Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на многообразиях вращения в потенциальном поле (1105029), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìîëåêóëà ðàñïàäåòñÿ íà îòäåëüíûå3-àòîìû.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàçðåçàëè ìíîãîîáðàçèå ïî íåêîòîðûì òîðàìËèóâèëëÿ íà îòäåëüíûå àòîìû. Ïóñòü ìû õîòèì ïðîèçâåñòè îáðàòíóþ ñêëåéêó.Ìîëåêóëà ãîâîðèò íàì, êàêèå ïàðû ãðàíè÷íûõ òîðîâ ìû äîëæíû ñêëåèâàòü ìåæäó ñîáîé. ×òîáû ïîíÿòü, êàê èìåííî èõ íóæíî ñêëåèâàòü, ìû äîëæíû çàäàòü äëÿêàæäîãî ðàçðåçàííîãî ðåáðà ìàòðèöó ñêëåéêè, îïðåäåëÿþùóþ èçîìîðôèçì ôóíäàìåíòàëüíûõ ãðóïï ñêëåèâàþùèõñÿ òîðîâ.
×òîáû çàäàòü ýòó ìàòðèöó, ôèêñèðóåìíà òîðàõ ñèñòåìû êîîðäèíàò ïàðû íåçàâèñèìûõ îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâÿâëÿþùèõñÿ îáðàçóþùèìè ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïûπ1 (T 2 ) = Z ⊕ Z(λ, µ),(ïîäðîáíååñì.[1]).Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðåáðîeiìîëåêóëû è çàäàäèì íà íåì îðèåíòàöèþ.Ðàçðåæåì ýòî ðåáðî âäîëü íåêîòîðîãî òîðà Ëèóâèëëÿ è îïðåäåëèì íà áåðåãàõ ðàçðåçà äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò(λ− , µ− ) íà íà÷àëå ðåáðà è(λ+ , µ+ ) íàêîíöå ðåáðà. Ðàññìàòðèâàÿ ýòè ïàðû öèêëîâ êàê áàçèñû â ãðóïïå îäíîìåðíûõ ãî-8ìîëîãèé, ïîëó÷àåì ìàòðèöó ñêëåéêèCi = Ciαi βiγi δi. ýòî öåëî÷èñëåííàÿ ìàòðèöà ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì−1.Ýòà ìàòðèöà îïðå-äåëåíà íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî äîïóñòèìûõ çàìåí êîîðäèíàò (ñì.[1]).Îïðåäåëåíèå 5 ×èñëîâîé ðàöèîíàëüíîé ìåòêîé ri íà ðåáðå ei ìîëåêóëû íàçûâàåòñÿ: α i mod1 ∈ Q/Z, βi 6= 0βiri =∞,βi = 0Îïðåäåëåíèå 6 ×èñëîâîé öåëî÷èñëåííîé ìåòêîé εi íà ðåáðå ei ìîëåêóëû íàçûâàåòñÿ: signβ , β 6= 0iiεi = signα , β = 0iiÍåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìàòðèöà ñêëåéêèCiîïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî, ìåòêèrièεiÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè, ò.å.
íå ìåíÿþòñÿ ïðè äîïóñòèìûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò.Äàäèì îïðåäåëåíèå ìåòêèíîénk . Åñëè ðàçðåçàòü ìîëåêóëó ïî âñåì ð¼áðàì ñ êîíå÷-r-ìåòêîé, òî îíà ðàñïàä¼òñÿ íà íåñêîëüêî ñâÿçíûõ êóñêîâ. Cåìüÿìèñÿ òå èç íèõ, êîòîðûå íå ñîäåðæàò àòîìîâíàçûâàþò-A. Ðàññìîòðèì òåïåðü îòäåëüíóþ ñåìüþ.Âñå ð¼áðà, èìåþùèå â íåé õîòÿ áû îäíó âåðøèíó, ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè êëàññà(ñ ó÷¼òîì èìåþùåéñÿ íà íèõ îðèåíòàöèè): âõîäÿùèå, âûõîäÿùèå è âíóòðåííèå.Îïðåäåëåíèå 7 Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ðåáðó ei äàííîé ñåìüè öåëîå ÷èñëî θi ïîñëåäóþùåìó ïðàâèëó: h iαi,βi h δ ii−,θi =βih γ i − i ,αiÌåòêànk ,åñëèei âûõîäÿùåå ðåáðî,åñëèei âõîäÿùåå ðåáðî,åñëèei âíóòðåííåå ðåáðî.îòâå÷àþùàÿ äàííîé ñåìüå, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ÷èñåëð¼áðàì ýòîé ñåìüè.9θiïî âñåìÎòìåòèì, ÷òî ìåòêànkÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êëàññîì ðàññëîåíèÿ Çåéôåð-òà.Îïðåäåëåíèå 8 Ìîëåêóëà, ñíàáæåííàÿ ìåòêàìè ri , εi è nk , íàçûâàåòñÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëîé, èëè èíâàðèàíòîì ÔîìåíêîÖèøàíãà.Òåîðåìà 1 (À.Ò.Ôîìåíêî, Õ.Öèøàíã [17]).
