Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ òàêæå ñâîéñòâàìè ýôôåêòèâíîãîïîòåíöèàëà. Íàïîìíèì, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ýòî ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ:Uk (r) =k2+ V (r).2f 2 (r)×òîáû ïîñòðîèòü áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ, à çàòåì ìå÷åíóþ ìîëåêóëó, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì (ïóíêòû àëãîðèòìà ïðîèëëþñòðèðîâàíû íà ïðèìåðå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ.16 è ðèñ.17):53kAA2Tk55AB12133246B2hh5Uk5 HrL2T 2h5rÐèñ.
16: èëëþñòðàöèÿ ê àëãîðèòìó ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà (íà÷àëî).54kAHA1,1L, HA2,3L, HA3,4L, HB3,6L, HB2,1L1A32ABk5A1k4k4k31A2A34B3B63B21k2k1hUk4 HrLB2B3A3A2A1rr1r3r21r4r56HA1, 1 LHA2, 3 LHA3, 4 LHB3,6LHB2,1Lr1r3r5r4r2Ðèñ. 17: èëëþñòðàöèÿ ê àëãîðèòìó ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà (êîíåö).Øàã 1.Øàã 2.Ñòðîèì áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó (ÁÄ).Íóìåðóåì äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñëåäóþùèì îáðàçîì: äóãà,îïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå(r1i , r2i )èìååò íîìåð i.
Îòìå÷àåì íîìåðà äóã íà áèôóð-55êàöèîííîé äèàãðàììå.Øàã 3.Îïðåäåëÿåì òèïû âñåõ äóã è ïîääóã (ñòàâèì áóêâûA èëè Bîêîëî êàæäîéäóãè èëè ïîääóãè).Øàã 4.Èññëåäóåì, åñòü ëè ñîâïàäàþùèå äóãè íà ÁÄ: äëÿ êàæäîé äóãè ÁÄ âîçü-ìåì ïî îäíîìó ðåãóëÿðíîìó çíà÷åíèþki , íå ÿâëÿþùåìóñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëà Kâ òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ äóã ÁÄ; ñòðîèìUki (r).Åñëè äëÿ äóãè (äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðàr) Uki (r)èìååò äâà (èëè áîëüøå) ñîâïàäàþùèõ ïî çíà÷åíèþ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìà (èëèìèíèìóìà), òî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ2(ñì.íèæå) ýòà äóãà íàëîæåíà íà ñåáÿ äâà(èëè, ñîîòâåòñòâåííî, áîëüøå) ðàçà è èìååò òèïmB ).èëè2Aèëè2B(â îáùåì ñëó÷àå,mAÎòìå÷àåì ýòè òèïû íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå.Øàã 5.
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ðàçáèâàåò îáðàç îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íà êîíå÷íîå ÷èñëî ñâÿçíûõ îáëàñòåé (çäåñü îáëàñòüþ íàçûâàåì ÷àñòü ïëîñêîñòèR2 (h, k),îãðàíè÷åííóþ áèôóðêàöèîííûìè êðèâûìè, âíóòðåííîñòü êîòîðîé ñîñòîèò èç ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà).
Íóìåðóåì ýòè îáëàñòè â ïðîèçâîëüíîìïîðÿäêå (ñòàâèì íîìåð â êàæäóþ îáëàñòü). Áåðåì ïðîèçâîëüíîå ðåãóëÿðíîå çíà÷å-(hi , ki )íèåhi =öèèäëÿ îáëàñòè ñ íîìåðîìiè ñòðîèìUki (r).Îòìå÷àåì íà ãðàôèêå ëèíèþconst è ñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ñâÿçíûõ îáëàñòåé, ëåæàùèõ ïîä ãðàôèêîì ôóíê-Uki (r) ýòî ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì òîðîâ â ïðîîáðàçå îáëàñòè ñ íîìåðîìi.Ýòó îïåðàöèþ ïðîâîäèì äëÿ êàæäîé îáëàñòè.  ðåçóëüòàòå íàì ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíî ÷èñëî òîðîâ, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçå êàæäîé îáëàñòè.Øàã 6.Åñëè íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå åñòü äóãà èëè ïîääóãà òèïàB,ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé äóãå ëèñò áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà ïðèêëååí ê êîìïëåêñó ïî ýòîé ïîääóãå.
Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, ê êàêîìó èìåííî ëèñòóêîìïëåêñà ïðèêëåèâàåòñÿ äóãà òèïàa)îòìåòèì çíà÷åíèÿ{ki }B.Äëÿ ýòîãî:âñåõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ è ñàìîïåðåñå÷åíèÿ áèôóð-êàöèîííûõ äóã, à òàêæå âñåõ òî÷åê âîçâðàòà; ïóñòü ýòè çíà÷åíèÿ (k0k0 , k1 , . . . , kN= 0);b) âûáåðåì íà êàæäîì èíòåðâàëå (ki , ki+1 ) ïðîèâîëüíîå çíà÷åíèå k i : k 1 , k 2 , . . . , k N56(çäåñük N = kN + ε çíà÷åíèåk,äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóþò òî÷êè â îáðàçå îòîá-ðàæåíèÿ ìîìåíòà) è ïîñòðîèì âñå ôóíêöèèc)ïðîâåäåì ïðÿìóþki =Uki (r);const è îòìåòèì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîéñ áèôóðêàöèîííûìè äóãàìè. Ïðîíóìåðóåì ýòè òî÷êè ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëèïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîääóãîé íîìåðAi(àíàëîãè÷íî d)h:iòèïàA,òî òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåìBi );âûïèñûâàåì ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè òî÷êè ïî âîçðàñòàíèþ çíà÷åíèÿ ýíåðãèèïîëó÷àåì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íàïðèìåð,A1 A2 A3 B3 B2(ýòà ïîñëåäî-âàòåëüíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïåðåñåêëè äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñ íîìåðàìèe)1, 2, 3,à òàêæå èõ ïîääóãè òèïîâñòðîèì ôóíêöèþUki (r)AèB );è îáîçíà÷àåì ìèíèìóìû è ìàêñèìóìû íà ãðàôè-êå ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì: êàæäîìó ìèíèìóìó ïðèñâàèâàåì ñîîòâåòñòâóþùååîáîçíà÷åíèåf)Ai ,êàæäîìó ìàêñèìóìó íà ïðÿìîékiBj ;ìåæäó òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ áèôóðêàöèîííû-ìè äóãàìè îòìåòèì íîìåðà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâÿçíûõ îáëàñòåé; òåïåðü êàæäîìóîáîçíà÷åíèþ äóãèAi(èëèîòðåçêå ñïðàâà îò òî÷êèBi )Ai .ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íîìåð îáëàñòè, ëåæàùèé íàÏîëó÷àåì íàáîð ïàð, ñîñòîÿùèõ èç îáîçíà÷åíèÿ äóãèè îáëàñòè, íàïðèìåð:(A1 , 1), (A2 , 3), (A3 , 4), (B3 , 6), (B2 , 1).g)âûïèøåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðàìåðóåì èõ ïî âîçðàñòàíèþräëÿ êàæäîãî ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà.
Íó-r : r1 < r2 < ...;ýêñòðåìóìó ñîîòâåòñòâóåò åãî îáîçíà÷åíèåh)äëÿ êàæäîãîkiòàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ëîêàëüíîìóAiè ÷èñëîrj ;ìû ïîëó÷èëè íàáîð òðîåê, íàïðèìåð:(A1 , 1); r1 , (A2 , 3); r3 , (A3 , 4); r5 , (B3 , 6); r4 , (B2 , 1); r2 .Òåïåðü ðàññìîòðèì êàæäóþ òðîéêó, ñîäåðæàùóþ îáîçíà÷åíèåíàïðèìåð(Bj , n); rk .Íàõîäèì òðîéêè(Ap , a); rk−1è(Aq , b); rk+1 .òîðû, ðîäèâøèåñÿ â ïðîîáðàçå îáëàñòåé ñ íîìåðàìè57Bj :aèb,Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîïðè ôèêñèðîâàííîìçíà÷åíèèkiè ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ýíåðãèèh,ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç äóãóñêëåèâàþòñÿ â òîð, íàõîäÿùèéñÿ â ïðîîáðàçå îáëàñòèïåðåøëè â îáëàñòü6,i)n: íàïðèìåð, îáëàñòè 3 è 4ò.å.
