Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òîãäà ìíîãîãðàííèê Pt äîëæåí èìåòü ðîâíî òðè âåðøèíû òåõ æå êðèâèçí, ÷òî è èñõîäíûé äâàæäûïîêðûòûé òðåóãîëüíèê P0 , à çíà÷èò, Pt ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò P0 òîëüêîðàñòÿæåíèåì ñ íåêîòîðûì êîýôôèöèåíòîì kt . Çíà÷èò, êàæäûé âçâåøåííûé ãðàô èç ñåìåéñòâà (G, k1t wt ) ðåàëèçóåòñÿ íà P0 êàê ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Îáîçíà÷èì ýòó ñåòü ÷åðåç Γt . Íàì îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêàÿäåôîðìàöèÿ Γt íåïðåðûâíà.
Êîýôôèöèåíò kt íåïðåðûâåí, òàê êàê îí ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè ðàçâ¼ðòêè, à îíà íåïðåðûâíî çàâèñèò îò wt , ïîýòîìóñåìåéñòâî âçâåøåííûõ ãðàôîâ (G, k1t wt ) íåïðåðûâíî. Çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò t (â ñìûñëå òîïîëîãèèèç ëåììû 3.1). Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ðàçâ¼ðòêå (ìíîãîãðàííîé ìåòðèêå) ïàðó (èçîìåòðè÷íûé åé ìíîãîãðàííèê, ãðàíèöû ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàçâ¼ðòêè, íàðèñîâàííûå íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå). Âñèëó ëåììû 3.1 ýòî îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíî (îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè âîáðàçå, ñ÷èòàþùåé áëèçêèìè áëèçêèå ìíîãîãðàííèêè ñ áëèçêèì ðàçáèåíèåì íà ìíîãîóãîëüíèêè ðàçâ¼ðòêè).
 íàøåì ñëó÷àå îáðàç ãðàíèö ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàçâ¼ðòêè ýòî ñåòü, îòêóäà è âûòåêàåò, ÷òî Γt íåïðåðûâíîçàâèñèò îò t.Çàìå÷àíèå 3. Èç òåîðåì 8 è 10 âûòåêàåò, ÷òî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà äâà-æäû ïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêàõ îäíîçíà÷íî (ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîé äåôîðìàöèè) ñîîòâåòñòâóþò 3-âàëåíòíûì ïëîñêèì ãðàôàì ñ òðåìÿ ãðàíÿìè ñòåïåíè ìåíüøå 6 è îñòàëüíûìè ãðàíÿìè ñòåïåíè ðîâíî 6. Èëè, ýêâèâàëåíòíî, äâîéñòâåííûì ãðàôàì, ò.å. (ðàññìàòðèâàåìûì ñ òî÷íîñòüþäî ãîìåîìîðôèçìà ñôåðû) òðèàíãóëÿöèÿì ñôåðû, âñå âåðøèíû êîòîðûõ,çà èñêëþ÷åíèåì òð¼õ, èìåþò ñòåïåíü 6, à òðè îñòàâøèåñÿ èìåþò ñòåïåíè (1, 2, 3), (2, 2, 2) èëè (1, 1, 4). Ìíîæåñòâî òàêèõ òðèàíãóëÿöèé, êàê óæåîòìå÷àëîñü âî ââåäåíèè, èçó÷åíî â ðàáîòå [35]. ñëó÷àå ìíîãîãðàííèêîâ ñ òðåìÿ âåðøèíàìè ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîñòðîåíèÿ òðèàíãóëÿöèé, îïèñàííàÿ â [35], îêàçûâàåòñÿ ñîâñåìïðîñòîé è äà¼ò ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìû ôîðìóëèðóåì â ñëåäñòâèè 6 ïîñëåêðàòêîãî îïèñàíèÿ êîíñòðóêöèè.Êîíñòðóêöèÿ.
