Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ïóñòü P(k1 , . . . , kn ) ìíîæåñòâî ìíîãîãðàííèêîâ ñ n âåð-øèíàìè è êðèâèçíàìè k13π , . . . , kn3π , ãäå ki ∈ Z, ki ≥ 0. Òîãäà ìíîæåñòâîìíîãîãðàííèêîâ, èìåþùèõ ïðîñòóþ ìèíèìàëüíóþ ñåòü, îòêðûòî è âñþäó ïëîòíî â P(k1 , . . . , kn ).Îòêðûòîñòü è âñþäó ïëîòíîñòü çäåñü ïîíèìàåòñÿ îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè íà P(k1 , . . . , kn ), ïîðîæä¼ííîé ñëåäóþùèì îòíîøåíèåì. Äâà ìíîãîãðàííèêà ñ n çàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè ε-áëèçêè , åñëè èõ ìîæíîðàñïîëîæèòü â R3 òàê, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðøèíàìè ìåíüøå ε.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 21 ïðèâåäåíî â ðàçäåëå 3.3.4.3.2.8Ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 }èòåòðàýäðûñêðèâèçíà-Âåðí¼ìñÿ ê ñäåëàííîìó âî ââåäåíèè çàìå÷àíèþ, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü¾íàòÿíóòà íà ìíîãîãðàííèê è íå ñîñêàëüçûâàåò ñ åãî ïîâåðõíîñòè¿. ßñíî, ÷òî íà ëþáîì ìíîãîãðàííèêå ìîæíî íàðèñîâàòü ñêîëüêî óãîäíî íåìèíèìàëüíûõ ñåòåé. Åñòåñòâåííî ñïðîñèòü: à ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñåòÿìè èç ýëàñòè÷íûõ íèòåé, ò.å.
¾êóäà¿ îíè ¾ñîñêàëüçûâàþò¿?Ñîñêàëüçûâàÿ, ñåòü ñîêðàùàåò ñâîþ äëèíó, è åñëè â íåêîòîðûé ¾ðåãóëÿðíûé¿ ìîìåíò ñîñêàëüçûâàíèå ïðåêðàòèòñÿ, òî ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî ñåòüäîñòèãëà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà äëèíû, ò.å. ïðåâðàòèëàñü â ìèíèìàëüíóþñåòü! Îäíàêî ÷àùå òàêîå ñîñêàëüçûâàíèå çàêàí÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî ð¼áðà ñåòè¾íàåçæàþò¿ íà âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, ïåðåõîäÿò ÷åðåç íèõ, è, â êîíöåêîíöîâ, âñÿ ñåòü îêàçûâàåòñÿ âíóòðè îäíîé ãðàíè, ãäå è ñæèìàåòñÿ â òî÷êó àáñîëþòíûé ìèíèìóì äëèíû.Åñëè æå óäà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî íà äàííîì ìíîãîãðàííèêå ¾ñîñêàëüçûâàíèå¿ äîëæíî ¾îñòàíîâèòüñÿ¿, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî íà äàííîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.
Íàïðèìåð, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåáðîñåòè íå ìîæåò ¾íàåõàòü¿ íà âåðøèíó ñ ïîëíûì óãëîì íå áîëüøå π . Íî, ê ñîæàëåíèþ, ìíîãîãðàííèêîâ, ó êîòîðûõ ïîëíûå óãëû âñåõ âåðøèí íå áîëüøåπ (ò.å. êðèâèçíû íå ìåíüøå π ), î÷åíü ìàëî: ýòî ðàâíîãðàííûå òåòðàýäðû èäâàæäû ïîêðûòûé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê; ñ ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìèíà ýòèõ ìíîãîãðàííèêàõ è òàê âñ¼ ÿñíî.55Îïèñàííûå ñîîáðàæåíèÿ îêàçàëèñüïîëåçíû â ñëó÷àå ìíîãîãðàííèêîâ ñ êðèâèç5π π πíàìè { 5π3 , 3 , 3 , 3 }.Òåîðåìà 22.
Íà ëþáîì òåòðàýäðå ñ êðè-5π π πâèçíàìè { 5π3 , 3 , 3 , 3 } ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿìèíèìàëüíàÿ ñåòü, à èìåííî, âñåãäà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ðåàëèçóþùàÿïëîñêèé ãðàô, èçîáðàæ¼ííûé íà ðèñ. 3.7.Ðèñ. 3.7:Ñåòü òàêîãî òèïà ðåàëèçó-åòñÿ íà âñåõ òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíàìè5π π π{ 5π3 , 3 , 3 , 3 }.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìû ïðèâîäèì â ðàçäåëå 3.3.5. Ñåòü,ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé óñòàíàâëèâàåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå, èìååò íàèìåíüøóþ äëèíó ñðåäè ñåòåé íà äàííîì òåòðàýäðå, èìåþùèõ òèï, èçîáðàæ¼ííûéíà ðèñ. 3.7, è ñîäåðæàùèõ âíóòðè êàæäîé ñâîåé ïÿòèóãîëüíîé ÿ÷åéêè îäíóâåðøèíó òåòðàýäðà êðèâèçíû π3 , à âíóòðè êàæäîé îäíîóãîëüíîé ÿ÷åéêè îäíó âåðøèíó êðèâèçíû 5π3 .Îòìåòèì, ÷òî àíàëîã òåîðåìû 22 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà è òåòðàýäðîâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êðèâèçíàìè íåâåðåí.
