Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èñïîëüçóåòñÿ òåõíèêà ðàáîòû ñ âíóòðåííåé ãåîìåòðèåé íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ è ìåòîäû òåîðèè ïðîñòðàíñòâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâàíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.Àâòîðîì äèññåðòàöèè ââîäèòñÿ íîâûé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ,îñíîâàííûé íà ðàññìîòðåíèè ñèñòåìû ðàçðåçîâ è ïðèìåíåíèè òåîðåìÀ.Ä. Àëåêñàíäðîâà î âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ.9Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ ñåìèíàðàõ èêîíôåðåíöèÿõ:• ñåìèíàðå ¾Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû¿ ïîä ðóêîâîäñòâîìàêàä. À.Ò.
Ôîìåíêî, ïðîô. À.Ñ. Ìèùåíêî, ïðîô. À.Â. Áîëñèíîâà, äîö.À.À. Îøåìêîâà, äîö. Å.À. Êóäðÿâöåâîé (ÌÃÓ, 11 íîÿáðÿ 2009 ãîäà)• íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Ìåòðè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé è ìíîãîãðàííèêîâ¿, ïîñâÿùåííàÿ 100-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿÍ.Â. Åôèìîâà, (Ìîñêâà, 20 àâãóñòà 2010 ãîäà)• íà Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷åíûõ ¾Ëîìîíîñîâ-2011¿ (ÌÃÓ, 12 àïðåëÿ 2011 ãîäà)• íà ñåìèíàðå ¾Óçëû è òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé¿ ïîä ðóêîâîäñòâîìÂ.Î. Ìàíòóðîâà, Ä.Ï.
Èëüþòêî, È.Ì. Íèêîíîâà (ÌÃÓ, 13 äåêàáðÿ 2011ãîäà)• íà íàó÷íîé êîíôåðåíöèè ¾Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ¿ (ÌÃÓ, 16 íîÿáðÿ2011 ãîäà)• íà ñåìèíàðå ¾Ïî ãåîìåòðèè â öåëîì¿ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô. È.Õ. Ñàáèòîâà (ÌÃÓ, 20 àïðåëÿ 2012 ãîäà)• íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Àëåêñàíäðîâñêèå ÷òåíèÿ¿ (ÌÃÓ, 23ìàÿ 2012 ãîäà)• íà ñåìèíàðå ëåòíåé øêîëû Ìåæäóíàðîäíîé ëàáîðàòîðèè ¾Äèñêðåòíàÿè âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ¿ èì. Á.Í. Äåëîíå (ßðîñëàâëüÊðàñíûéõîëì, 30 èþëÿ 2012 ãîäà)• ñåìèíàðå ¾Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è ïðèëîæåíèÿ¿ ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàäåìèêà À.Ò. Ôîìåíêî (ÌÃÓ, 11 ìàðòà 2013 ãîäà)• íà ñåìèíàðå ¾Ýêñòðåìàëüíûå ñåòè¿ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîôåññîðà À.Î.Èâàíîâà è ïðîôåññîðà À.À. Òóæèëèíà (ÌÃÓ, 20082013 ãã.)Ïóáëèêàöèè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [36][39], èç íèõ ïåðâûå òðè â æóðíàëàõ èç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ.Áëàãîäàðíîñòè.Àâòîð áëàãîäàðèò ñâîåãî íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ, ïðîôåññîðàÀ.
À. Òóæèëèíà, è ïðîôåññîðà À. Î. Èâàíîâà çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ïîñòîÿííóþ ïîääåðæêó è âíèìàíèå ê ðàáîòå, à òàêæå âåñü êîëëåêòèâ êàôåäðûäèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé çà ò¼ïëóþ àòìîñôåðó è êîíñòðóêòèâíûå îáñóæäåíèÿ.10Ãëàâà 1Ñåòè: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûåðåçóëüòàòû1.1Ïîíÿòèå ñåòè.Ëþáàÿ èç íàøèõ ñåòåé âûãëÿäèò ïðîñòî êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëàñïðÿìëÿåìûõ êðèâûõ, è ÷àñòî áûâàåò óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñåòü èìåííîêàê êîíå÷íîå ñåìåéñòâî êðèâûõ.Îïðåäåëåíèå. Îáûêíîâåííîé ñåòüþ áóäåì íàçûâàòü îáúåäèíåíèå îáðà-çîâ êîíå÷íîãî ñåìåéñòâà âëîæåííûõ ñïðÿìëÿåìûõ êðèâûõ, ïîïàðíî íåèìåþùèõ îáùèõ òî÷åê, çà èñêëþ÷åíèåì îáùèõ êîíöîâ. Êðèâûå áóäåì íàçûâàòü ð¼áðàìè ñåòè, à èõ êîíöû âåðøèíàìè ñåòè.