Äâå íåâûðîæäåííûå èíòåãðèðóåìûåñèñòåìûvíàQ3èv0íàQ03ëèâóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò. íàøåé ðàáîòå ìû èññëåäóåì òîïîëîãèþ ñèñòåì, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ äâèæåíèåì òî÷êè ïî ìíîãîîáðàçèþ âðàùåíèÿ â ïîëå äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëà.
Ïîâòîðèì, ÷òî òàêèå ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ãàìèëüòîíîâûìè ñèñòåìàìè(ñì.äàëåå óòâåðæäåíèå 1). Ýòà çàäà÷à âîçíèêëà êàê îáîáùåíèå èçâåñòíîé çàäà÷èîá èçó÷åíèè òîïîëîãèè èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ (ò.å. ñèñòåì ñ íóëåâûì ïîòåíöèàëüíûì ïîëåì). Òîïîëîãèÿ èíòåãðèðóåìûõãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ õîðîøî èçó÷åíà: âàæíûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû â ðàáîòàõÀ.Ò.Ôîìåíêî, À.Áåññå ([23]), Ì.Ýíãìàíà ([25]), À.Ò.Ôîìåíêî, Å.Î.Êàíòîíèñòîâîé([19]), À.Â.Áîëñèíîâà, À.Ò.Ôîìåíêî ( [20]), À.Â.Áîëñèíîâà, Á.Éîâàíîâè÷à ([21]),Í.Â.Êîðîâèíîé ([22]), Ì.Â.Íîâèêîâà ([24]), Å.À.Êóäðÿâöåâîé è Ä.À.Ôåäîñååâà ([30]).Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó êëàññèôèêàöèè ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íàñôåðå, ïîëó÷åííóþ Ò.Ç.Íãóåíîì è Ë.Ñ.Ïîëÿêîâîé.
 äàëüíåéøåì ñðàâíèì ïîëó÷åííûå íàìè ðåçóëüòàòû (äëÿ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì) ñ èõ ðåçóëüòàòîì.Òåîðåìà 2 (Ò.Ç.Íãóåí, Ë.Ñ.Ïîëÿêîâà [1]). Ðàññìîòðèì íà ñôåðå ãåîäåçè÷åñêèéïîòîê ðèìàíîâîé ìåòðèêè âèäàds2 = dθ2 + f (θ)dϕ2 ,ãäåθ, ϕ ñòàíäàðòíûå ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.1) Òîãäà îòâå÷àþùàÿ ýòîìó ãåîäåçè÷åñêîìó ïîòîêó ìîëåêóëà èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå (ìîëåêóëà íà ðèñóíêå ñîñòîèò èç äâóõ îäèíàêîâûõ ÷àñòåé10f (f ) = W (f )\∪A).  âåðøèíàõ ãðàôà ñòîÿò àòîìû A, BW (f ), è Wìåæäó ñåäëîâûìè àòîìàìè âíóòðè êàæäîéìåæäó ñåäëîâûìè àòîìàìè è àòîìàìèíûW (f )A r-ìåòêèìåòêèrèðàâíûðàâíû íóëþ, âñåVk . Íà ðåáðàõ∞,íà ðåáðàõε-ìåòêèðàâ-+1.2) Åñëè ìîëåêóëà îòëè÷íà îòA − A,òî íà åäèíñòâåííîì öåíòðàëüíîì ðåá-ðå (îíî ñîåäèíÿåò äâà ñåäëîâûõ àòîìà) ìåòêàÌåòêànrðàâíà∞,àε-ìåòêàðàâíàíà åäèíñòâåííîé ñåìüå, ñîñòîÿùåé èç âñåõ ñåäëîâûõ àòîìîâ, ðàâíà3) Åñëè ìîëåêóëà èìååò âèäA − A,òî ìåòêè ñëåäóþùèå:−1.2.r = 1/2, ε = +1.Ðèñ.
