Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 4
Текст из файла (страница 4)
å. îáðàç âñåãî ïîäãðàôà TH îäíà òî÷êà.Ðàññìîòðèì ôàêòîð-ãðàô G/H , ñîîòâåòñòâóþùèé òîïîëîãè÷åñêèé ãðàô èñòàíäàðòíóþ ïðîåêöèþ π : TG → TG/H = TG /TH è îïðåäåëèì ñåòü ΓG/Hêàê ôàêòîð-îòîáðàæåíèå ΓG/H : TG /TH → X , ò. å. ΓG/H (π(x)) = Γ(x) äëÿëþáîãî x ∈ TG . Ãðàíèöà ôàêòîð-ãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ êàê π -îáðàç ãðàíèöûèñõîäíîãî ãðàôà. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâå ñåòè îòëè÷àþòñÿ íà ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ, åñëè îíè ëèáî ïîëó÷àþòñÿ îäíà èç äðóãîé îïèñàííîé îïåðàöèåé (òàê æå, êàê ΓG/H ïîëó÷èëàñü èç Γ), ëèáî ìîãóò áûòü ñîåäèíåíûêîíå÷íîé öåïî÷êîé ñåòåé, â êîòîðîé êàæäûå äâå ñîñåäíèå ñåòè ïîëó÷àþòñÿ13îäíà èç äðóãîé òàêîé îïåðàöèåé èëè îïåðàöèåé ïîäðàçáèåíèÿ ðåáðà.Ïðè ïåðåïàðàìåòðèçàöèè îáðàç ñåòè íå ìåíÿåòñÿ ìû ìåíÿåì ëèøüïðîîáðàçû îáðàçîâ âåðøèí ñåòè, êîå-ãäå äîáàâëÿÿ, à êîå-ãäå óäàëÿÿ ðåáðàíóëåâîé äëèíû (âûðîæäåííûå). Ñ ïîìîùüþ ïåðåïàðàìåòðèçàöèè âñåãäàìîæíî èçáàâèòüñÿ îò âûðîæäåííûõ ðåáåð.
Îòìåòèì, ÷òî â [8] äëÿ êëàññà ñåòåé, îòëè÷àþùèõñÿ ëèøü ïåðåïàðàìåòðèçàöèåé, èñïîëüçóåòñÿ òåðìèíñåòü-ñëåä; íàì îí íå ïîíàäîáèòñÿ.Äåôîðìàöèåé ñåòè âñþäó íèæå ìû áóäåì íàçûâàòü ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ ëþáîé ñåòè, ïîëó÷åííîé èç äàííîé ñåòè ïåðåïàðàìåòðèçàöèåé.Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ê ñåòè ïðèìåíèëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåôîðìàöèé, åñëè áûëà âûïîëíåíà êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðåïàðàìåòðèçàöèé è ïàðàìåòðè÷åñêèõ äåôîðìàöèé.Ïóñòü α : [a, b] → TG íåêîòîðûé ïóòü. Òîãäà ïóòü Γ ◦ α : [a, b] →Im(Γ) áóäåì íàçûâàòü ïóòåì â ñåòè Γ.
Åñëè ïóòü α âëîæåííûé (ò.å.ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå èíúåêòèâíî), òî ïóòü Γ ◦ α áóäåì íàçûâàòüïðîñòûì. Åñëè ïóòü α çàìêíóòûé, òî ïóòü Γ ◦ α áóäåì íàçûâàòü öèêëîìâ ñåòè Γ. Åñëè α(a) è α(b) ãðàíè÷íûå âåðøèíû òîïîëîãè÷åñêîãî ãðàôà,òî ïóòü Γ ◦ α áóäåì íàçûâàòü ãðàíè÷íûì.Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà, íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùàÿèç îïðåäåëåíèé.Ëåììà 1.1. Åñëè îäíà ñåòü ïîëó÷åíà èç äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþäåôîðìàöèé, òî äëÿ ëþáîãî öèêëà èëè ãðàíè÷íîãî ïóòè â ïåðâîé ñåòèíàéäåòñÿ ãîìîòîïíûé åìó öèêë èëè ãðàíè÷íûé ïóòü âî âòîðîé ñåòè.1.3Îáûêíîâåííûå ñåòè è ñåòè-îòîáðàæåíèÿÑåòü Γ áóäåì íàçûâàòü íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ, åñëè ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êèx ∈ Im(Γ) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì îòîáðàæåíèè Γ : TG → X ýòî ëèáîîäíà òî÷êà, ëèáî ñâÿçíûé ïîäãðàô â TG (ò. å. TH äëÿ íåêîòîðîãî ñâÿçíîãîïîäãðàôà H ⊂ G).Åñëè îòîáðàæåíèå Γ : TG → X áèåêòèâíî, ñåòü áóäåì íàçûâàòü âëîæåííîé.
