Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ζ 0 > 0ìîæíî ïîäîáðàòü ζ > 0 òàê, ÷òî ψζ 0 áóäåò ζ 0 -èçîìåòðèåé ðàçâ¼ðòîê Ak è A0k .Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äëÿ ëþáîãî λ0 > 0 ñóùåñòâóåò ζ 0 òàêîå, ÷òîíàéä¼òñÿ λ0 -èçîìåòðèÿ ψλ0 : Ak → A0k òàêàÿ, ÷òî Hk0 = ψλ0 (Hk ) ëîêàëüíîìèíèìàëüíîå äåðåâî, ïðè÷¼ì ψλ0 (s) = ψζ 0 (s) = s0 .Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ζ , ζ 0 è λ0 ðåáðî s0 u0 äåðåâà Hk0 (ãäå u0 =ψλ0 (u)) ïåðåñåêàåò ìåíüøóþ äóãó p0 q 0 îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî p0 s0 q 0 ,â òî÷êå, ëåæàùåé âíóòðè òðåóãîëüíèêà ψζ (∆(v)) (îáîçíà÷èì ýòó òî÷êó÷åðåç v 0 ) è, áîëåå òîãî, îòðåçêè v 0 p0 , v 0 q 0 íà ïëîñêîñòè ëåæàò âíóòðè A01 ïîñêîëüêó àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî äëÿ A1 è ñîõðàíÿåòñÿ ïðèíåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ðàçâ¼ðòêè.
Çíà÷èò, ìîæíî ðàññìîòðåòü ñåòü H 0íà ðàçâ¼ðòêå A0 , îòëè÷àþùóþñÿ îò ñåòè Hk0 çàìåíîé ðåáðà u0 s0 íà u0 v 0 èäîáàâëåíèåì ð¼áåð p0 v 0 , q 0 v 0 . Èç ñâîéñòâ âïèñàííûõ óãëîâ âûòåêàåò, ÷òî âñåóãëû ïðè âåðøèíå v 0 ðàâíû 120◦ è ïîòîìó H 0 ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîåäåðåâî ñ òðåáóåìîé ãðàíèöåé. Îòîáðàæåíèå ψλ : A → A0 îïðåäåëèì òåïåðüíà ìíîãîóãîëüíèêàõ ðàçâ¼ðòêè A, âõîäÿùèõ â ðàçâ¼ðòêó Ak , ðàâíûì ψλ0 ,à íà A1 êàê êóñî÷íî àôôèííîå îòîáðàæåíèå äëÿ òðèàíãóëÿöèé A1 \ Hè A01 \ H 0 àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â áàçå èíäóêöèè.
Øàãèíäóêöèè ñäåëàí. Ëåììà äîêàçàíà.Î÷åâèäíî, ÷òî ðàçâ¼ðòêà D0 è ñåòü Γ0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 3.13. Íàéä¼ì äëÿ λ = 1 ÷èñëî ζ èç ýòîé ëåììû è ðàññìîòðèì ε èçëåììû 3.12 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε-áëèçêîãî ê P ìíîãîãðàííèêà P 0 îòîáðàæåíèå ψ0 : D0 → D00 åñòü ζ -èçîìåòðèÿ. Ïîñòðîèì ñ ïîìîùüþ ëåììû 3.13ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî Γ00 = ψλ (Γ0 ) ⊂ D00 .Ðàññìîòðèì ïàðó α, β ñòîðîí ðàçâ¼òêè D0 , ñêëåèâàåìûõ â ðàçâ¼ðòêå0D .
