Диссертация (1103157), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Âî-âòîðûõ, òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà äîëæíû áûòü ñâÿçàíû æåñòêèìè ñîîòíîøåíèÿìè (1.1) è íåïîñðåäñòâåííî ñîîòíîñèòü îáú¼ìû ðåñóðñîâ ñ îáú¼ìàìè êîíå÷íîãî âûïóñêà (â ÷àñòíîñòè, òðóäíî ó÷åñòü ñèòóàöèþñ âûïóñêîì ïðîìåæóòî÷íîé ïðîäóêöèè). Îäíàêî, áîëüøîå ÷èñëî îòðàñëåé íåóäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì.
Âîïðîñ îá óíèâåðñàëüíîñòè îáîáù¼ííîé ìîäåëèÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà, òî åñòü î âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ ñ ïîìîùüþ íå¼ îòðàñëåé, â êîòîðûõ ýòè òðåáîâàíèÿ íàðóøàþòñÿ, ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ çàäà÷ 1.1 è1.2, ñì. [109] è [104, Ãëàâà 6].Ñäåëàåì êîììåíòàðèé îòíîñèòåëüíî ðàññìàòðèâàåìîãî â äèññåðòàöèè ñëó÷àÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ òåõíîëîãèé, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèåé ñåáåñòîèìîñòè q . Ñîäíîé ñòîðîíû, âûáîð ôóíêöèè q â îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíàâî ìíîãîì îïðåäåëÿåòñÿ ìåðîé çàìåùàåìîñòè ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ, à ñäðóãîé ïðîñòîòîé èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ôóíêöèè ïî ñòàòèñòè÷åñêèìäàííûì. Èñòîðè÷åñêè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¼ííûìè àëüòåðíàòèâàìè ÿâëÿþòñÿ ëåîíòüåâñêèå òåõíîëîãèè (ò.å.
òåõíîëîãèè ñ ôèêñèðîâàííûìè ïðîïîðöèÿìèçàòðàò ôàêòîðîâ) è òåõíîëîãèè ÊîááàÄóãëàñà, ïðåäëîæåííûå â [23]. Ëåîíòüåâñêèå òåõíîëîãèè îïèñûâàþò ñëó÷àé íåçàìåùàåìûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ, òîãäà êàê òåõíîëîãèè ÊîááàÄóãëàñà ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àþ åäèíè÷íîéýëàñòè÷íîñòè èõ çàìåùåíèÿ.  ðàáîòå [19] áûëî îòìå÷åíî, ÷òî ñîãëàñíî ñòàòèñòèêå, ñóùåñòâóþò îòðàñëè ïðîèçâîäñòâà, äëÿ êîòîðûõ ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ìåæäó 0 è 1. Äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ îòðàñëåé â [19]áûë ïðåäëîæåí êëàññ òåõíîëîãèé ñ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþçàìåùåíèÿ â ñëó÷àå äâóõ ôàêòîðîâ.
 ñëó÷àå ìíîãèõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ êëàññ òåõíîëîãèé ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ çàìåùåíèÿ îïèñûâàåòñÿôóíêöèÿìè âèäà q = qα äëÿ íåêîòîðîãî α ∈ [−∞, 1], ãäå1qα (x) = C(a1 xα1 + · · · + an xαn ) α ,q−∞ (x) = C min(a1 x1 , . .