Âîçüì¼ì ëþáóþ èç èçîáðàæ¼ííûõ íà ðèñ. 3.1 ðàçâ¼ðòîê (ìû âîçüì¼ì ¾÷èñòóþ¿ ðàçâ¼ðòêó, áåç íàðèñîâàííîé íà íåé ñåòè) èïîìåñòèì å¼ íà ïëîñêîñòü, ðàçáèòóþ íà ïðàâèëüíûå øåñòèóãîëüíèêè, òàê,÷òîáû âñå âåðøèíû ðàçâ¼ðòêè îêàçàëèñü â öåíòðàõ øåñòèóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ. ¾Âûðåæåì¿ ðàçâ¼ðòêó èç ïëîñêîñòè è ñêëåèì äâàæäû ïîêðûòûéòðåóãîëüíèê T . Ïîïàâøèå íà ðàçâ¼ðòêó ¾ñëåäû¿ øåñòèóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ ïðåâðàòÿòñÿ â ìèíèìàëüíóþ ñåòü íà T .Ñëåäñòâèå 6. Ëþáàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà äâàæäû ïîêðûòîì òðåóãîëü-íèêå ìîæåò áûòü ëèíåéíîé äåôîðìàöèåé â êëàññå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé46ïåðåâåäåíà â ìèíèìàëüíóþ ñåòü, ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ýòîé êîíñòðóêöèè.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîãðàííèêà àíàëîãè òåîðåìû 10 è çàìå÷àíèÿ 3 íåâåðíû äàæå â ñëó÷àå ïðîñòûõ ñåòåé, ÷òî è äåëàåò çàäà÷ó î ìèíèìàëüíûõ ñåòÿõ íà ìíîãîãðàííèêàõ íå òîëüêî êîìáèíàòîðíîé, íî è ãåîìåòðè÷åñêîé.Çàìå÷àíèå 4.
Äâàæäû ïîêðûòûå òðåóãîëüíèêè4π 4π4π 5πñ êðèâèçíàìè { 4π3 , 3 , 3 } è {π, 3 , 3 } äîïóñêàþòðàçâåòâë¼ííûå íàêðûòèÿ ïëîñêèì òîðîì, ñêëååíûì èç ðîìáà ñ óãëîì π3 (ñì. ðèñ. 3.2). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà òàêèõ ìíîãîãðàííèêàõ ïðè ïîìîùè ïîäíÿòèÿ êàíîíè÷åñêè ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà â ìèíèìàëüíóþ ñåòü íà ýòîìïëîñêîì òîðå. Îáðàòíî, âñå ìèíèìàëüíûå ñåòè íàýòîì ïëîñêîì òîðå, îáëàäàþùèå îïðåäåë¼ííûìèñèììåòðèÿìè, ïðîåöèðóþòñÿ â ìèíèìàëüíûå ñåòè íà äâàæäû ïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêàõ. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðè æåëàíèè ¾ñïðîåöèðîâàòü¿ îïèñàííóþâ [8, 14] êëàññèôèêàöèþ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà Ðèñ.
3.2: Íàêðûòèÿ òîðîì.ïëîñêèõ òîðàõ è ïîëó÷èòü êëàññèôèêàöèþ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà äâóõóêàçàííûõ äâàæäû ïîêðûòûõ òðåóãîëüíèêàõ. Ìû íå áóäåì ýòèì çàíèìàòüñÿ, òàê êàê â ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ ýòî ôàêòè÷åñêè ïðèâåä¼òê ÷àñòíûì ñëó÷àÿì îïèñàííîé â [35] êëàññèôèêàöèè.3.2.4Ìèíèìàëüíûå ñåòè íà òåòðàýäðàõÂûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè ýòî ëèáî òåòðàýäð, ëèáî äâàæäû ïîêðûòûé âûïóêëûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê. Íèæå ìû áóäåì äîïóñêàòü âîëüíîñòü ðå÷è è íàçûâàòü òåòðàýäðàìè âñå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêèñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè.Òåîðåìà 11. Åñëè íà ïîâåðõíîñòè òåòðàýäðà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿñåòü, òî íàáîð ïîëíûõ óãëîâ òåòðàýäðà èìååò îäèí èç ñåìè âèäîâ:(ðàâíîãðàííûå) {π, π, π, π}(1-1) {π/3, π/3, α, β}(1-2) {π/3, 2π/3, α, β}(1-3) {π/3, π, α, β}(1-4) {π/3, 4π/3, α, β}(2-2) {2π/3, 2π/3, α, β}(2-3) {2π/3, π, α, β}47Çàìå÷àíèå 5.