ßñíî, ÷òî ëþáîé îáûêíîâåííîé ñåòè îäíîçíà÷íî (ñ òî÷íîñòüþ äîìîíîòîííîé çàìåíû ïàðàìåòðîâ íà ð¼áðàõ) ñîîòâåòñòâóåò âëîæåííàÿ ñåòü.Îáðàòíî, ëþáîé íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ ñåòè (ñåòè-îòîáðàæåíèþ) ìîæíîîäíîçíà÷íî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îáûêíîâåííóþ ñåòü, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé îáûêíîâåííîé ñåòè âëîæåííàÿ ñåòü áóäåò îòëè÷àòüñÿîò èñõîäíîé íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ ñåòè íà ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ.
Âîîáùå,ñåòÿì, îòëè÷àþùèìñÿ íà ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ, ñîîòâåòñòâóåò îäíà è òà æåîáûêíîâåííàÿ ñåòü.14Åñëè â ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ ñåòè ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ êîíå÷íî,òî åé òîæå îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò îáûêíîâåííàÿ ñåòü, îäíàêî â ýòîìñëó÷àå ïðè ïåðåõîäå ê îáûêíîâåííîé ñåòè, ðàçóìååòñÿ, òåðÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ î òîì, êàêèå ¾íèòè¿ è êàê áûëè ñîåäèíåíû â ñåòè-îòîáðàæåíèè.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàáîòå ñ âëîæåííûìè ñåòÿìè íåâàæíî, êàê îòíîñèòüñÿ ê ñåòè êàê ê îòîáðàæåíèþ èëè êàê ê îáûêíîâåííîé ñåòè, ò.å.ìíîæåñòâó òî÷åê.
È ìû â òàêèõ ñëó÷àÿõ (âî âñåé ãëàâå 3, çà èñêëþ÷åíèåì ðàçäåëà 3.3.5) íå áóäåì îïðåäåëÿòü îòîáðàæåíèÿ è áóäåì èñïîëüçîâàòüîïðåäåëåíèå îáûêíîâåííîé ñåòè.1.4Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé.Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé Γn îäíîãî òèïà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, d) ñõîäèòñÿ ê ñåòè Γ òîãî æå òèïà, åñëèìîæíî âûáðàòü ïàðàìåòðèçàöèè ðåáåð ýòèõ ñåòåé òàê, ÷òî îòîáðàæåíèÿΓn : TG → X ñõîäÿòñÿ ê îòîáðàæåíèþ Γ : TG → X â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå,ò. å. supx∈TG d(Γn (x), Γ(x)) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.Ëåììà 1.2. Ïóñòü Γn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé îäíîãî òèïà â ïðî-ñòðàíñòâå X , ïðè÷åì äëèíû ñåòåé îãðàíè÷åíû ñâåðõó íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, à îáðàçû ñåòåé ñîäåðæàòñÿ â íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì êîìïàêòå K .
Òîãäà ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Γnk ,ïðè÷åì äëèíà ïðåäåëüíîé ñåòè íå ïðåâîñõîäèò lim inf k `(Γnk ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïàðàìåòðèçóåì êàæäîå ðåáðî êàæäîé ñåòè îòðåçêîì[0, 1] ïðîïîðöèîíàëüíî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó.  ñêëååííîì èç îòðåçêîâ ïðîñòðàíñòâå TG ðàññìîòðèì åñòåñòâåííóþ ìåòðèêó. Ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé Γn èç ìåòðè÷åñêîãî êîìïàêòà TG â ìåòðè÷åñêèé êîìïàêò K . Èç îãðàíè÷åííîñòè äëèíû ñåòåé ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü äëèí ðåáåð, è ïîòîìó ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé áóäåò ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûì,à çíà÷èò èç ýòîãî ñåìåéñòâà ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ýòî ñëåäñòâèå îáîáùåííîé òåîðåìû Àðöåëà, ñì. [9, ãë.
