Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ïàðàëëåëüíû êîîðäèíàòíûì îñÿì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íà ðåøåòêå áàçèñ èç âåêòîðîâ. Òîãäà áàçèñ109íà ðåøåòêå ìîæíî ñ÷èòàòü áàçèñîì íà ïëîñêîñòè (ò.å. íà âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå),à ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ â íåêîòîðîé òî÷êå ïëîñêîñòè êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ ïî ýòîìó áàçèñó âåêòîðà ñ êîíöîì â äàííîé òî÷êå ïëîñêîñòè. Èçâåñòíî, ÷òîçàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïîëó÷àåòñÿ èç çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ïóòåì âçÿòèÿ îáðàòíîé òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû.
Íî â ñèëó ôîðìóëäëÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ïîñëåäíèå ïðåîáðàçóþòñÿ òàê æå, êàê è áàçèñíûå öèêëûíà òîðàõ Ëèóâèëëÿ.Òàêèì îáðàçîì, íàì îñòàëîñü óêàçàòü ïðàâèëà âûáîðà èñêîìîãî áàçèñà íà ðåøåòêå âáëèçè êàæäîé áèôóðêàöèîííîé äóãè.Íàïîìíèì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ äîïóñòèìàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò âáëèçè àòîìàòàêæå âáëèçè ñåäëîâûõ àòîìîâ áåç çâåçäî÷åê (ó íàñ ýòî àòîìûÏåðâûé öèêë âáëèçè àòîìàBèA, àVk ).A ýòî ñòÿãèâàþùèéñÿ â òî÷êó öèêë. Âòîðîé öèêë ýòî ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà ñ åñòåñòâåííîé îðèåíòàöèåé, èíäóöèðîâàííîé îðèåíòàöèåé ãàìèëüòîíîâîãî ïîòîêà.Ïåðâûé öèêë âáëèçè ñåäëîâîãî àòîìàB èëè Vk ýòî ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòàñ îðèåíòàöèåé, èíäóöèðîâàííîé ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì. Âòîðûå áàçèñíûå öèêëû ïðîèçâîëüíûå, îäíàêî îíè ñâÿçàíû óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîõîäÿùåãî ÷åðåçíèõ ãëîáàëüíîãî òðàíñâåðñàëüíîãî ñå÷åíèÿ àòîìà. îáîèõ ñëó÷àÿõ ïåðâûé öèêë îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî (ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè â ñëó÷àå àòîìàAè îäíîçíà÷íî â ñëó÷àå ñåäëîâîãî àòîìà), ïîäðîáíåå ñì.
[1].Äàëåå áóäåì íàçûâàòü åãî âûäåëåííûì öèêëîì.Âáëèçè êàæäîé áèôóðêàöèîííîé äóãè ìû õîòèì âûáðàòü áàçèñ, îòâå÷àþùèéíåêîòîðîé äîïóñòèìîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ãðàíè÷íîì òîðå ñîîòâåòñòâóþùåãîàòîìà. Ïóñòüe1íûì äåéñòâèÿèe2I1 , I2 , âåêòîðû ýòîãî áàçèñà, îòâå÷àþùèå ñîîòâåòñòâåííî ïåðåìåíâû÷èñëåííûì âûøå. Ïî ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿI1 , I2òàêîé áàçèñ âûáèðàåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà è îðèåíòàöèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ.Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1 ñëó÷àé. Äóãà òèïà A.110Èçó÷èì ïîâåäåíèå âûäåëåííîãî ñåìåéñòâà ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿâáëèçè áèôóðêàöèîííîé äóãè òèïàíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿâûäåëåííîìó öèêëóγI1 ,A. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâ-â ôîðìóëå äëÿ êîòîðîé èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî(ò.å. ïðè ïîäõîäå ê áèôóðêàöèîííîé äóãå òèïàAöèêëγñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó).Ðàññìîòðèì ãëàäêîå ñåìåéñòâî ñòÿãèâàþùèõñÿ öèêëîâìàA.Âîçüìåìγγíà òîðàõ âáëèçè àòî-â êà÷åñòâå îäíîãî èç äâóõ öèêëîâ, îáðàçóþùèõ áàçèñ íà òîðàõA.
Òîãäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ,R1I1 = 2πα. Òàê êàê ïðè ïîäõîäå ê áèôóðêàöèîííîé äóãå öèêë γ ñòÿãèâàåò-âáëèçè àòîìàèìååìγñÿ â òî÷êó, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿIñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Çíà÷èò,áèôóðêàöèîííàÿ äóãà ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿäîâàòåëüíî, â åå îêðåñòíîñòè ëèíèè óðîâíÿI1 = 0,{I1 = c/N, c/N = const} ïàðàëëåëüíûáèôóðêàöèîííîé äóãå.
