Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ñ íàëè÷èåì ìîíîäðîìèè. Ïîýòîìó, ÷òîáû çàäàòü ëèíèè óðîâ-íÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ íà âñåì îáðàçå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ãëàäêèì îáðàçîì,ïðèõîäèòñÿ äåëàòü ñèñòåìó ðàçðåçîâ.Ìû ìîæåì äåëàòü ñèñòåìó ðàçðåçîâ ëþáûì óêàçàííûì â ïàðàãðàôå 2.2 ñïîñîáîì, ïîýòîìó îïèøåì óíèôèöèðîâàííóþ ñèñòåìó ðàçðåçîâ, êîòîðûå íàì áóäåòóäîáíî äåëàòü â íàøåé çàäà÷å.Ðàçðåçû ïîíàäîáèòñÿ äåëàòü òîëüêî â êàìåðàõ, ãðàíèöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿëóíêè è ïàðàáîëû, òàê êàê êàìåðû, îãðàíè÷åííûå êëþâàìè, îäíîñâÿçíû. Âûáåðåì â êàìåðå èçîëèðîâàííóþ îñîáóþ òî÷êó ðàíãà0ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåéh0è ñäåëàåì â êàæäîé êàìåðå ðàçðåç, äåëÿùèé åå íà äâå ÷àñòè, íóëåâûì óðîâíåìèíòåãðàëàK.Êàæäûé èç äâóõ êóñêîâ î÷åâèäíî áóäåò îäíîñâÿçíîé îáëàñòüþ.
Âêàæäîì èç ïîëó÷åííûõ êóñêîâ îïðåäåëèì ïåðåìåííóþ äåéñòâèÿ ïî ôîðìóëå (6)100(ðåçóëüòàò îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííîI2 +ïðèk>0I2 −èïðèk < 0).Ëåììà 24 Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ íåîñîáóþ òî÷êó x êîìïëåêñà íà íóëåâîìKóðîâíå èíòåðãàëàI2 +(ïðèíàäëåæàùóþ êàêîìó-òî ðàçðåçó). ÔóêíöèèèI2 −ìîæíî ãëàäêèì îáðàçîì ïðîäîëæèòü â íåêîòîðóþ ìàëóþ îêðåñòíîñòü òî÷êèÒîãäà ýòè ïðîäîëæåíèÿ (êîòîðûå òàêæå îáîçíà÷èìI2 +èI2 −)xâ ýòîé îêðåñò-íîñòè ñâÿçàíû ôîðìóëîé:I20 (h, k) = I2 (h, k) − i · k,iãäå êîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê ðàíãàÄîêàçàòåëüñòâî.íà0ríàM−4 .A−Aíà ðåáðåïîñòðîåííîé â îáëàñòèk > 0.Q3îïðåäåëÿåòñÿ êîëè-Q3 ,ìû ìîæåìε = +1,ò.ê. îðèåí-Çíàÿ òîïîëîãè÷åñêèé òèïQ3ìîëåêóëû íàòàöèÿ áàçèñà íå ìåíÿåòñÿ).
Âûáåðåì áàçèñI1M−4 (h).Ñîãëàñíî ëåììå 22 òîïîëîãè÷åñêèé òèï÷åñòâîì îñîáûõ òî÷åê ðàíãàîïðåäåëèòü ìåòêó0(e1 , e2 )(à ìåòêàâáëèçè äóãè òèïàAíà ðåøåòêå,Ìû çíàåì, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿãëîáàëüíî îïðåäåëåíû, ïîýòîìó ìîæåì âûáðàòü îäèí áàçèñíûé öèêëòèïàAâ îáëàñòèk < 0.âòîðîãî áàçèñíîãî öèêëàîñîáàÿ òî÷êà ðàíãàe01 = e1 ,0,Òåïåðü, çíàÿ ìåòêór,ìû ìîæåì íàéòè âûðàæåíèå äëÿòîãäàQ3 ≈ S 3 ,ò.å.
