Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìû äîêàæåì,÷òî òåì æå ñàìûì ñâîéñòâîì âî âñåõ ïðîñòðàíñòâàõ À. Ä. Àëåêñàíäðîâàíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû îáëàäàþò è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè. Ýòîòðåçóëüòàò, ñ îäíîé ñòîðîíû, îáîáùàåò ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû î ãåîäåçè÷åñêèõ â òàêèõ ïðîñòðàíñòâàõ, ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåñíî ñâÿçàí ñ òåîðåìîéî åäèíñòâåííîñòè ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû, äîêàçàííîé Ïðîíèíûì [10]. ñëó÷àå åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ðåçóëüòàò, àíàëîãè÷íûé äîêàçûâàåìîìó âäèññåðòàöèè, áûë óñòàíîâëåí â [6].Ïîìèìî ðàññìàòðèâàâøèõñÿ Ïðîíèíûì [10] ïàðàìåòðè÷åñêèõ äåôîðìàöèé, ñîõðàíÿþùèõ êîìáèíàòîðíóþ ñòðóêòóðó ñåòè, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü è äåôîðìàöèè, â ïðîöåññå êîòîðûõ êîìáèíàòîðíàÿ ñòðóêòóðàìîæåò ìåíÿòüñÿ, è äîêàæåì, ÷òî ó ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè â ïðîñòðàíñòâå À. Ä.
Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé åå íåëüçÿ óêîðîòèòü è äåôîðìàöèÿìè ýòîãî âòîðîãî âèäà.Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå À. Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû âñÿêîå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøèìñðåäè ñåòåé, ñîäåðæàùèõñÿ â íåêîòîðîé åãî ìàëîé îäíîñâÿçíîé îêðåñòíîñòè.Çàìêíóòûå ëîêàëüíûå ìèíèìàëüíûå ñåòè. Ãëàâíàÿ öåëü äèñ-ñåðòàöèè èçó÷åíèå ñâîéñòâ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íàïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Ñëîâî ¾çàìêíóòàÿ¿ â ýòîì íàçâàíèè èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è â ñëîâîñî÷åòàíèè ¾çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ¿, ò.å.
â îòëè÷èå îò êðàò÷àéøèõ ñåòåé è ïðîèçâîëüíûõ ëîêàëüíîìèíèìàëüíûõ ñåòåé, ðàññìàòðèâàâøèõñÿ â ãëàâå 2, çàìêíóòàÿ ëîêàëüíîìèíèìàëüíàÿ ñåòü íå èìååò ãðàíè÷íûõ òî÷åê. Èç öèòèðîâàâøåãîñÿ âûøåêðèòåðèÿ ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòè íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè âûòåêàåò, ÷òî çàìêíóòàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà ìíîãîîáðàçèè (à òàêæå è íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà) ýòî ñåòü, âñå âåðøèíû6êîòîðîé èìåþò ñòåïåíü 3, à ð¼áðà ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè è ñòûêóþòñÿâ âåðøèíàõ ïîä óãëàìè ðîâíî â 120 ãðàäóñîâ.Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ñôåðå âîçíèêàþò ïðèèçó÷åíèè îñîáåííîñòåé ìûëüíûõ ïë¼íîê. À èìåííî, ïðè äîêàçàòåëüñòâåïðèíöèïîâ Ïëàòî, îïèñûâàþùèõ ýòè îñîáåííîñòè [34], èñïîëüçóåòñÿ êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ñôåðå, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòü êëàññèôèêàöèè ¾ãåîäåçè÷åñêèõ ñåòåé ñ îäèíàêîâî óñòðîåííûìè âåðøèíàìè¿ íà ñôåðå, ñäåëàííîé â ðàáîòå [27].Ïîìèìî ñôåðû, çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè áûëè êëàññèôèöèðîâàíû íà ïîâåðõíîñòÿõ ïëîñêèõ òîðîâ [14].
