Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Îáúåäèíåíèå ÷åòûð¼õóãîëüíèêà T T 0 K ? A? è åãîîáðàçà ýòî ðîìá, äëèíà ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíà äëèíå ñòîðîíû (¾ðàâíîáåäðåííîãî¿) äâóóãîëüíèêà Con(X), êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíà äëèíåãåîäåçè÷åñêîé M1 . Óãëû ýòîãî ðîìáà ðàâíû êðèâèçíàì âåðøèí A? è K ?ìíîãîãðàííèêà P ? è, çíà÷èò, ε-áëèçêè ê π2 .Ðàññìîòðèì ðîìá R ñî ñòîðîíîé äëèíû 1 è óãëàìè, ε-áëèçêèìè êπ2 . Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûå øåñòèóãîëüíèêèñ óãëàìè ïî 120◦ , ñîäåðæàùèå ýòîò ðîìá. Ïóñòü σ(R) òî÷íàÿ íèæíÿÿãðàíü ïëîùàäåé òàêèõ øåñòèóãîëüíèêîâ.
Òîãäà σ(R) ñòðîãî áîëüøå ïëîùàäè S(R) íàøåãî ðîìáà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâîâàëà áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øåñòèóãîëüíèêîâ, ñîäåðæàùèõ ðîìá è ñõîäÿùèõñÿ ê íåìó (ñêàæåì, â ìåòðèêå Õàóñäîðôà) íî òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øåñòèóãîëüíèêîâ íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü èç-çà íàøèõ îãðàíè÷åíèé íà óãëû ðîìáà èøåñòèóãîëüíèêîâ. Èòàê, ÷èñëî δ(R) = σ(R) − S(R) ïîëîæèòåëüíî. Çíà÷èò,ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ ðîìáîâ êîìïàêòíî è äëÿ êàæäîãîèç íèõ δ(R) ïîëîæèòåëüíî, âûïîëíÿåòñÿ inf R δ(R) > 0, ãäå èíôèìóì áå1-áëèçêèìè êð¼òñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ðîìáàì R ñî ñòîðîíîé 1 è óãëàìè, 100π2 .
Îáîçíà÷èì ýòîò èíôèìóì inf R δ(R) = const1 . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðîìáàñî ñòîðîíîé x âûïîëíÿåòñÿ δ(ðîìáà) ≥ const1 · x2 .Âåðí¼ìñÿ ê íàøåé ðàçâ¼ðòêå, ñì. ðèñ. 3.11: S(Y1 Y2 Y3 Y10 T 0 K ? A? T ) =S(Y1 Y2 Y3 Y10 ) − S(T A? K ? T 0 ) = 12 (S(øåñòèóãîëüíèêà) − S(ðîìáà)) ≥111? ? 2222 δ(ðîìáà) ≥ 2 const1 · |K A | ≥ 2 const1 · (` − 2ε) ≥ const · ` , íàïðèìåð,äëÿ const = 41 const1 . Êàê ìû ïîêàçàëè âûøå, èç ýòîé îöåíêè âûòåêàåòäîêàçûâàåìàÿ ëåììà.Òåïåðü ìû ãîòîâû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ðàññìîòðèìïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä P ñ òàêèì áîëüøèì `, ÷òî åãî ïëîùàäüïîâåðõíîñòè S(P ) = 2` · (b + w) + 2bw < const · `2 , ãäå const êîíñòàíòà èçïîñëåäíåé ëåììû.
Çàòåì ñ ïîìîùüþ ëåììû 3.8 ïîñòðîèì ìíîãîãðàííèê P ? ,ïðè÷¼ì òàê, ÷òîáû ñíîâà âûïîëíÿëîñü S(P ? ) < const · `2 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òîíà P ? ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ïåðåõîäèì ê PS (Mcut ) è ïîëó÷àåì, ÷òîïî ëåììå 3.9 ïëîùàäü óæå îäíîé ÿ÷åéêè ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå P ? áîëüøåconst·`2 , õîòÿ ïëîùàäü âñåé ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà P ? ìåíüøå const·`263 ïðîòèâîðå÷èå. Òåîðåìà 18 äîêàçàíà.3.3.4Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 21 î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïî÷òè âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ êðèâèçíàìè,êðàòíûìè π3 òåîðåìå 23 äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî ìíîãîãðàííèêîâ ñ ìèíèìàëüíîéñåòüþ âñþäó ïëîòíî, à çàòåì â òåîðåìå 24 äîêàæåì, ÷òî îíî îòêðûòî âP(k1 , . . .
