Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. An A1 X A1 íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé è îãðàíè÷èâàåò âëîæåííûéìíîãîóãîëüíèê, ò.å. ñëó÷àé n ≤ 3 ðàçîáðàí.Ïðè n = 4 ìíîãîóãîëüíèê A01 A02 A03 A04 A001 ïðè ëþáûõ a1 , . . . , a4 ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì. Ïóñòü íóìåðàöèÿ âåðøèí â A01 A02 A03 A04 A001 èä¼ò ïî ÷àñîâîéñòðåëêå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ∠ABC ïîëîæèòåëåí, åñëè ëó÷ AB ïåðåõîäèò â ëó÷ BC ïðè ïîâîðîòå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë, ìåíüøèé π .Îòñóòñòâèå ñàìîïåðåñå÷íèé ó çàìêíóòîé ëîìàíîé A01 A02 A03 A04 A001 X 0 A01 ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî òî÷êà X 0 ëåæèò âíóòðè ïÿòèóãîëüíèêà A01 A02 A03 A04 A001 , àýòî ðàâíîñèëüíî ïîëîæèòåëüíîñòè óãëîâ ∠A0i A0i+1 X 0 , i = 1, 2, 3 è ∠A04 A001 X 0 .Äîêàæåì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîñòü óãëîâ ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå íåðàâåíñòâ.Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ∠A04 A001 X 0 ïîëîæèòåëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,58êîãäà a4 < a3 + 2a2 + a1 . Ïîñòðîèì ïðàâèëüíûé 4A03 A04 R è ïðÿìîóãîëüíûé 4A01 A02 Q ñ óãëàìè π6 , π3 , π2 è ãèïîòåíóçîé A01 A02 è ðàññìîòðèì 4P QR ñóãëàìè π6 , π3 , π2 , ñì.
ðèñ. 3.9 (â öåíòðå). Çàìåòèì, ÷òî |QR| = a21 + a2 + a3 , à|A02 R| = a4 +a3 . Çíà÷èò, |P R| = a1 +2a2 +2a3 > a4 +a3 = |A001 R| ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî A001 ëåæèò âíóòðè ãèïîòåíóçû òðåóãîëüíèêà P QR, è ïîòîìóðàâíîñèëüíî óñëîâèþ ∠A01 A001 A04 > π6 , ò.å. ∠A04 A001 X 0 > 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü.Ðàññìîòðèì òåïåðü ëþáîé èç óãëîâ ∠A0k−1 A0k X 0 , i = 2, 3, 4, è çàìêíóòóþ ëîìàíóþ L(k), ñîñòîÿùóþ èç îòðåçêîâ A001 X 0 , X 0 A0k è ó÷àñòêàëîìàíîé A01 A02 A03 A04 A001 îò A0k äî A001 .
Ïîâåðí¼ì ëîìàíóþ L(k) íà 2π3 ïî ÷à000ñîâîé ñòðåëêå âîêðóã òî÷êè X . Ïðè ýòîì òî÷êà A1 ïåðåéä¼ò â A01 , îáðàç âåðøèíû A0i , k ≤ i ≤ 4 îáîçíà÷èì ÷åðåç A00i è ðàññìîòðèì ëîìàíóþA00k . . . A004 A01 A02 . . . A0k−1 . Âñå óãëû ýòîé ëîìàíîé ïî ïîñòðîåíèþ ðàâíû 120◦ ,äëèíû ñòîðîí ak , ak+1 , . . . , an , a1 , . . .
, ak−1 , |A00k X 0 | = |A0k X 0 |, ¾âíóòðåííèé¿ ∠A0k X 0 A00k = 240◦ . Ò.å. ýòî ëîìàíàÿ ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè, íî äëÿíàáîðà (ak , ak+1 , . . . , an , a1 , . . . , ak−1 ). Óñëîâèå òîãî, ÷òî ∠A0k−1 A0k X 0 ïîëîæèòåëåí ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ, ÷òî ïîëîæèòåëåí åãî îáðàç ïðè ïîâîðîòå,ò.å.
