Минимальные сети на поверхностях многогранников (1103841), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ñëåäîâàòåëüíî, è ó èñõîäíîé ñåòè âñå âåðøèíû áûëè íåïîäâèæíû,è øàã èíäóêöèè ñäåëàí.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî âåðøèíà u íåïîäâèæíà. Êàê áûëî ïîêàçàíîâûøå, äëèíà êàæäîãî ðåáðà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò s. Îòìåòèì, ÷òî âñåñåòè Hs ëîêàëüíî ìèíèìàëüíû, òàê êàê èíà÷å èõ ìîæíî áûëî áû óêîðîòèòüìàëîé äåôîðìàöèåé è ïîëó÷èòü ñåòü Γ0 ñòðîãî ìåíüøåé äëèíû, ÷åì ñåòü Γ.Ïðè÷åì âñÿêóþ òàêóþ ñåòü ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü èç ñåòè Γ ïàðàìåòðè÷åñêîé äåôîðìàöèåé âíóòðè Bε (Γ). Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óæå äîêàçàííîé÷àñòè íàøåé òåîðåìû.Åñëè äëèíà ðåáðà Hs (pu) ðàâíà íóëþ õîòÿ áû ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõs, òî, êàê ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, îíà äîëæíà áûòü òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ,è òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî âåðøèíà u íåïîäâèæíà. Äàëåå ðàññìàòðèâàåì çíà÷åíèÿ s, ïðè êîòîðûõ îáà ðåáðà Hs (pu) è Hs (qu) èìåþò íåíóëåâóþ äëèíó.Åñëè ðåáðî pu ðåàëèçîâàíî íåâûðîæäåííîé ãåîäåçè÷åñêîé, òî ïðîèçâîäíàÿ27åãî äëèíû âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéd= −k cos αs0 ,`(Hs (pu))dss=s0ãäå k ïîñòîÿííàÿ ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé îáðàç âåðøèíû u åäåò ïî ãåîäåçè÷åñêîé Hs (u), à αs0 óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè Hs0 (pu) è Hs (u) (ïðèîïðåäåëåíèè óãëà ïåðâàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ îðèåíòèðîâàíà îò u ê p, à âòîðàÿ â íàïðàâëåíèè óâåëè÷åíèÿ ïàðàìåòðà s).
Åñëè k = 0, òî âåðøèíà uíåïîäâèæíà è âñå äîêàçàíî, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èç ëèíåéíîñòè ôóíêöèè`(Hs (pu)) âûòåêàåò, ÷òî çíà÷åíèå cos αs0 ïîñòîÿííî, à çíà÷èò, ïîñòîÿííî ïîs0 è çíà÷åíèå óãëà ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè Hs0 (pu) è Hs (u). Ïîýòîìó äàëååìû âñþäó èñïîëüçóåì, ÷òî αs ≡ α0 .Ðàññìîòðèì îáðàçîâàííûé íàøèìè ãåîäåçè÷åñêèìè òðåóãîëüíèê∆ ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ H0 (p), Hs1 (u), Hs2 (u). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîòòðåóãîëüíèê-êîíòóð îãðàíè÷èâàåò äèñê.
Íî äëÿ ñòÿãèâàåìîãî òðåóãîëüíèêà â ïðîñòðàíñòâå íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ñðàâíåíèÿ óãëîâ: åãî óãëû íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêàñ òåìè æå äëèíàìè ñòîðîí íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè (ñì. [3, òåîðåìà 9.2.9]).Çàìåòèì, ÷òî óãëû òðåóãîëüíèêà ∆ â âåðøèíàõ Hs1 (u) è Hs2 (u) â ñóììåäàþò íå ìåíüøå π (îäèí èç íèõ ðàâåí α0 , à äðóãîé íå ìåíüøå π − α0 , ò.ê.ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ íå ìåíüøå π ). Çíà÷èò, òðåòèé óãîë òðåóãîëüíèêà ∆ðàâåí íóëþ, è âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ ðàâíû óãëàì òðåóãîëüíèêà∆.