Çäåñü α, β ïîëíûå óãëû âåðøèí, ïðî êîòîðûå â òåîðåìåíè÷åãî íå óòâåðæäàåòñÿ. Íàïèñàííîå â êðóãëûõ ñêîáêàõ ñî÷åòàíèå öèôðáóäåì íàçûâàòü òèïîì ñîîòâåòñòâóþùåãî òåòðàýäðà. Îäèí è òîò æå òåòðàýäð ìîæåò ïðèíàäëåæàòü íåñêîëüêèì òèïàì.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìèíàåì òåîðåìó 6. Ïîñêîëüêó âåðøèí ÷åòûðå è èõñóììàðíàÿ êðèâèçíà ðàâíà 4π , âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: 1) êðèâèçíà êàæäîé âåðøèíû êðàòíà π3 , 2) êðèâèçíû äâóõ âåðøèí êðàòíû π3 , à êðèâèçíûäâóõ äðóãèõ â ñóììå äàþò ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì 2π .  âàðèàíòå (1) ëèáîñóììà êðèâèçí ëþáûõ äâóõ âåðøèí ðàâíà 2π , è òîãäà êðèâèçíà êàæäîéâåðøèíû òåòðàýäðà ðàâíà π , à ýòî îçíà÷àåò [12, çàäà÷à 2.32], ÷òî òåòðàýäð ðàâíîãðàííûé (âñå åãî ãðàíè ðàâíûå òðåóãîëüíèêè).
Ëèáî, òàê æåêàê è â âàðèàíòå (2), íàéä¼òñÿ ïàðà âåðøèí ñ êðèâèçíàìè, êðàòíûìè π3 , èñóììàðíîé êðèâèçíîé áîëüøå 2π . Ïðîñòûì ïåðåáîðîì ïîëó÷àåì, ÷òî ïàðà5π 5π4πêðèâèçí ýòèõ âåðøèí ìîæåò ïðèíèìàòü øåñòü çíà÷åíèé ( 5π3 è 3 , 3 è 3 ,5π5π2π 4π4π 4π3 è π , 3 è 3 , 3 è 3 , 3 è π ). Èì ñîîòâåòñòâóþò øåñòü ïàð ïîëíûõ óãëîâ,óêàçàííûõ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû.Cëåäóþùèé íåñëîæíûé ôàêò ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç êëàññèôèêàöèèìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ [8, 15].Òåîðåìà 12. Íà ëþáîì ìíîãîãðàííèêå ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè è êðèâèç-íàìè {π, π, π, π} ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Òåîðåìà 13.
