Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Çàòåì äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ âû÷èñëåíû ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ è ïî íèì ïîñòðîåíû ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.125Òàêæå âî âòîðîé ãëàâå ïðèâåäåí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìàòðèö ñêëååê íà ðåáðàõ ìîëåêóëû è ìàòðèö ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0.Ýòîò àëãîðèòì ïðèìåíåí ê ñèñòåìàì íà ìíîãî-îáðàçèÿõ âðàùåíèÿ è, êàê ïðèëîæåíèå, ê îáîáùåííîìó âîë÷êó Ëàãðàíæà äëÿâû÷èñëåíèÿ ìåòîê â èíâàðèàíòå Ôîìåíêî-Öèøàíãà, à òàêæå ìàòðèö ìîíîäðîìèèèçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0.Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå àâòîðîì â íàñòîÿùåé ðàáîòå.1. Ïîëó÷åíà ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ ñ òî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
Èíûìè ñëîâàìè, êëàññèôèöèðîâàíû âñå ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ. Ýòà êëàññèôèêàöèÿ ïîëó÷åíà íà îñíîâå âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâÔîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíûõ ìîëåêóë) èññëåäóåìûõ ñèñòåì.2. Ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ 3-ìíîãîîáðàçèéâìåñòå ñî ñëîåíèÿìè Ëèóâèëëÿ íà íèõ.3. Äîêàçàíî, ÷òî èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ ñ ãëàäêèì ïîòåíöèàëîì, îãðàíè÷åííûå íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû òðåõìåðíûõèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òîïîëîãè÷åñêè (ëèóâèëëåâî) ýêâèâàëåíòíû ðàçëè÷íûì êëàññè÷åñêèì èíòåãðèðóåìûì äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì.
À èìåííî, â ñëó÷àå, åñëè ìîëåêóëà èññëåäóåìîé ñèñòåìû, îãðàíè÷åííîé íàíåîñîáîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå 3-ìíîãîîáðàçèå, èìååò âèäA − A,òî ïðàêòè÷åñêè äëÿêàæäîé êëàññè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (à èìåííî, äëÿ êàæäîé ñèñòåìû, îáëàäàþùåé ìîëåêóëîéA − A,íàïðèìåð, äëÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà, ñè-ñòåìû Êîâàëåâñêîé, ñèñòåìû Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà-Ñðåòåíñêîãî è äð.) ñóùåñòâóþòòàêèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèèh (äëÿ êàæäîé ñèñòåìû ñâîè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè), ÷òî äàííàÿêëàññè÷åñêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà, îãðàíè÷åííàÿ íàQ3h ,ÿâëÿåòñÿ ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, îãðàíè÷åííîé íà íåîñîáîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå 3-ìíîãîîáðàçèå.
Åñëè æå ìîëåêóëà ñèñòåìû èìååò âèä äåðåâà, òîïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì126ÿâëÿåòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíîé ãåîäåçè÷åñêîìó ïîòîêó íà ñôåðå ñ ïîäõîäÿùåéìåòðèêîé âðàùåíèÿ. ïðîöåññå íàïèñàíèÿ ðàáîòû áûëè ñôîðìóëèðîâàíû íîâûå çàäà÷è, êîòîðûåìîæíî ðåøàòü, îïèðàÿñü íà òåêñò äàííîé äèññåðòàöèè.