Ñ ïîìîùüþ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé êëàññèôèêàöèÿ ñåòåé ñî ñôåðû è ïëîñêèõ òîðîâ ïåðåíîñèòñÿíà ïðîåêòèâíóþ ïëîñêîñòü [8], ïîâåðõíîñòè ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ [15]è íà áóòûëêè Êëåéíà ñ ïëîñêîé ìåòðèêîé [8]. Èçâåñòíû òàêæå ïðèìåðûçàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû è íà ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêàõ (ïîâåðõíîñòÿõïëàòîíîâûõ òåë) [8].Ðåçóëüòàòû ãëàâû 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî çàìêíóòàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà èìååò ñëåäóþùèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. ż ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê ñåòü, ñäåëàííóþ èç ýëàñòè÷íîãî ìàòåðèàëà, äîïóñêàþùåãî ðàñùåïëåíèÿ â âåðøèíàõ, è íàòÿíóòóþíà ìíîãîãðàííèê òàê, ÷òî îíà ¾íå ñîñêàëüçûâàåò¿ ñ åãî ïîâåðõíîñòè.Ðåçóëüòàòû î ñâîéñòâàõ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåéíà ïðîèçâîëüíûõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè,ÿâëÿþòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèÿ òàêèõ ñåòåé âëîêàëüíî ïëîñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ è êâàçèãåîäåçè÷åñêèõ íà âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòÿõ [2], [11], [23].Îòìåòèì, ÷òî îäèí èç îñíîâíûõ âîïðîñîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äèññåðòàöèè î ñóùåñòâîâàíèè çàìêíóòîé ìèíèìàëüíîé ñåòè íà äàííîì ìíîãîãðàííèêå îòêðûò óæå â ñëó÷àå, êîãäà â êà÷åñòâå çàìêíóòîé ëîêàëüíîìèíèìàëüíîé ñåòè ðàññìàòðèâàåòñÿ çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, à â êà÷åñòâåìíîãîãðàííèêà (íåðàâíîãðàííûé) òåòðàýäð [13].Ñ êîìáèíàòîðíîé òî÷êè çðåíèÿ çàìêíóòàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿñåòü íà âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 3-âàëåíòíûé ïëîñêèéãðàô, âñå ãðàíè êîòîðîãî íå áîëåå ÷åì øåñòèóãîëüíûå.
Ñóùåñòâóåò áîãàòàÿ ëèòåðàòóðà, ïîñâÿù¼ííàÿ èçó÷åíèþ (ñ êîìáèíàòîðíîé òî÷êè çðåíèÿ)òàêèõ ãðàôîâ íà ñôåðå, è äâîéñòâåííûõ ê íèì ãðàôîâ, ò.å. òðèàíãóëÿöèéñôåðû, à òàêæå âëîæåíèé ðàçëè÷íûõ ðåãóëÿðíûõ (ò.å. ñ çàäàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà ñòåïåíè âåðøèí è ãðàíåé) ãðàôîâ â äðóãèå ïîâåðõíîñòè, ñì.íàïðèìåð [19], [20]. Èíòåðåñ ê ýòîé òåìå ñâÿçàí â òîì ÷èñëå è ñ áîëüøèì÷èñëîì ïðèëîæåíèé â õèìèè, êðèñòàëëîãðàôèè è äðóãèõ åñòåñòâåííûõ íà-7óêàõ. Óïîìÿíåì îäèí èç íàèáîëåå ïîïóëÿðíûõ ñëó÷àåâ: 3-âàëåíòíûå ãðàôûíà ñôåðå, èìåþùèå òîëüêî ïÿòè- è øåñòèóãîëüíûå ãðàíè, â õèìèè íàçûâàþòñÿ ôóëëåðåíàìè è èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ìîëåêóëÿðíûõñòðóêòóð [22].Äëÿ íàñ èíòåðåñíî, ÷òî ïðè èçó÷åíèè è êëàññèôèêàöèè (ñ êîìáèíàòîðíîé òî÷êè çðåíèÿ) âëîæåíèé ðåãóëÿðíûõ ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ãåîìåòðè÷åñêèå ðåàëèçàöèè òàêèõ ãðàôîâ.Íàïðèìåð, Ò¼ðñòîí [35] äëÿ êëàññèôèêàöèè êîìáèíàòîðíûõ òðèàíãóëÿöèéñôåðû èñïîëüçóåò ëîêàëüíî ïëîñêèå êîìïëåêñû, ñêëååííûå èç îäèíàêîâûõïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ïî ïðàâèëàì, çàäàâàåìûì äàííîé òðèàíãóëÿöèåé ñôåðû, è â ðåçóëüòàòå ïàðàìåòðèçóåò òðèàíãóëÿöèè ñôåðû íàáîðàìèèç 20 öåëûõ ÷èñåë.
