Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îäíà èç ñëîæíîñòåé çäåñü â òîì, ÷òî¾îêðóæàòü¿ íåñêîëüêî òî÷åê ìíîãîóãîëüíèêîì ìîæíî ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ò.å. íå ãîìîòîïíûìè â êëàññå ãîìîòîïèé, íå ïðîõîäÿùèõ÷åðåç âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà. ×òîáû ôîðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå ¾ñïîñîáàîêðóæåíèÿ âåðøèí ÿ÷åéêàìè¿, ìû ââîäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìîé ðàçðåçîâ íà ìíîãîãðàííèêå P áóäåì íàçûâàòüðàçáèåíèå åãî ìíîæåñòâà âåðøèí V = V1 t .
. . t Vs è ñèñòåìó ïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîãîãðàííèêà {Mi }si=1 , åñëè äëÿ êàæäîãî i = 1, . . . , s(1) Vi óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû 6 (ò.å. ñóììà êðèâèçí âåðøèí, âõîäÿùèõ â Vi , ðàâíà îäíîìó èç ÷èñåë π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3)(2) Vi ⊂ Mi(3) Mi ýòî ëèáî òî÷êà èç Vi , ëèáî ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ êîíöàìè â Vi , ëèáî çàìêíóòûé ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿâ Vi(4) âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà P \ Mi áîëüøå èëè ðàâíû π (åñëè Mi íå îäíîòî÷å÷íî.)Ïóñòü äàíà ìèíèìàëüíàÿ ñåòü ñ íåøåñòèóãîëüíûìè ÿ÷åéêàìè Ui ,i = 1, .
. . , s íà ìíîãîãðàííèêå ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V . Ïîëîæèì Vi =V ∩ Ui è Mi = C(Vi , Ui ) (çäåñü C(X, U ) âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ïîäìíîæåñòâà X ⊂ U , ñì. îïðåäåëåíèÿ â ðàçäåëå 3.1.2). Èç ëåììû 3.4 ñëåäóåò,÷òî {Vi , Mi }si=1 ñèñòåìà ðàçðåçîâ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ðàçðåçîâ ñîîòâåòñòâóåò äàííîé ìèíèìàëüíîé ñåòè. Èòàê, äîêàçàíî ñëåäóþùååíåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìèíèìàëüíîé ñåòè.Òåîðåìà 17. Åñëè íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñåòü,òî íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ðàçðåçîâ.Ýòî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñèëüíåå, ÷åì íåîáõîäèìîå óñëîâèå èç òåîðåìû 6 (ñì.
òåîðåìó 19 íèæå). Îäíàêî îíî ïî-ïðåæíåìó íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì.Òåîðåìà 18. Ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèê, èìåþùèé ñèñòåìó ðàçðåçîâ,õîòÿ íà í¼ì íåò íè îäíîé ìèíèìàëüíîé ñåòè.Äîêàçàòåëüñòâî ìû ïðèâîäèì â ðàçäåëå 3.3.3.  êà÷åñòâå èñêîìîãîïðèìåðà áóäåò ïîñòðîåí ìíîãîãðàííèê, íàïîìèíàþùèé î÷åíü âûòÿíóòûéïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Îòìåòèì, ÷òî ýòî äîêàçàòåëüñòâî îáîáùàåò èäåè íåîïóáëèêîâàííîé äèïëîìíîé ðàáîòû Ìàêñèìà Ãîðòèíñêîãî,ïîñâÿù¼ííîé ìèíèìàëüíûì ñåòÿì íà êóáå.51Ïðèìåð: ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Ðàññìîòðèì ïðÿìî-óãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä P ñ ðàçìåðàìè ` × w × h.
