Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Âñþäóáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåðøèí ñòåïåíè 2 â ìèíèìàëüíîé ñåòè íåò. ßñíî, ÷òîýòî íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè. ðàçäåëå 3.1.2 ìû ïîäðîáíî îáñóäèì, êàê óñòðîåíû ãåîäåçè÷åñêèåíà ïîâåðõíîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà.Äîïîëíåíèå ê îáðàçó ìèíèìàëüíîé ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå ñîñòîèòèç íåñêîëüêèõ êîìïîíåò ñâÿçíîñòè, êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü ÿ÷åéêàìèñåòè.Îïðåäåëåíèå. Ìèíèìàëüíóþ ñåòü áóäåì íàçûâàòü ïðîñòîé, åñëè êàæäàÿå¼ ÿ÷åéêà ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà. Îñòàëüíûåìèíèìàëüíûå ñåòè áóäåì íàçûâàòü íåïðîñòûìè.Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâå ñåòè Γ1 , Γ2 â ïðîñòðàíñòâàõ X1 , X2 ãîìåîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ X1 è X2 , ïåðåâîäÿùèé ñåòè äðóã â äðóãà.
Åñëè äëèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðè ãîìåîìîðôèçìå ð¼áåð äâóõ ñåòåé îäèíàêîâû, òî äâå ñåòè áóäåì íàçûâàòü èçîìåòðè÷íûìè. Çäåñü äëÿ îáûêíîâåííûõ ñåòåé ñëîâà ïåðåâîäÿùèé ñåòè äðóã â äðóãàïîíÿòü ñîâñåì ëåãêî äâà ìíîæåñòâà ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè ãîìåîìîðôèçìå.  ñëó÷àå ñåòåé-îòîáðàæåíèé ðå÷ü èä¼ò î òîì, ÷òî Γ1 : TG → X1 ,Γ2 : TG → X2 è ãîìåîìîðôèçì h : X1 → X2 òàêîâ, ÷òî Γ2 = h ◦ Γ1 .Ïëîñêèé ãðàô ýòî âëîæåííàÿ ñåòü íà ñôåðå, ðàññìàòðèâàåìàÿ ñòî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîðôèçìà ñôåðû. ß÷åéêàì ñåòè ñîîòâåòñòâóþò ãðàíèïëîñêîãî ãðàôà. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåòü íà ìíîãîãðàííèêå ðåàëèçóåòïëîñêèé ãðàô G, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî ïëîñêîãî ãðàôàêàê êëàññà ãîìåîìîðôíûõ ñåòåé.Âçâåøåííûì ãðàôîì (G, w) áóäåì íàçûâàòü ïàðó, ñîñòîÿùóþ èç ãðàôà G = (V, E) è ïîëîæèòåëüíîé âåñîâîé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå åãî ð¼áåðw : E → R+ .18Ãëàâà 2Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõñåòåéÎïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòåé áûëè ñôîðìóëèðîâàíû â ðàçäåëå 1.5.2.12.1.1ÐåçóëüòàòûÓñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíûÂñÿêàÿ óñòîé÷èâàÿ ñåòü â ëîêàëüíî îäíîñâÿçíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé (ýòî ëåãêî äîêàçàòü, êðîìå òîãî, ýòîòðèâèàëüíîå ñëåäñòâèå òåîðåìû 4, êîòîðàÿ áóäåò ñôîðìóëèðîâàíà â ðàçäåëå 2.1.2 è äîêàçàíà â ðàçäåëå 2.3).
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî, íàïðèìåð, âñÿêàÿ íåêðàò÷àéøàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ñôåðå íåóñòîé÷èâà. Ìû äîêàæåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû âñìûñëå À. Ä. Àëåêñàíäðîâà âñÿêàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü óñòîé÷èâà.Ñëîâà ¾â ñìûñëå À. Ä. Àëåêñàíäðîâà¿ ìû áóäåì äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàòü.Îïðåäåëåíèå òàêèõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî íàéòè â êíèãå [3], íåêîòîðûå èõñâîéñòâà ìû ñôîðìóëèðóåì â ðàçäåëå 2.2. Îòìåòèì, ÷òî êëàññ ïðîñòðàíñòâíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû ñîäåðæèò, â ÷àñòíîñòè, ðèìàíîâû ìíîãîîáðàçèÿ íåïîëîæèòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû, â òîì ÷èñëå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà è ëîêàëüíî åâêëèäîâû ìíîãîîáðàçèÿ.Òåîðåìà 3. Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü â ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå íåïî-ëîæèòåëüíîé êðèâèçíû ∞-óñòîé÷èâà, à â ïðîñòðàíñòâå ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû ñòðîãî ∞-óñòîé÷èâà.
Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî ñòðîãî ∞-óñòîé÷èâî â ëþáîì ïðîñòðàíñòâå íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå àíàëîãè÷íîãîôàêòà äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû, ñì.ëåììû â íà÷àëå ðàçäåëà 2.2.19Ïðîíèí [10] â ñëó÷àå ïîëíûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèé ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû äîêàçàë, ÷òî ñðåäè ñåòåé, ïîëó÷àþùèõñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé èç äàííîé ñåòè, ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîé ëîêàëüíîìèíèìàëüíîé. Íàøå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 î÷åíü âî ìíîãîì ïîâòîðÿåòðàññóæäåíèÿ Ïðîíèíà [10].
Ïî ñóòè ìû èñïîëüçóåì âñå òå æå ñîîáðàæåíèÿ âûïóêëîñòè ìåòðèêè, íî äëÿ ïðîñòðàíñòâ áîëåå îáùåãî âèäà. Îäíàêîíàø ðåçóëüòàò è òåîðåìà èç ñòàòüè [10] îòëè÷àþòñÿ íå òîëüêî âèäîì ïðîñòðàíñòâ, íî è äîêàçûâàåìûìè ñâîéñòâàìè. Îïðåäåëèì äëÿ êîìïàêòíûõëîêàëüíî îäíîñâÿçíûõ ïðîñòðàíñòâ äâà ñâîéñòâà.Ñâîéñòâî A. Âñå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè â äàííîì ïðîñòðàíñòâåñòðîãî ∞-óñòîé÷èâû.Ñâîéñòâî B .  äàííîì ïðîñòðàíñòâå íèêàêàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòüíå ìîæåò áûòü äåôîðìàöèåé ïåðåâåäåíà â äðóãóþ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíóþñåòü.Íàøà òåîðåìà 3 óòâåðæäàåò, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâà ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû îáëàäàþò ñâîéñòâîì A, à ðåçóëüòàò Ïðîíèíà [10] ïî ñóòèçàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âñå ðèìàíîâû ìíîãîîáðàçèÿ ñòðîãî îòðèöàòåëüíîéñåêöèîííîé êðèâèçíû îáëàäàþò ñâîéñòâîì B .Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî èç ñâîéñòâà A âñåãäà âûòåêàåò ñâîéñòâî B (ñì.ëåììó 2.1 íèæå).
Âîçìîæíî, îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ òîæå âåðíà è ñâîéñòâàA è B ðàâíîñèëüíû, îäíàêî àâòîðó äèññåðòàöèè äîêàçàòü ýòîò ôàêò íåóäàëîñü.Ëåììà 2.1. Åñëè êîìïàêòíîå ëîêàëüíî îäíîñâÿçíîå ïðîñòðàíñòâî X îá-ëàäàåò ñâîéñòâîì A, òî îíî îáëàäàåò è ñâîéñòâîì B .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â äàííîì ïðîñòðàíñòâå X , îáëàäàþùåì ñâîéñòâîì A, ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü Γ2 ïîëó÷åíà äåôîðìàöèåé èç ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè Γ1 , ò. å., ïî îïðåäåëåíèþ äåôîðìàöèè, ê Γ1 ïðèìåíèëè ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ, ïîëó÷èëè ïðè ýòîì íåêóþ ñåòü Γ01 , à çàòåìïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé ïåðåâåëè Γ01 â Γ2 . Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâà Aäëÿ ñåòè Γ1 âûïîëíåíî `(Γ1 ) > `(Γ2 ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñåòü Γ01 ñâÿçàíàñ ñåòüþ Γ2 ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé, ò. å. Γ01 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíàäåôîðìàöèåé èç ñåòè Γ2 , ïîýòîìó `(Γ2 ) > `(Γ01 ). Íî `(Γ01 ) = `(Γ1 ), ò. å.îäíîâðåìåííî `(Γ1 ) > `(Γ2 ) è `(Γ2 ) > `(Γ1 ), ïðîòèâîðå÷èå.2.1.2¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåôîðìàöèéÐàññìîòðèì ε-óñòîé÷èâîå äåðåâî.
