Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïðåäåëüíóþ ñåòü îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ0 . Ïîñêîëüêó Im(Γ0 ) ⊂ Bεn (Γ) äëÿêàæäîãî n, òî Im(Γ0 ) ⊂ Im(Γ). Ïî ëåììå 1.3 ñåòü Γ0 ìîæåò áûòü ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé âíóòðè ëþáîé ìàëîé ε-îêðåñòíîñòè ïåðåâåäåíà âñåòü Γ0n ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n. Çíà÷èò, â ÷àñòíîñòè, Γ0 ∈ Oεn (Γ)ïðè âñåõ n (ïîñêîëüêó Γ0n ∈ Oεn (Γ)).Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî Im(Γ0 ) = Im(Γ). Ïóñòü êàêàÿ-òî òî÷êà P ñåòèΓ îêàçàëàñü âíå îáðàçà ñåòè Γ0 . Ðàññìîòðèì ïðîñòîé öèêë èëè ãðàíè÷íûéïóòü γ â ñåòè Γ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó P .
Ïî ëåììå 1.1 ñóùåñòâóåò öèêëèëè ãðàíè÷íûé ïóòü γ 0 â ñåòè Γ0 , ãîìîòîïíûé ïóòè γ â Bεn (Γ) (äëÿ ëþáîãîεn ). Ïîñêîëüêó Im(Γ0 ) ⊂ Im(Γ), ïóòü γ 0 îäíîâðåìåííî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéè ïóòü â ñåòè Γ, íî γ 6= γ 0 , òàê êàê ïóòü γ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P , àïóòü γ 0 íåò. Ñóììà ýòèõ ïóòåé äàåò íåòðèâèàëüíûé (ò. å. íå ãîìîòîïíûéíóëþ âíóòðè Im(Γ)) öèêë â ñåòè Γ, ñòÿãèâàåìûé â Bεn (Γ) äëÿ ëþáîãî εn .Ïðîòèâîðå÷èå.Çíà÷èò, Im(Γ0 ) = Im(Γ) è, ïîñêîëüêó ñåòü Γ íåñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ, òî `(Γ0 ) > `(Γ). Êðîìå òîãî,`(Γ0 ) = liminfε D∈Oε (Γ)`(D) 6 `(Γ),çíà÷èò, `(Γ0 ) = `(Γ) è êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà êàæäîãî íåâûðîæäåííîãîðåáðà ñåòè Γ ïðèíàäëåæèò îáðàçó ëèøü îäíîãî ðåáðà ñåòè Γ0 . Èòàê, îáðàçñåòè Γ0 ñîäåðæèòñÿ â îáðàçå íàøåé èñõîäíîé ñåòè Γ, ïðè÷åì ïî êàæäîìóíåâûðîæäåííîìó ó÷àñòêó ñåòè Γ ñåòü Γ0 ïðîõîäèò ëèøü îäíàæäû.
Îòñþäàâûòåêàåò, ÷òî êàæäîå íåâûðîæäåííîå ðåáðî ñåòè Γ ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðûìðåáðîì ñåòè Γ0 (ñ òî÷íîñòüþ äî âûáîðà ïàðàìåòðà íà êðèâîé). Êðîìå òîãî,âûïîëíåíà ëåììà 1.1, ïîýòîìó ðåáðà ñåòè Γ0 , ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåæíûìíåâûðîæäåííûì ðåáðàì â ñåòè Γ (îáùóþ âåðøèíó êîòîðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç A = Γ(v)), ëèáî ñìåæíû â ñåòè Γ0 , ëèáî ñîåäèíåíû â ñåòè Γ0 ïóòåì,îòîáðàæàþùèìñÿ â òî÷êó A. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ñåòè Γ, ïðåâðàùàþùóþ åå â ñåòü Γ0 .Íî ðàíåå ìû äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ïðè âñåõ äîñòàòî÷íîáîëüøèõ n ñåòü Γ0 ìîæåò áûòü ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé ïåðåâåäåíàâ ñåòü Γ0n , ò. å. äëÿ ëþáîãî ε > 0 ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñåòü Γ0n ïîëó÷åíà èç ñåòè Γ äåôîðìàöèåé âíóòðè Bε (Γ), îòêóäà è âûòåêàåò òðåáóåìîåâ ëåììå.Ïîêàæåì, ÷òî èç òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé ëåììû âûòåêàåò óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû.
