Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Çíà÷èò,÷èñëî ñàìîïåðåñå÷åíèé, ñàìîíàëîæåíèé (ïàð ó÷àñòêîâ ð¼áåð, îòîáðàæàþùèõñÿ â îäíó è òó æå êðèâóþ) è ïðîõîæäåíèé ÷åðåç âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà êîíå÷íî.  ìàëîé îêðåñòíîñòè êàæäîãî èç ýòèõ ñëó÷àåâ íåìíîãîïîøåâåëèì ñåòü Γ0 òàê, ÷òîáû óáðàòü ñàìîïåðåñå÷åíèÿ è ïîìåñòèòü âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà â σ -ñîîòâåòñòâóþùèå èì ÿ÷åéêè ñåòè. Ñäåëàåì ýòîòàê, ÷òîáû äëèíà ñåòè óâåëè÷èëàñü íå áîëåå ÷åì íà n1 è ïîëó÷èâøóþñÿ ñåòüîáîçíà÷èì ÷åðåç Γn . Òîãäà Γn ∈ Ω, Γn ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê Γ0 , à çíà÷èòΓ0 ∈ Ω. Êðîìå òîãî, ïðè ýòîì äëèíû ñåòåé â ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòðåìÿòñÿ ê äëèíå ñåòè Γ0 .Ðàññìîòðèì I = inf Γ∈Ω `(Γ) è âûáåðåì ìèíèìèçèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Γn ∈ Ω, `(Γn ) → I ïðè n → ∞. Ïîëüçóÿñü ëåììîé 1.2, ìûâûáèðàåì ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðóþ ñíîâà îáîçíà÷èì75÷åðåç Γn .
Ïðåäåëüíóþ ñåòü îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ0 . Ïî îïðåäåëåíèþ Γ0 ∈ Ω èïî ëåììå 3.16 å¼ ðåáðà ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íî çâåííûìè ãåîäåçè÷åñêèìè ëîìàíûìè, ñëåäîâàòåëüíî, îíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè èç ëåììû 3.17.Èç ëåììû 3.17 âûòåêàåò, ÷òî ëþáàÿ ñåòü èç Ω ìîæåò áûòü ïðèáëèæåíà ñåòÿìè èç Ω áëèçêîé äëèíû. Ïðåäåë ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñåòåéèç Ω ëåæèò â Ω. Ïîýòîìó âåðíà ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ëåììà 3.18.min `(Γ) = inf `(Γ) = `(Γ0 )Γ∈ΩΓ∈ΩÑëåäñòâèå 8. мáðà ñåòè Γ0 ãåîäåçè÷åñêèå ëîìàíûå, âíóòðåííèå âåð-øèíû êîòîðûõ (åñëè îíè åñòü) ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ìíîãîãðàííèêàêðèâèçíû π3 , à óãëû ìåæäó ñìåæíûìè íåâûðîæäåííûìè ð¼áðàìè, ñòûêóþùèìèñÿ âíå âåðøèí ìíîãîãðàííèêà, áîëüøå èëè ðàâíû 2π3 .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðâàÿ ÷àñòü ñëåäñòâèÿ óæå áûëà äîêàçàíà â ëåììå 3.16. Åñëè âåðøèíà x ñåòè Γ0 íå ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà,òî ìàëàÿ äåôîðìàöèÿ ïîñðåäñòâîì âêëåéêè òðîéíè÷êà (ñì. îïðåäåëåíèå âäîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.15) â ýòîé òî÷êå íå íàðóøàåò óñëîâèé ëåììû 3.17,ò.å. ïðîäåôîðìèðîâàííàÿ (óêîðî÷åííàÿ) ñåòü îñòà¼òñÿ â Ω, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 3.18. Ïîýòîìó âíå âåðøèí ìíîãîãðàííèêà óãëû ìåæäó ïàðàìèíåâûðîæäåííûõ ð¼áåð áîëüøå èëè ðàâíû 120◦ (èíà÷å â íèõ âêëåèâàåòñÿóêîðà÷èâàþùèé òðîéíè÷îê).  âåðøèíàõ íàøåãî ìíîãîãðàííèêà êðèâèçπíû 5π3 ïîëíûé óãîë ðàâåí 3 , ïîýòîìó åñëè ðåáðî ñåòè ïðîõîäèò ÷åðåç òàêóþâåðøèíó V , òî óãîë ðåáðà â ýòîé âåðøèíå ñ îáåèõ ñòîðîí ìåíüøå π , è ìîæíî äåëàòü ñïðÿìëåíèå â ëþáóþ èç äâóõ ñòîðîí. Ïîñìîòðèì íà áèåêöèþ σ ,ñîîòâåòñòâóþùóþ ñåòè Γ0 , è ñäåëàåì ñïðÿìëåíèå òàê, ÷òîáû âåðøèíà Vîêàçàëàñü âíóòðè ñîîòâåòñòâóþùåé åé ãðàíè σ −1 (V ).