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûåèç íèõ:1. Ïðîâåñòè òðàåêòîðíóþ êëàññèôèêàöèþ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ âïîòåíöèàëüíîì ïîëå, à èìåííî: âû÷èñëèòü ôóíêöèè âðàùåíèÿ íà ðåáðàõ ìîëåêóëû(ýòà çàäà÷à áûëà íà÷àòà àâòîðîì, âñëåäñòâèå ÷åãî âîçíèêëà ãèïîòåçà).Ãèïîòåçà.Ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïàðà ôóíêöèé(f (r), V (r)),íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ è òàêîå çíà÷åíèå ýíåðãèèìîëåêóëû (AQ3h ,− A, A − VkèëèVk − Vl )h,çàäàþùèõ ñèñòåìó÷òî íà âûáðàííîì ðåáðåñèñòåìû, îãðàíè÷åííîé íà 3-ìíîãîîáðàçèåðåàëèçóåòñÿ ëþáîé ñèììåòðè÷íûé âåêòîð âðàùåíèÿ (â ñëó÷àå, åñëè íà êîíöåðåáðà ñòîèò àòîìA,òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàåâàÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà âðàùåíèÿîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿìèf (r)èV (r),à â ñëó÷àå, åñëè íà êîíöå ðåáðàñòîèò ñåäëîâîé àòîì, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîîðäèíàòà ðàâíà±∞).Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî (èëè îïðîâåðæåíèå) ýòîé ãèïîòåçû è èçó÷åíèå òðàåêòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè â öåëîì äëÿ äàííîãîêëàññà ñèñòåì.2.
 äèññåðòàöèè ïîëíîñòüþ èññëåäîâàíà òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ, ãîìåîìîðôíûõ äâóìåðíîé ñôåðå.  ñëó÷àå, åñëèìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ ãîìåîìîðôíî äâóìåðíîìó òîðó, ñèñòåìà òàêæå îñòàåòñÿèíòåãðèðóåìîé. Ïîýòîìó âòîðîé èíòåðåñíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå òîïîëîãèèäëÿ ñëó÷àÿM ≈ T 2.3. Ìû èññëåäîâàëè ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëîì, äðóãèìè ñëîâàìè, íà òî÷êó, äâèæóùóþñÿ ïî ìíîãîîáðàçèþM , äåéñòâîâàëà ïîòåíöèàëüíàÿ ñèëà V . Ìîæíî îáîáùèòüçàäà÷ó è äîáàâèòü ìàãíèòíóþ ñèëóB â ñèñòåìó. Ñèñòåìà îñòàíåòñÿ èíòåãðèðóåìîé,è èíòåðåñíî áûëî áû ïîñìîòðåòü, êàê ìàãíèòíàÿ äîáàâêà ïîâëèÿåò íà òîïîëîãèþñèñòåìû ýòî ÿâëÿåòñÿ òðåòüåé îñíîâíîé çàäà÷åé.1274.
Åñëè óäàëèòü èç ñôåðûS 2,ÿâëÿþùåéñÿ êîíôèãóðàöèîííûì ïðîñòðàíñòâîìèçó÷àåìûõ ñèñòåì, ïîëþñà, òî è êîíôèãóðàöèîííîå, è ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâà áóäóòíåêîìïàêòíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ èçó÷åíèÿ òîïîëîãèè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, âîçíèêàþùåãî â òàêèõ ñèñòåìàõ, êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ íåïðèìåíèìà, òàêêàê ðåãóëÿðíûå ñëîè â òàêîé çàäà÷å ìîãóò áûòü íå òîëüêî òîðàìè, íî è öèëèíäðàìè(ñîãëàñíî òåîðåìå Ê.Àëåøêèíà).