ìåòêàr = 0.Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òîM ðàâåí −1, e1010e1 · , =e20a −1e2à òàêæå îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðåõîäàïîëó÷àåìñëåäîâàòåëüíî îáðàòíàÿ òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà èìååò âèär = 0,àε = +1,âîññòàíîâèëè öèêëíà äóãåe02 . Ïóñòü, íàïðèìåð, äëÿ èññëåäóåìîé Q3 íà M−4 åñòü îäíàêàêe01òî ïîëó÷àåì, ÷òîa = 1,ñëåäîâàòåëüíî1a. Òàê0 −10e2 = e1 − e2 , ò.å. ìûe02 .Ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðèöû ïåðåõîäà ìåæäó áàçèñàìè ïî ðåøåòêå ïåðåìåííûõäåéñòâèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìà èç ïàðàãðàôà 2.5 òðàíñôîðìàöèÿ âûáðàííîãî áàçèñà ïðîèñõîäèò â ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ îñè101h.Ïîýòîìó ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òîïåðâûé áàçèñ âûáðàí âáëèçè îñèîñèh â îáëàñòè k > 0, à âòîðîé áàçèñ ïîëó÷åí âáëèçèh â îáëàñòè k < 0. Çíàÿ îáà áàçèñà ñ îáåèõ ñòîðîí îò îñè h, ìû ìîæåì ãëàäêèìîáðàçîì ïðîäîëæèòü ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿI2 (h, k)â íèæíþþ ïîëó-ïëîñêîñòü.  ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ñ îäíîé îñîáîé òî÷êîé ðàíãàçàäàåòñÿ ôîðìóëîéïðîäîëæåíèåI20 (h, k) = I2 (h, k) − k .h = Vmin îêðåñòíîñòè ìèíèìàëüíîé äîïóñòèìîé ýíåðãèèèìååò òèï0ìîëåêóëà âñåãäàA − A, ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè ìèíèìàëüíî äîïóñòèìîé ýíåðãèè ðåøåòêàîäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ.
Äàëåå îòìåòèì, ÷òî òàê êàê áèôóðêàöèîííûå êðèâûå íå ïåðåñåêàþò îñüh∗h(ñì. ãëàâó 1.2), òî ïðè óâåëè÷åíèè ýíåðãèè ýíåðãèè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè ðàíãàäåéñòâèÿ â îêðåñòíîñòè îñèæóòêà[Vmin , h∗ ]híå èçìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó äëÿ ýíåðãèéI2 (h, k)0.äîhèç ïðîìå-áóäóò ïðîäîëæàòüñÿ âÑëåäóþùàÿ ïåðåñòðîéêà ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿðàíãàVminI20 (h, k) = I2 (h, k) − k .íèæíþþ ïîëóïëîñêîñòü ïî ôîðìóëåhîò0 ñòðóêòóðà ðåøåòêè ïåðåìåííûõëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿäåò ïðè ïåðåõîäå ýíåðãèèh÷åðåç óðîâåíü ýíåðãèèh∗I2 (h, k)ïðîèçîé-èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êèÎïèøåì ýòó ïåðåñòðîéêó.
