Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îòìåòèì, ÷òîãåîäåçè÷åñêàÿ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êðàò÷àéøåé êðèâîé, à â ñëó÷àåìíîãîãðàííîé ìåòðèêè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû íà ñôåðå âåðíî è îáðàòíîå: ëþáàÿ ëîêàëüíî êðàò÷àéøàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. Ãåîäåçè÷åñêîé ëîìàíîé áóäåì íàçûâàòü ïóòü, êîòîðûé ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå÷èñëî ïóòåé (çâåíüåâ), êàæäûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé.Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîãî çàìêíóòîãî êðóãà âïðîñòðàíñòâî ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé, îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà âíóòðåííîñòü êðóãà ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì. Ãðàíè÷íàÿ îêðóæíîñòü ïëîñêîãîêðóãà ïåðåéä¼ò ïðè ýòîì â íåêîòîðóþ íåïðåðûâíóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ.Åñëè ýòà êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëîìàíîé, òî îáðàç íà ðàçâ¼ðòêåâíóòðåííîñòè êðóãà áóäåì íàçûâàòü ìíîãîóãîëüíèêîì, à îáðàç îêðóæíîñòè åãî ãðàíèöåé. Åñëè ãðàíèöó íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü êàê çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ ëîìàíóþ ìåíüøå, ÷åì ñ n çâåíüÿìè, à ñ n çâåíüÿìè ìîæíî,òî ìíîãîóãîëüíèê áóäåì íàçûâàòü n-óãîëüíèêîì, à óçëû ýòîé ëîìàíîé âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà.Èòàê, ìíîãîóãîëüíèê îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ãîìåîìîðôíîå îòêðûòîìó äâóìåðíîìó äèñêó.
Åñëè ãðàíèöà ìíîãîóãîëüíèêà íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé, òî ìíîãîóãîëüíèê ñ äîáàâëåííîé ê íåìó ãðàíèöåé áóäåì íàçûâàòüçàìêíóòûì ãåîäåçè÷åñêèì ìíîãîóãîëüíèêîì.  ÷àñòíîñòè, ëþáîé äèñê ñìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ãåîäåçè÷åñêèì ìíîãîóãîëüíèêîì. Íî ãðàíèöà ìíîãîóãîëüíèêà ìîæåò èìåòü ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, è òîãäà38çàìûêàíèå ìíîãîóãîëüíèêà íà ìíîãîãðàííèêå íå îáÿçàòåëüíî ãîìåîìîðôíî çàìêíóòîìó êðóãó. Íàïðèìåð, ìíîãîãðàííèê ñ âûáðîøåííûì ðåáðîìAB ýòî äâóóãîëüíèê. Íàì áóäåò ïîëåçíà ôîðìóëà äëÿ ñóììû óãëîâìíîãîóãîëüíèêà îäíà èç äèñêðåòíûõ âåðñèé ôîðìóëû ÃàóññàÁîííå.Ëåììà 3.2 ([1, Ãë. 1 8 òåîð.
2]). Ïóñòü αi , i = 1, . . . , n âíóòðåííèåóãëû n-óãîëüíèêà, à kj , j = 1, . . . , s êðèâèçíû âåðøèí ìíîãîãðàííîéìåòðèêè, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè n-óãîëüíèêà. ÒîãäànXαi = π(n − 2) +i=1sXkj .j=1Ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëûì áóäåì íàçûâàòü ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé, åñëè ëþáûå äâå åãî òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòüãåîäåçè÷åñêîé, ëåæàùåé öåëèêîì â ýòîì ìíîæåñòâå.Ëåììà 3.3 ([1, ãë. 1, 8]). Íà ëþáîì çàìêíóòîì (êàê ìåòðè÷åñêîå ïðî-ñòðàíñòâî) ìíîãîîáðàçèè ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû êàæäûå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü êðàò÷àéøåé.
