Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Òàêèì îáðàçîì, ïî ðåø¼òêå ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàåòñÿèíâàðèàíò ÔîìåíêîÖèøàíãà.116Ëåììà 26 Ìàòðèöà ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè òèïà ôîêóñôîêóñäëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïðèíàäëåæèò êëàññó ñîïðÿæåííîñòèìàòðèöû1 1â ãðóïïåSL(2, Z)äëÿ ëþáîé ïàðû ôóíêöèé(f (r), V (r)),çàäàþ-0 1ùèõ ñèñòåìó.Äîêàçàòåëüñòâî.Ýòîò ôàêò áûë èçâåñòåí è ðàíåå, îäíàêî íàøåé öåëüþ ÿâëÿ-åòñÿ åãî äîêàçàòåëüñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.
×òîáûâû÷èñëèòü ìàòðèöó ìîíîäðîìèè, âûáåðåì íà ðåø¼òêå áàçèñ è ïðîíåñ¼ì åãî ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) âîêðóãèçîëèðîâàííîé îñîáåííîñòè, çàòåì âûïèøåì ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó ïåðåõîäà ìåæäóíà÷àëüíûì è êîíå÷íûì áàçèñàìè (ñì.ðèñóíîê 37).Ðèñ. 37: âû÷èñëåíèå ìàòðèöû ìîíîäðîìèè ïî ðåøåòêå.Êðàñíûì öâåòîì íà ðèñóíêå 37 èçîáðàæåí êîâåêòîðçàìêíóòîìó êîíòóðó ïåðåõîäèò â ñåáÿ, ò.å.e1 ,êîòîðûé ïðè îáõîäå ïîe01 = e1 . Îðàíæåâûì èçîáðàæåí êîâåêòîðe2 .Ïðè îáõîäå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó îí òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ãîëóáîé êîâåêòîðe02 .Ïîëó÷àåì ìàòðèöó ïåðåõîäà1 0M =,−1 1ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ìîíîäðîìèè èìååò âèä(M −1 )tr = 1 1 .0 1117Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 12 Ïî ìàòðèöå ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè òèïàôîêóñôîêóñ äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ìîæíî ëîêàëüíî âîññòàíîâèòü ðåøåòêó ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ â îêðåñòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî èçîëèðîâàííîãî îñîáîãî çíà÷åíèÿ.Èç ïðàâèë, ïî êîòîðûì âûáèðàåòñÿ âûäåëåííûé áàçèñíûé öèêë íà òîðå âáëèçè ðåáðà ìîëåêóëû (ñì.êíèãó [1]) è èç àëãîðèòìà âûáîðà áàçèñà íà ðåøåòêå (ñì.ïàðàãðàô 2.5), ïîëó÷àåì ñëåäñòâèå.Ñëåäñòâèå.
Äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ïóòåì àíàëèçà áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà ìîæíî ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ðåøåòêå, êîòîðîé äîñòàòî÷íî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíûõ ìîëåêóë è ìàòðèö ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõîñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0 (à èìåííî, çíàíèå êà÷åñòâåííîãî ïîâåäåíèÿ ëèíèé óðîâíÿïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ âáëèçè áèôóðêàöèîííûõ äóã òèïàA,âáëèçè îñèh,à òàêæåòîò ôàêò, ÷òî îäíà ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿ îïðåäåëåíà ãëîáàëüíî è åå ëèíèè óðîâíÿïàðàëëåëüíû îñèh,îáåñïå÷èâàþò äîñòàòî÷íóþ î ðåøåòêå èíôîðìàöèþ äëÿ âû-÷èñëåíèÿ ìå÷åíûõ ìîëåêóë è ìàòðèö ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèéðàíãà0).Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô áóäåò ïîñâÿùåí èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìåîáîáùåííûé ñëó÷àé Ëàãðàíæà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ñS 1 -ñèììåòðèåé,íîíå ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ. Äëÿ ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà ñëåäñòâèåíåïðèìåíèìî, îäíàêî äëÿ ýòîé ñèñòåìû ïî ðåøåòêå ìû ìîæåì âîññòàíîâèòü âñåìåòêè è âû÷èñëèòü ìàòðèöû ìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0.2.7Ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿËàãðàíæàÑèììåòðè÷íûì âîë÷êîì (âîë÷êîì Ëàãðàíæà) íàçûâàþò çàêðåïëåííîå â íåïîäâèæíîé òî÷êå O, íàõîäÿùååñÿ â îäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå òâåðäîå òåëî, ó êî-118òîðîãî ýëëèïñîèä èíåðöèè â O åñòü ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ (ò.å.