Íà âñåõ òåòðàýäðàõ, êðîìå íåêîòîðûõ òåòðàýäðîâ òèïà1-4, ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà 14. Åñëè ó ìíîãîãðàííèêà åñòü äâå âåðøèíû A è B êðèâèçí5π4π 5π4π 4π5π4π1) 5π3 , 3 , 2) 3 , 3 , 3) 3 , 3 , 4) π, 3 , èëè 5) π, 3 , òî íà ýòì ìíîãîãàðííèêå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé A-B ãåîäåçè÷åñêîé íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñåòü,ðàñïîëîæåííàÿ â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ýòîé ãåîäåçè÷åñêîé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ëþáóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ , ñîåäèíÿþùóþ äâåäàííûå âåðøèíû (õîòÿ áû îäíà òàêàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ âñåãäà ñóùåñòâóåò, ñì.ñëåäñòâèå 4). Ðàññìîòðèì ìàëîå ε òàêîå, ÷òî îêðåñòíîñòü Bε (γ) íå ñîäåðæèò äðóãèõ âåðøèí ìíîãîãðàííèêà. Âûïóñòèì èç âåðøèíû A ëó÷ ãåîäåçè÷åñêîé γA , ñîñòàâëÿþùèé ðàâíûå óãëû ñ ãåîäåçè÷åñêîé γ (óãëû èçìåðÿþòñÿ âî âíóòðåííåé ìåòðèêå íà ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà), è ïðîâåä¼ìýòîò ëó÷ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàíèöåé îêðåñòíîñòè Bε (γ).
Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì ëó÷ γB èç âåðøèíû B . Ñäåëàåì ðàçðåç ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêàâäîëü äâóõ ïðîâåä¼ííûõ ëó÷åé. Ìíîæåñòâî Bε (γ) \ γA \ γB ãåîäåçè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê, íå ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ âåðøèí ìíîãîãðàííèêà,48Ðèñ. 3.3: Ìèíèìàëüíûå ñåòè, ðàñïîëîæåííûå â ε-îêðåñòíîñòè ãåîäåçè÷åñêîé, ñîåäèíÿþùåé ïàðó âåðøèí ìíîãîãðàííèêà. Ðÿäîì ñ êàæäîé âåðøèíîé óêàçàíà å¼ êðèâèçíà.ïîýòîìó åãî ìîæíî ¾ðàçâåðíóòü íà ïëîñêîñòü¿, áîëåå òîãî, âî âñåõ íàøèõ ïÿòè ñëó÷àÿõ îí èçîìåòðè÷åí ïëîñêîìó âëîæåííîìó ìíîãîóãîëüíèêó,ñì. ðèñ.
3.3. Íà ëåâîé âåðõíåé êàðòèíêå èçîáðàæ¼í ñëó÷àé âåðøèí ñ êðè5πâèçíàìè 5π3 , 3 è îòìå÷åíû âñå âåðøèíû ïîëó÷èâøåãîñÿ ìíîãîóãîëüíèêà.Îòðåçîê AB ãåîäåçè÷åñêàÿ γ , îòðåçêè AA1 , AA2 ñîîòâåòñòâóþò ðàçðåçóâäîëü γA , BB1 , BB2 ðàçðåçó âäîëü γB , ãðàíèöà îêðåñòíîñòè Bε (γ) ñîñòîèò èç äâóõ îòðåçêîâ A1 B1 è A2 B2 . Âî âñåõ ïÿòè ñëó÷àÿõ íà ðèñóíêåèçáðàæ¼í ïðèìåð ìèíèìàëüíîé ñåòè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ñêëåèâàíèèèçîáðàæ¼ííûå ñåòè ïðåâðàùàþòñÿ â ìèíèìàëüíóþ ñåòü íà ìíîãîãðàííèêåè ÷òî ïîñòðîåíèå ýòèõ ñåòåé âîçìîæíî â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè îòðåçêà AB , ò.å. ãåîäåçè÷åñêîé γ .Êàê óæå áûëî ñêàçàíî â ðàçäåëå 3.2.1, íà íåêîòîðûõ òåòðàýäàõ òèïà(1-4) ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íåò.
