Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Çíà÷èò, óãëû ÿ÷åéêè2πσ(C) â òî÷êå 3 â ñóììå äàþò 4π3 . Êðîìå òîãî, êàæäûé èç íèõ íå ìåíüøå 3(èíà÷å âîçìîæíà âêëåéêà òðîéíè÷êà), ïîýòîìó îáà îíè ðàâíû 2π3 .80Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ÿ÷åéêà σ(C) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïÿòèóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ðàâíû 2π3 , ïîýòîìó îíà ïðèãîäíà äëÿ ñæàòèÿ. Ïðàâäà, ýòà ÿ÷åéêà èìååò ñàìîíàëîæåíèå ãðàíèöû (ðåáðî 12), íî ýòî íå ìåøàåòïðîâåñòè ñîõðàíÿþùóþ äëèíó ñåòè îïåðàöèþ, àíàëîãè÷íóþ ñæàòèþ ïîñòðîèòü íà ð¼áðàõ 23 âíóòðü ÿ÷åéêè σ(C) äâà ïàðàëëåëîãðàììà ñ óãëîì60◦ , ñì.
ðèñ. 3.23. Ïîñëå ¾ñäâèãà¿ ð¼áåð 23 ¾âëåâî¿ íà ìåñòî ïóíêòèðíûõëèíèé ìû ïîëó÷èì íîâóþ ñåòü èç Ωmin , óæå íå ñîäåðæàùóþ íà ð¼áðàõ 23âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.Èòàê, äîêàçàíû âñå çàÿâëåííûå óòâåðæäåíèÿ, è äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.14 çàâåðøåíî.Ïîìèìî ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîñòîé ìèíèìàëüíîé ñåòè íà âñåõ ìíîãî5πãðàííèêàõ ñ êðèâèçíàìè π3 , π3 , 5π3 , 3 , ïðèâåä¼ííîå ðàññóæäåíèå èìååò ñëåäóþùèé èíòóèòèâíûé ñìûñë. Åñëè ìû âëîæèì ñåòü èç ýëàñòè÷íûõ ðåçèíî÷åê òèïà G, òàê ÷òî âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà íàõîäÿòñÿ â íóæíûõÿ÷åéêàõ (òàê, êàê îïèñàíî â îïðåäåëåíèè Ω), è âñòàâèì èãîëêè â âåðøèíûìíîãîãðàííèêà òàê, ÷òîáû ñåòü íå ìîãëà ñîñêîëüçíóòü ñ íèõ, ïðè÷¼ì ïîïðîñèì ñåòü ¾îòîäâèãàòüñÿ¿ îò âåðøèí ìíîãîãðàííèêà â òîì ñëó÷àå, åñëèåñòü âîçìîæíîñòü ñäåëàòü ýòî, íå ìåíÿÿ äëèíó, ðàçðåøèì ð¼áðàì 12 è 34ïåðåñêàêèâàòü ÷åðåç âåðøèíû C è D ñîîòâåòñòâåííî, à òàê æå çàïðåòèìñåòè ïåðåñòðàèâàòü ñòðóêòóðó, òî ñåòü ëèáî ïðåâðàòèòñÿ â ìèíèìàëüíóþ,ëèáî áóäåò íàòÿíóòà ð¼áðàìè 23 íà âåðøèíû C, D.
Åñëè ðàçðåøèòü åù¼ èîäíîâðåìåííîå ïåðåïðûãèâàíèå ÷åðåç íèõ, òî ñåòü â êîíöå êîíöîâ (ñëåäóÿíàøèì ðåêîìåíäàöèÿì ïî îòîäâèãàíèþ îò âåðøèí) ïðèä¼ò â óñòîé÷èâîåïîëîæåíèå, ò.å. ïðåâðàòèòñÿ â ìèíèìàëüíóþ.81Ëèòåðàòóðà[1] À. Ä. Àëåêñàíäðîâ, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, ÌîñêâàËåíèíãðàä,1950.[2] À. Ä. Àëåêñàíäðîâ Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåéÎÃÈÇ, ÌîñêâàËåíèíãðàä, 1948.[3] Áóðàãî Ä.Þ., Áóðàãî Þ.Ä., Èâàíîâ Ñ.Â. Êóðñ ìåòðè÷åñêîé ãåîìåòðèè ÐÕÄ, ÌîñêâàÈæåâñê, 2004.[4] Çàâàëüíþê Å.À.
Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà êðàò÷àéøèõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû // Âåñòí.Ìîñê. óí-òà Ìàòåì. Ìåõàí. 2013.[5] À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí, Ãåîìåòðèÿ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé è îäíîìåðíàÿ ïðîáëåìà Ïëàòî // ÓÌÍ. 1992. 47:2(284) Ñ. 53115.[6] Èâàíîâ À.Î., Òóæèëèí À.À. Ãåîìåòðèÿ ìíîæåñòâà ìèíèìàëüíûõñåòåé äàííîé òîïîëîãèè ñ ôèêñèðîâàííîé ãðàíèöåé // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.ìàòåì. 1997.