2: ìå÷åíûå ìîëåêóëû äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà ñôåðå. äèïëîìíîé ðàáîòå Ì.Â.Íîâèêîâà [24] âïåðâûå ïîñòàâëåíà çàäà÷à èññëåäîâàíèÿòîïîëîãèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå. Ì.Â.Íîâèêîâ èññëåäóåò áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû òàêèõ ñèñòåì.  ðàáîòå ñäåëàíû çíà÷èòåëüíûå ïðîäâèæåíèÿ â ïîñòàâëåííîé çàäà÷å, à èìåííî, èññëåäîâàíû òèïû îñîáûõ òî÷åê ðàíãà íîëü îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, íàéäåíûïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äóã áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, â íåÿâíîì âèäå íàéäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷åê âîçâðàòà è èññëåäîâàíî ïîâåäåíèå áèôóðêàöèîííûõ äóã â îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê.
Òàêæå èññëåäîâàí òèï òî÷åê, ñîñòàâëÿþùèõáèôóðêàöèîííûå äóãè (ýëëèïòè÷åñêàÿ, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ, âûðîæäåííàÿ).11 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîäîëæåíî èññëåäîâàíèå áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ñèñòåì íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ, à òàêæå èçó÷åíà òîïîëîãèÿ äàííûõ ñèñòåì.Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ðàáîòû.1.  ðàáîòå ïîëó÷åíà ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ ñòî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
Èíûìè ñëîâàìè, êëàññèôèöèðîâàíû âñå ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ. Ýòà êëàññèôèêàöèÿ ïîëó÷åíà íà îñíîâå âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà(ìå÷åíûõ ìîëåêóë) èññëåäóåìûõ ñèñòåì (ïîäðîáíåå ñì.òåîðåìó 6 èçïàðàãðàôà 1.8).2. Ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ 3-ìíîãîîáðàçèé âìåñòå ñî ñëîåíèÿìè Ëèóâèëëÿ íà íèõ (áîëåå ïîäðîáíî ñì.òåîðåìó 6 è ëåììó 22 èç ïàðàãðàôà 1.8).3. Äîêàçàíî, ÷òî èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ ñ ãëàäêèì ïîòåíöèàëîì, îãðàíè÷åííûå íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû òðåõìåðíûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, â íåêîòîðûõñëó÷àÿõ òîïîëîãè÷åñêè (ëèóâèëëåâî) ýêâèâàëåíòíû ðàçëè÷íûì êëàññè÷åñêèì èíòåãðèðóåìûì äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì (ïîäðîáíåå ñì.
ïàðàãðàô 1.9).Êîììåíòàðèé 3.1.Åñëè ìîëåêóëà èññëåäóåìîé ñèñòåìû èìååò òèïA − A,òî ñèñòåìà òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà èíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì Æóêîâñêîãî, Êîâàëåâñêîé, ñëó÷àþ äèíàìèêè øåðîõîâàòîãî ýëëèïñîèäà íà ïëîñêîñòè (ñì.ðàáîòó Ì.Þ.Èâî÷êèíà [4] è Ã.Ì.Ñå÷êèíà [5]) è íåêîòîðûì äðóãèì ñèñòåìàì (äëÿïîäõîäÿùèõ çîí ýíåðãèè ýòèõ ñèñòåì).12Êîììåíòàðèé 3.2.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ìîëåêóëà èìååò âèä äåðåâà (ñì.òåîðåìó6), äîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìà íà ìíîãîîáðàçèè âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì, ò.å. èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà âèäà(f (r), V (r)),ìîäåëèðóåòñÿ íåêîòîðûì íàáîðîì ãåîäå-çè÷åñêèõ ïîòîêîâ, à èìåííî, â êàæäîé ýíåðãåòè÷åñêîé çîíå, ãðàíèöàìè êîòîðîéÿâëÿþòñÿ îñîáûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè (êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèèçíà÷åíèÿ ýíåðãèèhjòî÷åê âîçâðàòà è çíà÷åíèÿ ýíåðãèèhkhi ,à òàêæåòî÷åê ïåðåñå÷åíèÿè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã íà áèôóðêàöèîííîì êîìïëåêñå), ñèñòåìàìîäåëèðóåòñÿ ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêîì íåêîòîðîé ìåòðèêè âðàùåíèÿ (ïðè íóëåâîì ïîòåíöèàëå).
