Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Çàïèøåì äëÿ êàæäîéPÿ÷åéêè ñåòè ôîðìóëó ÃàóññàÁîííå (ëåììà 3.2): 2πn=π(n−2)+v k(v),3ãäå ñóììèðîâàíèå èä¼ò ïî âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà, ïîïàâøèì âíóòðü41äàííîé n-óãîëüíîé ÿ÷åéêè è k(v) êðèâèçíà âåðøèíû v (ñì. îïðåäåëåíèÿ â ðàçäåëå 3.1.1). Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Ëåììà 3.5 ([8, Ïðåäë. 5.34]). Äëÿ n-óãîëüíîé ÿ÷åéêè ìèíèìàëüíîé ñå-òè ñóììà êðèâèçí ïîïàâøèõ â ýòó ÿ÷åéêó âåðøèí ìíîãîãðàííèêà ðàâíàPπnv k(v) = 2π − 3 . Ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñîñòîèò èç íå áîëåå ÷åì øåñòèóãîëüíûõ ÿ÷ååê.
Øåñòèóãîëüíûå ÿ÷åéêè íåñîäåðæàò âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.Òåîðåìà 6 (Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû). Äëÿ òîãî, ÷òîáûíà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâîâàëà ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìíîæåñòâî V åãî âåðøèí ìîæíî áûëî ðàçáèòü íà íåñêîëüêîïîäìíîæåñòâ V = V1 t . . . t Vs òàê, ÷òî ñóììà êðèâèçí âåðøèí â êàæäîì ïîäìíîæåñòâå Vi êðàòíà π3 è ìåíüøå 2π , ò.å. ðàâíà îäíîìó èç ÷èñåëπk3 , k = 1, . . . , 5.Íàïîìíèì, ÷òî ñóììà âñåõ êðèâèçí (ñôåðè÷åñêîãî) ìíîãîãðàííèêàðàâíà 4π , è, çíà÷èò, ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íåêîòîðûì îáðàçîì ðàçáèâàåò 4π íà÷àñòè âèäà kπ3 . Âñåãî ñóùåñòâóåò 47 òàêèõ ðàçáèåíèé (ò.å.
ðåøåíèé óðàâíå4π5ππíèÿ x1 3 + x2 2π3 + x3 π + x4 3 + x5 3 = 4π â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñëàõ). [37] áûë ïðèâåä¼í ïðèìåð íå èìåþùåãî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé òåòðàýäðà, êðèâèçíû âåðøèí êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì k(A) = 2π3 ,5π5πk(B) = 3 , k(C) + k(D) = 3 . Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìîå äëÿ ñóùå-ñòâîâàíèÿ ìèíèìàëüíîé ñåòè óñëîâèå íà êðèâèçíû ìíîãîãðàííèêà èç òåîðåìû 6 íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óæå â ñëó÷àå òåòðàýäðîâ. Îòìåòèì, ÷òî ïðèâåä¼ííîå â [37] äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà áûëîäëèííûì è íåïðîçðà÷íûì.
 òåîðåìå 19 (ðàçäåë 3.2.5) ìû ïîêàæåì, êàêñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ñîâñåì êîðîòêî äîêàçàòü íåäîñòàòî÷íîñòü íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ èç òåîðåìû 6.3.2.2Ðåàëèçàöèÿ ïëîñêèõ ãðàôîâ íà ìíîãîãðàííèêàõ â âèäå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé.Åñëè çàáûòü ïðî äëèíû ð¼áåð è óãëû ìåæäó íèìè, òî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íàìíîãîãðàííèêå ýòî îäíà èç âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé íà ñôåðå íåêîòîðîãîïëîñêîãî ãðàôà. Ïîïðîáóåì ïîéòè â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ðàññìîòðèìïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ãðàô ñ âåðøèíàìè ñòåïåíè 3 è íå áîëåå ÷åì øåñòèóãîëüíûìè ãðàíÿìè.