61. 6. Ñ. 119152.[7] Èâàíîâ À.Î., Òóæèëèí À.À. Ðàçâåòâëåííûå ãåîäåçè÷åñêèå. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé // Ðîññèéñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå è íàó÷íûå èññëåäîâàíèÿ, Ýäâèí-Ìåëëåí Ïðåññ, 1999. Ò. 5.[8] À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí, Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé //Ìîñêâà-Èæåâñê, Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2003.[9] Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà // Íàóêà, Ìîñêâà, 1972.[10] Ïðîíèí Ì.Â. Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû // Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà.Ìàòåì. Ìåõàí. 1998.
5. Ñ. 1216.[11] À. Â. Ïîãîðåëîâ Êâàçè-ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè// Ìàòåì. ñá. 1949. 25(67):2 Ñ. 275306.[12] Â. Â. Ïðàñîëîâ, È. Ô. Øàðûãèí Çàäà÷è ïî ñòåðåîìåòðèè // Íàóêà,Ìîñêâà, 1989.[13] Â. Þ. Ïðîòàñîâ, Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ïîâåðõíîñòè ñèìïëåêñà// Ìàòåì. ñá. 2007 1982 Ñ. 103120.82[14] È. Â.
Ïòèöûíà, À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí Êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïëîñêèõ äâóìåðíûõ òîðàõ // Ìàòåì. ñá. 1992 183 12 ñ. 344.[15] È. Â. Ïòèöûíà Êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõñåòåé íà òåòðàýäðàõ // Ìàòåì. ñá. 1994 185 5 Ñ. 119138.[16] A. Altshuler Construction and enumeration of regular maps on the torus// Discrete Math. 1973 V. 4, 3 P. 201217.[17] B. Aronov and J. O'Rourke Nonoverlap of the star unfolding // Discreteand Computational Geometry 1992 8 P. 219250.[18] Dahl J. Steiner problems in optimal transport. // Trans.
Am. Math. Soc. 2011 363 4 P. 18051819.[19] M. Deza, M. Dutour Sikiric Geometry of chemical graphs. Polycycles andtwo-faced maps. // Encyclopedia of Mathematics and its Applications 119. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.[20] M. Deza, M. Dutour Sikiric, Zigzag and central circuit structure of({1, 2, 3}, 6)-spheres // Taiwanese J. Math. 2012 16 3 P. 913940.[21] M. Dutour Sikiric, Complex parametrization of triangulations on orientedmaps // Ars Mathematica Contemporanea 2013. 6. P. 6981.[22] P.W. Fowler and D.E. Manolopoulos An Atlas of Fullerenes // ClarendonPress, Oxford. 1995.[23] Galperin G.
Convex polyhedra without simple closed geodesics. // Regul.Chaotic Dyn. 2003 8 1 P. 45-58.[24] M. R. Garey, R. L. Graham and D. S. Johnson. Some NP-completegeometric problems. // Proc. 8th Ann. Symp. Theory Comput. 1976 P. 1022.[25] M. R. Garey and D. S. Johnson. Computers and Intractability: a Guideto the Theory of NP-Completeness. // W. H. Freeman, San Francisco,California, 1979.[26] E. N. Gilbert and H. O.
Pollak. Steiner minimal trees. // SIAM J. Appl.Math. 1968 16 1 P. 129.[27] A.Heppes. Isogonal spherischen netze // Ann. Univ. Sci., Budapest, Sect.Math. 1964 7 P. 4148.[28] Hwang F. K. A linear time algorithm for full Steiner trees // Oper. Res.Letter. 1986. V. 5. P. 235237.[29] Hwang F. K., Richards D., Winter P. The Steiners Tree Problem. //Elsevier Science Publishers. 1992.[30] N. Innami and S. Naya A comparison theorem for Steiner minimum treesin surfaces with curvature bounded below // Tohoku Math. J.
2013 V. 65 1 P. 131157.83[31] A. O. Ivanov and A. A. Tuzhilin Minimal networks the Steiner problemand its generalizations // CRC Press, Boca Raton, FL, 1994.[32] Z. A. Melzak. On the problem of Steiner. // Canad. Math. Bulletin 1961 4 P. 143148.[33] S. Negami, Uniqueness and faithfullness of embedding of toroidal graphs// Discrete Math.
1983 44 P. 161180.[34] J.E. Taylor, The struture of singularities in soap-buble-like and soap-lmlike minimal surfaces // Annals of Mathematics 1976 103 P. 489539.[35] W.P. Thurston, Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere //The Epstein birthday schrift, Geom. Topol. Monogr. 1998 1 P. 511549.Ðàáîòû àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè[36] Ñòðåëêîâà Í. Ï., Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ // Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì. 2013. Ò.
20, 5. Ñ. 116145.[37] Ñòðåëêîâà Í. Ï., Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòÿõ òåòðàýäðîâ // Ìàòåì. ñá. 2011 Ò. 202, 1 Ñ. 141160.[38] Ñòðåëêîâà Í. Ï., Ðåàëèçàöèÿ ïëîñêèõ ãðàôîâ êàê çàìêíóòûõ ëîêàëüíîìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ // Äîêëàäû ÐÀÍ 2010 Ò. 435, 4 Ñ. 13.[39] Ñòðåëêîâà Í. Ï., Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé //Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó ñ èõ ïðèëîæåíèÿìè ê ãåîìåòðèè, ìåõàíèêå è ôèçèêå 2013 29 C. 148170.84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