2, 7,òåîð. 7; 8, òåîð. 1]), ïðè÷åì äëÿ äëèíû ïðåäåëüíîé ñåòè âûïîëíåíà óêàçàííàÿ â òåîðåìå îöåíêà, ò.ê. ñîîòâåòñòâóþùàÿ îöåíêà âåðíà äëÿ êàæäîãîðåáðà ñåòè [9, ãë. 2, 8, òåîð. 2].Ëåììà 1.3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé Γn ñõîäèòñÿ ê ñåòè Γ â ëî-êàëüíî îäíîñâÿçíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X ñ âíóòðåííåé ìåòðèêîé, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò n0 òàêîå, ÷òî ïðè n > n0ñåòü Γn ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñåòè Γ ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåéâíóòðè Bε (Γ).15Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì òàêîå ε > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Im(Γ)øàð B2ε (x) îäíîñâÿçåí (ýòî âîçìîæíî â ñèëó ëîêàëüíîé îäíîñâÿçíîñòè ïðîñòðàíñòâà è êîìïàêòíîñòè Im(Γ)).
Ðàññìîòðèì n0 òàêîå, ÷òî äëÿ n > n0ñåòü Γn : TG → X óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó supu∈TG d(Γn (u), Γ(u)) < ε(ñì. îïðåäåëåíèå ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûøå). Âûáåðåì êîíå÷íóþ ñèñòåìó òî÷åê {ui } ⊂ TG , ñîäåðæàùóþ âñå âåðøèíû ãðàôà è òàêóþ,÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ òî÷åê ui è uj âûïîëíåíî `(Γn (ui uj )) < εè `(Γ(ui uj )) < ε, ãäå ÷åðåç ui uj îáîçíà÷åí ó÷àñòîê ðåáðà òîïîëîãè÷åñêîãî ãðàôà, çàêëþ÷åííûé ìåæäó âûáðàííûìè òî÷êàìè.  ñèëó âûáîðàn > n0 äëÿ êàæäîãî i ñóùåñòâóåò ïóòü γi äëèíû íå áîëåå ε è òàêîé, ÷òîγi (0) = Γ(ui ), γi (1) = Γn (ui ). Èòàê, åñëè ui , uj ñîñåäíèå, òî êàæäûé èçïóòåé γi , Γn (ui uj ), γj , Γ(ui uj ) íå äëèííåå ε, à çíà÷èò, âñå îíè ñîäåðæàòñÿâ øàðå B2ε (Γ(ui )).
Ýòîò øàð îäíîñâÿçåí ïî ïðåäïîëîæåíèþ, çíà÷èò, ñóùåijijñòâóåò ãîìîòîïèÿ Γt : [0, 1] → B2ε (Γ(ui )), t ∈ [0, 1] êðèâîé Γ0 = Γ(ui uj ) âijijijêðèâóþ Γ1 = Γn (ui uj ) òàêàÿ, ÷òî Γt (0) = γi (t), Γt (1) = γj (t). Âûïîëíèâòàêóþ ãîìîòîïèþ îäíîâðåìåííî äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ñåòè Γ, çàêëþ÷åííûõìåæäó ñîñåäíèìè îòìå÷åííûìè òî÷êàìè, ìû ïîëó÷èì ïàðàìåòðè÷åñêóþäåôîðìàöèþ ñåòè Γ â ñåòü Γn (âíóòðè B2ε (Γ)), ÷òî è òðåáîâàëîñü.1.5Âèäû ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé.Êðàò÷àéøèå ñåòè.
Êðàò÷àéøåé ñåòüþ äëÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åêM ⊂ X íàçûâàåòñÿ ñâÿçíàÿ ñåòü Γ, ñîåäèíÿþùàÿ ìíîæåñòâî M (ò. å. M ⊂Im(Γ)), åñëè Γ íå äëèííåå ëþáîé ñâÿçíîé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé M .Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè.Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü ýòî, íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ñåòü, ëþáàÿ äîñòàòî÷íî ìàëàÿ ÷àñòü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ äëÿ ñâîåé åñòåñòâåííîé ãðàíèöû. Äëÿ àêêóðàòíîãî îïðåäåëåíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå ëîêàëüíîé ñåòè. Ïóñòü TG òîïîëîãè÷åñêèé ãðàô, P ∈ TG äàííàÿ òî÷êà. Ïóñòü U îêðåñòíîñòüòî÷êè P â òîïîëîãè÷åñêîì ãðàôå, íå ñîäåðæàùàÿ ïåòåëü è âåðøèí ãðàôà TG , çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè P (åñëè P âåðøèíà). Ýòà îêðåñòíîñòüåñòåñòâåííûì îáðàçîì íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé òîïîëîãè÷åñêîãî ãðàôà, êîòîðûé ìû áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíûì ãðàôîì â òî÷êå P è îáîçíà÷àòü ÷åðåçGU . Åãî ãðàíèöà ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ∂GU = ∂U ∪ (∂TG ∩ {P }), ãäå ÷åðåç ∂TG îáîçíà÷åíà ãðàíèöà ãðàôà TG .