Èíà÷å ãîâîðÿ, ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿâåòñòâóþùèå ìàëûì çíà÷åíèÿìc/N ,à ñëå-I1 ,ñîîò-íå ïåðåñåêàþò áèôóðêàöèîííóþ äóãó.Êàê ñëåäñòâèå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿI1îòâå÷àåò ñòÿãèâàþùåìó-ñÿ öèêëó, ïîòîìó ÷òî åå ëèíèè óðîâíÿ ïàðàëëåëüíû áèôóðêàöèîííîé äóãå. Ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿI2îòâå÷àåò ñëîþ ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, îðèåíòàöèÿ êîòîðîãîîïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì.Ïîýòîìó â ñèëó îïðåäåëåíèÿ äîïóñòèìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà òîðàõ Ëèóâèëëÿèñêîìûé áàçèñ íà ðåøåòêå áóäåò èìåòü âèä:âåêòîðà(±e1 , e2 ). Îñòàåòñÿ ïîíÿòü îðèåíòàöèþe2 .Èç ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿI2ñëåäóåò, ÷òî îðèåíòàöèÿ öèêëà (ò.å. ñëîÿ ðàñ-ñëîåíèÿ Çåéôåðòà), ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé ïåðåìåííîé äåéñòâèÿ, ñîâïàäàåò ñ îðèåíòàöèåé ãàìèëüòîíîâà ïîòîêàsgradK .Íà êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõλ · sgradK ,sgradK è sgradH ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì: sgradH =è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâîäÿò âûðàæåíèÿ äëÿgradHègradKgradH = λ · gradK .Íàïîìíèì, êàê âûãëÿ-íà áèôóðêàöèîííûõ äóãàõ (â êîîðäèíàòàõ111{pr , pϕ , r, ϕ}):gradH = {0,kf 2 (r), 0, 0}, gradK = {0, 1, 0, 0},ñëåäîâàòåëüíî, íà áèôóðêàöèîííûõ äóãàõ÷èò,gradH =kgradK , ò.å.f 2 (r)λ=k, çíàf 2 (r)sgnλ = sgnk .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îðèåíòàöèè ïîòîêîâè ïðîòèâîïîëîæíû ïðèòàíèþ èíòåãðàëàKk < 0.ïðèk>0sgradHÏîýòîìó âåêòîðe2èsgradKîäèíàêîâû ïðèk>0íóæíî îðèåíòèðîâàòü ïî âîçðàñ-è ïî óáûâàíèþ ïðèk < 0.2 ñëó÷àé.
Äóãà òèïà B . ýòîì ñëó÷àå ïåðâîìó áàçèñíîìó öèêëó äîïóñòèìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íàòîðå ëèóâèëëÿ (îí æå ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà) îòâå÷àåò ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿI2 ,âòîðîìó ïåðåìåííàÿI1 .Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé áàçèñ íà ðåøåòêå áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(e2 , ±e1 ).Êàê âèäèì, íóæíî âûáðàòü îðèåíòàöèþ âåêòîðàêàê è â ñëó÷àå äóãè òèïàe2 , ÷òî äåëàåòñÿ òî÷íî òàê æå,A.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, êàêèå áàçèñû íà ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿI1 , I2áóäóò îòâå÷àòü äîïóñòèìûì ñèñòåìàì êîîðäèíàò íà ãðàíè÷íûõ òîðàõ àòîìîâ.Âåêòîðûe2 ,âûáðàííûå óêàçàííûì ñïîñîáîì, èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 34.Ðèñ. 34: áàçèñíûé âåêòîðe2 ,èçîáðàæåííûé íà ðåøåòêå.Îäíàêî, â âûáîðå áàçèñîâ îñòàëàñü íåîäíîçíà÷íîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ âûáîðà îðèåíòàöèè îäíîãî èç áàçèñíûõ öèêëîâ íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ.