Ïîñêîëüêó îñòàëüíûåâåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ýòà äåôîðìàöèÿ íå çàòðàãèâàåò, ñîîòâåòñòâèå σñîõðàíÿåòñÿ, óñëîâèÿ ëåììû 3.17 ïî-ïðåæíåìó âûïîëíåíû, à çíà÷èò ïðîäåôîðìèðîâàííàÿ ñåòü îñòàíåòñÿ â Ω, ÷òî ñíîâà ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òîñåòü Γ0 êðàò÷àéøàÿ â Ω.Ïåðåéä¼ì òåïåðü íåïîñðåäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 3.14.ßñíî, ÷òî íàì äîñòàòî÷íî íàéòè ñåòü Γ0 ∈Ω òîé æå äëèíû, ÷òî è Γ0 , èëè äîêàçàòü,÷òî Γ0 ∈ Ω. Èç ñëåäñòâèÿ 8 âûòåêàåò, ÷òîåñëè ñåòü Γ0 íå èìååò âûðîæäåííûõ ð¼áåð, ñàìîïåðåñå÷åíèé è ñîäåðæèòñÿ â T0 , òîΓ0 ∈ Ω. Ìû ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû êîíôèãóðàöèé, â êîòîðûõ Γ0 6∈ Ω,è äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ ëèáî äîêàæåì, ÷òîîí íåâîçìîæåí, ëèáî ïåðåéä¼ì îò ñåòè Γ076Ðèñ. 3.19: Ãðàô Gê íåêîòîðîé äðóãîé ñåòè, íà êîòîðîé òàêæå äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì äëèíûâ Ω (ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ñåòåé îáîçíà÷èì ÷åðåç Ωmin ).Äâèãàÿñü òàêèìîáðàçîì ïî ìíîæåñòâó Ωmin , ìû â êîíöå êîíöîâ ïðèä¼ì ê ñåòè, ëåæàùåé âΩ, è òåì ñàìûì äîêàæåì ëåììó 3.14.Íàéä¼ì äëÿ ñåòè Γ0 ñîîòâåòñòâèå σ ìåæäó âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà T è ãðàíÿìè ãðàôà G, îïèñàííîå â ëåììå 3.17.
Çàíóìåðóåì âåðøèíûãðàôà è îáîçíà÷èì áóêâàìè âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà òàê, êàê ïîêàçàíî íàðèñ. 3.19, ãäå êàæäàÿ áóêâà íàïèñàíà âíóòðè ñîîòâåòñòâóþùåé åé ãðàíèãðàôà. Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé.1. (a) Ñëó÷àé `(11) = 0 = `(12) íåâîçìîæåí.(b) Åñëè `(11) = 0 6= `(12), òî ñóùåñòâóåò ñåòü Γ1 ∈ Ωmin , îòëè÷àþùàÿñÿ îò Γ0 ëèøü â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè âåðøèíû A,äëÿ êîòîðîé `(11) > 0.(c) Åñëè `(11) > 0, òî A 6∈ [11], ò.å. âåðøèíà A íå ìîæåò ëåæàòü íèâíóòðè ðåáðà 11, íè â åãî âåðøèíå 1.(d) Ñóùåñòâóåò ñåòü Γ2 ∈ Ωmin , îòëè÷àþùàÿñÿ îò Γ1 ëèøü â ñêîëüóãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ðåáðà 11, äëÿ êîòîðîé ðåáðî [11] íå ñîäåðæèò âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.2.3.4.5.(e) Ñóùåñòâóåò ñåòü Γ3 ∈ Ωmin , îòëè÷àþùàÿñÿ îò Γ2 ëèøü â ñêîëüóãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ðåáðà 11, äëÿ êîòîðîé `(12) > 0.Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ âåðíû äëÿ âåðøèíû B , ð¼áåð 44 è 43.