, kn ).Òåîðåìà 23. Äëÿ ëþáîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà P , âñå êðèâèçíû êî-òîðîãî äåëÿòñÿ íà π3 , è äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ ε-áëèçêèé ê P ìíîãîãðàííèê P 0 , íà êîòîðîì åñòü ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì âåðøèíû äàííîãî ìíîãîãðàííèêà P ÷å-ðåç A1 , A2 , . . . , An . Âûáåðåì íà ïîâåðõíîñòè P ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó X ,ïóñòü γi êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ X è Ai , i = 1, . . . , n. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàçëè÷íûå êðàò÷àéøèå γi íå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ìåæäó ñîáîé. [17] äîêàçàíî, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê P \ ∪i=ni=1 γi èçîìåòðè÷åí âëîæåííîìó ìíîãîóãîëüíèêó íà ïëîñêîñòè.
Îáîçíà÷èì ýòîò ïëîñêèéìíîãîóãîëüíèê ÷åðåç M = X1 A1 X2 A2 . . . Xn An , ãäå ãåîäåçè÷åñêîé γi ñîîòâåòñòâóþò ñòîðîíû Ai Xi+1 è Ai Xi , i = 1, . . . , n (âñþäó ñ÷èòàåì, ÷òîXn+1 = X1 ). Ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ñ åñòåñòâåííûìè ïðàâèëàìè ñêëåéêè(Ai Xi+1 ≡ Ai Xi ), î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ðàçâ¼ðòêîé äëÿ ìíîãîãðàííèêà P ,êîòîðóþ ÷àñòî íàçûâàþò çâ¼çäíîé.Ðàçîáü¼ì ïëîñêîñòü íà ðàâíûå ïðàâèëüíûå øåñòèóãîëüíèêè ñ äëèíîé ñòîðîíû, ðàâíîé íåêîòîðîìó δ , òàê, ÷òîáû âåðøèíû íàøåãî ìíîãîóãîëüíèêà M îêàçàëèñü âíóòðè ðàçëè÷íûõ øåñòèóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Xi0 öåíòð øåñòèóãîëüíèêà, ñîäåðæàùåãî âåðøèíó Xi . Äëÿ0êàæäîãî i = 1, . .
. , n ïîñòðîèì ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê A0i Xi0 Xi+1ñ0 0îñíîâàíèåì Xi Xi+1 , ïîäîáíûé òðåóãîëüíèêó Ai Xi Xi+1 è òàê æå îðèåíòèðîâàííûé íà ïëîñêîñòè (ò.å. åñëè Ai , Xi è Xi+1 ðàñïîëîæåíû ïî ÷àñîâîé0ñòðåëêå, òî è A0i , Xi0 è Xi+1ðàñïîëîæåíû òàê æå). Ìû âñþäó ñ÷èòàåì,00÷òî Xn+1 = X1 , Xn+1 = X1 . Óãîë ïðè âåðøèíå Ai ìíîãîóãîëüíèêà M ïîïîñòðîåíèþ ðàâåí ïîëíîìó óãëó ïðè âåðøèíå Ai ìíîãîãðàííèêà P , ò.å.4π 5πìîæåò áûòü ðàâåí îäíîìó èç ÷èñåë π3 , 2π3 , π, 3 , 3 . Çíà÷èò, ïîñòðîåííûé0íàìè ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê A0i Xi0 Xi+1ëèáî ðàâíîñòîðîííèé, ëèáî0âûðîæäåííûé (ñ óãëîì π ïðè âåðøèíå Ai ), ëèáî èìååò óãëû 120◦ , 30◦ , 30◦ .0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Xi0 è Xi+1 öåíòðû íåêîòîðûõ øåñòèóãîëüíèêîâ, íåñëîæíîïðîâåðèòü ñëåäóþùóþ ëåììó.Ëåììà 3.10. Äëÿ êàæäîãî i òî÷êà A0i ëèáî öåíòð, ëèáî ñåðåäèíà ñòî-ðîíû íåêîòîðîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàçáèåíèÿ.64Ðèñ.