Òîãäà òðåóãîëüíèê ñðàâíåíèÿ âûðîæäåííûé, è, ïîñêîëüêó âåðøèíûHs1 (u) è Hs2 (u) íå ñîâïàäàþò, äâà óãëà òðåóãîëüíèêà äîëæíû áûòü ðàâíûíóëþ, à òðåòèé ðàâåí π . Óãëû òðåóãîëüíèêà ∆ èìåþò òå æå çíà÷åíèÿ, ò. å.ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà H0 (p)Hs1 (u)Hs2 (u) ëåæàò íà îäíîé ãåîäåçè÷åñêîéäëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé s1 , s2 èç íåêîòîðîãî èíòåðâàëà. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûå s1 , s2 . Àíàëîãè÷íî, ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà H0 (q)Hs1 (u)Hs2 (u) ëåæàòíà îäíîé ãåîäåçè÷åñêîé. Ó ýòèõ äâóõ òðåóãîëüíèêîâ åñòü îáùàÿ ñòîðîíàHs1 (u)Hs2 (u) ó÷àñòîê ãåîäåçè÷åñêîé, ïî êîòîðîé âåðøèíà u äâèæåòñÿïðè äåôîðìàöèè.
Òî÷êè H0 (p), H0 (q) íå ëåæàò íà ýòîì îòðåçêå, ïîñêîëüêóìû âûáðàëè èíòåðâàë, íà êîòîðîì äëèíû ðåáåð pu è qu íå îáíóëÿþòñÿ.Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: ëèáî â îäíîì òðåóãîëüíèêå (ñêàæåì,H0 (p)Hs1 (u)Hs2 (u)) óãîë ∠Hs1 (u) = π , à â äðóãîì óãîë ∠Hs2 (u) = π ,ëèáî â îáîèõ òðåóãîëüíèêàõ çíà÷åíèå π èìååò óãîë ñ âåðøèíîé â îäíîé èòîé æå òî÷êå, ñêàæåì, Hs1 (u). ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî s, s1 6 s 6 s2 ,ðåáðà Hs (pu) è Hs (qu) âìåñòå îáðàçóþò îäíó ãåîäåçè÷åñêóþ, ïîñêîëüêóðåáðî Hs (pu) ýòî ÷àñòü ãåîäåçè÷åñêîé H0 (p)Hs2 (u), ðåáðî Hs (qu) ýòî ÷àñòü ãåîäåçè÷åñêîé H0 (q)Hs1 (u), à ãåîäåçè÷åñêèå H0 (p)Hs2 (u) èH0 (q)Hs1 (u) èìåþò îáùèé îòðåçîê Hs1 (u)Hs2 (u) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàòñÿ â îáùåé ãåîäåçè÷åñêîé, ñîåäèíÿþùåé H0 (p) è H0 (q) (íà ðèñ.
2.128Ðèñ. 2.1: Ïåðâûé ñëó÷àé.Ðèñ. 2.2: Ñóììà 8 óãëîâ.òî÷êè H0 (p), Hs1 (u), Hs (u), Hs2 (u), H0 (q) ñïåöèàëüíî íàðèñîâàíû íå ëåæàùèìè íà îäíîé ïðÿìîé, íî ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, ÷òî îíè ëåæàò íà îäíîéãåîäåçè÷åñêîé). Ðàññìîòðèì åùå îäíî ðåáðî, èíöèäåíòíîå âåðøèíå u, íàçîâåì åãî uv . Ïîñêîëüêó âñå ñåòè Hs ëîêàëüíî ìèíèìàëüíû, òî óãëû, êîòîðûåðåáðî Hs (uv) îáðàçóåò ñ ðåáðàìè Hs (pu), Hs (qu) ïðè êàæäîì s äîëæíûáûòü íå ìåíüøå 2π3 (ñì. [4]).
Ðàññìîòðèì ïóòü Hs (v), ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ âåðøèíà v . Åñëè áû ýòîò ïóòü áûë ïîñòîÿííûì (òî÷å÷íûì), òî áûë áûñòÿãèâàåìûé òðåóãîëüíèê H0 (v)Hs1 (u)Hs2 (u), â êîòîðîì ∠Hs1 (u) > 2π3 è2π∠Hs2 (u) > 3 , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó ôàêòó, ÷òî ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà íå áîëüøå π . Çíà÷èò, Hs (v) íåêîòîðàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ. Ðàññìîòðèìäâà ìîìåíòà âðåìåíè a, b.Ãåîäåçè÷åñêèå Hs (v) (a 6 s 6 b), Hb (uv), Hs (u) (a 6 s 6 b), Ha (uv)îáðàçóþò ñòÿãèâàåìûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, ñóììà óãëîâ êîòîðîãî íå áîëüøå2π , íî ñóììà åãî óãëîâ ïðè âåðøèíàõ Ha (u) è Hb (u) íå ìåíüøå 4π3 , çíà÷èò,2πñóììà óãëîâ ïðè âåðøèíàõ Ha (v), Hb (v) íå áîëüøå 3 . Òåïåðü ðàññìîòðèìïÿòü ìîìåíòîâ âðåìåíè s = a, b, c, d, e, s1 6 a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 s2 , è îáðàòèì âíèìàíèå íà ñóììó S âîñüìè óãëîâ ÷åòûðåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðè âåðøèíàõ Ha (v), Hb (v), Hc (v), Hd (v), He (v), ñì.