∠A00k−1 A00k X 0 , à ýòî óæå âûâåäåííîå íàìè óñëîâèå íà ïîëîæèòåëüíîñòü¾êðàéíåãî¿ óãëà äëÿ A00k . . . A004 A01 A02 . . . A0k−1 A0k X 0 , ò.å. â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû.Ñëó÷àé n = 5 ìîæåò áûòü ðàçîáðàí àíàëîãè÷íî ñ èñïîëüçîâàíèåìðèñ. 3.9 (ïðàâûé ðèñóíîê).3.3.2Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 20 î ìíîãîãðàííèêå, íà êîòîðîììèíèìàëüíûå ñåòè ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðîñòûå.Ïóñòü äàíà ñèñòåìà ðàçðåçîâ Mcut = {Vi , Mi }. Ðàññìîòðèì íåçàìêíóòûéìíîãîãðàííèê Q, ïîëó÷àþùèéñÿ èç P âûáðàñûâàíèåì âñåõ íåîäíîòî÷å÷íûõ Mi .
Ïî îïðåäåëåíèþ ñèñòåìû ðàçðåçîâ óãëû Q âî âñåõ ãðàíè÷íûõâåðøèíàõ íå ìåíüøå π , ïîýòîìó ïî òåîðåìå [1, ãë. 5, 1, òåîð. 8] ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí çàìêíóòûé ìíîãîãðàííèê PS , ñîäåðæàùèé íåçàìêíóòûéìíîãîãðàííèê Q1 , èçîìåòðè÷íûé Q è òàêîé, ÷òî âñÿêàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè PS \ Q1 ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà PS .  [1]ðàçâ¼ðòêà ìíîãîãðàííèêà PS ñòðîèòñÿ êîíñòðóêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ ïîñòðîåíèå ðàçâ¼ðòêè ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ çàäàííûìè äëèíàìèñòîðîí è âåëè÷èíàìè óãëîâ è åäèíñòâåííîé âåðøèíîé ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.
Ýòî ïîñòðîåíèå âûïîëíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçâ¼ðòêè, àíàëîãè÷íîéðàçâ¼ðòêå A01 A02 . . . A0n A001 X 0 èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.Åñëè ìèíèìàëüíîé ñåòè N íà ìíîãîãðàííèêå P ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà ðàçðåçîâ Mcut , òî N ⊂ Q. Ïîñêîëüêó ìíîãîãðàííèê Q1 èçîìåòðè÷åí Q,íà í¼ì èìååòñÿ ñåòü N1 , èçîìåòðè÷íàÿ (êàê ìíîæåñòâî, â ñìûñëå âíóòðåííèõ ìåòðèê íà Q è Q1 ) ìèíèìàëüíîé ñåòè N .
Ïî ïîñòðîåíèþ â êàæäîé59íåøåñòèóãîëüíîé ÿ÷åéêå ñåòè N1 ñîäåðæèòñÿ ðîâíî îäíà âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà PS . Èòàê, âñå ìèíèìàëüíûå ñåòè ñ äàííîé ñèñòåìîé ðàçðåçîâíà P ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðîñòûå ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå PS .Åäèíñòâåííîñòü PS âûòåêàåò èç òåîðåìû 8.3.3.3Ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà áåç ìèíèìàëüíûõ ñåòåé, èìåþùåãî ñèñòåìó ðàçðåçîâ (òåîðåìà 18).Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿù¼í äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 18.  êà÷åñòâå èñêîìîãîïðèìåðà ìû ïîñòðîèì ìíîãîãðàííèê, íàïîìèíàþùèé î÷åíü âûòÿíóòûéïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä.
Äåëî â òîì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîéäëèíå ` (ïî ñðàâíåíèþ ñ w è h) íà ïàðàëëåëåïèïåäå `×w ×h íå ñóùåñòâóåòìèíèìàëüíîé ñåòè ñ ñèñòåìîé ðàçðåçîâ, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûð¼õ ð¼áåð äëèíû`. Îäíàêî, êàê ìû îòìå÷àëè â ðàçäåëå 3.2.5, íà ëþáîì ïàðàëëåëåïèïåäå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü (õîòü ñ êàêîé-íèáóäü ñèñòåìîé ðàçðåçîâ), òàê÷òî ñàì ïàðàëëåëåïèïåä íå ïîäõîäèò äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 18. Ìû÷óòü-÷óòü ïîøåâåëèì âåðøèíû ¾äëèííîãî¿ ïàðàëëåëåïèïåäà òàê, ÷òîáûíà í¼ì ¾íå îñòàëîñü¿ ñèñòåì ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îòíîñèòåëüíî êîðîòêèå ãåîäåçè÷åñêèå (êàê â ïðèìåðå íà ðèñ.