Ïî ïîñòðîåíèþ îòîáðàæåíèå ψλ , òàê æå êàê è ψ0 , îòîáðàæàåò îòðåçêè α è β àôôèííî íà íåêîòîðûå ñòîðîíû α0 è β 0 ðàçâ¼ðòêè D00 . Ïîýòîìóëþáàÿ ïàðà òî÷åê ñòîðîí α è β , îòîæäåñòâëÿåìàÿ â D, ïåðåõîäèò ïðè îòîáðàæåíèè ψλ â ïàðó òî÷åê ðàçâ¼ðòêè D00 , îòîæäåñòâëÿåìûõ â ðàçâ¼ðòêå D0 .Çíà÷èò, êîððåêòíî îïðåäåëåíî ôàêòîð-îòîáðàæåíèå ψλ : D → D0 .  òîì÷èñëå, äâå ãðàíè÷íûå âåðøèíû (ïóñòü ýòî âåðøèíû a ∈ α è b ∈ β ) ñåòè Γ0ïðè îòîæäåñòâëåíèè ñòîðîí α è β ñëåèâàþòñÿ è ïðåâðàùàþòñÿ â íåêîòîðóþòî÷êó c íà ðåáðå ñåòè Γ, à âåðøèíû a0 = ψλ (a) = ψ0 (a) è b0 = ψλ (b) = ψ0 (b)71ñåòè Γ00 â ðàçâ¼ðòêå D0 ñêëåèâàþòñÿ â òî÷êó c0 = ψ(c).ßñíî, ÷òî ψλ ÿâëÿåòñÿ 2λ-èçîìåòðèåé ðàçâ¼ðòîê D è D0 , ïåðåâîäÿùåé ñåòü Γ â íåêîòîðóþ ñåòü Γ0 . Ïîñêîëüêó Γ00 ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîåäåðåâî, ñåòü Γ0 îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ìèíèìàëüíîé ñåòè (ñì.
îïðåäåëåíèå,äàííîå â íà÷àëå ðàçäåëà 3.2) âî âñåõ ñâîèõ òî÷êàõ, çà èñêëþ÷åíèåì ìåñò¾ñêëåéêè¿ òî÷åê c0 èç ïðåäûäóùåãî àáçàöà. Äîêàæåì, ÷òî â êàæäîé òàêîé òî÷êå c0 = ψ(c) óãîë ìåæäó äâóìÿ ð¼áðàìè ñåòè Γ0 , èíöèäåíòíûìè c0 ,ðàâåí 180◦ . Íàéä¼ì â äåðåâå Γ00 ïðîñòîé ïóòü, ñîåäèíÿþùèé a0 è b0 .  ñåòè Γ0ýòîìó ïóòè ñîîòâåòñòâóåò çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëîìàíàÿ γ 0 ñ êîíöàìèâ c0 , îãðàíè÷èâàþùàÿ íåêîòîðûé ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê M 0 . Ïóòü−1ψλ (γ 0 ) â ñåòè Γ îãðàíè÷èâàåò ìíîãîóãîëüíèê M , ïðè÷¼ì ïî ïîñòðîåíèþâñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêîâ M è M 0 îäèíàêîâû, çà èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî,óãëîâ â òî÷êàõ c è c0 (óãîë ìíîãîóãîëüíêèà M â c ðàâåí 180◦ , à ïðî óãîëM 0 â c0 ìû ïîêà íè÷åãî íå çíàåì).
Íî ïî îïðåäåëåíèþ D0 è èç-çà âûáîðàP, P 0 ∈ P(k1 , . . . , kn ) ñóììà êðèâèçí âåðøèí ìíîãîãðàííèêà P 0 , ïîïàâøèõâ M 0 , ðàâíà ñóììå êðèâèçí âåðøèí ìíîãîãðàííèêà P , ïîïàâøèõ â M . Çíà÷èò, ïî ôîðìóëå Ãàóññà-Áîííå (ëåììà 3.2), óãîë M 0 â òî÷êå c0 òàêæå ðàâåí180◦ , ÷òî è òðåáîâàëîñü.3.3.5Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 22 î òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 }. ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ñåòè êàê îòîáðàæåíèÿ(ñì. ãëàâó 1), ïîñêîëüêó â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà ïîíàäîáèòñÿ ðàññìàòðèâàòü äåôîðìàöèè ñåòè è íåâëîæåííûå ñåòè.