Äàëåå (ñì. ëåììó 26) áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïðèâûáîðå ïåðâîãî áàçèñà óêàçàííûì â àëãîðèòìå ñïîñîáîì ìàòðèöà ìîíîäðîìèè ïðèîáõîäå âîêðóã òî÷êè òèïà ôîêóñôîêóñ áóäåò èìåòü âèä1 1.Ïîýòîìó äëÿ0 1âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ âûáðàííûìè áàçèñàìè â ñëó÷àå, åñëèýíåðãèÿh áîëüøå ýíåðãèè h∗ òî÷êèôîêóñôîêóñ, íåîáõîäèìî äîìíîæèòü ìàò òèïà1ðèöó ïåðåõîäà ìåæäó áàçèñàìèa, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýíåðãèè h ∈ [Vmin , h∗ ],0 −1íà ìàòðèöó ìîíîäðîìèè òî÷êè ôîêóñôîêóñ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòðèöó1 a+10Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿa = 1,ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿk > 0,.−1çíà÷èò,a + 1 = 2,ïîýòîìó â îáëàñòèh ≥ h∗I2 (h, k), ïîñòðîåííûå â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòèáóäóò ïðîäîëæàòüñÿ â íèæíþþ ïîëóïëîñêîñòü102k<0ïî ôîðìóëåI20 (h, k) =I2 (h, k) − 2k ..Ëåììó 24 ìîæíî äîêàçàòü è íàïðÿìóþ, ïðîâåäÿ âû÷èñëåíèÿ, à èìåííî, ïîêàçàâ, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿ(6) â îáëàñòèìóëåk > 0,I2 (h, k),ïîñòðîåííûå ïî ôîðìóëåãëàäêèì îáðàçîì ïðîäîëæàþòñÿ â îáëàñòüI20 (h, k) = I2 (h, k) − i · k ,ãäåik ≤ 0 êîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0ïî ôîðíàM−4 .Ïðîâåäåì ýòè âû÷èñëåíèÿ äëÿ ìîäåëüíîãî ïðèìåðà ñèñòåìû côåðè÷åñêèé ìàÿòíèê (ôóíêöèÿf (r) îáðàçóþùàÿ ñôåðû, à V (r) ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë,r ∈ [−1; 1]).Óòâåðæäåíèå 10 Ëèíèè óðîâíÿ I2 (h, k) = const, ïîñòðîåííûå ïî ôîðìóëå (6) âîáëàñòè{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) | k > 0, h < 1},{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) | k ≤ 0, h < 1}è ïî íåïðåðûâíîñòè ïðèìîæíî ãëàäêî ïðîäëèòü â îáëàñòü ïî ôîðìóëåI2 (h, k) − I1 (h, k) = constïðèk<0k = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.1.
Ïîêàæåì, ÷òîlim I2 = lim (I2 − I1 ) = lim (I2 − k) = lim I2 .k→0+k→0−k→0−k→0−Âñå ïîäèíòåãðàëüíûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà îòðåçêå[r1 , r2 ] ⊆ [−1, h],äî-[−1, r1 ] è [r2 , h].Rh √2(h−r)(1−r2 )−k2Rh √2(h−r)(1−r2 )−k2Ïîêàæåì, ÷òî limdr =dr. Ïîñëåäíèé èíòå1−r21−r2k→0 −1−1Rh 2√h−rRh √2(h−r)(1−r2 )−k2√dr=ãðàë ñõîäèòñÿ, ò.ê.dr = C(arcsinh − arcsin(−1)), C =1−r21−r2îïðåäåëèì íóëåì íà−1−1const.Ïóñòüf (k, h0 ) =h−hR 0−1+h0√2(h−r)(1−r2 )−k2dr. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî lim lim f (k, h0 )1−r2k→0 h0 →0=f (0, 0).a) Òàê êàêf (k, h0 ) ⇒ f (0, h0 )ïðèk→0íà îòðåçêå[−1 + h0 , h − h0 ], h0 6= 0,òîïî òåîðåìå î ïåðåñòàíîâêå ïðåäåëà è èíòåãðàëàh−hZ 0lim f (k, h0 ) =k→0h−hpZ 0p2(h − r)(1 − r2 ) − k 22(h − r)(1 − r2 )limdr=f(0,h)=dz =0k→01 − r21 − r2−1+h0−1+h0= C(arcsin(h − h0 ) − arcsin(−1 + h0 )), C = const.103b)lim f (k, h0 ) = f (k, 0)h0 →0Ïîêàæåì, ÷òîïî îïðåäåëåíèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà.f (k, h0 ) ⇒ f (k, 0)ïðèh0 → 0äëÿ ëþáîãîk,ò.å.