Ñîîòâåò-112ñòâóþùèå áàçèñíûå âåêòîðû ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî ñ òåì ëèøü óñëîâèåì,÷òîáû ìàòðèöû, ñâÿçûâàþùèå äâà òàêèõ áàçèñà, èìåëè îïðåäåëèòåëü, ðàâíûé−1.Äëÿ îïðåäåëåííîñòè óêàæåì ñïîñîá òàêîãî âûáîðà.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðåáðî ìîëåêóëû. Åìó îòâå÷àþò äâà áàçèñà âáëèçèñîîòâåòñòâóþùèõ áèôóðêàöèîííûõ äóã. Îïðåäåëèì òåïåðü îðèåíòàöèþ âåêòîðàe1òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îðèåíòàöèÿ áàçèñà, îòâå÷àþùåãî êîíöó ðåáðà, áûëà ïîëîæèòåëüíîé (ò.å. ñîâïàäàëà ñ åñòåñòâåííîé îðèåíòàöèåé ïëîñêîñòèh, k ),à áàçèñà,îòâå÷àþùåãî íà÷àëó ðåáðà îòðèöàòåëüíîé. Òåì ñàìûì ìû ïîëíîñòüþ èçëîæèëèàëãîðèòì âûáîðà èñêîìûõ áàçèñîâ íà ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.Âûáåðåì ïàðó áàçèñîâ íà ðåøåòêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ âáëèçè äâóõ áèôóðêàöèîííûõ äóã (ýòî ñîîòâåòñòâóåò âûáîðó áàçèñîâ íà ðåãóëÿðíûõ òîðàõ âáëèçè äâóõêîíöîâ ðåáðà ìîëåêóëû).Çàíóìåðóåì ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿäîâàòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè òàê, ÷òî åñëè ëèíèÿ óðîâíÿI1ïîñëå-{(h, k) : I1 (h, k) =cj /N }èìååò íîìåði + 1.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì çàíóìåðóåì ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿi,òî ëèíèÿ óðîâíÿ{(h, k) : I1 (h, k) = (cj + 1)/N }èìååò íîìåðI2 .Òåïåðü áóäåì äâèãàòü îäèí èç âûáðàííûõ áàçèñîâ ïî ðåøåòêå íàâñòðå÷ó äðóãîìóïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:1.
íà(i + 1)-ìøàãå âûáðàííûé áàçèñ (ò.å. âûáðàííàÿ ÿ÷åéêà ðåøåòêè) äîëæ-íà íàõîäèòüñÿ ìåæäó òåìè æå ëèíèÿìè óðîâíÿ îäíîãî ñåìåéñòâà, ÷òî è íài-ìøàãå, è ñäâèãàòüñÿ íà1îòíîñèòåëüíî íóìåðàöèè äðóãîãî ñåìåéñòâà ëèíèéóðîâíÿ;2. ïóòü, ïî êîòîðîìó ìû ïðîíîñèì áàçèñ, íå äîëæåí ïðîõîäèòü ÷åðåç ÿ÷åéêèðåøåòêè, ñîäåðæàùèå áèôóðêàöèîííûå äóãè è îñîáûå çíà÷åíèÿ ðàíãà0.Äàííûé àëãîðèòì áóäåò ïðèìåíåí äàëåå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê è ìàòðèö ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0äëÿ èññëåäóåìîãî êëàññà ñèñòåì(à òàêæå, êàê ïðèëîæåíèå, äëÿ ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà).1132.6Âû÷èñëåíèå ìåòîê è ìàòðèöû ìîíîäðîìèè ïî ðåøåòêàìïåðåìåííûõ äåéñòâèÿÏîñòðîèì ðåøåòêó ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ,çàäàííîé ôóíêöèÿìèf (r) = sin r − ε sin3 ríà òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿf (r)èV (r) = cos r,ãäå êîíñòàíòàεâûáðà-èìååò äâà ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìà.
