Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841)
Текст из файла
ÔÃÁÎÓ ÂÏξÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ¿¾ÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ¿Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÑòðåëêîâàÍàòàëèÿ ÏàâëîâíàÌèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòÿõ ìíîãîãðàííèêîâÑïåöèàëüíîñòü 01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð Àëåêñåé Àâãóñòèíîâè÷ ÒóæèëèíÌÎÑÊÂÀ 2013ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå12Ñåòè: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû111.11.21.31.41.51.61113141516Ïîíÿòèå ñåòè. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äåôîðìàöèè è ïåðåïàðàìåòðèçàöèÿ ñåòè. . . . . . . . . . . .Îáûêíîâåííûå ñåòè è ñåòè-îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . .Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé. . . . . . . . . . . . .Âèäû ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèè ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòåé è çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé192.1192.22.334Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû . . . . . .
. .2.1.2 ¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäåôîðìàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä.Àëåêñàíäðîâà . .¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåôîðìàöèé . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19202230Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ353.13.2Îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . .3.1.1 Ìíîãîãðàííèêè, ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè è ðàçâ¼ðòêè.3.1.2 Ãåîäåçè÷åñêèå è ìíîãîóãîëüíèêè . . . .
. . . . . . . .Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû âåðøèí. . . . . . .3.2.2 Ðåàëèçàöèÿ ïëîñêèõ ãðàôîâ íà ìíîãîãðàííèêàõ â âèäå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Äâàæäû ïîêðûòûå òðåóãîëüíèêè . . . . . . . . . . . .2353538414142453.2.43.2.53.2.63.2.73.3Ìèíèìàëüíûå ñåòè íà òåòðàýäðàõ . . . . . .
. . . . .Ñèñòåìà ðàçðåçîâ: ãåîìåòðè÷åñêîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå.Ñâåäåíèå çàäà÷è ê ïðîñòûì ìèíèìàëüíûì ñåòÿì. . .Ôàêòû è ãèïîòåçû î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.8 Ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è òåòðàýäðû ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 } .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðî ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . .3.3.1 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.6 î äëèíàõ ñòîðîí ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 20 î ìíîãîãðàííèêå, íà êîòîðîì ìèíèìàëüíûå ñåòè ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðîñòûå. .3.3.3 Ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà áåç ìèíèìàëüíûõ ñåòåé, èìåþùåãî ñèñòåìó ðàçðåçîâ (òåîðåìà 18). . . . .
. . . . .3.3.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 21 î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïî÷òè âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ êðèâèçíàìè, êðàòíûìè π3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 22 î òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 }. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà4750535455565659606472823ÂâåäåíèåÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé (ýòî ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ àíàëîã ãåîäåçè÷åñêèõ) îäíîìó èç àêòèâíî ðàçâèâàþùèõñÿ ðàçäåëîâãåîìåòðèè è òîïîëîãèè. Èññëåäóþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòûõëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâè çàäà÷à îïèñàíèÿ êëàññà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò òàêèå ñåòè (ãëàâà 3). Ïðè èçó÷åíèè çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ âîçíèê åñòåñòâåííûé âîïðîñîá óñòîé÷èâîñòè òàêèõ ñåòåé.
Îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ óäàëîñü â ãîðàçäî áîëüøåé îáùíîñòè â äèññåðòàöèè äîêàçàíà òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòèëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíûâ ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà (ãëàâà 2).  äàëüíåéøåì çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ ìû áóäåì, äëÿ êðàòêîñòè, ÷àñòîíàçûâàòü ïðîñòî ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè.Ñåòüþ ìû íàçûâàåì ãåîìåòðè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ (àáñòðàêòíîãî)ãðàôà, ò.
å. ïðåäñòàâëåíèå âåðøèí ãðàôà òî÷êàìè íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà, à ðåáåð êðèâûìè, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè. Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäèí èç âàðèàíòîâ îáîáùåíèÿïîíÿòèÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ ñëó÷àé. À èìåííî, íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ñåòü íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé, åñëè ëþáîé å¼ äîñòàòî÷íî ìàëûé ôðàãìåíò ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ.
Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ñ ãðàíèöåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçíèêàþò ïðè èçó÷åíèèêðàò÷àéøèõ ñåòåé (íàçûâàåìûõ òàêæå ìèíèìàëüíûìè äåðåâüÿìè Øòåéíåðà).Êðàò÷àéøèå è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè. Ïîèñê êðàò÷àé-øåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ñì., íàïðèìåð, îáçîð â [29], [7] èëè [5]. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ðå÷ü èä¼ò î ïîèñêåêðàò÷àéøåé ñâÿçíîé ñèñòåìû äîðîã, ñîåäèíÿþùåé äàííûå ãîðîäà, íàçûâàåìûå ¾ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè¿ äëÿ èñêîìîé êðàò÷àéøåé ñåòè.