Åñëè áû óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû áûëî íåâåðíî, òî äëÿ32êàæäîãî εn íàøëàñü áû ñåòü Γn ∈ Oεn (Γ) òàêàÿ, ÷òî `(Γn ) < `(Γ) è|`(Γn ) −infD∈Oεn (Γ)`(D)| <1.nÍî ïî ëåììå 2.7 äëÿ íåêîòîðîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè nk ñåòè Γ0nk ïîëó÷åíû èç ñåòè Γ äåôîðìàöèåé âíóòðè Bε0n (Γ), à çíà÷èò, â ñèëó ε0 kóñòîé÷èâîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà èìåþò äëèíó íå ìåíüøå `(Γ) ïðîòèâîðå÷èå ñ îöåíêîé `(Γ0nk ) 6 `(Γnk ) < `(Γ).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 4 ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿêàæäîãî εn èç íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè εn → 0+ ñóùåñòâóåò ñåòüΓn 6= Γ òàêàÿ, ÷òî `(Γn ) = `(Γ). Ðàññìîòðèì ñóùåñòâóþùóþ ïî ëåììå 2.7ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Γ0nk ∈ Oεnk (Γ) òàêóþ, ÷òî `(Γ0nk ) 6 `(Γnk ), è êàæäóþΓ0nk ìîæíî ïîëó÷èòü èç Γ äåôîðìàöèåé âíóòðè Bεnk (Γ).
 ñèëó ñòðîãîéóñòîé÷èâîñòè íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà `(Γnk ) = `(Γ) è ñåòè Γ0nk è Γðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåïàðàìåòðèçàöèè. ßñíî, ÷òî ïðè óäàëåíèè ¾ëèøíèõ¿ ðåáåð èç Γnk ïðè ïåðåõîäå ê Γ0nk â ëåììå 2.8 ìîãóò áûòü óäàëåíûòîëüêî ðåáðà íóëåâîé äëèíû, ò.
å. ñåòè Γnk ðàâíû ñåòè Γ ñ òî÷íîñòüþ äîïåðåïàðàìåòðèçàöèè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ Γn 6= Γ.Îñòàâøàÿñÿ òðåòüÿ ÷àñòü òåîðåìû 4 î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàåò èç ïåðâîé ÷àñòè è ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 2.10. Åñëè îäíîñâÿçíàÿ îêðåñòíîñòü Uòàêîâà, ÷òî Im(Γ) ⊂ U ⊂ Bε (Γ), òî ëþáàÿñåòü, ñîäåðæàùàÿñÿ â U è èìåþùàÿ òó æå ãðàíèöó, ÷òî è Γ, ñîäåðæèòñÿ â Oε (Γ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèìïðîèçâîëüíóþñåòü, ñîäåðæàùóþñÿ â U è èìåþùóþ òó æåãðàíèöó, ÷òî è Γ, ñì. ðèñ. 2.3. Ñäåëàåì ïåðåïàðà- Ðèñ.
2.3: Äåðåâî ìîæíî äåìåòðèçàöèþ òàê, ÷òîáû âñå ãðàíè÷íûå âåðøèíû ôîðìèðîâàòü â ñåòü òèïà¾çâ¼çäî÷êà¿.èìåëè ñòåïåíü 1. Çàòåì ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé ñòÿíåì â òî÷êè âñå öèêëû â ýòîé ñåòè. Ïîñëå ïåðåïàðàìåòðèçàöèèïîëó÷èì äåðåâî D. Òåïåðü, î÷åâèäíî, íåêîòîðîé ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé Dt , 0 6 t 6 1 âíóòðè îáðàçà ñåòè D (ò. å.
Im(Dt ) ⊂ Im(D)) ìîæíîäîáèòüñÿ, ÷òîáû âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòè D1 è îäíà ãðàíè÷íàÿîòîáðàæàëèñü â íåêîòîðóþ òî÷êó P , è â ýòó æå òî÷êó îòîáðàæàëèñü âñåðåáðà, çà èñêëþ÷åíèåì |∂Γ| − 1 ðåáåð, ñîåäèíÿþùèõ D1−1 (P ) ñ îñòàëüíûìèãðàíè÷íûìè âåðøèíàìè (÷åðåç |∂Γ| îáîçíà÷åíî ÷èñëî ãðàíè÷íûõ âåðøèíñåòè Γ). Ïîñëå ïåðåïàðàìåòðèçàöèè ïîëó÷èì ñåòü òèïà ¾çâåçäî÷êà¿ (ñåäèíñòâåííîé âíóòðåííåé âåðøèíîé). ßñíî, ÷òî ëþáûå äâå ñåòè òèïà¾çâåçäî÷êà¿ ñ îäíîé è òîé æå ãðàíèöåé ñîåäèíÿþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé33äåôîðìàöèåé âíóòðè îäíîñâÿçíîé îêðåñòíîñòè U . Òàêèì îáðàçîì, âñåñåòè, ñîäåðæàùèåñÿ â U è èìåþùèå òó æå ãðàíèöó, ÷òî è Γ, ñâÿçàíûìåæäó ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåôîðìàöèé, à çíà÷èò, âñå îíè ëåæàòâ Oε (Γ).34Ãëàâà 3Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûåñåòè íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ3.13.1.1Îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòûÌíîãîãðàííèêè, ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè è ðàçâ¼ðòêè.Îïðåäåëåíèå.
Ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîéáóäåì íàçûâàòü âíóòðåííþþìåòðèêó íà äâóìåðíîì ìíîãîîáðàçèè, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà ìíîãîîáðàçèÿ èìååò îêðåñòíîñòü, èçîìåòðè÷íóþ ëèáî ïëîñêîìó êðóãó, ëèáî îêðåñòíîñòè âåðøèíû êîíóñà ñ ïëîñêîé ìåòðèêîé, àêàæäàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ìíîãîîáðàçèÿ èìååò îêðåñòíîñòü, èçîìåòðè÷íóþîêðåñòíîñòè âåðøèíû ñåêòîðà ñ ïëîñêîé ìåòðèêîé.Çäåñü ìåòðèêà íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ðàâíî òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëèí ñîåäèíÿþùèõ èõêðèâûõ. Ïîä ñåêòîðîì ñ ïîëíûì óãëîì α < 2π ìû ïîíèìàåì ñåêòîð íàïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííûé äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì è óãëîì α ìåæäó íèìè.
Ïîä êîíóñîì ñ ïîëíûì óãëîì α < 2π ìû ïîíèìàåì ìåòðè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå èç ñåêòîðà ñ óãëîì α îòîæäåñòâëåíèåì äâóõ åãîãðàíè÷íûõ ëó÷åé. Ðàññìàòðèâàÿ óíèâåðñàëüíîå íàêðûòèå íàä ïëîñêîñòüþáåç îäíîé òî÷êè, ëåãêî îïðåäåëèòü ñåêòîð è êîíóñ ñ ïîëíûì óãëîì, áîëüøèì 2π , íî íàì îíè íå ïîíàäîáÿòñÿ, ïîýòîìó ìû íå ïðèâîäèì ïîäðîáíûåîïðåäåëåíèÿ.ßñíî, ÷òî íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîéíàéä¼òñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê, íå èìåþùèõ èçîìåòðè÷íîé êðóãóîêðåñòíîñòè. Ýòè òî÷êè ìû áóäåì íàçûâàòü âåðøèíàìè ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè.
Êðèâèçíà âåðøèíû ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà 2π ìèíóñ ïîëíûé óãîë ïðèýòîé âåðøèíå (ò.å. ïîëíûé óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà, êîòîðîìó èçîìåòðè÷íà îêðåñòíîñòü äàííîé âåðøèíû). Ïðî îñòàëüíûå âíóòðåííèå òî÷êè áóäåìãîâîðèòü, ÷òî îíè èìåþò íóëåâóþ êðèâèçíó. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòüòîëüêî ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè íåîòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû, ò.å.
ìåòðèêè,â êîòîðûõ êðèâèçíû âñåõ âåðøèí ïîëîæèòåëüíû.35Äëÿ êîíêðåòíîãî çàäàíèÿ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ðàçâ¼ðòêè â ñëåäóþùåì ñìûñëå [1]. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Íà ìíîæåñòâå èõ ñòîðîíçàäàäèì ïðàâèëà ñêëåéêè, ò.å. óêàæåì ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ äðóã äðóãóñòîðîí è äëÿ êàæäîé ïàðû çàäàäèì èçîìåòðèþ îäíîé ñòîðîíû íà äðóãóþ.(Ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ äëèíó.) Êàæäàÿñòîðîíà äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü íå áîëåå, ÷åì îäíîé äðóãîé ñòîðîíå.