Îòìåòèì,÷òî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, à èìåííî, êîãäàìàÿòíèê: ïðè ñòðåìëåíèè ïàðàìåòðàεε = 0,ïîëó÷àåì ñèñòåìó ñôåðè÷åñêèéê íóëþ ëîêàëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè âïðåäåëå èñ÷åçàåò; â ðåçóëüòàòå äâà ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìà è îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì ñêëåèâàþòñÿ â îäèí ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. Íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììåïðè ñòðåìëåíèèεê íóëþ äóãè òèïà êëþâ ñõëîïûâàþòñÿ, à îñîáåííîñòè òèïàêëþâ îòîäâèãàþòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòü).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìà, çàäàííàÿ ïàðîé ôóíêöèé(f (r), V (r)),−ε sin3 rîñòàâàëàñü ñèñòåìîé íàøåãî òèïà (óäîâëåòâîðÿëà ëåììå 1), âìåñòî äîáàâêèìîæíî áûëî ïðèáàâèòü ê ôóíêöèèr=πôóíêöèþg(r),ïîëîæèòåëüíà íàf (r) = sin rëþáóþ íå÷åòíóþ â òî÷êàõòàêóþ ÷òî âîçìóùåííàÿ ôóíêöèÿr ∈ (0; π)f˜(r) = sin r + g(r)è âûïîëíÿëèñü áû ðàâåíñòâàr=0èáûëà áûf˜(0) = f˜(π) = 0.Íà ðåø¼òêå (ñì.ðèñ.33) ïîìèìî ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿñòðîåííîé ïî ôîðìóëå (6), èçîáðàæåíû ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèèI2 (h, k), ïî-I20 (h, k) = I2 (h, k) −i · k , ÿâëÿþùèåñÿ ãëàäêèì ïðîäîëæåíèåì ëèíèé óðîâíÿ ôóíêöèè I2 (h, k) â îáëàñòük ≤ 0.Òåïåðü, ïðèìåíèâ àëãîðèòì èç ïàðàãðàôà 2.5, âûáåðåì áàçèñû âáëèçè áèôóðêàöèîííûõ äóã è ïîñ÷èòàåì ìàòðèöó ñêëåéêè, èñïîëüçóÿ ïîñòðîåííóþ ðåø¼òêó(ñì.ðèñ.35).
Ïóíêòèðíûå âåêòîðû ýòî áàçèñ ó âåðõíåãî ðåáðà ìîëåêóëû, ñïëîøíûå âåêòîðû áàçèñ ó íèæíåãî ðåáðà ìîëåêóëû. Êðàñíûì öâåòîì èçîáðàæåíûâûäåëåííûå, ïåðâûå áàçèñíûå âåêòîðû, îðàíæåâûì âòîðûå áàçèñíûå âåêòîðû.114Ðèñ. 35: âûáîð áàçèñîâ íà ðåøåòêå âáëèçè áèôóðêàöèîííûõ äóã.Ïî ïîñòðîåííîé ðåø¼òêå ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ìàòðèöû ïåðåõîäà íà âñåõ ðåáðàõ ìîëåêóëû, à èìåííî, íà ðåáðàõîòíîñèòåëüíî îñèA − A, A − Bè ðåáðåB − B,ñèììåòðè÷íîìh.
Îòìåòèì, ÷òî â îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé âíóòðåííîñòè êëþ-âà, ìû èìååì òðè ñåìåéñòâà ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ò.ê. ýòîé îáëàñòèîòâå÷àþò äâà ëèñòà áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà, è íà êàæäîì ëèñòå èíòåãðàëó,îòâå÷àþùåìó ïåðåìåííîé äåéñòâèÿI2 (h, k),ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå öèêëû èí-òåãðèðîâàíèÿ (è, çíà÷èò, ðàçëè÷íûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ).Íà ðèñóíêå 36 èçîáðàæåíû ïóòè, ïî êîòîðûì ìû ïðîíîñèì áàçèñû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö ñêëåéêè.115Ðèñ. 36: âû÷èñëåíèå ìàòðèö ñêëåéêè ïî ðåøåòêå.Íà ðèñóíêå 36a âû÷èñëÿåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðåA − A. Ñîãëàñíî ðèñóíêó,ïîëó÷àåì ìàòðèöóM =îòêóäà ïîëó÷àåì ìåòêè:1011 => (M −1 )tr = ,1 −10 −1r = 0, ε = +1.Íà ðèñóíêå 36b âû÷èñëÿåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðåîòíîñèòåëüíî îñèh.B − B,ñèììåòðè÷íîìÑîãëàñíî ðèñóíêó, ïîëó÷àåì ìàòðèöó−1 −1−1 0 => (M −1 )tr = ,M =01−1 1îòêóäà ïîëó÷àåì ìåòêè:r = ∞, ε = −1.Íà ðèñóíêå 36c âû÷èñëÿåì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðåA − B . Ñîãëàñíî ðèñóíêó,ïîëó÷àåì ìàòðèöó0 1M = => (M −1 )tr = 1 0îòêóäà ïîëó÷àåì ìåòêè:Âûâîä.0 1,1 0r = 0, ε = +1.Ìåòêè, âû÷èñëåííûå ïî ðåø¼òêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ñîâïàäàþò ñìåòêàìè, ïîñ÷èòàííûìè ñ ïîìîùüþ ÿâíîãî âûáîðà öèêëîâ íà òîðàõ (ñì.òåîðåìó6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