Ìû äîêàæåì ýòîò ôàêò â ðàçäåëå 3.2.5(òåîðåìà 19). À ñåé÷àñ ïðèâåä¼ì ïðèìåð òåòðàýäðîâ ýòîãî òèïà, èìåþùèõìèíèìàëüíóþ ñåòü.Òåîðåìà 15. Ñóùåñòâóþò òåòðàýäðû òèïà (1-4), íå ïðèíàäëåæàùèåäðóãèì òèïàì, íà êîòîðûõ åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñåòü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â òåòðàýäðå ABCD ïîëíûå óãëû ïðè âåðøèíàõB è A ðàâíû π/3 è 4π/3 è âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå: ðåáðî AB ñî-49Ðèñ. 3.4: Òåòðàýäð òèïà (1-4): ïðèìåð ñ ìèíèìàëüíîé ñåòüþ. Íà ðàçâ¼ðòêå ïóíêòèðîìîòìå÷åíû ð¼áðà òåòðàäðà.
 èçîáðàæ¼ííîì ñëó÷àå òî÷êà X ñåðåäèíà ðåáðà CD.ñòàâëÿåò ñ ð¼áðàìè AC è AD óãëû, áîëüøèå π/6. Òîãäà íà ýòîì òåòðàýäðå, ñì. ðèñ. 3.4. Ïî ýòîìó ðèñóíêó, â ÷àñòíîñòè,ñóùåñòâóåò ñåòü òèïàâèäíî, ÷òî òåòðàýäðû òèïà (1-4), îáëàäàþùèå óêàçàííûì óñëîâèåì, ñóùåñòâóþò. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 16. Åñëè êðèâèçíû âñåõ âåðøèí ìíîãîãðàííèêà ñ ÷åòûðüìÿ âåð-øèíàìè êðàòíû π3 , òî íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿñåòü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äâå âåðøèíû ñ íàèáîëüøèìè êðèâèçíàìè.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà ÷åòûð¼õ êðèâèçí ðàâíà 4π , ïîëó÷àåì, ÷òî äâå íàèáîëüøèõ êðèâèçíû ìîãóò áûòü ðàâíû ëèáî π, π (â ñëó÷àå ðàâíîãðàííîãî4π 4π5π5π 4π5π 5πòåòðàýäðà), ëèáî 4π3 , π , ëèáî 3 , 3 , ëèáî 3 , π , ëèáî 3 , 3 , ëèáî 3 , 3 .
Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ âûòåêàåò èçðàáîòû [14] (òåîðåìà 12).,;, à âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ èç òåîðåìû 13(èëè èç òåîðåìû 14).3.2.5Ñèñòåìà ðàçðåçîâ: ãåîìåòðè÷åñêîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå.Ïóñòü ìíîãîãðàííèê P óäîâëåòâîðÿåò íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ èç òåîðåìû 6. Ðàññìîòðèì êàêîå-íèáóäü èç ðàçáèåíèé ìíîæåñòâà V åãî âåðøèííà ïîäìíîæåñòâà V1 t . . . t Vs , ïîäõîäÿùèå ïîä ýòî óñëîâèå. Êàê íàéòè ìèíèìàëüíóþ ñåòü, ðàçáèâàþùóþ âåðøèíû ýòèì ñïîñîáîì (èëè óáåäèòüñÿ,÷òî òàêîé ñåòè íåò)? Äëÿ êàæäîãî Vi ìû çíàåì, ÷òî åãî âåðøèíû äîëæíûñîäåðæàòüñÿ â îäíîé ki -óãîëüíîé ÿ÷åéêå ñåòè, ãäå ki îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîPiøåíèåì v∈Vi k(v) = 2π − 2πk3 (ëåììà 3.5). Íàøà çàäà÷à ¾íàðèñîâàòü¿50¾âîêðóã¿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Vi ñâîé ki -óãîëüíèê Ui (ÿ÷åéêó) òàê, ÷òîáûèõ âíóòðåííîñòè íå ïåðåñåêàëèñü ìåæäó ñîáîé, è, áîëåå òîãî, ÷òîáû îáúåäèíåíèå ãðàíèö âñåõ Ui ìîæíî áûëî, âîçìîæíî, äîáàâèâ íåêîòîðûå ð¼áðà, ïðåâðàòèòü â ìèíèìàëüíóþ ñåòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