äâà ìîìåíòà èíåðöèèðàâíû) è öåíòð òÿæåñòè ëåæèò íà îñè âðàùåíèÿ.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âîë÷îê â îáîáùåííîé çàäà÷å Ëàãðàíæà (îáîáùåííûéâîë÷îê Ëàãðàíæà ), ïîòåíöèàëüíîå ïîëå êîòîðîãî èìååò îñü ñèììåòðèè è çàäàåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåéV (x)Ëàãðàíæà ñîîòâåòñòâóåòíà îòðåçêåV (x) = g̃x,ãäå[−1; 1].g̃Ïðè ýòîì êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.Ñèñòåìó, îïèñûâàþùóþ îáîáùåííûé âîë÷îê Ëàãðàíæà, ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó íà îðáèòàõ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðûËèe(3).e(3)∗Ðàññìîòðèì íàêîîðäèíàòû(r1 , r2 , r3 , s1 , s2 , s3 ),â êîòîðûõ ñêîáêàÏóàññîíà èìååò âèä{si , sj } = εijk sk , {si , rj } = εijk rk , {ri , rj } = 0.Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèå (çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðàg)4M1,g= {(r1 , r2 , r3 , s1 , s2 , s3 ) | r12 + r22 + r32 = 1, r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 = g},à ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ïîëó÷àåòñÿ îãðàíè÷åíèåì íà íåãî ñêîáêè Ïóàññîíà.Çäåñüs̄ = (s1 , s2 , s3 ) êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò òåëà;r̄ = (r1 , r2 , r3 ) åäèíè÷íûéâåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè ñèììåòðèè.
Îòìåòèì, ÷òî ìíîãîîáðàçèåôåîìîðôíîT ∗S 2(è äàæå ñèìïëåêòîìîðôíî ïðèHÔóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà4M1,gäèô-g = 0).è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàëFíà4äëÿ îáîáùåííîãîM1,gñëó÷àÿ Ëàãðàíæà èìåþò âèä1s2H = (s21 + s22 + 3 ) + V (r3 ), F = s3 ,2βãäåβ ïàðàìåòð ñèñòåìû, àV (x)(7) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå[−1; 1](ïîòåí-öèàë), õàðàêòåðèçóþùàÿ ñèëîâîå ïîëå, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ òåëî (ïîäðîáíåå ñì. â[44]). Îòìåòèì, ÷òî ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ è êà÷åñòâåííûé âèä ðåøåòêè íå çàâèñÿò îòβ,ïîñêîëüêóHβ = H 1 +21−2β 2F .2βÒàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîë÷êó Ëàãðàíæà (îáîáùåííîìó âîë÷êó Ëàãðàíæà), èìååò äâà ïàðàìåòðàïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõgèβ.119g>0èβ >0è èíòåãðèðóåìàÎïðåäåëèì2-ïàðàìåòðè÷åñêîåWH,F (x) = (H −ñåìåéñòâî ôóíêöèé íà îòðåçêå[−1; 1]F21− V (x))(1 − x2 ) − (g − F x)2 .2β2Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 27 Äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà (7) ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è èíòåãðàëàêîãäà ôóíêöèÿWH,F (x){H = h, F = f }ñâÿçíà òîãäà è òîëüêî òîãäà,èìååò ðîâíî äâà íóëÿ íà îòðåçêå[−1; 1]è ïîëîæèòåëüíàâ òî÷íîñòè ìåæäó íèìè. ðàáîòå Î.Å.Îðåë, Ø.Òàêàõàøè [44] áûë èññëåäîâàí êëàññè÷åñêèé ñëó÷àé Ëàãðàíæà, îäíàêî ñëåäóþùàÿ ëåììà îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà.Ëåììà 28 (Îðåë, Òàêàõàøè [44]) Ñèñòåìà îáîáùåííûé ñëó÷àé Ëàãðàíæà èìååò ðîâíî äâå îñîáûå òî÷êè ðàíãàçíà÷åíèé ïàðàìåòðîâgèβ,0.Êàæäàÿ èç ýòèõ òî÷åê â çàâèñèìîñòè îòà òàêæå â çàâèñèìîñòè îò ôóíêöèèV (x)òèï ôîêóñôîêóñ èëè öåíòðöåíòð.