Ñîîòâåòñòâîâàòü äðóã äðóãó ìîãóò â òîì ÷èñëå è ñòîðîíû îäíîãî è òîãî æåìíîãîóãîëüíèêà.Îïðåäåëåíèå. Ðàçâ¼ðòêà ýòî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ìíîãîóãîëüíèêîâ èïðàâèëà ñêëåéêè èõ ñòîðîí, óäîâëåòâîðÿþùèå îïèñàííûì âûøå óñëîâèÿì.Òåïåðü ðàññìîòðèì äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå âñåõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàçâ¼ðòêè è îòîæäåñòâèì â í¼ì òî÷êè ñòîðîí, ñîîòâåòñòâóþùèå äðóãäðóãó ïðè âûáðàííûõ èçîìåòðèÿõ (¾ñêëåèì¿ ìíîãîóãîëüíèêè âäîëü íåêîòîðûõ ñòîðîí, ïîäðàçóìåâàåòñÿ àáñòðàêòíîå îòîæäåñòâëåíèå òî÷åê, áåçïðèâÿçêè ê êàêèì-ëèáî ñêëåèâàíèÿì è ñãèáàíèÿì ôèçè÷åñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå).
Ïîëó÷åííîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî åñòåñòâåííûì îáðàçîì íàäåëÿåòñÿ âíóòðåííåé ìåòðèêîé ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñ÷èòàåì èíôèìóì äëèí ñîåäèíÿþùèõ èõ ïóòåé.Çäåñü äëèíà ïóòè, ïðîõîäÿùåãî ïî îäíîìó ìíîãîóãîëüíèêó âû÷èñëÿåòñÿâ îáû÷íîé åâêëèäîâîé ìåòðèêå, à äëèíà ïðîèçâîëüíîãî ïóòè ðàâíà ñóììåäëèí ïóòåé â ïðîèçâîëüíîì ðàçáèåíèè äàííîãî ïóòè íà ÷àñòè, êàæäàÿ èçêîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ â îäíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòåïîëó÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé â ñìûñëå íàøåãî îïðåäåëåíèÿ, äàííîãî â ðàçäåëå 3.1.1.  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòàðàçâ¼ðòêà çàäà¼ò ýòó ìíîãîãðàííóþ ìåòðèêó, èëè ÷òî ýòà ðàçâ¼ðòêà åñòüðàçâ¼ðòêà äàííîé ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè.
Ìû áóäåì ãîâîðèòü î ðàçâ¼ðòêåêàê î ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, èìåÿ â âèäó ýòó ìåòðèêó.Îáðàòíî, ëþáîå êîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîéìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðàçâ¼ðòêè, ò.å. äîïóñêàåò ðàçáèåíèå íà÷àñòè, èçîìåòðè÷íûå ïëîñêèì ìíîãîóãîëüíèêàì. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü: ïîêðûâàåì ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íûì ÷èñëîì ìàëåíüêèõ ïëîñêèõ òðåóãîëüíèêîâ (âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåêðûâàþùèõñÿ), à çàòåì ÷àñòè, íà êîòîðûå ãðàíèöû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî, îáúÿâëÿåì ìíîãîóãîëüíèêàìè ðàçâ¼ðòêè.Íåâûðîæäåííûì âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöó âûïóêëîé îáîëî÷êè íåñêîëüêèõ òî÷åê â R3 , íå ëåæàùèõ â îäíîé ïëîñêîñòè. Âûðîæäåííûì âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì (èëè äâàæäû ïîêðûòûìâûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì) áóäåì íàçûâàòü ñôåðó, ñíàáæ¼ííóþ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé, ðàçâ¼ðòêà êîòîðîé ñîñòîèò èç äâóõ ðàâíûõ âûïóêëûõ36ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñêëååííûõ ïî ñîîòâåòñòâåííûì ñòîðîíàì.
Âåçäå íèæåïîä ñëîâàìè ¾âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê¿ èëè ïðîñòî ¾ìíîãîãðàííèê¿ áóäåì ïîíèìàòü âûðîæäåííûé èëè íåâûðîæäåííûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â R3 .Îïðåäåëåíèå. Ïîëíûé óãîë âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ýòî ñóììà óãëîâãðàíåé ìíîãîãðàííèêà ïðè ýòîé âåðøèíå.Îïðåäåëåíèå. Êðèâèçíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà,ðàâíàÿ 2π ìèíóñ ïîëíûé óãîë â ýòîé âåðøèíå.ßñíî, ÷òî åñòåñòâåííàÿ âíóòðåííÿÿ ìåòðèêà íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû (èêðèâèçíû âåðøèí ýòîé ìåòðèêè ðàâíû êðèâèçíàì âåðøèí ìíîãîãðàííèêà). Âåðíî è îáðàòíîå.Òåîðåìà 5 ([1]). Äëÿ ëþáîé ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè ïîëîæèòåëüíîé êðè-âèçíû íà ñôåðå ñóùåñòâóåò âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, îáëàäàþùèé ýòîéìåòðèêîé. Ýòîò ìíîãîãðàííèê îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äîäâèæåíèÿ â R3 , â òîì ÷èñëå ëþáàÿ èçîìåòðèÿ (â ñìûñëå âíóòðåííåéìåòðèêè) ìíîãîãðàííèêà íà ñåáÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà äâèæåíèåìâ R3 .Èç àâòîðñêîãî äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåé òåîðåìû, à èìåííî èç [1,ãë.