Ïîýòîìó äàëåå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî â ñåòè Γ0 ∈ Ωminð¼áðà 11, 12, 43, 44 íåâûðîæäåíû, ïðè÷¼ì ð¼áðà 11 è 44 (âêëþ÷àÿ èõêîíöû) íå ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.Íè îäíî èç ð¼áåð 23 íå ìîæåò áûòü âûðîæäåíî.Âåðøèíà C íå ìîæåò ëåæàòü íà ðåáðå 12 (âêëþ÷àÿ åãî êîíöû), àíàëîãè÷íî D 6∈ [34].Íà äàííûé ìîìåíò ìû ïîëó÷èëè ñåòü Γ0 ∈ Ωmin , â êîòîðîé âñå ð¼áðàíåâûðîæäåíû, âåðøèíû A è B ìíîãîãðàííèêà ëåæàò âíóòðè ñâîèõÿ÷ååê, à âåðøèíû C è D ëèáî âíóòðè ñâîèõ ÿ÷ååê, ëèáî íà ð¼áðàõ23 (âíóòðè ýòèõ ð¼áåð èëè, âîçìîæíî, â èõ êîíöàõ).(a) Ñëó÷àé, ÷òî îáå âåðøèíû C è D ïðèíàäëåæàò ð¼áðàì 23, íåâîçìîæåí.(b) Åñëè ðîâíî îäíà èç âåðøèí C èëè D ïðèíàäëåæèò ð¼áðàì 23,òî ñóùåñòâóåò ñåòü Γ0 ∈ Ωmin , îòëè÷àþùàÿñÿ îò Γ0 ëèøü â ñêîëüóãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ð¼áåð 23, äëÿ êîòîðîé îáà ðåáðà [23] íåïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.Èòàê, â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ñåòü Γ0 ∈ Ωmin ∩ Ω, ò.å.
äîêàæåì, ÷òîìèíèìóì äëèíû äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé ñåòè âíóòðè Ω, ÷òî è òðåáóåòñÿ.77Ðèñ. 3.20: Ñæàòèå ÿ÷åéêè.Îñòàëîñü äîêàçàòü êàæäûé èç ïóíêòîâ. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñïåöèàëüíûå äåôîðìàöèè ñåòè, íå ìåíÿþùèå å¼ äëèíó ñæàòèå è ðàñòÿæåíèåÿ÷åéêè. Íà÷í¼ì ñî ñæàòèÿ. Ïóñòü ÿ÷åéêà ñåòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ðàâíû 120◦ è íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ ñåòè(ò.å.
ð¼áðà ñåòè, îáðàçóþùèå ÿ÷åéêó, íå èìåþò èçëîìîâ ñî ñòîðîíû ÿ÷åéêè; ïðè ýòîì îíè âîîáùå ãîâîðÿ íå îáÿçàíû áûòü ãåîäåçè÷åñêèìè, òàê êàêèì íå çàïðåùàåòñÿ èìåòü èçëîì ñ âíåøíåé ñòîðîíû). Âûáåðåì ìàëåíüêîåε è ïîñòðîèì âî âíóòðåííþþ ñòîðîíó íà êàæäîé ñòîðîíå íàøåãî ìíîãîóãîëüíèêà êàê íà áîëüøåì îñíîâàíèè ðàâíîáîêóþ òðàïåöèþ ñ óãëîì 60◦è áîêîâîé ñòîðîíîé ε. Çàìåíèì òåïåðü â ñåòè èñõîäíûé öèêë èç áîëüøèõîñíîâàíèé ýòèõ òðàïåöèé íà èõ áîêîâûå ñòîðîíû è ìåíüøèå îñíîâàíèÿ, ñì.ðèñ. 3.20. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ýòîì äëèíà ñåòè íå èçìåíèòñÿ.