ðèñ. 2.2.Ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ íå ìåíüøå π . Ïîýòîìó S > 3π . Íî, ñ äðóãîé ñòîðî-29íû, â êàæäîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììà äâóõ ¾âåðõíèõ¿ óãëîâ ïî äîêàçàí8πíîìó âûøå íå áîëüøå, ÷åì 2π3 , ïîýòîìó S 6 3 . Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî ñëó÷àÿ.Âî âòîðîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óãîë ìåæäó ðåáðàìè Hs2 (pu) èHs2 (qu) ðàâåí íóëþ, è ñåòü Hs2 ìîæíî òðèâèàëüíûì îáðàçîì óêîðîòèòüâ ìàëîé îêðåñòíîñòè Hs2 (u), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòèñåòè Hs2 . Ëåììà äîêàçàíà.Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïðè äåôîðìàöèè âñå ðåáðà ïî îïðåäåëåíèþÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè, à çíà÷èò â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 èç íåïîäâèæíîñòèâñåõ âåðøèí ñëåäóåò íåïîäâèæíîñòü ñåòè. Ïîýòîìó Γ = Γ1 . À ïîñêîëüêóêàæäîå ðåáðî ñåòè Γ0 äîëæíî áûòü íå äëèííåå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåáðàñåòè Γ1 è ëåæèò â òîì æå ãîìîòîïè÷åñêîì êëàññå, òî Γ0 = Γ1 = Γ, ÷òî èçàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.2.3¾Óñòîé÷èâîñòü¿îòíîñèòåëüíîïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè äåôîðìàöèéÔîðìóëèðîâêó òåîðåìû, êîììåíòàðèé è îïðåäåëåíèå êëàññà Oε (Γ) ñì.
âðàçäåëå 2.1.2.  ýòîì ðàçäåëå ÷åðåç X = (X, d) âñþäó îáîçíà÷åíî ëîêàëüíîîäíîñâÿçíîå è ëîêàëüíî êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ âíóòðåííåé ìåòðèêîé.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 4 äîêàæåì ñëåäóþùóþëåììó.Ëåììà 2.7. Ïóñòü Γ ïðîèçâîëüíàÿ íåñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ ñåòü â X .Ïóñòü εn → 0+ è Γn ∈ Oεn (Γ) òàêèå, ÷òî|`(Γn ) −inf`(D)| → 0D∈Oεn (Γ)ïðè n → ∞.
Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü nk è ñåòè Γ0nk ∈Oεnk (Γ) òàêèå, ÷òî `(Γ0nk ) 6 `(Γnk ) è êàæäóþ Γ0nk ìîæíî ïîëó÷èòü èç Γäåôîðìàöèåé âíóòðè Bε0n (Γ), ãäå ε0nk → 0+.kÄîêàçàòåëüñòâî. Íàøà ïåðâàÿ öåëü âûáðàòü èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Γnñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äëÿ ýòîãî íóæíà ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé îäíîãî òèïà, íî ïîêà âïîëíå ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî âñå ñåòè Γnèìåþò ðàçíûé òèï. ×òîáû îãðàíè÷èòü ÷èñëî âîçìîæíûõ òèïîâ, íóæíî èñêëþ÷èòü íàëè÷èå öèêëîâ è âèñÿ÷èõ âåðøèí â íåîãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå.Ýòîìó ïîñâÿùåíà ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ëåììà 2.8.