ïîêàæåì, ÷òî∀ε > 0 ∃δ : ∀h0 < δ, ∀k : |f (k, h0 ) − f (k, 0)| → 0, h0 → 0.−1+hZ 0|f (k, h0 ) − f (k, 0)| = ||≤|+−12(h − r)(1 − r2 )dr +1 − r2−1Zh|+|−1h−h0−1+hZ 0p≤−1+hZ 0Zh|≤h−h0Zh p2(h − r)(1 − r2 )dr ≤1 − r2h−h0−1+hZhZ 0pdrdr√√+]=≤ 2(h + 1)[21−r1 − r2−1h−h0p= 2(h + 1))[arcsin(−1 + h0 ) − arcsin(−1) + arcsinh − arcsin(h − h0 )] → 0, h0 → 0ïî íåïðåðûâíîñòè àðêñèíóñà. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå î ïåðåñòàíîâêå ïðåäåëîâlim lim f (k, h0 ) = lim lim f (k, h0 ) = lim f (0, h0 ) = f (0, 0).k→0 h0 →0Òî åñòü, ñóùåñòâóåòf (0, 0)(ò.å.
ôóíêöèÿh0 →0 k→0lim f (k, 0),k→0I2 (h, k)h0 →0à çíà÷èò, ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíà â òî÷êåk=02. Ïîêàæåì, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ãëàäêèå, òî åñòüI2 (h, k) = cÏðèçàäàåò çàâèñèìîñòük > 01π1⇒πZr2r1lim I2 (h, k) = I2 (h, 0)).k→000kh,0<k<ε ≈ kh, −ε<k<0(óðàâíåíèåhóðàâíåíèåI2 (h, k) = c(øòðèõ ýòîh):Zr2r1èk→0−k = k(h)).ïðîäèôôåðåíöèèðóåì ïîïðîèçâîäíàÿ ïîlim f (k, 0) = lim f (k, 0) =k→0+2(1 − r2 ) − 2k · k 0p+ r10 · 0 − r10 · 0 = 0 ⇒2222 2(h − r)(1 − r ) − k (1 − r )dz1p− k · k02(h − r)(1 − r2 ) − k 2 πRr2r1⇒ k0 =kRr2r1√Zr2r1drp=0⇒(1 − r2 ) 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2dr2(h−r)(1−r2 )−k2= [k ≈ ε] =√(1−r2 )dr2(h−r)(1−r2 )−k2104A.BÀíàëîãè÷íî ïðè1πZr2r1k<0ïðîäèôôåðåíöèèðóåì ïîdr1p− k · k02(h − r)(1 − r2 ) − k 2 πRr2r1⇒ k0 =kRr2r1Ïîêàæåì, ÷òîçàòü, ÷òîAB∼r1(1−r2 )√(1−r2 )dr2(h−r)(1−r2 )−k2A=Zr2(1 −r2 )Rr2√r1dr2(h−r)(1−r2 )−k2I2 (h, k) − k = c:drp− k0 = 0 ⇒222(1 − r ) 2(h − r)(1 − r ) − k= [k ≈ −ε] =√r1r1óðàâíåíèådr2(h−r)(1−r2 )−k2A.
Òàê êàê−B+πRr2B=k√Zr2h+πA.−B + πdr ñõîäèòñÿ, òî íàäî ïîêà2(h−r)(1−r2 )−k2π, ò.å.2∼drπp.∼222k2(h − r)(1 − r ) − kËåììà 25 Ïðè h < 1, |k| ≈ ε, ε ìàëîZr2I=r1Äîêàçàòåëüñòâî.πdrp∼.2k(1 − r2 ) 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2Ðàçîáüåì îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà òðè ÷àñòè (âûäåëèì îò-ðåçêè, ñîäåðæàùèå îñîáåííîñòè ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè):[r1 , r2 ] = [r1 , r1 + h0 ] ∪ [r1 + h0 , r2 − h0 ] ∪ [r2 − h0 , r2 ],ãäåh0 ôèêñèðîâàíî è ìàëî (ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð,rZ2 −h0rZ1 +h0I=+r1h0 =|[r1 ,r2 ]|10h+1). Òîãäà10Zr2+r1 +h0≈(9)r2 −h0Ðàññìîòðèì ïåðâîå ñëàãàåìîå â ñóììå.