3.5), òîãäà ìèíèìàëüíàÿ ñåòüäîëæíà èìåòü ñèñòåìó ðàçðåçîâ ñ äëèííûìè ãåîäåçè÷åñêèìè, ÷òî, êàê ìûïîêàæåì, íåâîçìîæíî, è òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî îòñóòñòâèå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå.Ëåììà 3.8. Äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ `, w, h è ε è ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-ðàëëåëåïèïåäà P ðàçìåðîì ` × w × h ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèê P ? ñ âîñåìüþ âåðøèíàìè è áèåêöèÿ β : V (P ) → V (P ? ) òàêèå, ÷òî(1) |k(v) − π2 | < ε äëÿ âñåõ v ∈ V (P ? );(2) äëÿ v1 , v2 ∈ V (P ) ðàâåíñòâî k(β(v1 )) + k(β(v2 )) = π âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà v1 è v2 êîíöû íåêîòîðîãî ðåáðà äëèíû `,ïðè÷¼ì â ýòîì ñëó÷àå ðàññòîÿíèå ìåæäó β(v1 ) è β(v2 ) íà ìíîãîãðàííèêåP ? íå ìåíüøå ` − 2ε;(3) ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè S(P ) è S(P ? ) äâóõ ìíîãîãðàííèêîâ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì íà ε.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ñîñòîèò â îïèñàíèè ðàçâ¼ðòêè ìíîãîãðàííèêà P ? ,èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 3.10.
Îáîçíà÷èì âåðøèíû ïàðàëëåëåïèïåäà P ÷åðåç A, B, C, D, K, L, M, N , ïóñòü AK = BL = CM = DN = `. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê A1 A?1 K1? K1 , â êîòîðîìA1 K1 = `, ∠A1 = ∠K1 = 45◦ , è ïóñòü A2 A?2 K2? K2 ðàâíûé åìó ÷åòûð¼õóãîëüíèê. Ðàññìîòðèì äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà è äâóõ ïîñòðîåííûõ ÷åòûð¼õóãîëüíèêîâ è çàäàäèì íà ýòîì ìíîæåñòâåïðàâèëà ñêëåéêè: îòîæäåñòâëÿþòñÿ ð¼áðà ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó ðåáðó, çà èñêëþ÷åíèåì ïàðû ñòîðîí, ñîîòâåòñòâóþ-60Ðèñ. 3.10:Ðàçâ¼ðòêà ìíîãîãðàííèêàP ?,ïîëó÷åííîãî ìàëûì øåâåëåíèåì ïàðàëëåëåïèïåäà.ùèõ ðåáðó AK ; îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñòîðîíû A1 A?1 ≡ A2 A?2 , A?1 K1? ≡ A?2 K2? ,K1? K1 ≡ K2? K2 ; ñòîðîíà A1 K1 îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñî ñòîðîíîé AK ãðàíèAKN D, à ñòîðîíà A2 K2 ñî ñòîðîíîé AK ãðàíè AKLB .
Ïîëó÷àåì ãîìåîìîðôíóþ ñôåðå ðàçâ¼ðòêó ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû (ñì. îïðåäåëåíèåðàçâ¼ðòêè â ðàçäåëå 3.1.1), êîòîðàÿ ïî òåîðåìå 5 èçîìåòðè÷íà íåêîòîðîìóâûïóêëîìó ìíîãîãðàííèêó. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè A è K â íîâîé ðàçâ¼ðòêåèìåþò íóëåâóþ êðèâèçíó (ê èìåâøåìóñÿ ïîëíîìó óãëó 3π2 ìû ïðèêëåèëèπäâà óãëà ïî 4 ), çàòî ïîÿâèëèñü âåðøèíû A? è K ? (òàê ìû îáîçíà÷àåì òî÷êè, ïîëó÷åííûå ïðè ñêëåèâàíèè A?1 è A?2 , K1? è K2? . Ïðè ýòîì, ìåíÿÿ äëèíûñòîðîí A1 A?1 è K1 K1? , ìû ìîæåì ìåíÿòü êðèâèçíû âåðøèí A? è K ? , íî âñóììå îíè â ëþáîì ñëó÷àå áóäóò äàâàòü π .Òåì æå ñïîñîáîì ¾ïðèêëåèì¿ ê ïàðàëëåëåïèïåäó åù¼ òðè ïîõîæèå, íî ïîïàðíî íå ðàâíûå ¾çàïëàòêè¿ âäîëü ð¼áåð BL, CM, DN , ñì.ðèñ.