äëÿ ïðèâåä¼ííîãî ïðèìåðà ïîääóãàåòñÿ ê ëèñòó êîìïëåêñà, îáðàçîâàííîìó äóãîéBjBäóãè3ïðèêëåèâà-2;ïðîäåëûâàåì ïóíêòû a)h) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿkiè â ðåçóëüòàòå óçíà¼ì,êàêèå ëèñòû êîìïëåêñà ïðèêëåèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó ïî ïîääóãàì òèïàB,òî åñòüïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàåì áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ.Äîêàæåì óòâåðæäåíèå2, êîòîðûì ìû ïîëüçóåìñÿ â ÷åòâåðòîì øàãå àëãîðèòìà.Óòâåðæäåíèå 2 Ôèêñèðóåì çíà÷åíèå èíòåãðàëà k = ki . Åñëè äëÿ äóãè (äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðàr)ôóíêöèÿUki (r)èìååòsñîâïàäàþùèõ ïî çíà÷åíèþ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ (èëè ìèíèìóìîâ), òî ýòà äóãà íàëîæåíà íà ñåáÿÄîêàçàòåëüñòâî.íèérièrjsðàç è èìååò òèïÏóñòüïàðàìåòðàr,s = 2.sAèëèsB .Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ äëÿ çíà÷å-òî â òî÷êå(h(ri ), k(ri ))ñîîòâåòñòâóþùàÿ äóãà áèôóðêà-öèîííîé äèàãðàììû óäâàèâàåòñÿ.
 ñèëó ãëàäêîñòè äóãè è ôóíêöèèUki (r)äóãàóäâàèâàåòñÿ âî âñåõ å¼ ðåãóëÿðíûõ òî÷êàõ (àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò âñëó÷àå ñîâïàäåíèÿsëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ èëè ìèíèìóìîâ)..Áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ (åãî ïîëîâèíà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèÿìk > 0)è åãî ïðîåêöèÿ íà áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó, êîòîðàÿ ïðèâåäåíà äëÿ èëëþñòðàöèè àëãîðèòìà, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 18.58Ðèñ. 18: âåðõíÿÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû (k> 0)äëÿ ìîäåëüíîãî ïðè-ìåðà ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ è âîçìîæíûé âèä áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà, îòâå÷àþùåãî ýòîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (åå âåðõíåé ÷àñòè).1.7Ïîñòðîåíèå ãðóáîé ìîëåêóëû ñèñòåìû íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèÅñëè äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ïîñòðîåí áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ, òî ïî íåìóìîæíî ïîñòðîèòü ãðóáóþ ìîëåêóëó (áåç ìåòîê).
Îäíàêî, ïîñòðîåíèå ìîëåêóëû âîçìîæíî íå äëÿ êàæäîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3h .Íàïîìíèì, ÷òî òåîðèÿòîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ïðèìåíèìà òîëüêî ê ñèñòåìàì, îãðàíè÷åííûì íàíåîñîáûå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèQ3h , ò.å. íà òàêèå ïîâåðõíîñòè, ãäå dH 6= 0âî âñåõ òî÷êàõ. Èçó÷èì ïîäðîáíåå, êàê çàïèñûâàåòñÿ óñëîâèå íåîñîáîñòè äëÿ èññëåäóåìûõ ñèñòåì.Ëåììà 19 (êðèòåðèé íåîñîáîñòè èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Q3h ).Èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüêîãäàh 6= V (0), h 6= V (L)èQ3hh 6= V (ri ),ÿâëÿåòñÿ íåîñîáîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,ãäåV 0 (ri ) = 0.59Äîêàçàòåëüñòâî.(x, p)Îáîçíà÷èì ÷åðåçPìíîæåñòâî ïîëþñîâ, ò.å.