Öåëûé ðÿä ïàðàìåòðèçàöèé ðåãóëÿðíûõ ãðàôîâ (â òîì÷èñëå îáîáùåíèÿ èäåé Ò¼ðñòîíà) îïèñàíû â ðàáîòå [21]. À óïîìèíàâøàÿñÿâûøå êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïëîñêèõòîðàõ ïî÷òè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êîìáèíàòîðíîé êëàññèôèêàöèè âëîæåíèé 3-âàëåíòíûõ 6-ðåãóëÿðíûõ (ò.å. òîëüêî ñ øåñòèóãîëüíûìè ãðàíÿìè)ãðàôîâ â òîð, ñäåëàííîé íåçàâèñèìî â [16] è [33]: ëþáîé òàêîé ãðàô ìîæåòáûòü ðåàëèçîâàí êàê çàìêíóòàÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü íà íåêîòîðîìïëîñêîì òîðå, òîëüêî â ñëó÷àå ñåòåé ïîÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, íà êàêèõèìåííî (ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåòðèêè) ïëîñêèõ òîðàõ ðåàëèçóåòñÿ ìèíèìàëüíàÿ ñåòü äàííîé êîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû. äèññåðòàöèè ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ðåàëèçàöèè ïëîñêèõ ãðàôîâ êàêçàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõè ïîëíîñòüþ îïèñàíû âñåâîçìîæíûå êîìáèíàòîðíûå ñòðóêòóðû è äëèíûð¼áåð, êîòîðûå ìîæåò èìåòü òàêàÿ ñåòü. ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà âñå ð¼áðà ñåòè èìåþò îäíó è òó æå äëèíó,çàìíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè äâîéñòâåííû òðèàíãóëÿöèÿì âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ íà ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, ðàññìàòðèâàâøèìñÿ Ò¼ðñòîíîì [35].
Ñóùåñòâåííî, ÷òî èçó÷åíèå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íå ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ òàêèõ òðèàíãóëÿöèé, â ÷àñòíîñòè ïîòîìó, ÷òî íà ìíîãîãðàííèêå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, íî íå ñóùåñòâîâàòüìèíèìàëüíîé ñåòè ñ ðàâíûìè äëèíàìè ð¼áåð.Ñòðóêòóðà ðàáîòû.Ðàáîòà ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òð¼õ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. ïåðâîé ãëàâå ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ ñåòè, ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòèè ôîðìóëèðóþòñÿ ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû, íåîáõîäèìûå äëÿ ðàáîòûñ ýòèìè îáúåêòàìè.Âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûì ñåòÿì â ïðîñòðàíñòâàõ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû.  ðàçäåëå 2.1 ñôîðìóëèðîâàíû è ïðîêîììåíòèðîâàíû äâå òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ëîêàëüíî8ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ, à â ðàçäåëå 2.2 ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ äâóõ òåîðåì.Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà çàìêíóòûì ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûì ñåòÿìíà ïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, êîòîðûå ìû äëÿ êðàòêîñòèíàçûâàåì ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè.
 ðàçäåëå 3.1 äàþòñÿ îïðåäåëåíèÿ èïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû, íåîáõîäèìûå äëÿ ðàáîòû ñ âíóòðåííåé ãåîìåòðèåé íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. ðàçäåëå 3.2 ôîðìóëèðóþòñÿ âñå ðåçóëüòàòû òðåòüåé ãëàâû. Òàìæå ïðèâîäÿòñÿ êîììåíòàðèè è êîðîòêèå äîêàçàòåëüñòâà. Áîëåå äëèííûåäîêàçàòåëüñòâà âûíåñåíû â ðàçäåë 3.3.Áèáëèîãðàôèÿ ñîäåðæèò 39 íàèìåíîâàíèé. Òåêñò äèññåðòàöèè èçëîæåí íà 84 ñòðàíèöàõ.Ñïèñîê îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.  äèññåðòàöèè ïîëó÷åíûñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.1. Äîêàçàíà óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõÀëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû (òåîðåìà 3).2. Ïîëó÷åíî íîâîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ çàìêíóòîé ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé ñåòè íà ìíîãîãðàííèêå.
Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî óñëîâèå ñèëüíåå èçâåñòíîãî ðàíåå íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ, íî ïî-ïðåæíåìóíå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì (òåîðåìû 17, 18, 19).3. Îïèñàíû âñåâîçìîæíûå êîìáèíàòîðûå ñòðóêòóðû è äëèíû ð¼áåð ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ (òåîðåìû 7 è 8).4. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòûõ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõñåòåé íà îòêðûòîì âñþäó ïëîòíîì ïîäìíîæåñòâå ïðîñòðàíñòâà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñ êðèâèçíàìè âåðøèí, êðàòíûìè 60 ãðàäóñàì(òåîðåìà 21).Äëÿ êðàòêîãî çíàêîìñòâà ñ ðåçóëüòàòàìè äèññåðòàöèè ïðåäíàçíà÷åíû ðàçäåëû 2.1 è 3.2.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ. äèññåðòàöèè ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîäû ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