2 2 ï. 2 è ãë. 4 2 ëåììà 3] íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå.Ëåììà 3.1. Îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå äàííîé ìíîãîãðàí-íîé ìåòðèêå âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî ñëåäóþùèõ òîïîëîãèé. Äâå ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì âåðøèíε-áëèçêè, åñëè ñóùåñòâóþò èõ ðàçâ¼ðòêè, ñîñòîÿùèå ëèøü èç òðåóãîëüíèêîâ è èìåþùèå îäèíàêîâîå êîìáèíàòîðíîå ñòðîåíèå (ò.å.
ãîìåîìîðôíûå êàê òðèàíãóëÿöèè ñôåðû), ñîîòâåòñòâóùèå ñòîðîíû êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà ε. Äâà ìíîãîãðàííèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîìâåðøèí ε-áëèçêè, åñëè èõ ìîæíî ðàñïîëîæèòü â R3 òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðøèíàìè áûëî ìåíüøå ε.Áîëåå òîãî, ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáðàç ãðàíèö ìíîãîóãîëüíèêîâðàçâ¼ðòêè íà ìíîãîãðàííèêå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò ðàçâ¼ðòêè.Çàìå÷àíèå 2. Ìíîãîãðàííèê íåñ¼ò â ñåáå èíôîðìàöèþ äâóõ âèäîâ: âíóò-ðåííþþ ìåòðèêó è ñïîñîá ðåàëèçàöèè â R3 .  ñëó÷àå âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ âíóòðåííÿÿ ìåòðèêà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðåàëèçàöèþ â R3 , íî ïîçàäàííîé ìíîãîãðàííîé ìåòðèêå âîîáùå ãîâîðÿ òðóäíî íàéòè ýòó ðåàëèçàöèþ (òðóäíî íàéòè ð¼áðà ãåîäåçè÷åñêèå, ïî êîòîðûì íóæíî ¾ñãèáàòü¿).37Çàäà÷è, ðàññìàòðèâàåìûå â äèññåðòàöèè, çàòðàãèâàþò ëèøü ñâîéñòâà âíóòðåííåé ìåòðèêè ìíîãîãðàííèêà, ò.å.
íå çàâèñÿò îò ðåàëèçàöèèìíîãîãðàííèêà â R3 , è ïîòîìó ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê çàäà÷è î ñåòÿõíà ïðîñòðàíñòâàõ ñ ìíîãîãðàííîé ìåòðèêîé. ×àñòî äëÿ ïåðåõîäà îò ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè ê ìíîãîãðàííèêó áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìà 5. Âîïðîñ ñïîñîáîâ ïîèñêà ðåàëèçàöèè ìåòðèêè ìíîãîãðàííèêîì çàòðàãèâàòüñÿíå áóäåò.3.1.2Ãåîäåçè÷åñêèå è ìíîãîóãîëüíèêèÑëåäóþùèå îáúåêòû ìû îïðåäåëèì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè íåîòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû (à çíà÷èò, è íà ïðîèçâîëüíîì âûïóêëîììíîãîãðàííèêå).Êðàò÷àéøåé ñ äàííûìè êîíöàìè áóäåì íàçûâàòü êðèâóþ, èìåþùóþ íàèìåíüøóþ äëèíó ñðåäè âñåõ êðèâûõ ñ ýòèìè êîíöàìè.Åñëè êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà äàííîé êðèâîé èìååò îêðåñòíîñòü,èçîìåòðè÷íóþ êðóãó èëè ñåêòîðó êðóãà (åñëè òî÷êà ëåæèò íà ãðàíèöå ìíîãîîáðàçèÿ), ïðè÷¼ì ïðè èçîìåòðèè êàæäîé òàêîé îêðåñòíîñòè íà êðóã èëèñåêòîð êðóãà ó÷àñòîê êðèâîé, ñîäåðæàùèéñÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè, ïåðåõîäèòâ äèàìåòð êðóãà, òî êðèâóþ áóäåì íàçûâàòü ãåîäåçè÷åñêîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