3.13:Îöåíêà|Ai A0i |. ñëó÷àå, åñëè êàêèå-òî èç òî÷åê A0i îêàçàëèñü ñåðåäèíàìè ñòîðîí øåñòèóãîëüíèêîâ, ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè íà áîëåå ìåëêèå øåñòèóãîëüíèêè, â êîòîðîì âñå öåíòðû è ñåðåäèíûñòîðîí øåñòèóãîëüíèêîâ ñòàðîãî ðàçáèåíèÿ ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè øåñòèóãîëüíèêîâ, ñì. ðèñ. 3.12.Ëåììà 3.11. |Xi Xi0 | < δ , |Ai A0i | < 2δ , i = 1, . . . , n.Ðèñ. 3.12:ÏîäðàçáèåíèåÄîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó Xi íàõîäèòñÿ âíóòðè ïðà-âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ñ öåíòðîì Xi0 è ñòîðîíîé äëèíû δ .
Äîêàæåìâòîðîå íåðàâåíñòâî. ×åðåç ε îáîçíà÷èì ñëåäóþùåå àôôèííîå ïðåîáðàçî−−−−0→−−−−→−−→ ââàíèå, ïåðåâîäÿùåå âåêòîð Xi Xi+1 â âåêòîð Xi Ai , à âåêòîð Xi0 Xi+1−−−→âåêòîð Xi0 A0i : â ñëó÷àå ∠Xi Ai Xi+1 = 180◦ ñæàòèå â äâà ðàçà, â ñëó÷àå∠Xi Ai Xi+1 = 60◦ ïîâîðîò íà 60◦ â íóæíóþ ñòîðîíó (ðèñ. 3.13), à√âñëó÷àå ∠Xi Ai Xi+1 = 120◦ êîìïîçèöèþ ïîâîðîòà íà 30◦ è ñæàòèÿ â 3ðàç.−−→−−−→−−−−0→ −−−→−−−−→Òîãäà |Ai A0i | = | Xi Xi0 + ε(Xi0 Xi+1) − ε(Xi Xi+1 )| = | Xi Xi0 −−−−→ −−−→ −−−−0→ −−−−→−−−→−−−−−−0→ε(Xi Xi0 ) + ε(Xi Xi0 + Xi0 Xi+1− Xi Xi+1 )| ≤ (|Xi Xi0 | + |Xi+1 Xi+1|) < 2δ .Ïðåäïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà è ñîîòíîøåíèé |x − εx| = |εx| ≤ |x|, êîòîðûå ëåãêî ïðîâåðèòü äëÿ êàæäîãî èçòð¼õ íàøèõ ε.Ïîñêîëüêó ëîìàíàÿ X1 A1 X2 A2 .
. . Xn An X1 îãðàíè÷èâàåò âëîæåííûé ìíîãîóãîëüíèê ïî ñâîéñòâó çâ¼çäíîé ðàçâ¼ðòêè, èç ëåììû 3.11 âûòåêàåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ δ ëîìàíàÿ X10 A01 X20 A02 . . . Xn0 A0n X10 íå èìååò65ñàìîïåðåñå÷åíèé.  îãðàíè÷åííîì åþ ìíîãîóãîëüíèêå M 0 äëÿ êàæäîãî i0ñòîðîíû A0i Xi0 è A0i Xi+1èìåþò ïî ïîñòðîåíèþ îäèíàêîâóþ äëèíó. Çàäàäèì00íà M ïðàâèëà ñêëåéêè A0i Xi0 ≡ A0i Xi+1, ïîëó÷èì ðàçâ¼ðòêó, çàäàþùóþìíîãîãðàííîé ìåòðèêó íà ñôåðå ñ òåìè æå êðèâèçíàìè âåðøèí, ÷òî è óìíîãîãðàííèêà P . Ïîýòîìó èçîìåòðè÷íûé ýòîé ðàçâ¼ðòêå âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P 0 ñóùåñòâóåò (òåîðåìà 5) è èìååò òå æå êðèâèçíû, ÷òî è ìíîãîãðàííèê P .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ, ñòàâÿùåãî â ñîîòâåòñòâèåðàçâ¼ðòêå èçîìåòðè÷íûé åé ìíîãîãðàííèê (ëåììà 3.1), δ ìîæíî âûáðàòüòàê, ÷òî ìíîãîãðàííèêè P è P 0 áóäóò ε-áëèçêè.Îñòà¼òñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû øåñòèóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ, ïîïàâøèå âíóòðü M 0 , ïðè ïåðåõîäå ê ìíîãîãðàííèêó P 0 îáðàçóþò íàí¼ì ìèíèìàëüíóþ ñåòü.