Ýòà êðàò÷àéøàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëîìàíîé. Ïðè÷¼ì ïðåëîìëÿòüñÿ (èìåòü ñêàêîé-òî ñòîðîíû óãîë, îòëè÷íûé îò π ) êðàò÷àéøàÿ ìîæåò òîëüêî ââåðøèíàõ ãðàíèöû ìíîãîîáðàçèÿ, óãîë â êîòîðûõ áîëüøå π .Ñëåäñòâèå 4. Ìíîãîóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ìåíüøå èëè ðàâíû π ,ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëûì.Íàì ïîíàäîáèòñÿ âíóòðè òàêîãî ìíîãîóãîëüíèêà ¾ñîåäèíÿòü ãåîäåçè÷åñêèìè¿ áîëüøå, ÷åì äâå òî÷êè.
Ýòîìó ïîñâÿùåíà ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ïóñòü äàíî ïîäìíîæåñòâî U íåêîòîðîãî ìíîãîãðàííèêà, è ìíîæåñòâî X ⊂ U . Âûïóêëîé îáîëî÷êîé C(X, U ) ìíîæåñòâà X ⊂ U â ìíîæåñòâå U áóäåì íàçûâàòü íàèìåíüøåå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî C òàêîå,÷òî X ⊂ C ⊂ U è ëþáàÿ ñîäåðæàùàÿñÿ â U ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ êîíöàìè â Cöåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â C .Ëåììà 3.4. Ïóñòü X = {X1 , . . . , Xn } ìíîæåñòâî âåðøèí ìíîãîãðàí-íèêà, ïîïàâøèõ âíóòðü ìíîãîóãîëüíèêà U , óãëû êîòîðîãî ≤ π . Òîãäàâûïóêëàÿ îáîëî÷êà C(X, U ) ýòî ëèáî çàìêíóòûé ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê ñ óãëàìè ≤ π , âåðøèíû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â X , ëèáî ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ êîíöàìè èç X , ëèáî òî÷êà (ïðè n = 1).
Ïðè÷¼ì ïðè n ≥ 2óãëû ôèãóðû U \ C â âåðøèíàõ C íå ìåíüøå π .Äëÿ êàæäîé ïàðû Xi , Xj îáîçíà÷èì ÷åðåç γij êðàò÷àéøóþ ñðåäè ñîåäèíÿþùèõ èõ êðèâûõ, ëåæàùèõ â U (â ñèëó ëåììû 3.3êàæäàÿ èç êðàò÷àéøèõ áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé íà ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà). Òåïåðü ñðåäè âñåâîçìîæíûõ çàìêíóòûõ n-çâåííûõ ëîìàíûõ ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí X è çâåíüÿìè ñðåäè âûáðàííûõ êðàò÷àéøèõ âûáåðåìÄîêàçàòåëüñòâî.39ëîìàíóþ íàèìåíüøåé äëèíû. Îò ïðîòèâíîãî ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî òàêàÿëîìàíàÿ áóäåò íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ è, çíà÷èò, îãðàíè÷èâàåò íåêîòîðûéãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê M1 .Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ Xi , Xj ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ñ êîíöàìèXi , Xj , ñòðîãî ñîäåðæàùàÿñÿ â U \ M1 , òî γ ðàçáèâàåò U \ M1 íà äâå ÷àñòè: îäíà èç íèõ ãîìåîìîðôíà êîëüöó, à äðóãàÿ ãîìåîìîðôíà êðóãó è,çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêèì ìíîãîóãîëüíèêîì, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì÷åðåç N1 . Ðàññìîòðèì M1 ∪ N1 = M2 .