Äëÿ âñÿêîé ñåòè D ∈ Oε (Γ) íàéäåòñÿ ñåòü D 0 ∈ Oε (Γ),íå èìåþùàÿ íåãðàíè÷íûõ âåðøèí ñòåïåíè 1 è 2, ñòÿãèâàåìûõ öèêëîâ èòàêàÿ, ÷òî `(D0 ) 6 `(D).30×èñëî ðåáåð â ñåòè D0 íå áîëüøå íåêîòîðîé âåëè÷èíû N , êîòîðàÿîïðåäåëÿåòñÿ ñåòüþ Γ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 2.9.1) Åñëè â ñåòè D ∈ Oε (Γ) åñòü ñòÿãèâàåìûé â Bε (Γ) öèêë, òî ïðèóäàëåíèè ëþáîãî ðåáðà ýòîãî öèêëà èç ñåòè D ïîëó÷èâøàÿñÿ ñåòüïî-ïðåæíåìó áóäåò ëåæàòü â Oε (Γ).2) Ïðè óäàëåíèè ðåáðà, èíöèäåíòíîãî íåãðàíè÷íîé âèñÿ÷åé âåðøèíå,ñåòü îñòàåòñÿ â Oε (Γ).3) Ïðè óäàëåíèè èç ñåòè íåãðàíè÷íîé âåðøèíû ñòåïåíè 2 è îáúåäèíåíèèäâóõ èíöèäåíòíûõ åé ðåáåð â îäíî ñåòü îñòàåòñÿ â Oε (Γ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñåòü D ∈ Oε (Γ), ò.
å. D ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èçΓ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåôîðìàöèé âíóòðè Bε (Γ). Ïðîäîëæèì ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñäåëàåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ ñåòè D, ñòÿãèâàþùóþ äàííûé öèêë â òî÷êó, íåïîäâèæíóþ âíå ðåáåð, èìåþùèõ ñ öèêëîìîáùèå âåðøèíû, è ¾ïðîäëåâàþùóþ¿ ðåáðà, èìåþùèå ñ öèêëîì îáùèå âåðøèíû, íî íå âõîäÿùèå â íåãî.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì ñåòü, â êîòîðîéäàííûé öèêë îòîáðàæàåòñÿ â òî÷êó. Ñäåëàåì ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ýòîéñåòè, óäàëèâ â ãðàôå èç äàííîãî öèêëà ëþáîå ðåáðî.
Çàòåì ñäåëàåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ íîâîé ñåòè, îáðàòíóþ âûïîëíåííîìó äî ýòîãîñæàòèþ öèêëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñåòü D0 , îòëè÷àþùóþñÿ îò ñåòè Dîòñóòñòâèåì íåêîòîðîãî ðåáðà äàííîãî öèêëà. ñëó÷àå óäàëåíèÿ ðåáðà, èíöèäåíòíîãî âèñÿ÷åé íåãðàíè÷íîé âåðøèíå, ñèòóàöèÿ åùå ïðîùå, äîñòàòî÷íî ñòÿíóòü ýòî ðåáðî â ñâîþ íåâèñÿ÷óþ âåðøèíó è ñäåëàòü ïåðåïàðàìåòðèçàöèþ ñåòè. ïóíêòå 3) äîñòàòî÷íî ñäåëàòü îïåðàöèþ, îáðàòíóþ ê ïîäðàçáèåíèþ ðåáðà, à ýòà îïåðàöèÿ ïî îïðåäåëåíèþ îäèí èç âèäîâ ïåðåïàðàìåòðèçàöèè.Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü ëåììû 2.8.
×åðåç v, e è v 0 , e0 îáîçíà÷èì ÷èñëî âåðøèí è ðåáåð ñåòåé Γ è D0 , à ÷åðåç n ÷èñëî ãðàíè÷íûõ âåðøèí(îíî îäèíàêîâî â äâóõ ñåòÿõ). Ïîñêîëüêó âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòè D0èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå òðåõ, âûïîëíåíî: 3(v 0 − n) + n 6 2e0 . Ñ äðóãîéñòîðîíû, ïîñêîëüêó â ñåòè D0 íåò ñòÿãèâàåìûõ öèêëîâ è êàæäûé öèêë âñåòè D0 ãîìîòîïåí íåêîòîðîìó öèêëó â ñåòè Γ (ëåììà 1.1), öèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà ñåòè D0 íå áîëüøå, ÷åì ãðàôà ñåòè Γ, ò.
å. e0 − v 0 6 e − v .Èç äâóõ íåðàâåíñòâ ïîëó÷àåì 3(v 0 − n) + n + 3(e0 − v 0 ) 6 2e0 + 3(e − v), ò. å.e0 6 2n + 3(e − v).Èòàê, çàìåíèì ñ ïîìîùüþ ëåììû 2.8 êàæäóþ ñåòü Γn íà ñåòü Γ0n .Òåïåðü ÷èñëî ðåáåð â ñåòÿõ îãðàíè÷åíî íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, ïîýòîìó31ìîæíî âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé, ïàðàìåòðèçîâàííûõ îäíèìè òåì æå òèïîì, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 . Ïî ëåììå 1.2 âûáåðåìñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé, êîòîðóþ ñíîâà îáîçíà÷èì ÷åðåçΓ0n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