ßñíî, ÷òî ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå ð¼áðà, îãðàíè÷èâàþùèå ÿ÷åéêó, ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè, è â êàæäîé âåðøèíå ñåòè íà ãðàíèöå ÿ÷åéêè òðèíåâûðîæäåííûõ ðåáðà ñõîäÿòñÿ ïîä óãëàìè â 120◦ , âîçìîæíà îáðàòíàÿîïåðàöèÿ ðàñòÿæåíèå ÿ÷åéêè.1 (a).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî `(12) = 0 è âåðøèíà A ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé1. Òîãäà âåðøèíà 2 ñåòè íàõîäèòñÿ â âåðøèíå A ìíîãîãðàííèêà, ïîëíûéóãîë â êîòîðîé ðàâåí π3 . Ïîýòîìó åñëè îáà ðåáðà 23 íåâûðîæäåíû, òî óãîëìåæäó íèìè â âåðøèíå 2 ìåíüøå, ÷åì 2π3 , è âêëåéêà òðîéíè÷êà â ýòîò óãîëóêîðà÷èâàåò ñåòü, íå íàðóøàÿ ñîîòâåòñòâèÿ σ , à çíà÷èò îñòàâëÿÿ ñåòü âΩ. Ïðîòèâîðå÷èå, çíà÷èò, ðîâíî îäíî èç ð¼áåð 23 âûðîæäåíî (î÷åâèäíî,÷òî îáà îíè âûðîæäåíû áûòü íå ìîãóò). Òîãäà âåðøèíà 3 òîæå íàõîäèòñÿ â òî÷êå A.
Åñëè ðåáðî 34 íåâûðîæäåííî, òî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìóðàññóæäåíèþ ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå âêëåéêîé òðîéíè÷êà â óãîë ìåæäóíåâûðîæäåííûìè ð¼áðàìè 32 è 34. Çíà÷èò, ðåáðî 34 òîæå âûðîæäåíî, èA = 4, çíà÷èò, 4 6= B , ò.å. ðåáðî 44 íåâûðîæäåííî, à óãîë ÿ÷åéêè 44 ââåðøèíå 4 = A ìåíüøå 2π3 âêëåéêà òðîéíè÷êà â ýòîò óãîë ïðèâîäèò íàñê îêîí÷àòåëüíîìó ïðîòèâîðå÷èþ.1 (b). Ïóñòü `(11) = 0 6= `(12). Ñäåëàåì ¾ðàñòÿæåíèå¿ âûðîæäåííîãî îäíîóãîëüíèêà. Ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè A èçîìåòðè÷íà êîíóñó ñëîêàëüíî ïëîñêîé ìåòðèêîé è ïîëíûì óãëîì π3 ïðè âåðøèíå, à ðåáðî 1278èçîìåòðè÷íî îäíîé èç îáðàçóþùèõ ýòîãî êîíóñà.Íà ðèñ.
3.21 ïîêàçàíà ðàçâ¼ðòêà êîíóñà, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ðàçðåçà âäîëü îáðàçóþùåé, è íàðèñîâàíà ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ðàñòÿæåíèÿ îäíîóãîëüíàÿ ÿ÷åéêà ñ âåðøèíîé â òî÷êå X . Âìåñòîó÷àñòêà AX â ñòàðîé ñåòè â íîâîé ñåòè ïîÿâëÿåòñÿ ðåáðî XX òîé æå äëèíû, òàê ÷òî ëåãêî âèäåòü,Ðèñ. 3.21: Îäíîóãîëüíèê÷òî äëèíà ñåòè ïðè òàêîé äåôîðìàöèè íå ìåíÿåòñÿ.1 (c). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî `(11) > 0. Âåðøèíà A íå ìîæåò ëåæàòüâíóòðè ðåáðà 11 ïî ñëåäñòâèþ 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà A ñîâïàëà ñòî÷êîé 1.