Ñíà÷àëà îöåíèì åãî ñíèçó:rZ1 +hr1rZ1 +h0dr(1 −p>2(h − r)(1 − r2 ) − k 2r2 )Z= [t = 1 + r] =r1drp=2(1 + r) 2(h − r1 )(1 − r1 )(1 + r) − k 2Zdr2tp=2(h − r1 )(1 − r1 )t − k 2105pd 2(h − r1 )(1 − r1 )(1 + r) − k 2=2t(h − r1 )(1 − r1 )Zpdp2= [p = 2(h − r1 )(1 − r1 )(1 + r) − k ] ==2p + k2p2(h − r1 )(1 − r1 )(1 + r) − k 2 r1 +h01P1= arctg = arctg|r1 >kkkkp√2(h − r)(1 − r)(1 + r) − k 2 r1 +h011Ch0πarctg|r1 = −0 + arctg∼.kkkk2k√(òàê êàêh00 6= k ≈ 0, ôèêñèðîâàíî,ïîýòîìóCh0k→ ∞).Òåïåðü îöåíèì ïåðâîå ñëàãàåìîå ñâåðõó:rZ1 +h0r1(1 −r2 )drp<2(h − r)(1 − r2 ) − k 2rZ1 +h0drp=(1 − (r1 + h0 ))(1 + r) 2(h − (r1 + h0 ))(1 − (r1 + h0 ))(1 + r) − k 2r1Zdtp== [t = 1 + r] =(1 − (r1 + h0 ))t 2(h − (r1 + h0 ))(1 − (r1 + h0 ))t − k 2Z pd 2(h − (r1 + h0 ))(1 − (r1 + h0 ))t − k 2==(h − (r1 + h0 ))(1 − (r1 + h0 ))2 tZpdp2= [p = 2(h − (r1 + h0 ))(1 − (r1 + h0 ))t − k ] ==22(p + k ) 1−(r12+h0 )p2(h − r)(1 − r2 ) − k 2 r1 +h021P r1 +h012=arctg |r1 <arctg|r1 =1 − (r1 + h0 ) kk1 − (r1 + h0 ) kk<[àíàëîãè÷íî îöåíêå ñíèçó]=π2π2∼ [k ≈ 0 ⇒ r1 ≈ −1] ∼=1 − (r1 + h0 ) 2k2 − h0 2k= (1 +h0h2 ππ+ O( 0 ))<(1 + h0 ).24 2k2kÑëåäîâàòåëüíî,π<2kZr2r1Ìîæíî âçÿòüh0(1 −drπp<(1 + h0 ).222k2(h − r)(1 − r ) − kr2 )ñêîëü óãîäíî áëèçêèì êZr2r1(1 −r2 )0,ïîýòîìódrπp∼.222k2(h − r)(1 − r ) − k106Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìîå â ñóììå (9).Âòîðîå ñëàãàåìîå:rZ2 −h0drp<(1 − r2 ) 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2r1 +h0rZ2 −h0<rZ2 −h0drp=C(1 − (r1 + h0 )2 ) 2(h − r)(1 − (r1 + h0 )2 ) − k 2r1 +h0√dr= const,A−rr1 +h0A, C = const.Òðåòüå ñëàãàåìîå:Zr2Zr2drp<(1 − r2 ) 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2r2 −h0Zr2=−r2 −h0drp=(1 − h2 ) 2(1 − h2 )(h − r) − k 2pp2(h − r)(1 − r2 ) − k 2 r2d 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2=−|r2 −h0 =1 − h21 − h2r2 −h0p2(1 − h2 )h0== const.1 − h2Çíà÷èò, âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìîå äàþò íåçíà÷èòåëüíûé âêëàä â ñóììó, ïîýòîìóI∼π..2kÒåì ñàìûì, ìû çàâåðøèëè äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå 11 Ëèíèè óðîâíÿ I2 (h, k) = const, ïîñòðîåííûå ïî ôîðìóëå (6) âîáëàñòè{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) | k > 0, h > 1},{(h, k) ∈ Φ(M 4 ) | k ≤ 0, h > 1}è ïî íåïðåðûâíîñòè ïðè ïî ôîðìóëåìîæíî ãëàäêî ïðîäëèòü â îáëàñòüI2 (h, k) − 2I1 (h, k) = constïðèk<0k = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.