Ñîîòâåòñòâåííî, âîçíèêàåò çàäà÷à èññëåäîâàòüòîïîëîãèþ ïîëó÷åííîé íåêîìïàêòíîé ñèñòåìû.5. Âàæíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ äàëüíåéøåå èçó÷åíèå ðåøåòîê ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷åíû ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ òîëüêî äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà ìîëåêóëà ñèñòåìû ñîñòîèò òîëüêî èç àòîìîâA è Vk . Èíòåðåñíî óçíàòü,êàê âåäóò ñåáÿ ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ (è, ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåòêè)â ñëó÷àå, åñëè â ìîëåêóëå ïðèñóòñòâóþò è äðóãèå àòîìû. Ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê è ìàòðèö ìîíîäðîìèè, ïîýòîìó áûëî áûïîëåçíî ïðèäóìàòü íàèáîëåå ïîäðîáíûé è îáùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåòîê ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, íå ïðèâÿçàííûé êêîíêðåòíîé ñèñòåìå.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìàõ ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äâóìåðíûå, îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå, à èìåííî, âñèñòåìàõ ñãäàn ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ðàçìåðíîñòü ðåøåòîê ðàâíà n (åñòåñòâåííî, íå âñå-n = 2). Ïðè èçó÷åíèè è ïîñòðîåíèè ðåøåòîê è ïðè ñîçäàíèè îáùèõ àëãîðèòìîâðàáîòû ñ íèìè ýòîò ôàêò ñëåäóåò ó÷èòûâàòü.128Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] À.Â.Áîëñèíîâ, À.Ò.Ôîìåíêî, Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû, ò.1, ò.2, èçä.äîì Óäìóðò.óí-ò, 1999.[2] À.Ò.Ôîìåíêî,Òîïîëîãè÷åñêèåèíâàðèàíòûãàìèëüòîíîâûõñè-ñòåì, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ, Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ.
1988, ò.22, âûï.4, ñ.38-51. English translation: A.T. Fomenko,Topological invariants of Hamiltonian systems that are integrable in thesense of Liouville, Functional Anal. Appl. 22 (1988), No.4, pp.286-296.[3] A.T. Fomenko, The theory of invariants of multidimensional integrableHamiltoniansystems(witharbitrarymanydegreesoffreedom).Molecular Table of all integrable systems with two degrees of freedom,In: Topological Classication of Integrable Systems.
- Advances in SovietMathematics. v.6, 1991. Amer.Math.Soc. pp.1-36.[4] Ì.Þ.Èâî÷êèí, Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äâèæåíèÿ ýëëèïñîèäà ïîãëàäêîé ïëîñêîñòè, Ìàòåì.Ñá., 2008, ò.199, ñòð.85104[5] Ã.Ì.Ñå÷êèí, Òîïîëîãèÿ äèíàìèêè íåîäíîðîäíîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ íà ãëàäêîé ïëîñêîñòè, äèïëîìíàÿ ðàáîòà, êàô.äèôô.ãåîì. èïðèë. ÌÃÓ, 2015, Ìîñêâà[6] A.V.Bolsinov,Geometry,A.T.Fomenko,Topology,IntegrableClassication,HamiltonianCHAPMANandSystems.HALL/CRC.A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington,D.C.
USA, 2004.[7] M.Audin, Hamiltonian Systems and Their Integrability, SMF/AMSTexts and Monographs, 2008, vol.15.129[8] À.Ò.Ôîìåíêî,Òåîðèÿáîðäèçìîâèíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõíåâûðîæäåííûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Íîâûé òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò ìíîãîìåðíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ÈçâåñòèÿÀÍ ÑÑÑÐ, ñåðèÿ ìàòåì., ò.55, 4, 1991, ñòð.747779[9] À.Ò.Ôîìåíêî, Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò, ãðóáî êëàññèôèöèðóþùèé èíòåãðèðóåìûå ñòðîãî íåâûðîæäåííûå ãàìèëüòîíèàíû íà ÷åòûðåõìåðíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ, Ôóíêö.àíàëèç è åãîïðèëîæåíèÿ, 1991, ò.25, âûï.4, ñòð.2325Englishroughlytranslation:classiesdimensionalFomenkostrictlysymplectcA.T.,Atopologicalnondegeneratemanifolds,invariantHamiltoniansFunctionalonAnalysiswhichfour-anditsApplications, 1991, v.25, 4, p.262.[10] À.Â.Áîëñèíîâ, À.Ò.Ôîìåíêî, Òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà äâóìåðíûõ ýëëèïñîèäàõ.