. , an xn ),α ∈ (−∞, 1] \ 0,(1.9)q0 (x) = Cxa11 · · · xann ,è C , a1 , . . ., an > 0, a1 + · · · + an = 1. Ýòîò êëàññ òåõíîëîãèé î÷åíü ïîïóëÿðåí â ýêîíîìè÷åñêîé ëèòåðàòóðå áëàãîäàðÿ ïðîñòîòå àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèéè ðàçâèòûì ìåòîäàì èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì.Íåäîñòàòêîì ýòîãî òèïà òåõíîëîãèé ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå îá îäèíàêîâîé32ýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ äëÿ êàæäîé ïàðû ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ.  êà÷åñòâå îáîáùåíèÿ òåõíîëîãèé ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ çàìåùåíèÿ â ðàáîòå[68] áûëî ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü äâóõóðîâíåâûå âëîæåííûå CES-ôóíêöèè.Íà ïðàêòèêå ýòî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü, ê ïðèìåðó, ÷òî ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿêàïèòàëà è íåêâàëèôèöèðîâàííîé ðàáî÷åé ñèëû ÷àñòî âûøå, ÷åì ýëàñòè÷íîñòüçàìåùåíèÿ êàïèòàëà è êâàëèôèöèðîâàííîé ðàáî÷åé ñèëû (òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò êîìïëåìåíòàðíîñòè ¾êàïèòàë-êâàëèôèêàöèÿ¿). äèññåðòàöèè ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññ CES ïðîèçâîäñòâåííûõ òåõíîëîãèéè øèðîêèé êëàññ ïðîèçâîäñòâåííûõ òåõíîëîãèé, îïèñûâàåìûõ íåîêëàññè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñåáåñòîèìîñòè q âèäà (1.8) è òàêèõ, ÷òîìíîæåñòâà óðîâíÿ ôóíêöèè q îãðàíè÷åíû.(1.10)Êëàññ òåõíîëîãèé, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèÿìè q âèäà (1.8), (1.10) ñîäåðæèò ëèíåéíûå ôóíêöèè ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, CES-ôóíêöèè qα ñ α ∈(0, 1] è çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ÷àñòè÷íîé êîìïîçèöèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëå1äóþùèì îáðàçîì.
Äëÿ äâóõ ôóíêöèé q : Rk+ → R1+ , k ≥ 2, è φ : Rm+ → R + , m ≥ 2,ïîä ÷àñòè÷íîé êîìïîçèöèåé ïî àðãóìåíòó i ∈ {1, . . . , k} ïîíèìàåòñÿ ôóíêöèÿqe, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:qe(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xk , y) = q(x1 , . . . , xi−1 , φ(y), xi+1 , . . . , xk ),x = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xk ) ∈ Rk−1+ ,y ∈ Rm+.(1.11)Èññëåäîâàíèå çàäà÷ 1.1 è 1.2 ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ çàäà÷ õàðàêòåðèçàöèèè îáðàùåíèÿ äëÿ îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà Rq è èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ òèïà Ðàäîíà Rqh .
Îáîáù¼ííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ðàäîíà Rq îïðåäåëÿåòñÿôîðìóëîéZ(Rq f )(p) =f (x)dSx,|∇qp (x)|p ∈ Rn+ ,(1.12)qp−1 (1)ãäå qp (x) = q(p1 x1 , . . . , pn xn ), ∇ ñòàíäàðòíûé ãðàäèåíò ïî ïåðåìåííîé x, àdSx ïîâåðõíîñòíàÿ ìåðà íà qp−1 (1).Èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû òèïà Ðàäîíà Rqh îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé(Rqh µ)(p) =ZRn+h q(p1 x1 , . . . , pn xn ) µ(dx),p ∈ Rn+ ,(1.13)33ãäå ôóíêöèÿ h : R1+ → R.  ñëó÷àå, êîãäà µ(dx) = f (x)dx ìû áóäåì îáîçíà÷àòüRqh f := Rqh µ. ëåììå 1.3 èç 1.3 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèè Πq f è Rq f ñâîäÿòñÿ äðóãê äðóãó ïîâòîðíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì è èíòåãðèðîâàíèåì, ñîîòâåòñòâåííî.Êðîìå òîãî, îïåðàòîð Πq ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îïåðàòîðà Rqh , ñîîòâåòñòâóþùèì âûáîðó h(t) = max{0, p0 − t}. íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû èçó÷àåì ñëåäóþùèå çàäà÷è äëÿ îïåðàòîðîâ Rq è Rqh ,îáîáùàþùèå çàäà÷è 1.1 è 1.2.Çàäà÷à 1.3 (õàðàêòåðèçàöèÿ).
Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿíà ôóíêöèþ F , ïðè êîòîðûõ îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå F = Rqh µ äëÿ íåêîòîðûõh, q è µ .Çàäà÷à 1.4 (îáðàùåíèå). Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ â òåðìèíàõ q (ñîîòâ. q è h), ïðè êîòîðûõ îïåðàòîð Rq (ñîîòâ. Rqh ) îáðàòèì, èóêàçàòü ôîðìóëû îáðàùåíèÿ.Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé, êàñàþùèõñÿ îïðåäåëåíèÿ îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà (1.12). Èññëåäîâàíèå îáîáù¼ííûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ðàäîíàñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òàêîé îáëàñòè ìàòåìàòèêè êàê èíòåãðàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ. Èñòîðèÿ èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè âîñõîäèò ê ðàáîòàì [96], [32] è [65].  òèïè÷íîéçàäà÷å èíòåãðàëüíîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèå X è ñåìåéñòâî åãî ïîäìíîãîîáðàçèé, ïàðàìåòðèçîâàííîå ìíîãîîáðàçèåì Y .
Ôóíêöèè f íà X ïîñðåäñòâîìèíòåãðèðîâàíèÿ ñîïîñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Rf íà Y , íàçûâàåìàÿ îáîáù¼ííûìïðåîáðàçîâàíèåì Ðàäîíà ôóíêöèè f .  íàñòîÿùåé ðàáîòå X = Rn+ , à â êà÷åñòâå ñåìåéñòâà ïîäìíîãîîáðàçèé âûñòóïàþò ìíîæåñòâà óðîâíÿ Xp = qp−1 (1),p ∈ Y = Rn+ , ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíîé ôóíêöèè q , ñì. ôîðìóëó (1.12). Îñíîâíûìè îáðàòíûìè çàäà÷àìè èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè ÿâëÿþòñÿ îáðàùåíèå, êîãäà ïî Rf òðåáóåòñÿ íàéòè f , è õàðàêòåðèçàöèÿ, êîãäà òðåáóåòñÿ îïèñàòü îáðàçïðåîáðàçîâàíèÿ R, ñì. çàäà÷è 1.3 è 1.4. Ñîâðåìåííîå îïðåäåëåíèå è îñíîâíûåñâîéñòâà îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà â îáùåì ñëó÷àå ñì., íàïðèìåð,â ðàáîòàõ [13, 37]. Ýòî îïðåäåëåíèå âîñõîäèò ê ðàáîòå [92], ãäå áûëî ââåäåíîïîíÿòèå äâîéíîãî ðàññëîåíèÿ, îáîáùàþùåå ïîíÿòèå èíöèäåíòíîñòè èç ðàáîòû[20] è ïîíÿòèå äâîéñòâåííîñòè èç ðàáîòû [39]. Íàèáîëåå èçó÷àåìûì â ëèòåðàòóðå ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ðàäîíà ïî k -ïëîñêîñòÿì â Rn (îñîáåííî ïðè k = 1è k = n − 1).
Îáçîð äðóãèõ ðàññìàòðèâàåìûõ â ëèòåðàòóðå ñëó÷àåâ ïðèâåä¼í â[54, 5.10.4].34Îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿÍàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ. Ïóñòü µ áîðåëåâñêàÿ ìåðà (ñî çíàêîì) íà Rn+ , à µ = µ+ − µ− å¼ðàçëîæåíèå Æîðäàíà. Ïîëîæèì |µ| = µ+ + µ− .Íà ïðîñòðàíñòâå áîðåëåâñêèõ ìåð íà Rn+ ìû îïðåäåëÿåì ñëåäóþùèå íîðìû:Zkµkc =x−c |µ|(dx),(1.14)c ∈ Rn .Rn+Çäåñü è äàëåå ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå ab = ab11 · · · abnn äëÿ âåêòîðîâ a =(a1 , . . . , an ) è b = (b1 , .