Ïðè ýòîìäîðîãè íå îáÿçàíû íà÷èíàòüñÿ è çàêàí÷èâàòüñÿ â äàííûõ ãîðîäàõ, ò.å. ñèñòåìà äîðîã ìîæåò ñîäåðæàòü ïîìèìî èñõîäíûõ ãîðîäîâ (ãðàíè÷íûõ òî÷åê) äîïîëíèòåëüíûå ïåðåêð¼ñòêè (âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòè). Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd , ñîåäèíÿþùåé äàííûå n òî÷åê, ÿâëÿåòñÿ4N P -òðóäíîé äëÿ âñåõ d ≥ 2; ñì. [24] èëè [25]. Î÷åâèäíî, ÷òî êðàò÷àéøàÿñåòü íå èìååò öèêëîâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëîêàëüíûå ñâîéñòâà êðàò÷àéøèõ ñåòåé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ:(1) ð¼áðà ÿâëÿþòñÿ îòðåçêàìè, (2) âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 1, 2 èëè 3, (3)â âåðøèíàõ ñòåïåíè 3 ð¼áðà ñòûêóþòñÿ ïîä óãëàìè ïî 120◦ , à â âåðøèíàõñòåïåíè 2 ïîä óãëàìè íå ìåíüøå 120◦ [26].
Ýòè ëîêàëüíûå ñâîéñòâà ëåãêî ïðîâåðèòü äëÿ äàííîé ñåòè è ëåãêî ñòðîèòü ñåòè ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè,íî âûïîëíåíèå ýòèõ ñâîéñòâ íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ñåòü ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Ìîæíî óòâåðæäàòü ëèøü, ÷òî ñåòü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (1)(3),ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé. Ñóùåñòâóþùèå àëãîðèòìû òî÷íîãî ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè âñåâîçìîæíûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê, èâûáîðå ñðåäè íèõ äåðåâà íàèìåíüøåé äëèíû. Ïðè ýòîì ýêñïîíåíöèàëüíàÿñëîæíîñòü ýòèõ àëãîðèòìîâ îáóñëîâëåíà ïåðåáîðîì âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàòîðíûõ ñòðóêòóð ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ.
À äëÿ çàäàííîéêîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî â Rd ñ äàííîéãðàíèöåé åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííî [26], è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè åãîïîñòðîåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî çà ëèíåéíîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî Õâàíãîì àëãîðèòìà [28], ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé óëó÷øåíèå àëãîðèòìà Ìåëçàêà [32].Íàïðèìåð, äëÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà,èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñ. 1, ñóùåñòâóþò äâå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè.
Ïóíêòèðíàÿ ñåòü êîðî÷å,îíà è ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ, ñîåäèíÿþùåé÷åòûðå äàííûå òî÷êè.Êðàò÷àéøèå ñåòè, à â ñâÿçè ñ íèìè è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè, âîçíèêàþò â ïðèëîæåÐèñ. 1: Äâå ëîêàëüíî ìèíèíèÿõ è àêòèâíî èññëåäóþòñÿ íå òîëüêî â Rd , íî è â ìàëüíûå ñåòè, çàòÿãèâàþùèåäðóãèõ ïðîñòðàíñòâàõ (ñì., íàïðèìåð, îáçîð [29]), âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà.â òîì ÷èñëå íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ (íàïðèìåð, ñì.
[7]) è â ïðîñòðàíñòâàõ îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà [30], [18]. Èìååòìåñòî ñëåäóþùèé êðèòåðèé.Òåîðåìà (ñì. [7, òåîðåìà 3.1]). Ñåòü Γ íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ëî-êàëüíî ìèíèìàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà (âîçìîæíî, ïîñëåïåðåïàðàìåòðèçàöèè) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì :• âñå ðåáðà ãåîäåçè÷åñêèå,• óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè ðåáðàìè íå ìåíüøå 120◦ ,• âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ãðàíè÷íûå,• âî âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 óãîë ìåæäó ðåáðàìè ðàâåí180◦ .5 ñòàòüå [4] ïîêàçàíî, ÷òî òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòâåðòîãî, íåîáõîäèìû äëÿ ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòè â ïðîñòðàíñòâàõÀ.
Ä. Àëåêñàíäðîâà îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû.Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé.  ãëàâå 2 äèñ-ñåðòàöèè äîêàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû. Òàê æå, êàê èâ ñëó÷àå ãåîäåçè÷åñêèõ, ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü âîîáùå ãîâîðÿ ìîæåòäîïóñêàòü ãëîáàëüíóþ äåôîðìàöèþ, óìåíüøàþùóþ åå äëèíó (ïðèìåð íåêðàò÷àéøàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ñôåðå). Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ íåïîëîæèòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû (è âîîáùå âïðîñòðàíñòâàõ À. Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû) äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà íèêàêîé äåôîðìàöèåé.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