Ðåáðî 12 íåâûðîæäåííî ïî äîêàçàííîìó â ïóíêòå 1(a), ïîýòîìóñíîâà ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ âêëåéêà òðîéíè÷êà (â ëþáîé èç äâóõ óãëîâìåæäó ð¼áðàìè 11 è 12).1 (d). Êàê ìû óæå ïîêàçàëè, âåðøèíà A íàõîäèòñÿ âíóòðè ñâîåéÿ÷åéêè. Çíà÷èò, óãîë ýòîé ÿ÷åéêè â âåðøèíå 1 íå ìåíüøå 120◦ (èíà÷å âêëåéêà òðîéíè÷êà â ýòîò óãîë ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ). Åñëè âíóòðè ðåáðà 11èìåþòñÿ êàêèå-òî äðóãèå âåðøèíû, òî óãîë ñ âíóòðåííåé ñòîðîíû íàøåéÿ÷åéêè â ýòèõ âåðøèíàõ íå ìåíüøå π (èíà÷å ñïðÿìëåíèå âíóòðü ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ). Çíà÷èò, åñëè âñåãî â ÿ÷åéêå n óãëîâ, òî èõ ñóììà5πíå ìåíüøå (n − 1)π + 2π3 = (n − 2)π + 3 . Íî ïî ôîðìóëå Ãàóññà-Áîííå(ëåììà 3.2) ñóììà óãëîâ ÿ÷åéêè äîëæíà áûòü ðàâíà êàê ðàç π(n − 2) + 5π3 ,2πçíà÷èò, óãîë ïðè âåðøèíå 1 ðîâíî 3 , à îñòàëüíûå âíóòðåííèå ¾óãëû¿ÿ÷åéêè ðàâíû π , ò.å.
äðóãèõ èçëîìîâ íåò. Çíà÷èò, ìîæíî ïðèìåíèòü îïèñàííîå âûøå ñæàòèå ÿ÷åéêè, ïîñëå êîòîðîãî ðåáðî 11 (âêëþ÷àÿ òî÷êó 1)óæå òî÷íî íå áóäåò ñîäåðæàòü âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.1 (e). Ñ ó÷¼òîì ïðîäåëàííûõ îïåðàöèé ÿ÷åéêà 11 óäîâëåòâîðÿåò âñåìóñëîâèÿì, íåîáõîäèìûì äëÿ ñæàòèÿ. Ïîýòîìó åñëè ðåáðî 12 â íàøåé ñåòèâûðîæäåííî, ñäåëàåì ñæàòèå ÿ÷åéêè 11 è òåì ñàìûì óäëèíèì ðåáðî 12.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíî èç ð¼áåð23 âûðîæäåíî. Òîãäà â òî÷êå 2 = 3 ñõîäÿòñÿ 4 íåâûðîæäåííûõ ðåáðà ðåáðî12, ðåáðî 34 è äâà êîíöà íåâûðîæäåííîãî ðåáðà 23.
Îíè îáðàçóþò 4 óãëà, çíà÷èò,õîòÿ áû îäèí èç íèõ ìåíüøå 2π3 . Ñäåëàåìâêëåéêó òðîéíè÷êà â ýòîò óãîë è äîêàæåì, ÷òî ïîëó÷èâøàÿñÿ â ðåçóëüòàòå ñåòüÐèñ. 3.22: Ê ïóíêòó 3.ïðèíàäëåæèò Ω. Âî-ïåðâûõ, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íîâàÿ ñåòü áóäåò ðåàëèçîâûâàòü ïëîñêèé ãðàô G, ñì. ðèñ. 3.22. Âî-âòîðûõ, åñëè íè âåðøèíà C , íèâåðøèíà D íå ñîâïàäàëè ñ òî÷êîé 2 = 3, òî ñîîòâåòñòâèå σ äëÿ íîâîéñåòè î÷åâèäíûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ èç ñòàðîãî ñîîòâåòñòâèÿ. Åñëè æå, íà-79ïðèìåð, C = 2 = 3, òî ñèòóàöèÿ íåìíîãèì ñëîæíåå òî÷êà C ëåæèòíà ãðàíèöå îáåèõ ïÿòèóãîëüíûõ ÿ÷ååê íîâîé ñåòè, òàê ÷òî ñòàðîå ñîîòâåòñòâèå σ ñíîâà ïîäõîäèò. Èòàê, íîâàÿ, áîëåå êîðîòêàÿ, ñåòü ëåæèò â Ω,ïðîòèâîðå÷èå.4.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà C ëåæèò âíóòðè ðåáðà 12. Ïîñêîëüêóïîëíûé óãîë â âåðøèíå C ìåíüøå 2π , âîçìîæíî ñïðÿìëåíèå ðåáðà â ýòîéòî÷êå õîòÿ áû â îäíó èç äâóõ ñòîðîí. Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ñïðÿìëåíèÿ ñåòü êîðî÷å è ïî-ïðåæíåìó ïðèíàäëåæèò Ω ñ òåì æå ñîîòâåñòâèåì σ ,ïîñêîëüêó â èñõîäíîé ñåòè ïî îáå ñòîðîíû îò ðåáðà 12 íàõîäèòñÿ ÿ÷åéêà,ñîîòâåòñòâóþùàÿ C . Åñëè æå âåðøèíà C ïîïàëà â îäèí èç êîíöîâ ðåáðà12, òî ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðèâîäèò âêëåéêà òðîéíè÷êà â óãîë, ìåíüøèé 2π3 .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âêëåéêà òðîéíè÷êà â ëþáîé èç (øåñòè ïîòåíöèàëüíîâîçìîæíûõ) óãëîâ ñîõðàíÿåò ñîîòâåñòâèå σ .5 (a). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáå âåðøèíû C è D ïðèíàäëåæàò ð¼áðàì 23.
