Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ ðàññìîòðèì óíèâåðñàëüíîå ëîêàëüíî èçîìåòðè÷íîå íàêðûòèå ïðîñòðàíñòâà X è ïîäíÿòèå ãîìîòîïèè σs êðèâîé σ0 .  íàêðûâàþùåì ïðîñòðàíñòâå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîîáðàçàìè òî÷åê α(s), β(s) áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíî äëèíå åäèíñòâåííîé ñîåäèíÿþùåé èõ ãåîäåçè÷åñêîé, ò. å. äëèíå ïðîîáðàçà ïóòè σs (ñì. ëåììó 2.3).Íî ïðè ïðîåêöèè äëèíû ïóòåé ñîõðàíÿþòñÿ, ïîýòîìó ýòî ðàññòîÿíèå ðàâíîäëèíå êðèâîé σs . Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ëåììó 2.4.Ãåîäåçè÷åñêîé ñåòüþ áóäåì íàçûâàòü ñåòü, êàæäîå ðåáðî êîòîðîé èëè íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçîâàííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, èëè ïîñòîÿííàÿ (òî÷å÷íàÿ) êðèâàÿ.
Èçâåñòíî (ñì. [8]), ÷òî íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè âñÿêàÿëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé, ò. å. ÷òî äëÿ ëþáîéäåôîðìàöèèΓt ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè Γ0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîddt `(Γt ) t=0 > 0, åñëè ýòà ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò. Ñëåäóþùàÿ ëåììà ýòîíåêîòîðûé àíàëîã ýòîé òåîðåìû äëÿ ïðîñòðàíñòâ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.Ëåììà 2.5.
Ïóñòü Ht , t ∈ [0, 1], ïàðàìåòðè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ â êëàñ-ñå ãåîäåçè÷åñêèõ ñåòåé ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè H0 â ïðîñòðàíñòâåíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû, ïðè÷åì äëÿ êàæäîé âåðøèíû v ïàðàìåòðèçóþùåãî ãðàôà êðèâàÿ Ht (v) èëè òî÷å÷íàÿ, èëè ãåîäåçè÷åñêàÿ, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ ïðîïîðöèîíàëüíî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó. Òîãäà ñóùåñòâóåò è íåîòðèöàòåëüíà ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ äëèíû ñåòè :d`(Ht ) > 0.dtt=0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G ãðàô, ïàðàìåòðèçóþùèé íàøè ñåòè.
ÒîãäàX`(Ht ) =`(Ht (e)).e∈E(G)Ðàññìîòðèìd`(Ht (e))dtt=0äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ðåáðà e ñ êîíöàìè v1 , v2 . Åñëè ðåáðî H0 (e) íå òî÷å÷íîå, òî ìîæíî íàïðÿìóþ ïðèìåíèòü ôàêò, ïðèâåäåííûé â [3, òåîðåìà4.5.6, óïðàæíåíèå 4.5.10], è ïîëó÷èòü, ÷òî ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåòè ðàâíàd`(Ht (e)) = −k1 cos α1 − k2 cos α2 ,dtt=023ãäå kj = `(Ht (vj )) (äëèíà êðèâîé, îíà æå ðàâíà ¾ñêîðîñòè¿, ò. å. êîýôôèöèåíòó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó íàøèì ïàðàìåòðîì íà êðèâîé è íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì), à αj óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè H0 (e) è Ht (vj )â òî÷êå H0 (vj ).Åñëè æå H0 (e) òî÷å÷íàÿ êðèâàÿ, òî íàì äîñòàòî÷íî òîãî ôàêòà,÷òî ïðîèçâîäíàÿd`(Ht (e))dtt=0ñóùåñòâóåò.