Êîîðäèíàòû îñîáûõ òî÷åê ðàíãàèìååò0èìåþòâèäP1 = (g2g2+ V (1), g), P2 = (+ V (−1), −g).2β2βÒåïåðü ñôîðìóëèðóåì ëåììó, îïèñûâàþùóþ ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.Ëåììà 29 Ïóñòü äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà (7) âñå ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è èíòåãðàëà ñâÿçíû, ò.å. ôóíêöèÿðîâíî äâà íóëÿîòðåçêà[a(H, F ), b(H, F )].I1 (H, F ) = F .èìååò âèäg, H ≤a(H, F ), b(H, F )g22βíà îòðåçêå[−1; 1],ïðè÷åìÒîãäà ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿÏåðåìåííàÿ+ V (1)} ∪ {F < −g, H ≤I2 ,g22βI1WH,F (x) > 0èìååò âèäb(H,FZ )p1I2 (H, F ) = I(H, F ) =πa(H,F )120èìååòâíóòðèîïðåäåëåíà ãëîáàëüíî èîïðåäåëåííàÿ â îáëàñòè+ V (−1)},WH,F (x){|F | ≤ g} ∪ {F >ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è2WH,F (x)dx.1 − x2(8)Äîêàçàòåëüñòâî.Âû÷èñëèì ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ ïî ôîðìóëàì (4). Äëÿ ýòîãîíåîáõîäèìî âûáðàòü íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ öèêëûγ1èγ2 ,ïî êîòîðûì áóäåò âåñòèñüèíòåãðèðîâàíèå â ôîðìóëàõ (4).
Ëèóâèëëåâ òîð õîðîøî âèäåí â ïðîåêöèè ìíîãîîáðàçèÿM4öèëèíäðâ ïðîñòðàíñòâî{a ≤ r ≤ b}WH,F (r3 ),R3 (r̄).íà ñôåðåà ñàìà ôóíêöèÿWÏðè ýòîì ïðîåêöèÿ òîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîér12 + r22 + r32 = 1,ãäåa, b ≤ 1ñòðîãî áîëüøå íóëÿ íà èíòåðâàëå íóëè ôóíêöèè(a, b)(ñì.ðèñ.38).Ðèñ. 38: ïðîåêöèÿ òîðà Ëèóâèëëÿ íà êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî, ò.å. íà ñôåðó.Ýòî íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå äåìîíñòðèðóåò âûáîð öèêëîâ íà íåìγ1 = {r3 = c}, γ2 = {r2 = 0, r1 > 0}.Çàòåì ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì èç ôîðìóë (4) ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåìåííûõäåéñòâèÿ.Îáúÿñíèì òåïåðü, ïî÷åìó ïåðåìåííàÿI2 îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (8) òîëüêî íà ÷à-ñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.
