 (r∗ ) > 0,òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëçíà÷èò, ïðè óâåëè÷åíèè óðîâíÿ ýíåðãèèh (h > U0 (r∗ ))âîçíèêàåò íîâàÿ îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùàÿ çíà÷åíèþîïðåäåëåíèå 19), ñëåäîâàòåëüíî, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåíîâûé òîð. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàáîëà èìååò òèïïîëó÷àåì, ÷òî åñëèV 00 (r∗ ) < 0,(r, ϕ, pr , k)k = 0 (ñì.ïîÿâëÿåòñÿA.
Èç àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèéòî ïàðàáîëà èìååò òèïB ..Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé ëåììû ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèòåëüíûì, ïîýòîìó ìû åãîîïóñòèì.Ëåììà 7 Åñëè âåðøèíà ïàðàáîëû ýòî îñîáàÿ òî÷êà ðàíãà 0, òî ïàðàáîëàèìååò èçëîì â ýòîé òî÷êå. Èíà÷å ïàðàáîëà ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé íà âñåé ñâîåéîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.Èçó÷èì òî÷êè ðàíãà1îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì îïðåäåëåíèåíåâûðîæäåííîé òî÷êè.Ïóñòüx êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàíãà1îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà. ÏóñòüÒîãäà ïî òåîðåìå Äàðáó â îêðåñòíîñòè òî÷êèêîîðäèíàò(p1 , q1 , p2 , q2 ),êîììóòèðóþò, òîfãäåH = p1 .íå çàâèñèò îòq1 ,òî÷êà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, ïîýòîìóÒàê êàêò.å.xfñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêàÿ ñèñòåìà(äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë) èf = f (p1 , p2 , q2 ).∂f (x)∂p227=dH(x) 6= 0.∂f (x)∂q2= 0.Òî÷êàxH êðèòè÷åñêàÿÎïðåäåëåíèå 20 Ïóñòü H è K ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàëñèñòåìû. Îñîáàÿ òî÷êàxðàíãà1îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (è ñîäåðæàùàÿ åå ôà-çîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû), òàêàÿ ÷òîåñëè ìàòðèöàdH(x) 6= 0,íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé,∂ 2K∂p2 ∂q2 ∂ 2K ∂q2 ∂q2∂ 2K ∂p2 ∂p2J = ∂ 2K∂p2 ∂q2íåâûðîæäåíà â òî÷êå x.ÅñëèdetJ(x) > 0èëè< 0,òî òî÷êàx(è ñîäåðæàùàÿ åå ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿñèñòåìû) èìååò òèï öåíòð èëè ñåäëî ñîîòâåòñòâåííî (òàê êàê ìàòðèöàJ(x)ñèììåòðè÷íà, íåâûðîæäåíà è èìååò ñèãíàòóðó(+, +), (−, −)(+, −)èëèñîîòâåòñòâåííî).
Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû, ñîäåðæàùàÿ òî÷êóx,íàçû-âàåòñÿ òàêæå óñòîé÷èâîé (ýëëèïòè÷åñêîé) èëè íåóñòîé÷èâîé (ãèïåðáîëè÷åñêîé)ñîîòâåòñòâåííî.Îïðåäåëåíèå 21 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé Ft (r) íà èíòåðâàëå(r1 , r2 ) ⊂ Rñ ïàðàìåòðîìr ∈ (t1 , t2 ) ⊂ Ríàçîâåì ñåìåéñòâîì îáùåãîïîëîæåíèÿ (èëè íåâûðîæäåííûì ñåìåéñòâîì), åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà(ò.å.t = t0ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êàFt000 (r∗ ) 6= 0),r∗ôóíêöèèd2 Ft0 (r∗ )6= 0.dtdrÍåòðóäíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå (ïðèt0Ft000 (r∗ ) = 0)çíà÷åíèå ïàðà-ÿâëÿåòñÿ áèôóðêàöèîííûì : ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðàâñå ìîðñîâñêèå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèèFtt0tñîõðàíÿþòñÿ, ëèøü ñëåãêà èç-ìåíÿÿ ñâîå ïîëîæåíèå, îäíàêî ïðè ïåðåõîäå ïàðàìåòðàçíà÷åíèå ëèáî ìîðñîâñêàÿëèáîFt000 (r∗ ) = 0, Ft0000 (r∗ ) 6= 0,ìåòðàFt0 (r)t÷åðåç áèôóðêàöèîííîåíåêîòîðàÿ ïàðà ìîðñîâñêèõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê òî÷êà ëîêàëüíîãîìèíèìóìà è òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ëèáî âîçíèêàåò (ðîæäàåòñÿ) èç òî÷êèr∗ ,èìååìëèáî ñêëåèâàåòñÿ â òî÷êód2 Ft0 (r∗ )dtdr>0èëè<0r∗è èñ÷åçàåò, â çàâèñèìîñòè îò çíàêàñîîòâåòñòâåííî.28Ft0000 (r∗ )Ïðèìåíèì îïðåäåëåíèå 20 ê èññëåäóåìîìó ñëó÷àþ.
Ñèñòåìà îáëàäàåò êàíîíè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè(pr , pϕ , r, ϕ) óêàçàííîãî âèäà, ïîýòîìó ìû ìîæåì íàïðÿìóþïðîâåðèòü îïðåäåëåíèå íåâûðîæäåííîñòè òî÷êè.Òåîðåìà 3 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðà ôóíêöèé (f (r), V (r)) íà (0, L) çàäàåò íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿôóíêöèÿk(r) ìîðñîâñêàÿ íà êàæäîì èíòåðâàëåIi .A) 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé(r1i , r2i )k>0ñ ïàðàìåòðîì(M, g),èÒîãäà:Uk (r)íà ëþáîì èíòåðâàëåÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ñì. îïðåäå-ëåíèå 21), ò.å.
äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè ëèáî ìîðñîâñêàÿ, ëèáî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3) èç ëåììû 9 íèæå.B) íåâûðîæäåííûì îñîáûì òî÷êàì ðàíãà 1 îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (è ñîîòâåòñòâóþùèì îñîáûì îêðóæíîñòÿì, ò.å. êðóãîâûì îðáèòàì) îòâå÷àþò (âñèëó ëåììû 3) ðåãóëÿðíûå òî÷êè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé (ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîììíîæåñòâà îñîáûõ òî÷åê ðàíãà 1 îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà), à âûðîæäåííûì îñîáûì òî÷êàì ðàíãà 1 íåâûðîæäåííûå òî÷êè âîçâðàòà áèôóðêàöèîííîé êðèâîé(ñì.îïðåäåëåíèå 10).Äîêàçàòåëüñòâî.ñòåìû:Çàïèøåì ìàòðèöó èç îïðåäåëåíèÿ 20 äëÿ èññëåäóåìîé ñè- 2 ∂ H ∂p ∂p|J| = r2 r ∂ H∂pr ∂rÒàêèì îáðàçîì, åñëèr∂ 2 H 1 ∂ 2U0∂pr ∂r k=.=222∂U∂rk∂ H 0 ∂r2∂r∂ríå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êîé áèôóðêàöèîííîé êðèâîé (àçíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé òî÷êîé âîçâðàòà, ñì.îïðåäåëåíèå 10), òî îòâå÷àþùàÿ åé êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü{(0, k(r), r, ϕ)|ϕ ∈ R/2πZ}ìîìåíòà âûðîæäåíà.
È íàîáîðîò, ðåãóëÿðíûì òî÷êàìîòâå÷àþò íåâûðîæäåííûå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòèãà 1 îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà..29rðàíãà 1 îòîáðàæåíèÿáèôóðêàöèîííîé êðèâîé{(0, k(r), r, ϕ)|ϕ ∈ R/2πZ} ðàí-1.3Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ â îêðåñòíîñòè òî÷åê âîçâðàòà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