Ëîêàëüíîé ñåòüþ â äàííîé òî÷êåP ∈ TG íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå ñåòè íà ëîêàëüíûé ãðàô, ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíèöåé. Äëÿ äàííîé ñåòè Γ ðàññìîòðèì ïàðàìåòðèçàöèþ, â êîòîðîéíåò ðåáåð íóëåâîé äëèíû, è îáîçíà÷èì ïàðàìåòðèçóþùèé òîïîëîãè÷åñêèéãðàô ÷åðåç TG . Åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè â ãðàôå TG íàéäåòñÿ ëîêàëüíàÿ ñåòü,êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé, òî ñåòü Γ íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëü-16íîé.  äèññåðòàöèè áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè.ε-îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà è óñòîé÷èâûå ñåòè.
×åðåç Bε (M ) áóäåì îáîçíà÷àòü çàìêíóòóþ ε-îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà M ⊂ X â ñìûñëåâíóòðåííåé ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà X , ò. å. ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðûå ìîæíî ñîåäèíèòü ñ òî÷êàìè ìíîæåñòâà M ïóòåì äëèíû íå áîëåå ε. Åñëè Γ ñåòü, òî ïîëîæèì Bε (Γ) = Bε (Im(Γ)).Ñåòü Γ ìû áóäåì íàçûâàòü ε-óñòîé÷èâîé, åñëè ëþáàÿ ñåòü, ïîëó÷åííàÿ èç Γ äåôîðìàöèåé âíóòðè Bε (Γ), èìååò íå ìåíüøóþ äëèíó, ÷åìñåòü Γ. Ïðè çàìåíå ñëîâ ¾íå ìåíüøóþ¿ íà ñëîâî ¾áîëüøóþ¿ ïîëó÷àåòñÿîïðåäåëåíèå ñòðîãî ε-óñòîé÷èâîé ñåòè. Ñåòü (ñòðîãî) óñòîé÷èâà, åñëèîíà (ñòðîãî) ε-óñòîé÷èâà äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0.1.6Êðèòåðèè ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòåé è çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâÒåîðåìà 1 (ñì.
[7, òåîðåìà 3.1]). Ñåòü Γ íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèèëîêàëüíî ìèíèìàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà (âîçìîæíî, ïîñëåïåðåïàðàìåòðèçàöèè) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì :• âñå ð¼áðà ãåîäåçè÷åñêèå,• óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè ð¼áðàìè íå ìåíüøå 120◦ ,• âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ãðàíè÷íûå,• âî âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 óãîë ìåæäó ð¼áðàìè ðàâåí180◦ . ñòàòüå [4] ïîêàçàíî, ÷òî òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòâåðòîãî, íåîáõîäèìû äëÿ ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòè â ïðîñòðàíñòâàõÀ. Ä.
Àëåêñàíäðîâà îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû.Ñåòü íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè å¼ ãðàíèöà ïóñòà. Çàìêíóòàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, î÷åâèäíî, íå ìîæåò èìåòü âåðøèí ñòåïåíè 1.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñåòü íå ìîæåò ïðîõîäèòü ÷åðåç âåðøèíû âûïóêëîãîìíîãîãðàííèêà, è èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé êðèòåðèé.Òåîðåìà 2 ([8, òåîð.
5.30, ñë. 5.41]). Ñåòü íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëîãî ìíî-ãîãðàííèêà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà• âñå ð¼áðà ãåîäåçè÷åñêèå,• êàæäàÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 2 èëè 3,• óãîë ìåæäó ñìåæíûìè ð¼áðàìè â âåðøèíàõ ñòåïåíè 3 ðàâåí 120◦ , àâ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 180◦ .17Õîòÿ çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìèíèìàëüíûõ ñåòåé, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñåòè, îòëè÷íûå îòçàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé. Ìû áóäåì íàçûâàòü çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ êðàòêî ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