Ñåòè Γ ñîîòâåòñòâóåò (àáñòðàêòíûé) ãðàô G = (V, E), â êîòîðîì ð¼áðà èç E ñîîòâåòñòâóþòêðèâûì, çàäàþùèì ñåòü, à âåðøèíû èç V ñîîòâåòñòâóþò êîíöàì êðèâûõ.Òàêîé ãðàô G ìû íàçûâàåì òèïîì ñåòè Γ. Îáûêíîâåííàÿ ñåòü ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, ò.å. ñåòè, îòëè÷àþùèåñÿ çàìåíîé ïàðàìåòðà íà êðèâîé, àòàêæå äîáàâëåíèåì èëè óäàëåíèåì âåðøèí ñòåïåíè 2, ìû íå ðàçëè÷àåì.Òàêîå ïðîñòåéøåå îïðåäåëåíèå ñåòè áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðàáîòå ñ ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè íà ìíîãîãðàííèêàõ âî âñåõ ðàçäåëàõ ãëàâû 3,êðîìå ðàçäåëà 3.3.5. Èíòóèòèâíî òàêèì îáðàçîì îïðåäåë¼ííàÿ ñåòü ýòîêàðòèíêà, íàðèñîâàííàÿ íà êàêîé-òî ïîâåðõíîñòè.
Òèï ñåòè (àáñòðàêòíûéãðàô) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî êàðòèíêå (îáúåäèíåíèþ îáðàçîâ ñåìåéñòâà êðèâûõ) òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êðèâûåïåðåñåêàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì òîëüêî â îáùèõ êîíöàõ, íå èìåþò ñàìîïåðåñå÷åíèé, â ñåòè íåò âåðøèí ñòåïåíè 2 è âûðîæäåííûõ êðèâûõ (òîæäåñòâåííî îòîáðàæàþùèõ îòðåçîê â òî÷êó). Íî âîîáùå ãîâîðÿ, îäíî è òî æåìíîæåñòâî òî÷åê ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü êàê îáúåäèíåíèå ðàçíûõ ñåìåéñòâêðèâûõ.
Èíîãäà ñåòè, îäèíàêîâûå êàê ìíîæåñòâà òî÷åê, õî÷åòñÿ ñ÷èòàòüîäèíàêîâûìè, èíîãäà ðàçëè÷íûìè. Íàïðèìåð, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå ñåòü, ñäåëàííóþ èç íåñêîëüêèõ ýëàñòè÷íûõ íèòåé. Ïåðåìåùàÿ êîíöûíèòåé, ìîæíî äåôîðìèðîâàòü ñåòü, è â êàêîé-òî ìîìåíò ìîãóò âîçíèêíóòü11ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ñåòè, èëè ìîãóò ñîâïàñòü äâà ðåáðà ñåòè äâå íèòè ìîãóòèäòè ïàðàëëåëüíî ðÿäîì äðóã ñ äðóãîì. Ñ òî÷êè çðåíèÿ êàðòèíêè âìåñòîäâóõ ð¼áåð ìû ïîëó÷èëè îäíî. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñåòè, ñîòêàííîé èç íèòåé èìååòñÿ ïî-ïðåæíåìó äâà ðåáðà, è ïðè ìàëîé äåôîðìàöèè ñåòè èõ ñíîâàìîæíî áóäåò ðàçëè÷èòü.Âî âòîðîé ãëàâå è ðàçäåëå 3.3.5 ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ íåïðåðûâíûìèäåôîðìàöèÿìè ñåòè, è ïîòîìó íàì áóäåò óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ñåòü êàêãåîìåòðè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ íåêîòîðîãî ãðàôà, ò.å.