Äîêàæåì, ÷òî ìíîãîóãîëüíèê M2èìååò ñòðîãî ìåíüøå âåðøèí, ÷åì M1 . Äåéñòâèòåëüíî, âíóòðü M2 ïîïàäàþò âåðøèíû M1 , íàõîäÿùèåñÿ íà åãî ãðàíèöå ìåæäó Xi è Xj è ÿâëÿþùèåñÿ âåðøèíàìè N1 . Îòñóòñòâèå èñ÷åçíóâøèõ âåðøèí îçíà÷àëî áû, ÷òîN1 ÿâëÿåòñÿ äâóóãîëüíèêîì, îãðàíè÷åííûì ãåîäåçè÷åñêîé γ è ñòîðîíîéìíîãîóãîëüíèêà M1 , íî ëþáîé äâóóãîëüíèê ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ òî÷êóïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû, à èõ âíóòðè U \ M1 íåò ïî ïîñòðîåíèþ. Äàëåå, íà k -îì øàãå ðàññìàòðèâàåì U \ Mk è, åñëè ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ âíóòðè U \ Mk ñ êîíöàìè â âåðøèíàõ Mk , ðàñøèðÿåì ñ ïîìîùüþ íå¼ìíîãîóãîëüíèê Mk äî Mk+1 .
Ïîñêîëüêó ÷èñëî âåðøèí ïðè ýòîì óáûâàåò,ïðîöåññ îñòàíîâèòñÿ íà íåêîì ìíîãîóãîëüíèêå Mκ òàêîì, ÷òî â U \ Mκíå ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêîé ñ êîíöàìè â âåðøèíàõ Mκ . Íàïîìíèì, ÷òîMκ ñîäåðæèò (âíóòðè èëè íà ãðàíèöå) âñ¼ X , ò.å. âñå ñîäåðæàùèåñÿ â Uâåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.Äîêàæåì, ÷òî âñå óãëû U \ Mκ â âåðøèíàõ Mκ íå ìåíüøå π .Ïåðâûé ñëó÷àé: Mκ îäíîóãîëüíèê. Èç ôîðìóëû Ãàóññà-Áîííå äëÿìíîãîóãîëüíèêîâ (ïî íàøåìó îïðåäåëåíèþ ãîìåîìîðôíûõ äèñêó) ëåãêîâûâåñòè, ÷òî â ñëó÷àå íå ñîäåðæàùåãî âåðøèí íåíóëåâîé êðèâèçíû è ãîPi=nìåîìîðôíîãî êîëüöó U \ Mκ åãî ñóììà óãëîâ ðàâíà i=1 αi + β = π(n + 1),ãäå αi óãëû ìíîãîóãîëüíèêà U , β óãîë U \Mκ â âåðøèíå îäíîóãîëüíèêàMκ .
Ïîñêîëüêó αi ≤ π ïî óñëîâèþ ëåììû, β ≥ π , ÷òî íàì è òðåáîâàëîñü.Âòîðîé ñëó÷àé: Mκ èìååò õîòÿ áû äâå âåðøèíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîóãîë U \ Mκ â âåðøèíå X2 ìíîãîóãîëüíèêà Mκ ìåíüøå π . Ïóñòü îí îáðàçîâàí ñòîðîíàìè X1 X2 è X2 X3 (âîçìîæíî, X1 = X3 ). Ðàññìîòðèì êðàò÷àéøóþ ñðåäè êðèâûõ, ñîäåðæàùèõñÿ â U \ Mκ , ñîåäèíÿþùèõ X1 è X3 èãîìîòîïíûõ â U \Mκ ëîìàíîé X1 X2 X3 . Ýòà êðàò÷àéøàÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëîìàíîé ñ óçëàìè â âåðøèíàõ U \Mκ ñ óãëîì áîëüøå π (ëåììà 3.3),ò.å. å¼ óçëû íå ìîãóò ëåæàòü íè â âåðøèíàõ U , íè â âåðøèíå X2 .
Ñ äðóãîéñòîðîíû, îíà íå ìîæåò áûòü âòîðîé ïîëîâèíîé ãðàíèöû ìíîãîóãîëüíèêàMκ , òàê êàê ýòà âòîðàÿ ïîëîâèíà íå ãîìîòîïíà ëîìàíîé X1 X2 X3 . Çíà÷èò,ýòà ãåîäåçè÷åñêàÿ ëîìàíàÿ ñîäåðæèò çâåíî, ëåæàùåå ñòðîãî âíóòðè U \Mκè ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû Mκ , íî ýòî çâåíî åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ, êîòîðûõ íåñóùåñòâóåò ïî îïðåäåëåíèþ Mκ .
Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâîòîãî ôàêòà, ÷òî âñå óãëû U \ Mκ â âåðøèíàõ Mκ íå ìåíüøå π .40Äîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ ñîäåðæàùàÿñÿ â U ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ êîíöàìè âMκ öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â Mκ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, òîãäà ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ñ êîíöàìè íà ãðàíèöå Mκ è âíóòðåííîñòüþ âíóòðèU \ Mκ . Ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ðàçáèâàåò U \ Mκ íà äâå ÷àñòè.
×àñòü, ãîìåîìîðôíàÿ êðóãó, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî, çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ óãëîâ â êîíöàõ γ , çàâåäîìî áîëüøå π ,íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ôîðìóëå Ãàóññà-Áîííå.Íàêîíåö, äîêàæåì, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî C òàêîå, ÷òî X ⊂ C ⊂ Uè ëþáàÿ ñîäåðæàùàÿñÿ â U ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ êîíöàìè â C öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â C , ñîäåðæèò Mκ . Òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî, ÷òî Mκ = C(X, U ).ßñíî, ÷òî âñå ãåîäåçè÷åñêèå, ñîåäèíÿþùèå Xi è ëåæàùèå â U , ñîäåðæàòñÿ â ëþáîì C . Ñäåëàåì òðèàíãóëÿöèþ ìíîãîóãîëüíèêà Mκ ãåîäåçè÷åñêèìèòàê, ÷òîáû ìíîæåñòâî âåðøèí òðèàíãóëÿöèè ñîâïàäàëî ñ ìíîæåñòâîì X [1,Ãë.
4, 1,ëåììà 2]. Âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêîâ òàêîé òðèàíãóëÿöèè ëåæàò âC . Ëþáîé èç å¼ òðåóãîëüíèêîâ èçîìåòðè÷åí ïëîñêîìó, çíà÷èò, ëþáàÿ åãîòî÷êà ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîé ãåîäåçè÷åñêîé ñ êîíöàìè íà åãî ñòîðîíàõ, àçíà÷èò, òîæå ëåæèò â C . Èòàê, âñå òî÷êè òðåóãîëüíèêîâ òðèàíãóëÿöèè, àçíà÷èò è âñå òî÷êè ìíîãîóãîëüíèêà Mκ , ëåæàò â C , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 3.2ÐåçóëüòàòûÇäåñü ìû ïðèâîäèì âñå ðåçóëüòàòû ãëàâû, à òàêæå óïîìèíàåì äðóãèå èçâåñòíûå íàì ôàêòû î ìèíèìàëüíûõ ñåòÿõ íà ìíîãîãðàííèêàõ. Êîðîòêèåäîêàçàòåëüñòâà ìû ïðèâîäèì çäåñü æå, à áîëåå äëèííûå âûíåñåíû â ðàçäåë 3.3.
Îïðåäåëåíèÿ ñåòåé áûëè ââåäåíû â ãëàâå 1, îñîáåííî íàì ïîíàäîáÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ, äàííûå â ðàçäåëå 1.6. Ñåé÷àñ ìû ëèøü íàïîìíèì,÷òî âî âñåé ýòîé ãëàâå, çà èñêëþ÷åíèåì ðàçäåëà 3.3.5, ìû ðàññìàòðèâàåìîáûêíîâåííûå ñåòè, à ñ ó÷¼òîì êðèòåðèÿ 2 ìîæíî äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ìèíèìàëüíîé ñåòè íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå, ýêâèâàëåíòíîåîáùåìó îïðåäåëåíèþ çàìêíóòîé ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè, äàííîìó âðàçäåëå 1.5.Îïðåäåëåíèå. Ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ýòîñâÿçíàÿ ñåòü ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) âñå å¼ ð¼áðà ãåîäåçè÷åñêèå,(2) êàæäàÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 3, (3) óãîë ìåæäó ñìåæíûìè ð¼áðàìèðàâåí 120◦ .3.2.1Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû âåðøèí.Ïóñòü äàíà ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà ìíîãîãðàííèêå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