Ïðèìåð ôðàãìåíòà ìíîãîóãîëüíèêà M 0 èçîáðàæ¼í íà ðèñ. 3.14. ßñíî, ÷òî âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîãîóãîëüíèêà M 0 ñâîéñòâà ìèíèìàëüíîé ñåòè âûïîëíåíû (ïî îïðåäåëåíèþ ìèíèìàëüíîé ñåòè, äàííîìó â íà÷àëå ðàçäåëà 3.2). Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå íåêîòîðîé ñòîðîíû A0i Xi0 ìíîãîóãîëüíèêà M 0 è íåêîòîðîé ñòîðîíû øåñòèóãîëüíèêà ðàçáèåíèÿ. Ïîñêîëüêó óãîë ïðè âåðøèíå A0i êðà0ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòòåí π3 , îòîæäåñòâëåíèþ ñòîðîí A0i Xi0 ≡ A0i Xi+1ñ öåíòðîì â òî÷êå A0i (íàïîìíèì, ýòî öåíòð íåêîòîðîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàçáèåíèÿ) íà óãîë, êðàòíûé π3 . Ðàçáèåíèå íà øåñòèóãîëüíèêè èíâàðèàíòíîîòíîñèòåëüíî òàêîãî ïîâîðîòà, îòêóäà âûòåêàåò, ÷òîòî÷êè ãðàíèö øåñòèóãîëüíèêîâ íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà M 0 ñêëåèâàþòñÿ ïîïàðíî è ñ ñîáëþäåíèåìñâîéñòâ ìèíèìàëüíîé ñåòè. Ýòî íàáëþäåíèå äâîéñòâåííî óòâåðæäåíèþ ïðî òðèàíãóëÿöèè èç [35, ðàçäåë 7].
Èòàê, ìû íàøëè ìíîãîãðàííèê ñ ïðîñòîé ìèíèìàëüíîé ñåòüþ, ε-áëèçêèé ê äàííîìó, ÷òî è òðåáîâàëîñü â òåîðåìå 23. Ðèñ. 3.14: Ôðàãìåíò M 0 .Òåîðåìà 24. Åñëè íà ìíîãîãðàííèêå P åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, òî íàé-ä¼òñÿ ε > 0 òàêîå, ÷òî íà âñåõ ε-áëèçêèõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ òåìè æåêðèâèçíàìè âåðøèí òîæå åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñåòü (ïðè÷¼ì òîãî æåòèïà).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Γ ìèíèìàëüíàÿñåòü íà ìíîãîãðàííèêå P ∈ P(k1 , .
. . , kn ). ×åðåçBδ (Γ) îáîçíà÷èì δ -îêðåñòíîñòü ñåòè Γ, ò.å. ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîãîãðàííèêà P , êîòîðûå ìîæíî ñîåäèíèòü ñ ñåòüþ Γ ïóò¼ì äëèíû íå áîëåå δ . ßñíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ ìíîæåñòâî Bδ (Γ)íå ñîäåðæèò âåðøèí ìíîãîãðàííèêà è ìîæåò áûòü66Ðèñ. 3.15:×àñòüBδ (Γ).ðàçáèòî íà íåñêîëüêî ãåîäåçè÷åñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ äâóõ âèäîâ: èçîìåòðè÷íûõ ïëîñêèì ïðàâèëüíûì òðåóãîëüíèêàì ñî ñòîðîíîé äëèíû 2δ (îíèñîäåðæàò âåðøèíû ñåòè) è èçîìåòðè÷íûõ ïëîñêèì íåêâàäðàòíûì ïðÿìîóãîëüíèêàì øèðèíû 2δ (êàæäîìó ðåáðó ñåòè ñîîòâåòñòâóåò îäèí òàêîéïðÿìîóãîëüíèê), ñì.
ðèñ. 3.15. Ôèêñèðóåì ìàëîå (â óêàçàííîì ñìûñëå) δ .Ðàçâ¼ðòêó îêðåñòíîñòè Bδ (Γ), ñîñòîÿùóþ èç îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ è ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ åñòåñòâåííûìè ïðàâèëàìè ñêëåéêè, áóäåìîáîçíà÷àòü ÷åðåç D.Òðèàíãóëèðóåì ìíîãîãðàííèê P ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëàäîòðèàíãóëèðóåì Bδ (Γ), ðàçáèâ êàæäûé ¾ïðÿìîóãîëüíèê¿ îêðåñòíîñòè Bδ (Γ) ëþáîé èç äâóõ åãî äèàãîíàëåé íà äâà òðåóãîëüíèêà. Çàòåì ðàññìîòðèì ëþáóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè P \ Bδ (Γ) ýòî ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê ñ óãëàìè ïî 120◦ , îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