Íàïðèìåð, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, ðåàëèçóþùàÿ ãðàô, èçîáðàæ¼ííûé íà ðèñ. 3.8, ñóùå- Ðèñ. 3.8: Ñåòü òàêîãî òèïàñóùåñòâóåòÍÅíàâñåõñòâóåò íå íà âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ êðèâèçíà- òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíà4π 2π 2π4π 4π 2π 2πìè { 4π3 , 3 , 3 , 3 }. Îòêðûò ñëåäóþùèé âîïðîñ ìè { 3 , 3 , 3 , 3 }.(èìåþùèé ñìûñë ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà 3): âåðíî ëè, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñåìåéñòâà ìíîãîãðàííèêîâ ñ ôèêñèðîâàííûìè êðèâèçíàìè, êðàòíûìè π3 (ò.å.
ìíîæåñòâà P(k1 , . . . , kn ), ââåä¼ííîãîâ ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 21), ñóùåñòâóåò ïëîñêèé ãðàô, ðåàëèçóþùèéñÿêàê ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ýòîãî ñåìåéñòâà.3.3Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðî ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ3.3.1Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.6 î äëèíàõ ñòîðîí ãåîäåçè÷åñêîãîìíîãîóãîëüíèêàÏðè n = 6 èç ôîðìóëû Ãàóññà-Áîííå (ëåììà 3.2) âûòåêàåò, ÷òî ñóììàðíàÿêðèâèçíà âåðøèí âíóòðè øåñòèóãîëüíèêà ñ óãëàìè ïî 120◦ äîëæíà áûòüðàâíà íóëþ, ò.å. ðå÷ü èä¼ò î ïëîñêîì øåñòèóãîëüíèêå ñ óãëàìè ïî 120◦ èçàäàííûìè äëèíàìè ñòîðîí.
Ïóñòü a1 + a2 = a4 + a5 è a2 + a3 = a5 + a6 .Ðàññìîòðèì ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a1 + a2 + a3 è îòðåæåìîò íåãî òðè óãëà â âèäå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè a1 , a3è a5 . Èç ðàâåíñòâ a1 + a2 + a3 = a3 + a4 + a5 = a5 + a6 + a1 ñëåäóåò,56÷òî ïîëó÷èâøèéñÿ øåñòèóãîëüíèê áóäåò èìåòü òðåáóåìûå äëèíû ñòîðîí.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â îáðàòíóþ ñòîðîíó íóæíî, íàîáîðîò, äîñòðîèòü øåñòèóãîëüíèê äî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Ïóíêòû 2 è 3 ëåììû â ýòîìñëó÷àå î÷åâèäíû.Ïðè n < 6 ñóììàðíàÿ êðèâèçíà òî÷åê âíóòðè n-óãîëüíèêà ñ óãëàìè◦120 ðàâíà 2π − π3 n (ëåììà 3.2). Èç òåîðåìû 8 êíèãè [1, ãë. 5, 1] âûòåêàåò, ÷òî åñëè äëÿ äàííûõ äëèí ñòîðîí è óãëîâ ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêèéìíîãîóãîëüíèê, òî ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãîóãîëüíèê, ñîäåðæàùèé âíóòðèñåáÿ åäèíñòâåííóþ âåðøèíó ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû (ñì.
òàêæå ñíîñêóê äîêàçàòåëüñòâó ýòîé òåîðåìû 8 êíèãè [1, ãë. 5, 1]). Ïîýòîìó ïóíêò 2ëåììû 3.6 âûòåêàåò èç ïóíêòà 1, è äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà 1 äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ìíîãîóãîëüíèêè, ñîäåðæàùèå ðîâíî îäíó âåðøèíóïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ (êðîìå ëåììû 3.7)âî ìíîãîì àíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâó òîé æå òåîðåìû 8 êíèãè [1, ãë.