Õîòÿ è çäåñü ÷àñòî ìîæíîáóäåò îòíîñèòüñÿ ê ñåòè êàê ê íàðèñîâàííîé íà ìíîãîãðàííèêå êàðòèíêå,ò.å. èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå îáûêíîâåííîé ñåòè.Ìû äîêàæåì, ÷òî íà ëþáîì ìíîãîãðàííèêå T ñ êðèâèçíàìèñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ðåàëèçóþùàÿ ïëîñêèé ãðàô G, èçîáðàæ¼ííûé íà ðèñ. 3.7. ×åðåç T0 îáîçíà÷èì ïîâåðõíîñòüìíîãîãðàííèêà T ñ âûáðîøåííûìè âåðøèíàìè.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ìíîæåñòâî âñåõ (íåîáÿçàòåëüíî ìèíèìàëüíûõ!) ñåòåé Γ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè• Γ ðåàëèçóåò ïëîñêèé ãðàô G â T0 (ñì. îïðåäåëåíèå â ðàçäåëå 1.6)• êàæäàÿ îäíîóãîëüíàÿ ÿ÷åéêà ñåòè Γ ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ îäíó âåðøèíó ìíîãîãðàííèêà êðèâèçíû 5π3• êàæäàÿ ïÿòèóãîëüíàÿ ÿ÷åéêà ñåòè Γ ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ îäíó âåðøèíó ìíîãîãðàííèêà êðèâèçíû π3 .Îòìåòèì, ÷òî âñå ñåòè èç Ω âëîæåííûå, òàê êàê îíè ðåàëèçóþò ïëîñêèé ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ âëîæåííîé ñåòüþ ïî íàøåìó îïðåäåëåíèþ.5π{ π3 , π3 , 5π3 , 3 }72Ðèñ.
3.18: Ñïðÿìëåíèå è âêëåéêà òðîéíè÷êà.Èíûìè ñëîâàìè, ñåòè èç Ω íå èìåþò ñàìîïåðåñå÷åíèé è âûðîæäåííûõ ð¼áåð.Òåîðåìà 22 î÷åâèäíî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ äâóõ ëåìì. ×åðåç `(Γ)ìû îáîçíà÷àåì äëèíó ñåòè Γ.Ëåììà 3.14. Ñóùåñòâóåò ñåòü ΓminminΓ∈Ω `(Γ).∈ Ω òàêàÿ, ÷òî `(Γmin ) =Ëåììà 3.15. Åñëè Γmin ∈ Ω è `(Γmin ) = minΓ∈Ω `(Γ), òî Γmin ìèíè-ìàëüíàÿ ñåòü.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.15 ñîâñåì íåñëîæíî. Îïðåäåëèì äâà ïðîñòûõâèäà äåôîðìàöèé ñåòè, óìåíüøàþùèõ å¼ äëèíó: ñïðÿìëåíèå è âêëåéêóòðîéíè÷êà. Ñïðÿìëåíèå. Ïóñòü â òî÷êå P âíóòðè íåêîòîðîãî ðåáðà ñåòèîäèí èç óãëîâ ìåíüøå π . Òîãäà âîçìîæíà ìàëàÿ äåôîðìàöèÿ ðåáðà, èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 3.18 ñëåâà.
Âêëåéêà òðîéíè÷êà. Ïóñòü P âåðøèíà ñåòè,ð¼áðà, èíöèäåíòíûå P , âáëèçè P ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòðåçêè ãåîäåçè÷åñêèõ, è îäèí èç óãëîâ ìåæäó ð¼áðàìè ñåòè, èíöèäåíòíûìè P , ìåíüøå 2π3 .Ïóñòü X(t), Y (t) òî÷êè íà ýòèõ ð¼áðàõ òàêèå, ÷òî |X(t)P | = |Y (t)P | = t.Ïðè ìàëûõ t èìååòñÿ òðåóãîëüíèê X(t)P Y (t), èçîìåòðè÷íûé ïëîñêîìó èèìåþùèé âûáðàííûé óãîë ïðè âåðøèíå P . Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ïëîñêîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà êðàò÷àéøóþ ñåòü: îíà ñîñòîèò èç òð¼õ0ð¼áåð, ñòûêóþùèõñÿ ïîä óãëàìè 2π3 â äîïîëíèòåëüíîé âåðøèíå P (t) [26], èèìååò ìåíüøóþ äëèíó, ÷åì ëîìàíàÿ X(t)P Y (t).