Äîêàæåì ýòî. Ïóñòü e = v1 v2 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç êðèâûõHt (v1 ), Ht (v2 ) òî÷å÷íàÿ, òî íàøå ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé î÷åâèäíî(ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ëèíåéíà). Ïóñòü òåïåðü Ht (v1 ), Ht (v2 ) íåâûðîæäåííûå ãåîäåçè÷åñêèå, òîãäà îïðåäåëåíà âåëè÷èíà ϕ óãëà ìåæäó íèìè, ðàâíàÿïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëó âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ â òðåóãîëüíèêàõñðàâíåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, îíà ðàâíà ïðåäåëó âåëè÷èí óãëîâ ïëîñêèõ òðåóãîëüíèêîâ ñ äëèíàìè ñòîðîí `(Ht (e)), k1 t, k2 t (îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî èâûøå), à óãëû ïëîñêèõ òðåóãîëüíèêîâ ëåãêî ïîñ÷èòàòü ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ. Òîãäà(k1 t)2 + (k2 t)2 − (`(Ht (e)))2cos ϕ = lim,t→0+2k1 k2 t2îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðåäåë`(Ht (e))t→0+tlimpñóùåñòâóåò (è ðàâåí k12 + k22 − 2k1 k2 cos ϕ).Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v ∈ V (G) ðàññìîòðèì ïðîîáðàçH0−1 (H0 (v)).Ýòî íåêîòîðûé ñâÿçíûé ïîäãðàô ãðàôà G, âñå ðåáðà êîòîðîãî ðåàëèçîâàíûòî÷å÷íûìè êðèâûìè â ñåòè H0 , â òîì ÷èñëå ýòîò ïîäãðàô ìîæåò îêàçàòüñÿ ñàìîé âåðøèíîé v .
Êàæäûé òàêîé ïîäãðàô áóäåì íàçûâàòü òî÷å÷íîéêîìïîíåíòîé.Èòàê, ïðîèçâîäíàÿ äëèíû ñåòè ñóùåñòâóåò è ðàñêëàäûâàåòñÿ â ñóììó ïðîèçâîäíûõ äëèí ðåáåð. Ïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ ðåáðà íåíóëåâîé äëèíûåñòü ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ çàâèñèò îò îäíîãî èç êîíöîâ ýòîãî ðåáðà. Ïåðåãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå:Xd`(Ht (e)) =∆(τ ),dtt=0τãäå τ ïðîáåãàåò âñåâîçìîæíûå òî÷å÷íûå êîìïîíåíòû ñåòè H0 , à ∆(τ ) ñóììà ïðîèçâîäíûõ íóëåâûõ ðåáåð êîìïîíåíòû τ è ñëàãàåìûõ âèäà24−k cos α, ñîîòâåòñòâóþùèõ ëåæàùèì â τ êîíöàì íåâûðîæäåííûõ ðåáåðñåòè H0 .Òåïåðü áóäåì äîêàçûâàòü íàøó ëåììó îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì,÷òîd`(Ht (e)) < 0,dtt=0òîãäà íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ òî÷å÷íàÿ êîìïîíåíòà τ òàêàÿ, ÷òî ∆(τ ) < 0.Âðåìåííî ñäåëàåì ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ñåòè H0 òàê, ÷òîáû â íåé íå áûëîðåáåð íóëåâîé äëèíû. Òîãäà â òó òî÷êó, â êîòîðóþ îòîáðàæàëàñü òî÷å÷íàÿêîìïîíåíòà τ , áóäåò îòîáðàæàòüñÿ ðîâíî îäíà âåðøèíà ñåòè, îáîçíà÷èì åå÷åðåç v .