5, 1], íî ìû ïðèâîäèì èõ äëÿ ïîëíîòû.Ïóñòü äëÿ äàííûõ a1 , . . . , an ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê A1 A2 . . . An , ∠Ai = 120◦ , ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ åäèíñòâåííóþ âåðøèíó ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû X . ×åðåç γi îáîçíà÷èì êðàò÷àéøóþ âíóòðè ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùóþ X è Ai (γi ñóùåñòâóþò è ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè, ñì. ëåììó 3.3). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â íàøåì ñëó÷àåγi îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî è íå ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Òðåóãîëüíèêè Ai Ai+1 X , îãðàíè÷åííûå γi , γi+1 è ñòîðîíîé Ai Ai+1 , íå ñîäåðæàò âíóòðèñåáÿ âåðøèí íåíóëåâîé êðèâèçíû, è ïîòîìó èçîìåòðè÷íû òðåóãîëüíèêàìíà ïëîñêîñòè.
Íàðèñóåì ýòè òðåóãîëüíèêè íà ïëîñêîñòè ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíà÷àëà A01 X 0 A02 (èçîìåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó A1 XA2 ), çàòåì A02 X 0 A03(èçîìåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó A2 XA3 , ïî äðóãóþ ñòîðîíó îò îòðåçêà A02 X 0 ),è ò.ä., à ïîñëåäíèé òðåóãîëüíèê, èçîìåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó An XA1 , îáîçíà÷èì ÷åðåç A0n X 0 A001 . Òîãäà ñóììàðíûé óãîë òðåóãîëüíèêîâ ïðè âåðøèíåX 0 ðàâåí ïîëíîìó óãëó ìíîãîãðàííîé ìåòðèêè â âåðøèíå X , ò.å. π3 n. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî òðåóãîëüíèêè íå ïåðåêðûâàþòñÿ, è èõ îáúåäèíåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âëîæåííûé (n + 2)-óãîëüíèê íà ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííûéçàìêíóòîé ëîìàíîé A01 A02 . . . A0n A001 X 0 A01 , ïðè÷¼ì |A01 X 0 | = `(γ1 ) = |A001 X 0 |,∠A0i = 120◦ , i = 2, . .
. , n, |A01 A02 | = a1 , |A0i A0i+1 | = ai , |A0n A001 | = an , ∠X 0 =π3 n. Îáðàòíî, åñëè òàêîé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê äëÿ äàííûõ a1 , . . . , anñóùåñòâóåò, òî çàäàâ íà í¼ì ñêëåéêó A01 X 0 ≡ A001 X 0 , ïîëó÷èì ðàçâ¼ðòêóòðåáóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Èòàê, ïóíêò 1 ëåììû 3.6 ðàâíîñèëåí ñëåäóþùåé ëåììå 3.7.Ëåììà 3.7. Ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê A01 A02 . . . A0n A001 X 0 ñî ñâîéñòâàìè|A01 A02 | = a1 , |A0i A0i+1 | = ai , |A0n A001 | = an , |A01 X 0 | = |A001 X 0 |, ∠A0i = 120◦ , i =2, . . .
, n, ∠X 0 = π3 n ñóùåñòâóåò ïðè n ≤ 3 : äëÿ ëþáûõ ai > 0, à ïðèáîëüøèõ n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà57Ðèñ. 3.9: öåíòðå:α > 30◦ ⇔ 2( a21 + a2 + a3 ) > a4 + a3 ;ñïðàâà:β > 60◦ ⇔ a5 < a2 + a3 .ïðè n = 4 : ai < ai+1 + 2ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 4 (ñ÷èòàåì ai+4 = ai äëÿâñåõ i);ïðè n = 5 : ai < ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 5 (ñ÷èòàåì ai+5 = ai äëÿ âñåõ i).Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 3.7, çàìåòèì,÷òî ëîìàíàÿ A01 A02 . . . A0n A001 îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ äëèíàìè ñâîèõ ñòîðîí(a1 , . . . , an ) è (îðèåíòèðîâàííûìè) óãëàìè (âñå ïî 120◦ ).
Ïîëîæåíèå òî÷êèX 0 òîæå îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ýòî âåðøèíà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ äàííûì îñíîâàíèåì è óãëîì. Çíà÷èò, íàáîð a1 , . . . , an îäíîçíà÷íîçàäà¼ò ïîñòðîåííóþ íàìè ðàçâ¼ðòêó ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà, à çíà÷èò è ñàì ìíîãîóãîëüíèê, ò.å. äîêàçàí ïóíêò 3 ëåììû 3.6.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.7.
Äëÿ çàäàííûõ a1 , . . . , an ðàññìîòðèìïëîñêóþ ëîìàíóþ A01 A02 . . . A0n A001 ñ äàííûìè äëèíàìè ñòîðîí è óãëàìè ïî120◦ , à çàòåì ïîñòðîèì òî÷êó X 0 êàê âåðøèíó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà A01 A001 X 0 ñ íóæíûì óãëîì X 0 . Ïðè n = 1, 2, 3 âíóòðåííèé óãîë X 0ëîìàíîé A01 A02 . . . A0n A001 X 0 ðàâåí πn3 ≤ π , ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî ëîìàíàÿ0 00 00 0 0A1 A2 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