Ïðèïèøåì êàæäîìó ðåáðó íåêîòîðûé âåñ ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Çàäàäèìñÿ öåëüþ ïîñòðîèòü ìíîãîãðàííèê, íà êîòîðîìýòîò ãðàô áûë áû ðåàëèçîâàí êàê ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, äëèíû ð¼áåð êîòîðîé ðàâíÿëèñü áû âåñàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ð¼áåð ãðàôà. Åñëè áû òàêàÿìèíèìàëüíàÿ ñåòü íàøëàñü, òî êàæäàÿ å¼ ÿ÷åéêà ïðåäñòàâëÿëà áû ñîáîé42ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê, â êîòîðîì íàì èçâåñòíû âåëè÷èíû âñåõ óãëîâ (120◦ ) è äëèíû âñåõ ñòîðîí. Ñëåäóþùàÿ ëåììà îáúÿñíÿåò, íàñêîëüêîýòè äàííûå çàäàþò ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê.Ëåììà 3.6. (1) Ãåîäåçè÷åñêèé n-óãîëüíèê ñ óãëàìè ïî 120◦ , äëèíàìè ïî-ñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí a1 , . .
. , an (âñå ai > 0, äàëåå ñ÷èòàåì ai+n ≡ aiäëÿ âñåõ i) è íå ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ òî÷åê îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèåóñëîâèÿïðè n = 6 : a1 + a2 = a4 + a5 è a2 + a3 = a5 + a6ïðè n = 5 : ai < ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 5ïðè n = 4 : ai < ai+1 + 2ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 4ïðè n ≤ 3 ñóùåñòâóåò âñåãäà.(2) Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé èç ïóíêòà 1 ñóùåñòâóåò è n-óãîëüíèê, ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ íå áîëåå îäíîé âåðøèíû íåíóëåâîé êðèâèçíû.(3) Ìíîãîóãîëüíèê èç ïóíêòà 2 åäèíñòâåíåí ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìåòðèè;åãî ðàçâ¼ðòêà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà êîíñòðóêòèâíî.Ëåììà áóäåò äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.3.1. À ñåé÷àñ âûâåäåì èç ýòîéëåììû ñëåäñòâèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïëîñêèé âçâåøåííûé ãðàô ðåàëèçóåòñÿ íà ìíîãîãðàííèêå P êàê ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, åñëè íà ìíîãîãðàííèêåP ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ðåàëèçóþùàÿ ýòîò ïëîñêèé ãðàô è èìåþùàÿ äëèíû ð¼áåð, ðàâíûå âåñàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ð¼áåð ãðàôà.
ßñíî, ÷òîäëÿ êàæäîé ìèíèìàëüíîé ñåòè îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼í ïëîñêèé âçâåøåííûéãðàô, êîòîðûé îíà ðåàëèçóåò.Âñÿêîìó ìíîãîãðàííèêó ñ ìèíèìàëüíîé ñåòüþ íà í¼ì åñòåñòâåííûìîáðàçîì ñîîòâåòñòâóåò ñåìåéñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (ÿ÷ååêñåòè), à äëèíû èõ ñòîðîí óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì èç ëåììû 3.6. Çíà÷èò, ýòèì ñîîòíîøåíèÿì îáÿçàíû óäîâëåòâîðÿòü âåñà ð¼áåð ëþáîãî ïëîñêîãî âçâåøåííîãî ãðàôà, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí êàê ìèíèìàëüíàÿñåòü.Îáðàòíî, äëÿ êàæäîé ãðàíè ïëîñêîãî ãðàôà ñ âåñîâîé ôóíêöèåé,óäîâëåòâîðÿþùåé ýòèì ñîîòíîøåíèÿì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì ïóíêòîìëåììû 3.6, ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê ñ óãëàìè ïî 120◦ èäëèíàìè ñòîðîí, ðàâíûìè âåñàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ð¼áåð. Ïîñòðîèì òàêèåìíîãîóãîëüíèêè äëÿ âñåõ ãðàíåé ïëîñêîãî ãðàôà.