Ñèñòåìà îáîáùåííûé ñëó÷àé Ëàãðàíæà èìååòäâå îñîáûå òî÷êè ðàíãàáûõ òî÷åê ðàíãà00(ñì. ëåììó 28).  ñèëó íàëè÷èÿ èçîëèðîâàííûõ îñî-(òî÷åê òèïà ôîêóñôîêóñ) ñèñòåìà èìååò ìîíîäðîìèþ, à çíà-÷èò, ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ íå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ãëîáàëüíî.  ÷àñòíîñòè,I2åñëè ïîñòðîèòü ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿîáðàçå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, òî íà ëó÷àõg22β+ V (1), F = g}åùå è íà ëó÷àõ(åñëè îáå îñîáûå òî÷êè ðàíãà{H =g22β+ V (−1), F ≤ −g}121g22β{H =è0ïî ôîðìóëå (8) íà âñåì+ V (1), F ≥ g}è{H ≥èìåþò òèï ôîêóñôîêóñ, òî{H ≥g22β+ V (−1), F = −g})I2ó ëèíèé óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿáóäåò íàáëþäàòüñÿ èçëîì, ò.å.
îíè áóäóòíåïðåðûâíûìè, íî íå ãëàäêèìè. Ïîâòîðèì, ÷òî ýòîò ýôôåêò ñâÿçàí ñ íàëè÷èåì ìîíîäðîìèè ïðè îáõîäå âîêðóã òî÷åê òèïà ôîêóñôîêóñ, êîòîðûå èìåþò êîîðäèíàòû22ggP1 = ( 2β+ V (1), g), P2 = ( 2β+ V (−1), −g)(ñì. ëåììó 28). Èç ýòèõ ðàññóæäåíèéI2 ,âûòåêàþò îãðàíè÷åíèÿ íà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèçàäàííîé ôîðìóëîé(8)..Ëåììà 30 Ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííîé äåéñòâèÿ I2 (H, F ), îïðåäåëåííîé â îáëàñòè{|F | ≤ g} ∪ {F > g, H ≤g22β+ V (1)} ∪ {F < −g, H ≤g22β+ V (−1)}ïî ôîðìóëå(8), ãëàäêèì îáðàçîì ïðîäîëæàþòñÿ â îñòàâøóþñÿ îáëàñòü îáðàçà îòîáðàæåíèÿìîìåíòà ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:I(H, F ) + F − g,I2 (H, F ) =I(H, F ) − F − g,I(H, F ),g22βåñëèF > g, H >åñëèF < −g, H >+ V (1)g22β+ V (−1) (9)èíà÷åÄîêàçàòåëüñòâî.  ðåçóëüòàòå äåòàëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, âûïîëíåííîãî Â.Ñ.Ìàòâååâûì (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [45]), âûÿñíèëîñü, ÷òî ïðè îáõîäå âîêðóãòî÷åê òèïà ôîêóñôîêóñ öèêëγ1íå èçìåíÿåòñÿ, à öèêëγ2ïåðåõîäèò â öèêëγ2 ± γ1(â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ îáõîäà).
Îòñþäà âûòåêàåò íåâîçìîæíîñòü ãëîáàëüíîãî âûáîðà ïàðû öèêëîâ íà âñåõ òîðàõ ñèñòåìû îäíîâðåìåííî, à òàêæå ñëåäóþòôîðìóëû (9)..Òåïåðü, êîãäà ìû çíàåì, êàê âåäóò ñåáÿ ëèíèè óðîâíÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿèññëåäóåìîé ñèñòåìû, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ðåøåòêó ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå áûëî ïîëó÷åíî íà êîìïüþòåðå ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ Ñ++ è ïàêåòà Mathematica 7.0.Óòâåðæäåíèå 13 1) Ïðè V (x) = x2n , n ∈ N, äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâβ > 0, g > 0ðåøåòêàR ⊂ R2 (H, F )ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñèHè áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèñòåìûè èìåþò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ.39a) (îáå122îñîáûå òî÷êè ðàíãàîñè0èìåþò òèï ôîêóñôîêóñ è ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíîH ).2) ÏðèV (x) = x2n+1 , n ∈ N ∪ {0},ðåøåòêàRè áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàñèñòåìû èìåþò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ.39b) (îäíà îñîáàÿ òî÷êà ðàíãà0èìå-åò òèï ôîêóñôîêóñ è ëåæèò âíóòðè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, à âòîðàÿîñîáàÿ òî÷êà ðàíãà0èìååò òèï öåíòðöåíòð è ëåæèò íà ãðàíèöå îáðàçà îòîá-ðàæåíèÿ ìîìåíòà).Ðèñ.