Çàäà÷à ßêîáè òðàåêòîðíî ýêâèâàëåíòíà èíòåãðèðóåìîìó ñëó÷àþ Ýéëåðà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà, Ôóíêö.àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 1995, òîì 29, 3, ñòð.115[11] À.Â.Áîëñèíîâ, À.Â.Áîðèñîâ, È.Ñ.Ìàìàåâ, Òîïîëîãèÿ è óñòîé÷èâîñòüèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, Óñï.Ìàòåì.Íàóê, 2010, ò.65, âûï.2 (392),ñòð.71132[12] A.T.Fomenko,P.V.Morozov,Somenewresultsintopologicalclassication of integrable systems in rigid body dynamics, ProceedingsoftheWorkshopContemporaryGeometryandRelatedTopics,Belgrade, Yugoslavia, 1521 May 2002, World Scientic Publishing Co.,2004, pp.201222.[13] A.V.Bolsinov,intheTheoryA.T.Fomenko,ofIntegrableA.A.Oshemkov,HamiltonianCambridge Scientic Publishers, 2006.130TopologicalSystemsMethods(ìîíîãðàôèÿ),[14] Å.À.Êóäðÿâöåâà, È.Ì.Íèêîíîâ, À.Ò.Ôîìåíêî, Ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûå êëåòî÷íûå ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòåé è èõ íàêðûòèÿ, Ìàòåì.Ñá., 2008, ò.199, 9, ñòð.396.[15] Å.À.Êóäðÿâöåâà,À.Ò.Ôîìåíêî,Ãðóïïûñèììåòðèéïðàâèëüíûõôóíêöèé Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ, Äîêëàäû ÐÀÍ, ñåðèÿ: ìàòåìàòèêà, 2012, òîì 446, 6, ñòð.615617.[16] A.T.Fomenko,HamiltonianA.Yu.Konyaev,Systems,In:AlgebraContinuousandandGeometryDisturbedThroughSytems.Theory and Applications, vol.211, pp.321, Editors: V.Z.Zgurovsky,V.A.Sadovnichiy.
Springer, 2014.[17] À.Ò.Ôîìåíêî, Õ.Öèøàíã, Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò è êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì., 1990, 54:3, 546575[18] A.T.Fomenko, S.S.Nikolaenko, The Chaplygin case in dynamics of arigid body in uid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid bodydynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid,Journal of Geometry and Physics, 2015, vol.87, pp.115133.[19] A.T.Fomenko, E.O.Kantonistova, Topological Classication of GeodesicFlowsonRevolution2-SurfaceswihPotentialIn:ContinuousandDisturbed Sytems. Theory and Applications, Editors: V.Z.Zgurovsky,V.A.Sadovnichiy. Springer, 2015.[20] À.Â.Áîëñèíîâ, À.Ò.Ôîìåíêî, Ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ èíòåãðèðóåìûõãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà ïîâåðõíîñòÿõ, èçä-âî ÓÐÑÑ, 1999[21] A.V.Bolsinov, B.Jovanovic, Integrable geodesic ows on Riemmannianmanifolds: construction and obstructions, Contemporary geometry andrelated topics, 57103, World Sci.Publ., River Edge, NJ, 2004.131[22] Í.Â.Êîðîâèíà, Òðàåêòîðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà, Äîêëàäû Àêàäåìèè Íàóê, 2000, ò.375,2, ñòð.163165.[23] À.Áåññå, Ìíîãîîáðàçèÿ ñ çàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè, èçä-âî Ìèð,1981.[24] Ì.Â.Íîâèêîâ, Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íàòóðàëüíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé, äèïëîìíàÿ ðàáîòà, êàô.äèôô.ãåîì.