Êðèâèçíà êàæäîé åãîâåðøèíû ðàâíà π2 . Êàêîé ìîæåò áûòü ñèñòåìà ðàçðåçîâ? Èç ïóíêòà (1)îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ðàçðåçîâ âûòåêàåò, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî Vi äîëæíî ñîñòîÿòü èç äâóõ âåðøèí (èõ ñóììàðíàÿ êðèâèçíà ðàâíà π ).  êà÷åñòâåìíîæåñòâ Mi ìîæíî ðàññìîòðåòü ëþáóþ ÷åòâ¼ðêó ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â âåðøèíàõ ïàðàëëåëåïèïåäà (îòìåòèì,÷òî ïðè ýòîì óãëû P \ Mi ðàâíû 3π2 ≥ π , ò.å. âñå óñëîâèÿ èç îïðåäåëåíèÿñèñòåìû ðàçðåçîâ âûïîëíåíû).Íà ëþáîì ïàðàëëåëåïèïåäå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.
Íàïðèìåð, ïóñòü ` ≥w ≥ h, òîãäà íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ñåòü, èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 3.5 íàîäíîé èç ñòàíäàðòíûõ ðàçâ¼ðòîê ïàðàëëåëåïèïåäà ` × w × h. Ñèñòåìà ðàçðåçîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ìèíèìàëüíîé ñåòè, ñîñòîèòèç äâóõ ñàìûõ êîðîòêèõ ð¼áåð è äâóõ ñðåäíèõ ïî äëèíå (îíè âûäåëåíû ïóíêòèðîì).Äîêàçàòåëüñòâîñëåäóþùåéòåîðåìû 19 ïîêàçûâàåò, ÷òî íåîáõîäèìîåóñëîâèå íà êðèâèçíû èç òåîðåìû 6 ñëàáåå Ðèñ.
3.5: Ñåòü íà ïàðàëåëëåïèïåäå.íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ íà íàëè÷èå ñèñòåìû ðàçðåçîâ èç òåîðåìû 17.Òåîðåìà 19. Ìèíèìàëüíîé ñåòè íåò íà ëþáîì òåòðàýäðå ABCD , óäî-âëåòâîðÿþùåì ñëåäóþùèì óñëîâèÿì íà êðèâèçíû âåðøèí, äëèíó ðåáðàCD è ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè S (ñóììó ïëîùàäåé ãðàíåé)5π ππ 7π4π(1) k(A) = 2π3 , k(B) = 3 , 3 < k(D) < 2 , 6 < k(C) < 3 ;S1(2) |CD|2 < 4.Çàìå÷àíèå 6. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòàòåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñèëåíèå òåîðåìû 5 èç ðàáîòû [37], óïîìèíàâøåéñÿ â ðàçäåëå 3.2.1.Íà ðèñ. 3.6 ïîêàçàíî, êàê ïîñòðîèòü ïðèìåð ðàçâ¼ðòêè A1 C1 DC2 A2 B äâàæäû ïîêðûòîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD,ïîäõîäÿùåãî ïîä óñëîâèÿ òåîðåìû 19.
ÇäåñüÐèñ. 3.6: Ðàçâ¼ðòêà òåòðàýäðà.πXA1 BA2 ðîìá ñ óãëîì 3 , òî÷êà D ïðèíàäëåæèò äèàãîíàëè XB ðîìáà, ∠C1 DC2 ÷óòüáîëüøå π3 , à äëèíà A1 C1 = A2 C2 ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòîðîíîé ðîìáà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî íà ìíîãîãðàííèêå ABCD, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèÿì òåîðåìû, íå ñóùåñòâóåò ñèñòåìû ðàçðåçîâ òîãäà ïî òåîðå-52ìå 17 íà í¼ì íå ñóùåñòâóåò è ìèíèìàëüíûõ ñåòåé. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîåè ðàñìîòðèì ñèñòåìó ðàçðåçîâ {Vi , Mi }. Èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò, ÷òî êðèâèçíà êàæäîé èç âåðøèí C è D íå êðàòíà π3 . Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî ñóììà êðèâèçí âñåõ âåðøèí ñôåðè÷åñêîãî ìíîãîãðàííèêà ðàâíà 4π , ïîëó÷àåì,÷òî k(C) + k(D) = 5π3 è åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå ðàçáèåíèå âåðøèí íà òðèïîäìíîæåñòâà â ñèñòåìå ðàçðåçîâ ýòî V1 = {A}, V2 = {B}, V3 = {C, D}.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M3 .