Çàäàäèì íà ìíîæåñòâåýòèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðàâèëà ñêëåéêè, îòîæäåñòâëÿÿ äâå ñòîðîíû (âåðøèíû) ìíîãîóãîëüíèêîâ â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòè ñòîðîíû (âåðøèíû) ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ðåáðó (èëè âåðøèíå) ãðàôà. Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ãîìåîìîðôíîå ñôåðå ïðîñòðàíñòâî ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû. Ïðè÷¼ì ïî ïîñòðîåíèþ ãðàíèöûìíîãîóãîëüíèêîâ ýòîé ðàçâ¼ðòêè îáðàçóþò ìèíèìàëüíóþ ñåòü, ðåàëèçóþ-43ùóþ äàííûé ïëîñêèé âçâåøåííûé ãðàô. Ïî òåîðåìå 5 ýòà ìåòðèêà ðåàëèçóåòñÿ íåêîòîðûì âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì, è òåì ñàìûì äîêàçàíàäîñòàòî÷íîñòü ñîîòíîøåíèé èç ëåììû 3.6 äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîãîãðàííèêà ñ ìèíèìàëüíîé ñåòüþ, ðåàëèçóþùåé äàííûé âçâåøåííûé ãðàô.
Èòàê,èç ëåììû 3.6 ìû âûâåëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 7. Äëÿ âçâåøåííîãî ïëîñêîãî ãðàôà (G, w) ñóùåñòâóåò âû-ïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íà êîòîðîì (G, w) ðåàëèçóåòñÿ êàê ìèíèìàëüíàÿñåòü, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (G, w) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:(1) ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû ðàâíà òð¼ì;(2) âñÿêàÿ ãðàíü ÿâëÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì øåñòèóãîëüíîé;(3) w(v1 v2 ) + w(v2 v3 ) = w(v4 v5 ) + w(v5 v6 ) äëÿ ëþáîé íóìåðàöèè v1 .
. . v6ïîñëåäîâàòåëüíûõ âåðøèí ëþáîé øåñòèóãîëüíîé ãðàíè;(4) w(v1 v2 ) < w(v2 v3 ) + 2w(v3 v4 ) + w(v4 v1 ) äëÿ ëþáîé íóìåðàöèè v1 . . . v4ïîñëåäîâàòåëüíûõ âåðøèí ëþáîé ÷åòûð¼õóãîëüíîé ãðàíè;(5) w(v1 v2 ) < w(v3 v4 ) + w(v4 v5 ) äëÿ ëþáîé íóìåðàöèè v1 . . . v5 ïîñëåäîâàòåëüíûõ âåðøèí ëþáîé ïÿòèóãîëüíîé ãðàíè.Äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ãðàôà G âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ íàêàæäîì ðåáðå çíà÷åíèå 1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 35, îòêóäà âûòåêàåòñëåäóþùåå ñëåäñòâèå.Ñëåäñòâèå 5. Äëÿ âñÿêîãî ïëîñêîãî ãðàôà G, ó êîòîðîãî ñòåïåíü âñåõâåðøèí ðàâíà òð¼ì è âñå ãðàíè íå áîëåå ÷åì øåñòèóãîëüíûå, ñóùåñòâóåòâûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íà êîòîðîì G ðåàëèçóåòñÿ êàê ìèíèìàëüíàÿñåòü.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà åù¼ îäíî ñëåäñòâèå ëåììû 3.6.Òåîðåìà 8. Äëÿ âñÿêîãî ãðàôà (G, w) ñî ñâîéñòâàìè (1)(5) èç òåîðå-ìû 7 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ â R3 ) âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íà êîòîðîì (G, w) ðåàëèçóåòñÿ êàê ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ïðè÷¼ì íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ R3 ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ðåàëèçóþùàÿ äàííûéâçâåøåííûé ãðàô.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâòîðåíèå äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè â ïðåäûäóùåé òåîðåìå, íî ñ ó÷¼òîì ïóíêòà 2 ëåììû 3.6. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëèñü äâà ìíîãîãðàííèêà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ äàííûéïëîñêèé âçâåøåííûé ãðàô ðåàëèçóåòñÿ êàê ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü. Âñèëó ïóíêòà 3 ëåììû 3.6 ÿ÷åéêè äâóõ ñåòåé, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîé èòîé æå ãðàíè ïëîñêîãî ãðàôà, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èçîìåòðè÷íûå ìíîãîóãîëüíèêè.