è ïðèë. ÌÃÓ, 2012,Ìîñêâà[25] M.Engman, A note on isomorphic embeddings of surfaces of revolution,The American Mathematical Monthló, 01/2002.[26] Å.Î.Êàíòîíèñòîâà, Öåëî÷èñëåííûå ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèåäëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà, Âåñòí.Ìîñê.Óíòà, Ñåð.1, Ìàòåì.Ìåõ., 2012, 1, ñòð.5458.[27] Å.Î.Êàíòîíèñòîâà, Öåëî÷èñëåííûå ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿäëÿ ñèñòåìû ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê , Âåñòí.Ìîñê.Óíòà, Ñåð.1, Ìàòåì.Ìåõ., 2014, 4, ñòð.617.[28] Å.Î.Êàíòîíèñòîâà, Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ, Âåñòí.Ìîñê.Óíòà,Ñåð.1, Ìàòåì.Ìåõ., 2015, 5, ñòð.4144.[29] Å.Î.Êàíòîíèñòîâà, Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ â ïîòåíöèàëüíîìïîëå, Ìàòåì.ñá., 2016, 3.[30] Å.À.Êóäðÿâöåâà, Ä.À.Ôåäîñååâ, Ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû ñ çàìêíóòûìè îðáèòàìè íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ, Ìàòåì.Ñá., 2015, òîì 206,5, ñòð.107126.132[31] À.Ò. Ôîìåíêî, Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, Óñï.ìàòåì.íàóê, 1989, ò.44, âûï.1 (265),ñ.145-173[32] À.Þ.
Ìîñêâèí, Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ ÄóëëèíàÌàòâååâà íà äâóìåðíîé ñôåðå, Ìàòåì. ñá., ò.199, 3,c. 95132, 2008[33] A.T.Fomenko,singularitiesA.Yu.Konyaev,inintegrableNewapproachHamiltoniantosystems,symmetriesTopologyandanditsApplicationsm 2012, vol.159, pp.19641975.[34] Ï.Ê.Ðàøåâñêèé, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, ãîñ.èçä-âîòåõíèêî-òåõíè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, Ìîñêâà, 1950[35] B.Zhilinskii, Monodromy and complexity of quantum systems, TheComplexity of Dynamical Systems: A Multi-disciplinary Perspective,Eds.J.Dubbeldam, K.Green, and D.Lenstra, Wiley, Singapore, 2011,159181[36] B.Zhilinskii, Hamiltonian monodromy as lattice defect, Topology inCondensed Matter, Springer Series in Solid-State Sciences, 150, 2006,165186[37] B.Zhilinskii, Interpretation of quantum Hamiltonian monodromy interms of lattice defects, Acta Appl.Math.2005, 87, 281307[38] J.J.Duistermaat,Onglobalaction-anglevariables,Comm.PureAppl.Math.,33, 1980, 687706[39] R.Cushman, D.A.Sadovskii, Monodromy in the hydrogen atom incrossed elds, Physica D 142, 2000, 166196133[40] S.VuNgoc,Quantummonodromyinintegrablesystems,Comm.Math.Phys.,203, 1999, 2, 465479[41] M.S.Child, Quantum states in a champagne bottle, J.Phys.
A, 31(2),1998, 657670[42] L.Grondin,D.Sadovskii,B.Zhilinskii,Monodromyinsystemswithcoupled angular momenta and rearrangement of bands in quantumspectra, Phys.Rev.A (3)65, 2001, 1015[43] D.A.Sadovskii, Monodromy, diabolic points, and angular momentumcoupling, Phys.Lett.A 256, 1999, 4, 235244[44] Î.Å.Îðåë, Ø.Òàêàõàøè, Òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷ Ëàãðàíæà è Ãîðÿ÷åâà×àïëûãèíà ìåòîäàìè êîìïüþòåðíîãî àíàëèçà, Ìàòåì.ñá., 1996, 187, 1, 95112.[45] À.Â.Áîëñèíîâ, Ñ.Â.Ìàòâååâ, À.Ò.Ôîìåíêî, Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïðîñòûõ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ñïèñîê ñèñòåì ìàëîé ñëîæíîñòè, ÓÌÍ 1990,ò.45, 2, 4978.134.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