Ïðè äåôîðìàöèè â ìîìåíòâðåìåíè t ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñåòü Γt , îòëè÷àþùóþñÿ îò Γ0 ïåðåíîñîì âåðøèíû P â òî÷êó P 0 (t), çàìåíîé ó÷àñòêîâ ð¼áåð X(t)P, Y (t)P íàX(t)P 0 (t), Y (t)P 0 (t) è óäëèíåíèåì òðåòüåãî ðåáðà íà ó÷àñòîê P P 0 (t), ñì.ðèñ. 3.18 ñïðàâà.Âåðí¼ìñÿ òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 3.15. Íàì äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ìèíèìàëüíîé ñåòè, äàííîå â íà÷àëå ðàçäåëà 3.2.
Åñëè êàêîå-òî ðåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, òî ìîæíîñäåëàòü ñïðÿìëåíèå. Åñëè â êàêîé-òî âåðøèíå íå âñå óãëû ðàâíû 2π3 , òî73êàêîé-òî èç óãëîâ ìåíüøå 2π3 , è ìîæíî ñäåëàòü âêëåéêó òðîéíè÷êà.  îáîèõñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì áîëåå êîðîòêóþ ñåòü, ïî-ïðåæíåìó ïðèíàäëåæàùóþ Ω, ïðîòèâîðå÷èå.Îòìåòèì, ÷òî ýòî äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ãðàôà è äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.14, íàîáîðîò,ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåò è ñâîéñòâà ìíîãîãðàííèêà T , è ñâîéñòâà ãðàôà G.Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî Ω íå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì íèâ êàêîì åñòåñòâåííîì ñìûñëå íåïðåðûâíî äåôîðìèðóÿñü, ñåòü ìîæåò¾íàåõàòü¿ íà âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, èëè ìîæåò âûðîäèòüñÿ ðåáðî èïîëó÷èâøàÿñÿ ñåòü óæå íå áóäåò ëåæàòü â Ω.
Ïîýòîìó òîò ôàêò, ÷òî ìèíèìóì äëèíû äîñòèãàåòñÿ íà êàêîé-òî ñåòè èç Ω äàëåêî íå î÷åâèäåí.Ïðåæäå, ÷åì ïðèñòóïèòü ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 3.14, äàäèìíåñêîëüêî îïðåäåëåíèé è îáñóäèì ñâîéñòâà Ω, íå çàâèñÿùèå îò ìíîãîãðàííèêà è ãðàôà.Íàïîìíèì, ÷òî â ðàçäåëå 1.4 áûëî äàíî îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè äëÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñåòåé îäíîãî òèïà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Íèæåìû áóäåì ïðèìåíÿòü ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ ñåòåé èç Ω, â êà÷åñòâå ìåòðèêèìû ðàññìàòðèâàåì âíóòðåííþþ ìåòðèêó íà ïîâåðõíîñòè íàøåãî òåòðàýäðà.Ìíîæåñòâî ñåòåé Γ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüΓn ∈ Ω, ñõîäÿùàÿñÿ ê Γ, áóäåì íàçûâàòü çàìûêàíèåì Ω è îáîçíà÷àòü÷åðåç Ω.Ëåììà 3.16. Åñëè Γn ∈ Ω ìèíèìèçèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ò.å.
`(Γn ) → inf Γ∈Ω `(Γ), è Γ0 ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ýòîé ìèíèìèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî ð¼áðà Γ0 êîíå÷íî çâåííûå ãåîäåçè÷åñêèåëîìàíûå, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðûõ (åñëè îíè åñòü) ðàñïîëîæåíû ââåðøèíàõ ìíîãîãðàííèêà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, è âîçüì¼ì ëþáóþ òî÷êóP íà ðåáðå ñåòè Γ0 òàêóþ, ÷òî P íå ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà èíè â êàêîé îêðåñòíîñòè P ðåáðî ñåòè Γ0 íå ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. Ðàññìîòðèì êðóã Bε (P ) íà ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà ñ öåíòðîì â òî÷êå P ,íàñòîëüêî ìàëåíüêèé, ÷òî îí íå ñîäåðæèò íè âåðøèí ìíîãîãðàííèêà, íèâåðøèí ñåòè Γ0 . Âîçìîæíî, ïåðåñå÷åíèå ýòîãî êðóãà ñ ñåòüþ ñîñòîèò áîëåå÷åì èç îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.