Ïî îïðåäåëåíèþ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè íåêîòîðàÿ ëîêàëüíàÿñåòü Γloc ñ öåíòðîì â âåðøèíå v ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Ñäåëàåì ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ñåòè Γloc òàê, ÷òîáû âìåñòî âåðøèíû v ñíîâà áûëà òî÷å÷íàÿêîìïîíåíòà τ , è ñäåëàåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ Γloc t ýòîé ñåòè,ïðè êîòîðîé âåðøèíû êîìïîíåíòû τ äâèæóòñÿ ïî òåì æå êðèâûì, ÷òî è âñëó÷àå èñõîäíîé äåôîðìàöèè ñåòè H0 , ãðàíè÷íûå âåðøèíû ñåòè Γloc íåïîäâèæíû, à âñå ðåáðà â ïðîöåññå äåôîðìàöèè ðåàëèçóþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìèèç íóæíîãî ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà (òàêèå ãåîäåçè÷åñêèå îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, ñì. ñëåäñòâèå 2). Òîãäà èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé ÿñíî,÷òîd`(Γloc t ) = ∆(τ ),dtt=0íî ∆(τ ) < 0 ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî`(Γloc t ) < `(Γloc )ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ t, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó ôàêòó, ÷òî ñåòü Γloc êðàò÷àéøàÿ. Ëåììà äîêàçàíà.Òåïåðü ïåðåéäåì ê îñíîâíîé çàäà÷å ýòîãî ðàçäåëà äîêàçàòåëüñòâóòåîðåìû 3. Ïóñòü Γ äàííàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü â ïðîñòðàíñòâå X . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ñåòè Γ è ïðîèçâîëüíóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ, ïåðåâîäÿùóþ ñåòü Γ â íåêîòîðóþñåòü, êîòîðóþ ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Γ0 .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñåòè Γ èΓ0 ïàðàìåòðèçîâàíû ãðàôîì G. Íàøà öåëü ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ñåòèΓ0 íåêîòîðóþ äåôîðìàöèþ Ht ñåòè H0 = Γ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿìëåììû 2.5, è èç íåðàâåíñòâàd`(Ht ) > 0dtt=0íåêîòîðûì îáðàçîì âûâåñòè, ÷òî`(Γ0 ) > `(Γ),25÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå.Äëÿ êàæäîãî íåâûðîæäåííîãî â ñåòè Γ0 ðåáðà e ∈ E(G) ñ êîíöàìèu, v ðàññìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ ñ êîíöàìè Γ0 (u), Γ0 (v) èç ãîìîòîïè÷åñêîãîêëàññà êðèâîé Γ0 (e), îáîçíà÷èì åå ÷åðåç Γ1 (e) (ñì. ñëåäñòâèå 2). Ñäåëàåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ ñåòè Γ0 , íåïîäâèæíóþ íà âåðøèíàõ èâûðîæäåííûõ ðåáðàõ è ïåðåâîäÿùóþ êàæäîå íåâûðîæäåííîå ðåáðî Γ0 (e)â ñîîòâåòñòâóþùóþ ãåîäåçè÷åñêóþ Γ1 (e). Ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ñåòüîáîçíà÷èì ÷åðåç Γ1 .ßñíî, ÷òî ñåòü Γ1 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé èç ñåòè Γ.
Îáîçíà÷èì òàêóþ äåôîðìàöèþ ÷åðåç Γs , s ∈ [0, 1]. Äëÿêàæäîé âåðøèíû v ∈ V (G) ðàññìîòðèì ïóòü Γs (v). ×åðåç γv (s) îáîçíà÷èì ãåîäåçè÷åñêóþ ñ òåìè æå êîíöàìè èç òîãî æå ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà,ïàðàìåòðèçîâàííóþ îòðåçêîì [0, 1] ïðîïîðöèîíàëüíî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó (ñëåäñòâèå 2).Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ E(G) ñ êîíöàìè v1 , v2 è äëÿ êàæäîãîs ∈ [0, 1] ðàññìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ ñ êîíöàìè γv1 (s) è γv2 (s) èç ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà êðèâîé(γv1 (t) [0,s] )−1 ◦ Γ(e) ◦ (γv2 (t) [0,s] ),ãäå ÷åðåç ◦ îáîçíà÷åíî ïðîèçâåäåíèå ïóòåé. Ýòó ãåîäåçè÷åñêóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç Hs (e). Èçâåñòíî, ÷òî Hs (e) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò s (ñì. [3,ïðåäëîæåíèå 9.1.17, òåîðåìó î ãëîáàëèçàöèè]). Ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü ãåîäåçè÷åñêèõ {Hs (e) | e ∈ E(G)}, s ∈ [0, 1], åñòåñòâåííûì îáðàçîì çàäàåòïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ Hs ñåòè H0 = Γ, ïðè÷åì H1 = Γ1 .Ïî ñëåäñòâèþ 3 äëèíà êàæäîãî ðåáðà ñåòè Hs âûïóêëàÿ ôóíêöèÿîò s.