Íåïðåðûâíîñòü ëèíèé óðîâíÿ, ò.å. ðàâåíñòâî lim I2 = lim (I2 −k→0+2k)k→0−äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî óòâåðæäåíèþ 10.Ïðîâåðèì ãëàäêîñòü ëèíèé óðîâíÿ, ò.å. ðàâåíñòâî10700kh,0<k<ε ≈ kh, −ε<k<0 .Ïðèk>0ïîëó÷èì àíàëîãè÷íî óòâåðæäåíèþ 10Rr2r1k0 == [k ≈ ε] =√(1−r2 )r1k<0dr2(h−r)(1−r2 )−k2Rr2kÏðè√dr2(h−r)(1−r2 )−k2A.Bïîëó÷àåìRr2√r1k0 =kRr2r1dr2(h−r)(1−r2 )−k2= [k ≈ ε] =√(1−r2 )Ïîêàæåì, ÷òîZr2I=r1dr2(h−r)(1−r2 )−k2+ 2πA.−B + 2ππdrp∼k(1 − r2 ) 2(h − r)(1 − r2 ) − k 2Ïðåäñòàâèì èíòåãðàë â âèäå ñóììû:I =r1R+h0+r1r1 ≈ −1, r1 ≈ 1.r2R−h0r1 +h0+Rr2.
Ïðèk ≈ 0èìååìr2 −h0π. Äîêàçàòåëüñòâî2k äàííîì ñëó÷àå è ïåðâîå, è òðåòüå ñëàãàåìûå ýêâèâàëåíòíûàíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó â óòâåðæäåíèè 10Ðàññìîòðèì âòîðîå ñëàãàåìîå:rZ2 −h0(1 −r2 )drp<2(h − r)(1 − r2 ) − k 2r1 +h0rZ2 −h0<r1 +h0Zdrp=C(1 − (r1 + h0 )2 ) 2(h − r)(1 − (r1 + h0 )2 ) − k 2A, C = const.ÏîýòîìóI∼π2k+π2k=dr√= const,A−rπ..kÄîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïðîèçâîëüíûõf (r)èV (r)ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.Ðåøåòêà, ïîñòðîåííàÿ ïî âû÷èñëåííûì ïåðåìåííûì äåéñòâèÿ äëÿ ñèñòåìû íàìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, çàäàííîé ôóíêöèÿìèf (r) = sin r − ε sin3 rïîêàçàíà íà ðèñóíêå 33.
Ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿãàì òèïàAI1âáëèçè íèõ. Ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿáàëüíî è ïàðàëëåëüíû îñèh.108èV (r) = cos r,ïàðàëëåëüíû äó-I2îïðåäåëåíû ãëî-Ðèñ. 33: ðåøåòêà ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ïîñòðîåííàÿ äëÿ ìîäåëüíîé ñèñòåìû íàìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ.2.5Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ñêëåéêè ïî ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿÍàøà öåëü ñ ïîìîùüþ ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ âû÷èñëèòü ìåòêè íà ðåáðàõ ìîëåêóëû. Ýòî äåëàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà âáëèçè êàæäîé äóãèáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû âûáèðàåòñÿ áàçèñ íà ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ,ñîîòâåòñòâóþùèé íåêîòîðîé äîïóñòèìîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ.Äàëåå ïî ìàòðèöåCïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ òàêèìè áàçèñàìè íà ðåøåòêå îäíî-çíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ìàòðèöà ñêëåéêè íà ñîîòâåòñòâóþùåì ðåáðå ìîëåêóëû.À èìåííî, îíà ðàâíà îáðàòíîé òðàíñïîíèðîâàííîé ê ìàòðèöåC. êàæäîé ðåãóëÿðíîé îáëàñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà îòîáðàæåíèå èçïëîñêîñòèR2 (h, k)â ïëîñêîñòüR2 (I1 , I2 )ëîêàëüíî ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì.Ïîýòîìó ïåðåéäåì îò èíòåãðàëîâ ê ïåðåìåííûì äåéñòâèÿ, òî åñòü ðàññìîòðèì îáðàç ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ íà ïëîñêîñòèR2 (I1 , I2 ). ýòèõ êîîðäèíàòàõðåøåòêà âûïðÿìëÿåòñÿ, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