Óñòîé÷èâîñòü ãàðàíòèðóåò, ÷òî äëèíóýòîãî äåðåâà íåëüçÿ óêîðîòèòü (ε-ìàëîé) äåôîðìàöèåé. Íî, ìîæåò áûòü,äëèíó ýòîãî äåðåâà ìîæíî óêîðîòèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåôîðìàöèé?20Íà ðèñ. 1 ìîæíî óâèäåòü ïðèìåð äâóõ äåðåâüåâ, êîòîðûå ìîæíî ñîåäèíèòüïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåôîðìàöèé, íî íåëüçÿ ñîåäèíèòü äåôîðìàöèåé.Äëÿ äàííîé ñåòè Γ ÷åðåç Oε (Γ) ìû îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî ñåòåé,êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ñåòè Γ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþäåôîðìàöèé âíóòðè Bε (Γ). ñëåäóþùåé òåîðåìå ìû ðàññìàòðèâàåì ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîñ âíóòðåííåé ìåòðèêîé (ò. å. ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ðàâíî òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëèí ñîåäèíÿþùèõ èõ ïóòåé) è íàêëàäûâàåì óñëîâèÿ ëîêàëüíîéîäíîñâÿçíîñòè è ëîêàëüíîé êîìïàêòíîñòè ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî ýòîéìåòðèêè (äëÿ êàæäîé òî÷êè âñå äîñòàòî÷íî ìàëûå øàðû ñ öåíòðîì â íåéêîìïàêòíû è îäíîñâÿçíû).
Íàøå äîêàçàòåëüñòâî áóäåò ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàòü âñå ýòè ñâîéñòâà, õîòÿ âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî òåîðåìà âåðíà èâ áîëåå îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.Òåîðåìà 4. Ïóñòü Γ ε0 -óñòîé÷èâàÿ ñåòü â ëîêàëüíî êîìïàêòíîì ëî-êàëüíî îäíîñâÿçíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñ âíóòðåííåé ìåòðèêîé.Òîãäà :1) ñóùåñòâóåò ε > 0 òàêîå, ÷òî `(Γ) = minD∈Oε (Γ) `(D);2) åñëè ïðè ýòîì ñåòü Γ ñòðîãî ε0 -óñòîé÷èâà, òî åå äëèíà ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì äëèíà ëþáîé äðóãîé ñåòè èç Oε (Γ);3) åñëè U îòêðûòàÿ îäíîñâÿçíàÿ îêðåñòíîñòü îáðàçà ñåòè Γ, ñîäåðæàùàÿñÿ â Bε (Γ) (ò. å. Im(Γ) ⊂ U ⊂ Bε (Γ)), òî ñåòü Γ êðàò÷àéøàÿ ñðåäè ñåòåé, ëåæàùèõ â U è ñîåäèíÿþùèõ ãðàíèöó ñåòè Γ.Íåëüçÿ íå çàìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàòû, çàêëþ÷åííûå â ïóíêòàõ 1) è2) òåîðåìû, î÷åíü îæèäàåìûå, âåäü ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ñåòè î÷åíü íàïîìèíàåò ñàìó ñåòü, è ïîòîìó ¾ñóùåñòâåííîå¿ èçìåíåíèå êîìáèíàòîðíîéñòðóêòóðû ñåòè, ñêîðåå âñåãî, òîëüêî óäëèíèò ñåòü, à èìåííî òàêîå èçìåíåíèå è îòëè÷àåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåôîðìàöèé îò ïðîñòî äåôîðìàöèè.Òàê ÷òî ðàç ñåòü óñòîé÷èâà è åå (ïî îïðåäåëåíèþ óñòîé÷èâîñòè) íåëüçÿóêîðîòèòü îáû÷íîé äåôîðìàöèåé, òî åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ïðè ¾ñóùåñòâåííîì¿ èçìåíåíèè êîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû ñåòü òåì áîëåå íåëüçÿóêîðîòèòü.Ðåçóëüòàò 3) èíòåðåñåí äëÿ äåðåâüåâ.