Ïîñêîëüêó ïîëíûé óãîë â âåðøèíå C ìåíüøåπ , C íå ìîæåò ëåæàòü íà ãðàíèöå M3 , èíà÷å íàðóøèòñÿ ñâîéñòâî (4) èçîïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ðàçðåçîâ. Çíà÷èò, íà ãðàíèöå M3 ëåæèò òîëüêî âåðøèíà D, ò.å. M3 îäíîóãîëüíèê ñ âåðøèíîé D, ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿâåðøèíó C .Äîêàæåì, ÷òî òàêîãî îäíîóãîëüíèêà íà íàøåì òåòðàýäðå íå ñóùåñòâóåò. Ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàÿ ïðîòèâíîå, íàéä¼ì êðàò÷àéøóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ âíóòðè M3 , ñîåäèíÿþùóþ C è D (ëåììà 3.3). Òîãäà M3 \ γ ãåîäåçè÷åñêèé òðåóãîëüíèê, èçîìåòðè÷íûé ðàâíîáåäðåííîìó òðåóãîëüíèêó CD1 D2 íà ïëîñêîñòè.
Ïðè÷¼ì â òðåóãîëüíèêå CD1 D2 óãîë ïðè âåðøèíå5πC ðàâåí ïîëíîìó óãëó ïðè âåðøèíå C òåòðàýäðà, ò.å. 2π3 < ∠D1 CD2 < 6 .Îöåíèì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà S(CD1 D2 ) = 21 |CD1 | · |CD2 | sin ∠D1 CD2 >112 122 (`(γ)) · 2 ≥ 4 |CD| , ïîñêîëüêó ðåáðî êîðî÷å ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé, ñîåäèíÿþùåé åãî êîíöû. Íî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïëîùàäè îäíîóãîëüíèêà M3 , êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìåíüøå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà, îáîçíà÷åííîé ÷åðåç S â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû. Ïîëó÷àåìS > S(D1 CD2 ) > 14 |CD|2 , ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì (2) äîêàçûâàåìîé òåîðåìû.3.2.6Ñâåäåíèå çàäà÷è ê ïðîñòûì ìèíèìàëüíûì ñåòÿì.Èç òåîðåì 7 è 8 âûòåêàåò ñëåäóþùèé ôàêò.Ñëåäñòâèå 7.
Äëÿ âñÿêîé ìèíèìàëüíîé ñåòè N íà âûïóêëîì ìíîãîãðàí-íèêå P ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê PS (N ), íà êîòîðîì ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, èçîìåòðè÷íàÿ ñåòè N .Áîëåå òîãî, â ðàçäåëå 3.3.2 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ âñåõ ìèíèìàëüíûõñåòåé N íà ìíîãîãðàííèêå P , êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò äàííàÿ ñèñòåìà ðàçðåçîâ, ìíîãîãðàííèê PS (N ) áóäåò îäíèì è òåì æå, ò.å. âåðíà ñëåäóþùàÿòåîðåìà.Òåîðåìà 20. Äëÿ êàæäîé ñèñòåìû ðàçðåçîâ Mcut íà ìíîãîãðàííèêå Pñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí ìíîãîãðàííèê PS (Mcut ) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîé ìèíèìàëüíîé ñåòè N íà ìíîãîãðàííèêå P , êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòñèñòåìà ðàçðåçîâ Mcut , ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà ìíîãîãðàííèêå PS (Mcut ), èçîìåòðè÷íàÿ ñåòè N .53 äîêàçàòåëüñòâå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ðàçâ¼ðòêó ìíîãîãðàííèêà PS (Mcut ) ìîæíî ïîñòðîèòü êîíñòðóêòèâíî.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà äàííîì ìíîãîãðàííèêå P ìîæíî ðàññìîòðåòüâñåâîçìîæíûå ñèñòåìû ðàçðåçîâ íà P , äëÿ êàæäîé ñèñòåìû ðàçðåçîâ Mcutïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãîãðàííèê PS (Mcut ) è íà í¼ì èçó÷èòü ïðîñòûå ìèíèìàëüíûå ñåòè. Çàòåì ïåðåíåñòè ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îáðàòíîíà ìíîãîãðàííèê P . Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âñå ïðîñòûå ìèíèìàëüíûå ñåòè, ðåàëèçóþùèåñÿ íà PS (Mcut ), ðåàëèçóþòñÿ íà P , âåðíî òîëüêîóòâåðæäåíèå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.Ýòà êîíñòðóêöèÿ ïðèíöèïèàëüíî ñâîäèò çàäà÷ó ïîèñêà ïðîèçâîëüíûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà äàííîì ìíîãîãðàííèêå P ê çàäà÷å ïîèñêà ïðîñòûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà íåêîòîðîì ñåìåéñòâå ìíîãîãðàííèêîâ S(P ).Âòîðàÿ çàäà÷à â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîùå ïåðâîé, ïîñêîëüêó ïðîñòûå ìèíèìàëüíûå ñåòè ñóùåñòâóþò ëèøü íà ìíîãîãðàííèêàõ, âñå êðèâèçíû êîòîðûõ êðàòíû π3 .