Ñëåäîâàòåëüíî, è äëèíà ñåòè Hs âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îò s, êàê ñóììàâûïóêëûõ ôóíêöèé.  ñèëó âûïóêëîñòè`(Hs ) 6 s`(H1 ) + (1 − s)`(H0 ) = `(H0 ) + s(`(H1 ) − `(H0 )).Íî ïî ëåììå 2.5 ïðîèçâîäíàÿd`(Hs )> 0,dss=0îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî `(H1 ) − `(H0 ) > 0. Çíà÷èò,`(Γ0 ) > `(Γ1 ) = `(H1 ) > `(H0 ) = `(Γ).Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ñåòü Γ0 , ïîëó÷åííàÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé ðàñùåïëåíèÿ ñåòè Γ, èìååò íå ìåíüøóþ äëèíó, ÷åìΓ, à çíà÷èò, ñåòü Γ óñòîé÷èâà.  ñèëó çàìå÷àíèÿ 1 ÿñíî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû `(Γ0 ) > `(Γ) åñëè òîëüêî íå Γ0 = Γ,ò.
å. èìååò ìåñòî ñòðîãàÿ óñòîé÷èâîñòü ñåòè Γ.26Ñòðîãàÿ óñòîé÷èâîñòü äåðåâà. Íàì îñòàëîñü äîêàçàòü ñòðîãóþóñòîé÷èâîñòü äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Γ äåðåâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî `(Γ0 ) =`(Γ). Òîãäà `(H1 ) = `(H0 ), è, â ñèëó âûïóêëîñòè, `(Hs ) ≡ `(H0 ) = `(Γ), s ∈[0, 1]. Áîëåå òîãî, ïîñêîëüêó äëèíà ñåòè ðàâíà ñóììå äëèí ðåáåð, à äëèíà êàæäîãî ðåáðà âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îò s, òî èç òîãî, ÷òî äëèíà ñåòèïîñòîÿííà, ñëåäóåò, ÷òî äëèíà êàæäîãî ðåáðà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ.Ëåììà 2.6.
Âåðøèíû ñåòè Γ = H0 íåïîäâèæíû ïðè äåôîðìàöèè Hs ,ò. å. Γ(v) = Hs (v) ∀s ∈ [0, 1], v ∈ V (G).Äîêàçàòåëüñòâî. Âñå ãðàíè÷íûå âåðøèíû íåïîäâèæíû ïî ïîñòðîåíèþ.Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî äëÿñåòè, èìåþùåé ëèøü äâå âåðøèíû, ëåììà î÷åâèäíà, òàê êàê îáå îíè îáÿçàíû áûòü ãðàíè÷íûìè.Åñëè â äåðåâå íàéäåòñÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà p, èíöèäåíòíàÿ íåêîòîðîéâåðøèíå u ñòåïåíè 2 (êîòîðàÿ â ñèëó íàøåãî ñîãëàøåíèÿ òîæå ÿâëÿåòñÿãðàíè÷íîé), òî ìîæíî óäàëèòü èç ñåòè ðåáðî pu è òåì ñàìûì ïåðåéòè êëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè ñ ìåíüøèì ÷èñëîì âåðøèí.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàéäåòñÿ ïàðà âèñÿ÷èõ âåðøèí p è q , èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó u (äëÿäîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîé ïàðû äîñòàòî÷íî óäàëèòü èç äåðåâàâñå âèñÿ÷èå ðåáðà è ðàññìîòðåòü â íîâîì äåðåâå ëþáóþ âèñÿ÷óþ âåðøèíó).
Äîêàæåì, ÷òî âåðøèíà u íåïîäâèæíà ïðè äåôîðìàöèè. Ïîñëå ýòîãîìîæíî áóäåò âûáðîñèòü ðåáðà pu è qu èç íàøåé ñåòè è îáúÿâèòü âåðøèíóu ãðàíè÷íîé. Íîâàÿ ñåòü, î÷åâèäíî, ñíîâà áóäåò ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé,è îãðàíè÷åíèå íà íåå íàøåé äåôîðìàöèè áóäåò îáëàäàòü âñåìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå èìåëèñü ó èñõîäíîé äåôîðìàöèè.  íîâîé ñåòè âåðøèí áóäåòìåíüøå, à çíà÷èò äëÿ íåå âåðíî ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè î íåïîäâèæíîñòèâåðøèí.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