ßñíî, ÷òî â ëþáîì äîñòàòî÷íîõîðîøåì ïðîñòðàíñòâå ó íåñàìîïåðåñåêàþùåãîñÿ äåðåâà åñòü ìàëàÿ îäíîñâÿçíàÿ îêðåñòíîñòü. Íàïðèìåð, î÷åâèäíî, ÷òî â ëþáîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå óæå Bε (Γ) áóäåò îäíîñâÿçíîé ïðè ìàëûõ ε. Îäíàêî àâòîð íåóìååò äîêàçûâàòü ñóùåñòâîâàíèå U â ïðîèçâîëüíîì ëîêàëüíî êîìïàêòíîìëîêàëüíî îäíîñâÿçíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåíî â ðàçäåëå 2.3.Ñ ó÷åòîì òåîðåìû 3 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå äëÿ ïðîñòðàíñòâ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.21Ñëåäñòâèå 1.  ëîêàëüíî êîìïàêòíîì ïðîñòðàíñòâå íåïîëîæèòåëü-íîé êðèâèçíû â ñìûñëå À. Ä.
Àëåêñàíäðîâà âñÿêàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿñåòü Γ äëÿ íåêîòîðîãî ε ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé â êëàññå Oε (Γ). Ëîêàëüíîìèíèìàëüíîå äåðåâî Γ äëÿ íåêîòîðîãî ε ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé ñåòüþ â êëàññå Oε (Γ), è äëÿ ëþáîé îäíîñâÿçíîé îêðåñòíîñòè Uòàêîé, ÷òî Im(Γ) ⊂ U ⊂ Bε (Γ), ñåòü Γ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé ñåòüþ ñðåäè ñåòåé, ñîåäèíÿþùèõ ãðàíèöó Γ è ëåæàùèõ â U . Âñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû ëþáàÿ ëîêàëüíîìèíèìàëüíàÿ ñåòü Γ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé â Oε (Γ).2.2Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû â ñìûñëåÀ.Ä.ÀëåêñàíäðîâàÔîðìóëèðîâêó òåîðåìû è êîììåíòàðèé ñì. â ðàçäåëå 2.1.1.
Äëÿ íà÷àëàïðèâåäåì íåîáõîäèìûå íàì ðåçóëüòàòû î ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîéêðèâèçíû.Ëåììà 2.2 ((ñì. [3, òåîðåìà 9.2.2])).  ïîëíîì îäíîñâÿçíîì ïðîñòðàíñòâåíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû ëþáûå äâå òî÷êè ñîåäèíèìû åäèíñòâåííîéãåîäåçè÷åñêîé. Êàæäûé ãåîäåçè÷åñêèé îòðåçîê ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé.Ëåììà 2.3 ((ñì. [3, çàìå÷àíèå 9.1.18, ðàçäåë 9.2])). Âñÿêîå ïîëíîå ïðî-ñòðàíñòâî íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû ëîêàëüíî îäíîñâÿçíî, è ïîòîìóèìååò ëîêàëüíî èçîìåòðè÷íîå óíèâåðñàëüíîå íàêðûòèå, ïðè÷åì íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì îäíîñâÿçíûì ïðîñòðàíñòâîìíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.Ñëåäñòâèå 2.
 ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû âêàæäîì ãîìîòîïè÷åñêîì êëàññå êðèâûõ ñ äàííûìè êîíöàìè ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ. Îíà ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé â ýòîì êëàññå.Ëåììà 2.4 ((ñì. [3, ïðåäëîæåíèå 9.2.13])). Ïóñòü (X, d) ïîëíîå îäíî-ñâÿçíîå ïðîñòðàíñòâî íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû, α(s), β(s) ãåîäåçè÷åñêèå, ïàðàìåòðèçîâàííûå ïðîïîðöèîíàëüíî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó,èëè ïîñòîÿííûå êðèâûå.
Òîãäà ôóíêöèÿ d(α(s), β(s)) âûïóêëà.Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü X ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî íåïîëîæèòåëüíîé êðè-âèçíû, α(s), β(s) ãåîäåçè÷åñêèå, ïàðàìåòðèçîâàííûå ïðîïîðöèîíàëüíîíàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó, èëè ïîñòîÿííûå êðèâûå, σs íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè α(s) è β(s). Òîãäà ôóíêöèÿ`(σs ) âûïóêëà.22Çàìå÷àíèå 1. Åñëè X ïðîñòðàíñòâî ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû,òî ôóíêöèÿ `(σs ) èç ñëåäñòâèÿ 3 ñòðîãî âûïóêëà äëÿ ëþáîé íåïîñòîÿííîéäåôîðìàöèè σs .Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