3.10. Ïðè ýòîì âûáåðåì ïðèêëåèâàåìûå ÷åòûð¼õóãîëüíèêè òàê, ÷òîáû óãëû ÷åòûð¼õóãîëüíèêîâ â âåðøèíàõ ñî çâ¼çäî÷êàìè áûëè ïîïàðíî ðàçëè÷íû è áëèçêè ê 3π4 , à áîêîâûå ñòîðîíû ìàëû (íå ïðåâîñõîäÿòεmin(ε, 16` )). Òîãäà ïîëó÷èâøèéñÿ â ðåçóëüòàòå ìíîãîãðàííèê P ? ñ âåðøèíàìè A? , B ? , C ? , D? , K ? , L? , M ? , N ? áóäåò óäîâëåòâîðÿòü òðåáóåìûì ñâîéñòâàì.?Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãîãðàííèê P , ïîñòðîåííûé ñ ïîìî1ùüþ ýòîé ëåììû äëÿ ìàëåíüêîãî ε (ñêàæåì, ìåíüøå 100) è áîëüøîãî `(ñêàæåì, ` > 100(w + b + ε)).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà P ? ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü N è Mcut ={Vi , Mi } ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ñèñòåìà ðàçðåçîâ.
Ïîñêîëüêó êðèâèçíûâåðøèí ìíîãîãðàííèêà P ? ε-áëèçêè ê π2 , ñóììà êðèâèçí ëþáûõ m âåðøèí61mmπ100 -áëèçêà ê 2 , à çíà÷èò ãðóïïàπ3 è ìåíüøåé 2π , ìîæåò ñîñòîÿòüâåðøèí ñ ñóììàðíîé êðèâèçíîé, êðàòíîéòîëüêî èç äâóõ âåðøèí (è èìåòü ñóììàðíóþ êðèâèçíó π ). Ó÷èòûâàÿ ïóíêò (2) ëåììû, ïîëó÷àåì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþäî èçìåíåíèÿ íîìåðîâ Vi âûïîëíÿåòñÿ V1 = {A? , K ? }, V2 = {B ? , L? }, V3 ={C ? , M ? }, V4 = {D? , N ? }. Äàëåå, êàæäîå ìíîæåñòâî Mi ýòî ãåîäåçè÷åñêàÿ äëèíîé íå ìåíüøå ` − 2ε (îäíîóãîëüíèêîì îíî íå ìîæåò áûòü èç-çàòîãî, ÷òî êðèâèçíû îáåèõ âåðøèí â ïàðå Vi áëèçêè ê π2 , à åñëè âíóòðè îäíîóãîëüíèêà ñîäåðæèòñÿ åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà, òî ïî ôîðìóëå Ãàóññà-Áîííå(ëåììà 3.2) å¼ êðèâèçíà íå ìåíüøå π ).1Ëåììà 3.9.
Ïóñòü ε < 100è ` > 100ε. Òîãäà ïëîùàäü ÿ÷åéêè ñåòè N ,ñîäåðæàùåé ïàðó âåðøèí A? è K ? , íå ìåíüøå const · `2 , ãäå const íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íå çàâèñÿùåå íè îò âûáîðà ε, `, P ? , íè îòâûáîðà ìèíèìàëüíîé ñåòè N .Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ïóñòü PS (Mcut ) ìíîãîãðàííèê, íà êîòîðîì ñåòüN ðåàëèçóåòñÿ êàê ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü (òåîðåìà 20) è f : P ? \∪Mi →PS (Mcut ) èçîìåòðè÷íîå âëîæåíèå, ïîñòðîåííîå â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 20. Òîãäà ìíîãîãðàííèê PS (Mcut ) èìååò ÷åòûðå âåðøèíû êðèâèçíû π ,ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðàâíîãðàííûì òåòðàýäðîì.