Áîëåå òî÷íî, äëÿ êàæäîé òàêîé çîíû ïî ïàðå(f (r), V (r))àëãî-ðèòìè÷åñêè ñòðîèòñÿ íîâàÿ ìåòðèêà âðàùåíèÿ, çàäàâàåìàÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåéF (r),ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê êîòîðîé ïðèïðè ìàëåíüêèõ ýíåðãèÿõhh > Vmaxëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòåí, à ãðóáî ýêâèâàëåíòåí èñõîäíîé ñèñòåìå â âûáðàííîéçîíå.  ýòîì ñìûñëå ëþáàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ(f (r), V (r))ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé áîëåå ïðîñòûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ÿâ-ëÿþùèõñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè ïîòîêàìè (áåç ïîòåíöèàëà) íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ.
Ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ (h> Vmax )óòâåðæäåíèå âåðíî áëàãîäàðÿ ïðèíöèïóÌîïåðòþè. Îäíàêî, òàê êàê ïîòîêè ñ ïîòåíöèàëîì ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõ âåäóòñåáÿ áîëåå ñëîæíî, ÷åì ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè, êëàññ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëîì íåâêëàäûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ â êëàññ ñèñòåì áåç ïîòåíöèëà (áîëåå ïîäðîáíî ñì.1.9).Ýòè ãëàâíûå ðåçóëüòàòû îïèðàþòñÿ íà ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå âäàííîé äèññåðòàöèè.1) Âûÿñíåíî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà ìåòðèêó è ïîòåíöèàë ÷èñëî êðèâûõ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû êîíå÷íî, à ïðè êàêèõ áåñêîíå÷íî.2) Íàéäåíû ÿâíûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷åê âîçâðàòà áèôóðêàöèîííûõêðèâûõ, à òàêæå íàéäåíû óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå êîíå÷íîñòü (èëè áåñêîíå÷íîñòü) ÷èñëà òî÷åê âîçâðàòà.3) Êëàññèôèöèðîâàíû òèïû âñåõ áèôóðêàöèîííûõ äóã (ýëëèïòè÷åñêàÿ, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ).134) Íàéäåíû êðèòåðèè âûðîæäåííîñòè èëè íåâûðîæäåííîñòè òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.5) Êëàññèôèöèðîâàíû âñåâîçìîæíûå òèïû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äóã, âêëþ÷àÿ èõ ïåðåñå÷åíèå è ñàìîïåðåñå÷åíèå.6) Ïðåäúÿâëåí àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñà.7) Êëàññèôèöèðîâàíû ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, âîçíèêàþùèå â ñèñòåìàõ íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî ãðóáîé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.8) Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå, äîêàçàíà òåîðåìà òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì (òåîðåìà 6).9) Ïîëó÷åíû ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, è ïî íèì ïîñòðîåíû ðåøåòêè ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ.
Ïðåäúÿâëåí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà è ìàòðèö ìîíîäðîìèèèçîëèðîâàííûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ðàíãà0.10) Êàê ïðèëîæåíèå ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà èìàòðèö ìîíîäðîìèè ïî ðåøåòêàì ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ, ñ ïîìîùüþ ïðåäúÿâëåííîãî àëãîðèòìà èññëåäîâàí îáîáùåííûé ñëó÷àé Ëàãðàíæà.Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ À.Ò.Ôîìåíêîçà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå, à òàêæå Å.À.Êóäðÿâöåâîéçà öåííûå íàó÷íûå èäåè è ìíîãî÷èñëåííûå îáñóæäåíèÿ è À.À.Îøåìêîâó çà î÷åíüâàæíûå êîììåíòàðèè, ñóùåñòâåííî óëó÷øèâøèå òåêñò ðàáîòû.1.2Èññëåäîâàíèå îñîáûõ òî÷åê è îñîáûõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà äëÿ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿÐàññìîòðèì ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèåíî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ãðóïïûS1M ≈ S2ñ ìåòðèêîég,äëÿ êîòîðîé îïðåäåëå-(îêðóæíîñòè) èçîìåòðèÿìè (òàêàÿ ìåòðèêàíàçûâàåòñÿ ìåòðèêîé âðàùåíèÿ, à ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîãîîáðàçèåðàçèåì âðàùåíèÿ ).14Mg ìíîãîîá-ÏóñòüNèS íåïîäâèæíûå òî÷êè S 1 äåéñòâèÿ, íàçîâåì èõ ñåâåðíûì è þæíûìïîëþñàìè ìíîãîîáðàçèÿ[23]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