Ïîñêîëüêó êîìáèíàòîðíàÿ ñòðóêòóðà äâóõ ñåòåé îäèíàêîâà, ýòè44ÿ÷åéêè ñêëååíû ìåæäó ñîáîé â äâóõ ñåòÿõ îäèíàêîâûì îáðàçîì, ïîýòîìó,îáúåäèíÿÿ èçîìåòðèè ïàð ÿ÷ååê, ïîëó÷àåì èçîìåòðèþ îäíîãî ìíîãîãðàííèêà íà äðóãîé, ïåðåâîäÿùóþ äàííûå ìèíèìàëüíûå ñåòè äðóã â äðóãà. Ïîòåîðåìå 5 òàêàÿ èçîìåòðèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà äâèæåíèåì R3 , ÷òî èòðåáîâàëîñü.3.2.3Äâàæäû ïîêðûòûå òðåóãîëüíèêèÒåîðåìà 9.  ñëó÷àå ìíîãîãðàííèêîâ ñ òðåìÿ âåðøèíàìè (ò.å. äâàæäûïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêîâ) íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû èç òåîðåìû 6 ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ âûïîëíåíèÿ íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ èç òåî-4π 4πðåìû 6 âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà äîëæíû èìåòü êðèâèçíû { 4π3 , 3 , 3 },5π2π 5π 5π{π, 4π3 , 3 } èëè { 3 , 3 , 3 }. Êàæäîìó èç ýòèõ íàáîðîâ êðèâèçí ñîîòâåòñòâóåò îäèí (ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòåòèè) äâàæäû ïîêðûòûé òðåóãîëüíèê.
Íàðèñ. 3.1 äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ èçîáðàæåíà ðàçâ¼ðòêà ìíîãîãðàííèêà èïðèìåð ìèíèìàëüíîé ñåòè íà í¼ì.Òåîðåìà 10. Íà äâàæäû ïîêðûòîì òðåóãîëüíèêå ëþáàÿ ìèíèìàëüíàÿñåòü ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé â êëàññåìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ñåòü, äëèíû âñåõ ð¼áåð êîòîðîé îäèíàêîâû.Äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó 8 èòîò ôàêò, ÷òî â ñëó÷àå òð¼õ âåðøèí èõ êðèâèçíûîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ìíîãîãðàííèê ñ òî÷íîñòüþäî ïîäîáèÿ. Èòàê, ïóñòü íà ëþáîì èç òð¼õ âîçìîæíûõ äâàæäû ïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêîâ èìååòñÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü Γ òèïà G, ðåàëèçóþùàÿ íåêîòîðûéïëîñêèé ãðàô (G, w) (ò.å. äëèíà ðåáðà Γ(e) ðàâíàw(e), e ∈ E(G)). Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî âçâåøåííûõ ãðàôîâ (G, wt ), 0 ≤ t ≤ 1 ñ âåñîâîé ôóíêöèåé wt (e) = (1 − t)w(e) + t.
Äîêàæåì, ÷òî âñå ýòèâçâåøåííûå ãðàôû ðåàëèçóþòñÿ êàê ìèíèìàëüíûåñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ. Äëÿ ýòîãî ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 7. Óñëîâèÿ 1 è 2 âûïîëíåíû, òàê êàê (G, w0 ) ðåàëèçóåòñÿ. Êðîìå òîãî, w1 (e) ≡ 1, ïîýòîìó äëÿ (G, w1 ) òàêæå âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 7. Ïðè ôèêñèðîâàííîìG óñëîâèÿ 35 îãðàíè÷èâàþò âûïóêëîå ïîäìíîæå- Ðèñ. 3.1: Âñå äâàæäû ïîñòâî â ìíîæåñòâå âñåõ âåñîâûõ ôóíêöèé, ïîýòîìó êðûòûå òðåóãîëüíèêè, èìåwt , êàê âûïóêëàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ w0 è w1 , þùèå ìèíèìàëüíóþ ñåòüòàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 35, à çíà÷èò, ïî òåîðåìå 8, ñóùåñòâóåò âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê Pt , íà êîòîðîì âçâåøåííûé ïëîñêèé ãðàô (G, wt )45ðåàëèçóåòñÿ êàê ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