ñ÷èòàòü, ÷òî ïðåæäåâñåãî çàäàí àáñòðàêòíûé ãðàô, à çàòåì ýòîò ãðàô îòîáðàæàåòñÿ â íåêîòîðîå ïðîñòðàíñòâî. Çäåñü âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ãîâîðèòü î ïàðàìåòðèçóþùåì ãðàôå ñåòè, ïåðåïàðàìåòðèçàöèè ñåòè è ò.ä. Îäèí èç âîçìîæíûõïîäõîäîâ ê ðàáîòå ñ ýòèìè ïîíÿòèÿìè òåîðèÿ òàê íàçûâàåìûõ ñåòåéñëåäîâ áûë ðàçðàáîòàí Èâàíîâûì è Òóæèëèíûì, ñì. íàïðèìåð [8]. Ìû÷àñòè÷íî çàèìñòâóåì èõ òåðìèíîëîãèþ, íî ââîäèì òàêæå è ñâîè îïðåäåëåíèÿ.Ñåòü êàê îòîáðàæåíèå. Ïóñòü äàí ãðàô G (ïî óìîë÷àíèþ ñâÿç-íûé, âîçìîæíî ñ êðàòíûìè ðåáðàìè è ïåòëÿìè).
Äëÿ êàæäîãî åãî ðåáðàðàññìîòðèì îòðåçîê, à çàòåì ðàññìîòðèì òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî TG ,ïîëó÷åííîå èç äèçúþíêòíîãî îáúåäèíåíèÿ ýòèõ îòðåçêîâ îòîæäåñòâëåíèåìèõ êîíöîâ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðóêòóðîé ãðàôà G. Ïðîñòðàíñòâî TG ìû áóäåì íàçûâàòü òîïîëîãè÷åñêèì ãðàôîì, îòðåçêè ðåáðàìè, à èõ êîíöû âåðøèíàìè òîïîëîãè÷åñêîãî ãðàôà.Ñåòüþ òèïà G â ïðîñòðàíñòâå X ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Γ : TG → X . Ãðàô G áóäåì íàçûâàòü ïàðàìåòðèçóþùèì ãðàôîì ñåòè Γ.
Îáðàç îòîáðàæåíèÿ Γ áóäåì îáîçíà÷àòü÷åðåç Im(Γ). Îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ Γ íà âåðøèíû è ðåáðà ãðàôà áóäåì íàçûâàòü âåðøèíàìè è ðåáðàìè ñåòè. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ðåáðî ýòî íåêîòîðàÿ êðèâàÿ. Ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü ñåòè, îòëè÷àþùèåñÿ ìîíîòîííîé çàìåíîé ïàðàìåòðà íà îäíîì èëè íåñêîëüêèõ ðåáðàõ ñåòè. Áóäåìðàññìàòðèâàòü ëèøü ñåòè, â êîòîðûõ âñå ðåáðà ñïðÿìëÿåìûå êðèâûå.Äëèíîé `(Γ) ñåòè Γ áóäåì íàçûâàòü ñóììó äëèí âñåõ åå ðåáåð.Ñåòè ÷àñòî âîçíèêàþò â çàäà÷àõ ñëåäóþùåãî òèïà: äàíî êîíå÷íîåìíîæåñòâî òî÷åê, òðåáóåòñÿ íàéòè ñåòü, ñîåäèíÿþùóþ ýòî ìíîæåñòâî òî÷åêè îáëàäàþùóþ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè, íàïðèìåð, èìåþùóþ íàèìåíüøóþâîçìîæíóþ äëèíó. Âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü êëàññ ñåòåé,ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê, è â ñâÿçè ñ ýòèì ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.