Ê ñîæàëåíèþ, ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ñåìåéñòâî S(P ) êîíå÷íî,ìû íå ìîæåì, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò ìíîãîãðàííèêè ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñèñòåì ðàçðåçîâ (íàïðèìåð, êóá).Çàìå÷àíèå 7. Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê ìíîãîãðàííèêà ìíîæå-ñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â ýòèõ òî÷êàõ íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíî, ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ñèñòåì ðàçðåçîâ íà ëþáîì ìíîãîãðàííèêå, à çíà÷èòè ñåìåéñòâî S(P ), òîæå íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíî.Ãèïîòåçà 1. Êàæäûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê èìååò íå áîëåå ÷åì êî-íå÷íîå ÷èñëî ñèñòåì ðàçðåçîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ìèíèìàëüíûåñåòè.3.2.7Ôàêòû è ãèïîòåçû î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåéíà ìíîãîãðàííèêàõÏîñêîëüêó íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû (òåîðåìà 6) íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì (ðàçäåë 3.2.5 òåîðåìà 19), âîçíèêàåò âîïðîñ î äîñòàòî÷íîñòèñëåäóþùåãî áîëåå ñèëüíîãî óñëîâèÿ (íå ÿâëÿþùåãîñÿ íåîáõîäèìûì).Ãèïîòåçà 2.
Åñëè êðèâèçíû âñåõ âåðøèí ìíîãîãðàíèêà êðàòíû π3 , òî íàýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Êàê ìû óæå çíàåì, ýòî âåðíî äëÿ äâàæäû ïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêîâ (òåîðåìà 9) è òåòðàýäðîâ (òåîðåìà 16).Ïî ëåììå 3.5 èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîñòîé ìèíèìàëüíîé ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå ñëåäóåò, ÷òî êðèâèçíà êàæäîé âåðøèíû ýòîãî ìíîãîãðàííèêàäåëèòñÿ íà π3 . Ñëåäóþùàÿ ãèïîòåçà óñèëåíèå ãèïîòåçû 2.Ãèïîòåçà 3. Åñëè êðèâèçíû âñåõ âåðøèí ìíîãîãðàíèêà êðàòíû π3 , òî íàýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.54Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ãèïîòåçû äîêàçàíà òîëüêî â ñëó÷àå ìíîãîãðàííèêîâ ñ òðåìÿ âåðøèíàìè (íàøà òåîðåìà 9), â ñëó÷àå ðàâíîãðàííûõ òåòðà5πýäðîâ (òåîðåìà 12) è â ñëó÷àå òåòðàýäðîâ ñ êðèâèçíàìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 } (ñì.òåîðåìó 22 íèæå).Ñëåäóþùóþ òåîðåìó 21 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íîâûé àðãóìåíò¾â ïîëüçó¿ ãèïîòåçû 3.Òåîðåìà 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