ìíîæåñòâî òî÷åêôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, òàêèõ, ÷òî1) Ïóñòük 6= 0.Çàïèøåìx îäèí èç ïîëþñîâ ñôåðûS 2.dH :dH = {pr ,kk2+ V 0 (r), 0}.,−203f (r)f (r)f (r)Îòñþäà âèäíî, ÷òî âíå ïîëþñîâ2) Ïîêàæåì, ÷òî â ïîëþñåP∂H∂k=kf 2 (r)6= 0,ò.å. ïîâåðõíîñòüëþáàÿ òî÷êà èçQ3hQ3híåîñîáàÿ.íåîñîáàÿ, åñëè è òîëüêî åñëèh∈/ {V (0), V (L)}.Èç ïðåäûäóùåãîH|P =Òîãäà ïðèçíà÷èò,E > V (0)p2x + p2y+ V (0) = E.2ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü ïîëþñîâdH|P T Q3h = {px , py , 0, 0} =6 0.Ïóñòü òåïåðüE = V (0).Çíà÷èò,Q3hPTQ3h (p2x + p2y = E − V (0)), íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü âÒîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïîëþñ, ÿâëÿþùèé-ñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ (ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êîé ðàíãà 0), ò.å.dH|P T Q3h = 0.Ñëåäîâàòåëüíî,Íàêîíåö, ïóñòüP.E < V (0).Q3hP = {0, 0},è îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü.ÒîãäàPTQ3h = ∅,ò.å.Q3h íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü âïîëþñàõ.3) Ïóñòü òåïåðüÒîãäà òî÷êàk = 0, ðàññìîòðèì ñëó÷àé âíå ïîëþñîâ.
Èìååì dH = {pr , 0, V 0 (r), 0}.(pr , k, r, ϕ) ∈ Q3h îñîáàÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (pr= 0 ⇒E = V (r) è V 0 (r) = 0). Ñëåäîâàòåëüíî, Q3h íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü â îêðåñòíîñòèTQ3h {k = 0} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà E 6= V (ri ), V 0 (ri ) = 0. Òî÷åê ri êîíå÷íîå÷èñëî, ò.ê.V (r) ôóíêöèÿ Áîòòà,V (r) 6= const.Ëåììà 20 Ïóñòü Q3h íåîñîáàÿ èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü.
Òîãäà k|Q3 hôóíêöèÿ Áîòòà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ëþáîé òî÷êåùåé íà êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè, èìååìñëåäóþùåìó: ïðÿìàÿÄîêàçàòåëüñòâî.h=Uk00i (ri ) 6= 0.{0, ki , ri , ϕ},ëåæà-Ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíîconst íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè âîçâðàòà.Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñâòèåì ëåì-ìû 8, à èìåííî, ýêâèâàëåíòíîñòè óñëîâèé 1) è 4) ëåììû, òàê êàê áîòòîâîñòü èí-60òåãðàëàKíàQ3hîçíà÷àåò, ïî îïðåäåëåíèþ, íåâûðîæäåííîñòü âñåõ êðèòè÷åñêèõH = h..îêðóæíîñòåé íà óðîâíåÈñõîäÿ èç äîêàçàòåëüñòâà, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîâåðõíîñòüêî òîãäà, êîãäàáàÿ ïðèh 6= h∗ ,Q3h íåîñîáàÿ òîãäà è òîëü-Uk00i (ri ) 6= 0.
À ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåðõíîñòü íåîñîãäåh∗ çíà÷åíèå ýíåðãèèhäëÿ òî÷åê èçëîìà.Âî âñåõ äàëüíåéøèõ óòâåðæäåíèÿõ ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýíåðãèÿãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèQ3hhèçîýíåð-óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåìì 19 è 20.Ëåììà 21 Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ýíåðãèè h íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå ïåðåñåêàþòñÿsäóã òèïàB.þùåé ýòîé òî÷êå âåðøèíå àòîìÄîêàçàòåëüñòâî.íà äâà êóñêà:ÐàçðåæåìQ3hQ+ := {k > 0}èÒîãäà íàQ3hìîëåêóëà èìååò â ñîîòâåòñòâó-Vs .âäîëü ïîâåðõíîñòèQ− := {k < 0}.îïðåäåëåíà òîëüêî â ïîëþñàõ, íî òàì{k = 0}.ÒîãäàQ3hðàñïàäåòñÿÇàìåòèì, ÷òî êîîðäèíàòàϕíåk = 0, à ýòîò óðîâåíü ìû âûêèíóëè. Êàæäûéèç êóñêîâ èìååò òèï ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðåäúÿâèâãëîáàëüíîå òðàíñâåðñàëüíîå ñå÷åíèå: îíî çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò íà ýòîì ñå÷åíèè âîçüìåìp2r2+k22f 2 (r)+ V (r) = h0 ,Q+(r, pr ).const}.Òîãäà, òàê êàêòîk(r) = ±ÍàPtr = {ϕ =áåðåòñÿ çíàê +, íàp(2(h0 − V (r)) − p2r )f 2 (r).Q− çíàê −.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