 òàêîì ñëó÷àå îáå ýòè âåðøèíû ëåæàò íà ãðàíèöàõ îáåèõ ïÿòèóãîëüíûõ ÿ÷ååê, ïîýòîìó ïîìèìî âûáðàííîãî íàìè ñîîòâåòñòâèÿ σ , èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñ. 3.19, ïîäõîäèò è åù¼ îäíî ñîîòâåòñòâèå σ 0 , â êîòîðîìσ 0 (C) = σ(D), σ 0 (D) = σ(C). ïóíêòå (4) ìû äîêàçàëè, ÷òî C 6= 2 è, àíàëîãè÷íî, D 6= 3. ÅñëèC = 3, ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâèå σ 0 äëÿ ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ ðàññóæäåíèå,ïðîâåä¼ííîå â (4), äà¼ò, ÷òî C 6= 3.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âåðøèíà Cëåæèò âíóòðè êàêîãî-òî ðåáðà 23. Òîãäà õîòÿ áû îäèí èç óãëîâ ýòîãî ðåáðàâ ýòîé òî÷êå ìåíüøå π , ñäåëàåì ñïðÿìëåíèå.  ñåòè, ïîëó÷èâøåéñÿ ïîñëåñïðÿìëåíèÿ, òî÷êà C áóäåò ëåæàòü óæå íå íà ðåáðå, à âíóòðè îäíîé èçïÿòèóãîëüíûõ ãðàíåé, ò.å. ëèáî âíóòðè ãðàíè σ(C), ëèáî âíóòðè ãðàíèσ 0 (C), à âåðøèíà D ïî-ïðåæíåìó áóäåò ëåæàòü íà ãðàíèöå îáåèõ ãðàíåé.Çíà÷èò, äëÿ íîâîé ñåòè ïîäõîäèò ëèáî ñîîòâåòñòâèå σ , ëèáî σ 0 , ò.å. íîâàÿñåòü ëåæèò â Ω, ïðîòèâîðå÷èå.5 (b). Ïóñòü âåðøèíà D íàõîäèòñÿ íà ðåáðå 23 èëè â âåðøèíå 2,à òî÷êà C âíóòðè ñâîåé ÿ÷åéêè.Ïî ôîðìóëå Ãàóññà-Áîííå (ëåììà 3.2)äëÿ ýòîé ïÿòèóãîëüíîé ÿ÷åéêè ïîëó÷àåì â ïåðâîì ñëó÷àå 5 · 2π3 + ∠D =ππ(5 − 2 + 1) + 3 , îòêóäà ∠D = π ,èëè âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà D = 2,îáîçíà÷èì ÷åðåç ∠D âíóòðåííèé óãîëÐèñ. 3.23: Ê ïóíêòó 5(b).ÿ÷åéêè σ(D) â òî÷êå D = 2, òîãäà5πππ3 · 2π3 + 3 − ∠D = π(5 − 2) + 3 , îòêóäà ∠D = 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