Êàæäóþ êîìïîíåòó ñâÿçíîñòè (ò.å.ó÷àñòîê ðåáðà ñåòè îò îäíîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàíèöåé êðóãà (òî÷êèâõîäà) äî ñëåäóþùåé (òî÷êè âûõîäà)) çàìåíèì íà õîðäó êðóãà, ñîåäèíÿþùóþ êîíöû ýòîé êîìïîíåòû ñâÿçíîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, ñäåëàåì îäíîâðåìåííî íåñêîëüêî ñïðÿìëåíèé. Ïîëó÷èâøóþñÿ ñåòü îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ00 .Òî÷íî òàê æå ïîñòóïèì ñ ñåòÿìè Γn : çàìåíèì ó÷àñòêè ð¼áåð íà õîðäû òîãîæå ñàìîãî êðóãà Bε (P ). Î÷åâèäíî, ïðè òàêîé çàìåíå â ñåòè Γn íå ìîãóòâîçíèêíóòü ñàìîïåðåñå÷åíèÿ è íîâàÿ ñåòü Γ0n ïî-ïðåæíåìó ëåæèò â Ω, à74ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Γ0n ñõîäèòñÿ ê ñåòè Γ00 . Íî ñåòü Γ00 ñòðîãî êîðî÷å, ÷åìñåòü Γ0 , ò.å. lim `(Γ0n ) < lim `(Γn ) ïðîòèâîðå÷èå.Ëåììà 3.16 ïîçâîëèò íàì äàëåå èíòåðåñîâàòüñÿ òîëüêî òåìè ñåòÿìèèç Ω, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîçâåííûìè ãåîäåçè÷åñêèìè ëîìàíûìè, ÷òîìû è áóäåì äåëàòü äëÿ óïðîùåíèÿ òåõíèêè.Ëåììà 3.17.
Ñåòü Γ0 , ð¼áðà êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîçâåííûìè ãåî-äåçè÷åñêèìè ëîìàíûìè, ëåæèò â çàìûêàíèè Ω òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà• Γ0 : TG → T• Γ0 íå èìååò òðàíñâåðñàëüíûõ ñàìîïåðåñå÷åíèé,• ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ σ ìåæäó ãðàíÿìè ïëîñêîãî ãðàôà G è âåðøèíàìè òåòðàýäðà T ñî ñâîéñòâàìè: äëÿ êàæäîé ãðàíè f âåðøèíà σ(f )ëåæèò âíóòðè èëè íà ãðàíèöå ÿ÷åéêè Γ(f ) è åñëè ãðàíü nf -óãîëüíàÿ,òî âåðøèíà σ(f ) èìååò êðèâèçíó (2π − π3 nf ).Ïðè÷¼ì äëÿ êàæäîé Γ ∈ Ω ñóùåñòâóåò ñõîäÿùàÿñÿ ê Γ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Γn ∈ Ω òàêàÿ, ÷òî `(Γn ) → `(Γ) ïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Γ ∈ Ω è Γn ∈ Ω íåêîòîðàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü.
Äëÿ êàæäîãî n îïðåäåëèì åñòåñòâåííóþ áèåêöèþ σn ìåæäó âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà V (T ) è ãðàíÿìè ãðàôà F (G): ãðàíè ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà, ëåæàùàÿ âíóòðè Γn -îáðàçà ýòîé ãðàíè.Ïîñêîëüêó áèåêöèé ìåæäó äâóìÿ ÷åòûð¼õòî÷å÷íûìè ìíîæåñòâàìè êîíå÷íîå ÷èñëî, ìû ìîæåì âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé Γnk ñ îäíîé èòîé æå áèåêöèåé σnk =: σ . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïðåäåëüíîé ñåòè Γ0 áèåêöèÿσ óäîâëåòâîðÿåò îïèñàííûì ñâîéñòâàì.Ïóñòü òåïåðü äëÿ ñåòè Γ0 , ðåàëèçóþùåé ãðàô G íà ìíîãîãðàííèêå T ,è äëÿ áèåêöèè σ âûïîëíÿþòñÿ óêàçàííûå â ëåììå ñâîéñòâà. Ïî îïðåäåëåíèþ êàæäîå ðåáðî ñåòè ýòî íåêîòîðàÿ êîíå÷íîçâåííàÿ ëîìàíàÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