39: ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà: a)V (x) = x2n ;b)V (x) = x2n+1 .123Ïðèìåðû ðåøåòîê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåííîìó ïîòåíöèàëó{0},V (x) = xn , n ∈ N ∪ïðèâåäåíû íà ðèñ.37. Ýòè ðåøåòêè ïîñòðîåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (8) è(9). Íà ðèñóíêàõ èçîáðàæåíû äâà ñåìåéñòâà ëèíèé óðîâíÿ ôóíêöèéñîñòîèò èç êðèâûõëèíèé{I2 = c2 , c2 − êîíñòàíòà},{I1 = c1 , c1 − êîíñòàíòà},I1 , I2 :ïåðâîåïîõîæèõ íà ïàðàáîëû, à âòîðîå èçïàðàëëåëüíûõ îñèH.Ïî ïîñòðîåííûì ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ìàòðèöûìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê ðàíãà0.Óòâåðæäåíèå 14 Äëÿ ëþáîãî ïîòåíöèàëà âèäà V (x) = xn , n ∈ N, ìàòðèöà ìîáàçèñå, 0 â1 1.M =0 1íîäðîìèè ëþáîãî èçîëèðîâàííîãî îñîáîãî çíà÷åíèÿ ðàíãàþùåì ïåðåìåííûì äåéñòâèÿI1 , I2 ,èìååò âèäñîîòâåòñòâó-Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ ìàòðèöûìîíîäðîìèè èçîëèðîâàííîãî îñîáîãî çíà÷åíèÿ ðàíãàçèè âðàùåíèÿ (ñì.
ëåììó 26).1240äëÿ ñèñòåìû íà ìíîãîîáðà-3Çàêëþ÷åíèå çàêëþ÷åíèè ïåðå÷èñëåíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè, â ñîîòâåòñòâèèñ ãëàâàìè. Òàêæå ïðèâåäåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû è ñôîðìóëèðîâàíû çàäà÷è, âîçíèêøèå â ïðîöåññå ðàáîòû íàä äèññåðòàöèåé. ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ïîëíîñòüþ èñëåäîâàíà òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿM ≈ S 2 â ïîëå äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëà, à èìåí-íî, äîêàçàíà òåîðåìà êëàññèôèêàöèè èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ èññëåäóåìîãî êëàññà ñèñòåì (òåîðåìà 6). Êðîìå òîãî, èçó÷åí îáðàç îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòàè áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû, âîçíèêàþùèå â äàííîì êëàññå ñèñòåì, ïîëó÷åíàòåîðåìà êëàññèôèêàöèè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì (òåîðåìà 4).Òàêæå â äèññåðòàöèè íàéäåíû ñëó÷àè ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èññëåäóåìûì ñèñòåìàì. Ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ìîëåêóëà ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ,îãðàíè÷åííîé íà íåîñîáîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå 3-ìíîãîîáðàçèå, èìååò âèäA − A,òîïðàêòè÷åñêè äëÿ êàæäîé êëàññè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (áîëåå òî÷íî, äëÿ êàæäîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû, îáëàäàþùåé ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ìîëåêóëîéA−A) ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿ ýíåðãèè h, òàêèå ÷òî ñèñòåìàíà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ, îãðàíè÷åííàÿ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîå 3-ìíîãîîáðàçèå áóäåò ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà äàííîé êëàññè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìå, îãðàíè÷åííîé íàãèèhQ3h(äëÿ êàæäîé êëàññè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû óðîâåíü ýíåð-ñâîé).
 ñëó÷àå, åñëè ìîëåêóëà èìååò âèä äåðåâà, òî ñèñòåìà ëèóâèëëåâîýêâèâàëåíòíà ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêàì íà ñôåðå (ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèèh) è ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà èì ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè h (ïîäðîáíååñì. óòâåðæäåíèå 8).Âòîðàÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ðåøåòîê ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿèíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Äàíî ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ðåøåòêè èäîêàçàíà åãî êîððåêòíîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