Ñåòü ñ ãðàíèöåé ýòî ñåòü, â ïàðàìåòðèçóþùåì ãðàôåêîòîðîé ôèêñèðîâàíî íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî âåðøèí, íàçûâàåìûõ ãðàíè÷íûìè. Èçîìîðôèçìîì ìåæäó äâóìÿ (àáñòðàêòíûìè) ãðàôàìè áóäåìíàçûâàòü áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâàìè èõ âåðøèí ïðè óñëîâèè, ÷òî äâåâåðøèíû â îäíîì ãðàôå ñîåäèíåíû ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà12èõ îáðàçû ñîåäèíåíû ðåáðîì âî âòîðîì ãðàôå. Äâå ñåòè ñ ãðàíèöåé èìåþò îäèí òèï, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ìåæäó èõ ïàðàìåòðèçóþùèìèãðàôàìè, ñîõðàíÿþùèé ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ âåðøèí è òàêîé, ÷òî îáðàçûñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí îáåèõ ñåòåé ñîâïàäàþò.
Âñå ñåòè ìûáóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñåòè ñ ãðàíèöåé, äîïóñêàÿ, ÷òî ãðàíèöà ìîæåòáûòü ïóñòîé.1.2Äåôîðìàöèè è ïåðåïàðàìåòðèçàöèÿ ñåòè.Ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé ñåòè (ñ ãðàíèöåé) Γ áóäåì íàçûâàòü ñåìåéñòâî ñåòåé Γt = D(·, t), t ∈ [0, t0 ], ãäå Γ0 = Γ è D : TG × [0, t0 ] → X ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, ïîñòîÿííîå ïî t íà ãðàíèöå ãðàôà, ò.
å. òî÷êà D(v, t), ãäå v ãðàíè÷íàÿ âåðøèíà, íå çàâèñèò îò t. ßñíî,÷òî âñå ñåòè Γt áóäóò ñåòÿìè òîãî æå òèïà, ÷òî è Γ, è ñ òîé æå ãðàíèöåé.Ïàðàìåòðè÷åñêèå äåôîðìàöèè ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ îáûêíîâåííûõ ñåòåé, íå ïåðåõîäÿ ê ñåòÿì-îòîáðàæåíèÿì. Íàì ïîíàäîáèòñÿ ýòî îïðåäåëåíèå â ðàçäåëå 3.2.3. Ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé îáûêíîâåííîé ñåòè Γ òèïà G áóäåì íàçûâàòü ñåìåéñòâî îáûêíîâåííûõ ñåòåé Γt , t ∈ [0, t0 ]òîãî æå òèïà G òàêîå, ÷òî Γ0 = Γ è äëÿ êàæäîãî ðåáðà a ãðàôà G ñåìåéñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ Γt (a) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèåéêðèâîé Γ0 (a), ò.å.
ðåáðà ñåòè Γ.Êðîìå ïàðàìåòðè÷åñêèõ, íàì ïîíàäîáÿòñÿ è áîëåå îáùèå äåôîðìàöèè ñåòåé, ïðè êîòîðûõ òèï ñåòè ìîæåò ìåíÿòüñÿ.Âî-ïåðâûõ, îïðåäåëèì îïåðàöèþ ïîäðàçáèåíèÿ ðåáðà. Çàìåíèì âãðàôå G ëþáîå ðåáðî ab íà ïàðó ðåáåð ac, cb, äîáàâèâ íîâóþ âíóòðåííþþâåðøèíó c ñòåïåíè 2, è ïîëó÷åííûé ãðàô îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 . Çàìåòèì, ÷òîTG0 = TG (êàê òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, ò. å. ðàâåíñòâî îçíà÷àåò ãîìåîìîðôèçì).
Ïîýòîìó ëþáóþ ñåòü Γ : TG → X òèïà G ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ñåòü òèïà G0 , è íàîáîðîò. Òàêàÿ çàìåíà ïàðàìåòðèçóþùåãî ãðàôà ñåòèâ äàëüíåéøåì áóäåò íàçûâàòüñÿ ïîäðàçáèåíèåì ðåáðà.Òåïåðü ââåäåì ïîíÿòèå ïåðåïàðàìåòðèçàöèè. Ïóñòü Γ : TG → X ,H ñâÿçíûé ïîäãðàô â G, ïðè÷åì âñå ðåáðà ãðàôà H ðåàëèçîâàíû â ñåòè Γ òî÷å÷íûìè êðèâûìè, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