Ðàññìîòðèì ÿ÷åéêó ìèíèìàëüíîéñåòè N , ñîäåðæàùóþ âåðøèíû A? , K ? . Ïî ëåììå 3.5 ýòà ÿ÷åéêà òðåóãîëüíàÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðåóãîëüíàÿ ÿ÷åéêà ñåòè f (N ) ñîäåðæèò åäèíñòâåííóþ âåðøèíó ìíîãîãðàííèêà PS (Mcut ), îáîçíà÷èì ýòó ÿ÷åéêó ÷åðåç Y1 Y2 Y3 ,à âåðøèíó âíóòðè ÷åðåç X .
Ïóñòü Con(X) = Y1 Y2 Y3 \ f (P ? \ ∪Mi ). Èíûìè ñëîâàìè, Con(X) ýòî òîò äâóóãîëüíèê, êîòîðûì â äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû 20 ìû çàêëåèâàëè äûðó, ïîëó÷èâøóþñÿ ïîñëå ðàçðåçà âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé M1 , ñîåäèíÿþùåé âåðøèíû A? è K ? . Íèæå f -îáðàçû âåðøèíA? è K ? íà ìíîãîãðàííèêå PS (Mcut ), ò.å. âåðøèíû äâóóãîëüíèêà Con(X),ìû áóäåì ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àòü ÷åðåç A? è K ? .Ñîåäèíèì X è Y1 êðàò÷àéøåé XY1âíóòðè ÿ÷åéêè (ñëåäñòâèå 4) è èçîìåòðè÷íî îòîáðàçèì ìíîãîóãîëüíèê Y1 Y2 Y3 \ XY1 íàïëîñêîñòü. Ïîñêîëüêó êðèâèçíà âåðøèíû Xðàâíà π , ïîëó÷èì ïëîñêèé âûïóêëûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê, ñì. ðèñ. 3.11. Ïóñòü T òî÷êàïåðåñå÷åíèÿ êðàò÷àéøåé XY1 è ãðàíèöû äâóóãîëüíèêà Con(X).
Òîãäà îáðàç äâóóãîëüíèêà Con(X) ïðè ðàçâîðà÷èâàíèè ýòî íåêîòî- Ðèñ. 3.11: Ðàçâ¼ðòêà ÿ÷åéêè ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå PS (Mcut ) è å¼ðûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê T T 0 K ? A? .Ðàññìîòðèììíîãîóãîëüíèê öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íàÿ êîïèÿ.Y1 Y2 Y3 Y10 T 0 K ? A? T . Ïî ïîñòðîåíèþ îí ïîëó÷àåòñÿ ðàçâîðà÷èâàíèåìîáëàñòè f (P ? \ ∪Mi ) ∩ Y1 Y2 Y3 , ò.å. òîé ÷àñòè ÿ÷åéêè Y1 Y2 Y3 , êîòîðàÿ62èçîìåòðè÷íà ðàçðåçàííîé ïî ãåîäåçè÷åñêîé M1 ÿ÷åéêå ñåòè N íà ìíîãîãðàííèêå P ? .
Çíà÷èò, ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà Y1 Y2 Y3 Y10 T 0 K ? A? T ðàâíàïëîùàäè ÿ÷åéêè èç óñëîâèÿ ëåììû, ò.å. ëåììà ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâóîöåíêè S(Y1 Y2 Y3 Y10 T 0 K ? A? T ) ≥ const·`2 . Äàëåå âñå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäèìäëÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè.Ðàññìîòðèì îáðàç ÷åòûð¼õóãîëüíèêîâ Y1 Y2 Y3 Y10 è T T 0 K ? A? ïðè ñèììåòðèè ñ öåíòðîì â òî÷êå X . Ïî ïîñòðîåíèþ XT = XT 0 , XY1 = XY10 ,ïîýòîìó îáúåäèíåíèå ÷åòûð¼õóãîëüíèêà Y1 Y2 Y3 Y10 è åãî îáðàçà ïðè ñèììåòðèè ýòî íåêîòîðûé öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûé øåñòèóãîëüíèê, âñåóãëû êîòîðîãî ðàâíû 120◦ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