. . , bn ).Äëÿ ôóíêöèè f íà Rn+ , ÷èñëà r ∈ [1, ∞] è âåêòîðà c ∈ Rn ïîëîæèìZkf kr,c =|f (x)|r xrc−I dx1/r,r ∈ [1, ∞),Rn+(1.15)kf k∞,c = inf{K ≥ 0 : |f (x)xc | ≤ K äëÿ ï.â. x ∈ Rn+ },ãäå I = (1, . . . , 1). ×åðåç Lrc (Rn+ ) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé fíà Rn+ ñ êîíå÷íîé íîðìîé kf kr,c . Çàìåòèì, ÷òî åñëè µ(dx) = f (x)dx, òî kµkc =kf k1,I−c .Ïðîñòðàíñòâî Lr (c + iRn ), c ∈ Rn , 1 ≤ r ≤ ∞, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâîèçìåðèìûõ ôóíêöèé ϕ íà ïëîñêîñòèc + iRn = z ∈ Cn | Re z = c ,ãäå Re z = (Re z1 , .
. . , Re zn ), z = (z1 , . . . , zn ), îáëàäàþùèõ êîíå÷íîé íîðìîéZrkϕkLr (c+iRn ) =1/r|ϕ(c + iξ)| dξ.RnÏðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ôóíêöèè f ∈ L1c (Rn+ ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé− n2Z(M f )(z) = (2π)xz−I f (x) dx,Re z = c.(1.16)Rn+Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ôóíêöèè ϕ ∈ L1 (c + iRn ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëå-35äóþùèì îáðàçîì:(Mc−1 ϕ)(x)− n2Z= (2π)x−z ϕ(z) dz,x ∈ Rn+ .(1.17)c+iRnÌû ïîêàæåì â 1.4, ÷òî îïåðàòîðû M è Mc−1 ïðîäîëæàþòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè äî âçàèìíî îáðàòíûõ èçîìåòðèé L2c (Rn+ ) è L2 (c + iRn ).1.2Íåïðåðûâíîñòü è õàðàêòåðèçàöèÿ ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïðèâîäèì ðåøåíèå çàäà÷ 1.1 è 1.3.
Ìû ñôîðìóëèðóåì òåîðåìû õàðàêòåðèçàöèè äëÿ îïåðàòîðîâ Rqh è Πq â ñëó÷àå îáùèõ íåîêëàññè÷åñêèõôóíêöèé q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (1.8) è (1.10), à òàêæå â ÷àñòíîì ñëó÷àåôóíêöèé q ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ çàìåùåíèÿ, òî åñòü êîãäà q = qα , à qαîïðåäåëåíî â ôîðìóëå (1.9). ñëåäóþùåé òåîðåìå óñòàíàâëèâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðîâ Rq , Rqh èΠq íà ïðîñòðàíñòâàõ LrI−c (Rn+ ), r ∈ [1, ∞], c ∈ Rn+ , è ïðèâîäÿòñÿ ñîîòíîøåíèÿäëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà ôóíêöèé Rq f , Rqh f , Πq f , ãäå f ∈ LrI−c (Rn+ ).Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8) è (1.10). Ïóñòü f ∈ LrI−c (Rn+ ) ïðèíåêîòîðûõ c ∈ Rn+ è r ∈ [1, ∞].
Ïóñòü h ∈ L1α (R1+ ), α = c1 + · · · + cn . Òîãäàñïðàâåäëèâû îöåíêè:kRq f kr,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c kf kr,I−c ,(1.18)kRqh f kr,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c khk1,α kf kr,I−c ,(1.19)−1 −qk(Πq f )0 kr,c ≤ pα+10 Γ(α + 2) ke k1,c kf kr,I−c ,(1.20)ãäå p0 > 0 çàôèêñèðîâàíî, Γ îáîçíà÷àåò ãàììà-ôóíêöèþ, I = (1, . . . , 1), (Πq f )0 =Πq f (p0 , ·). Êðîìå òîãî, åñëè r ∈ {1, 2}, òî äëÿ ï.â. z ∈ c + iRn ñïðàâåäëèâûôîðìóëûn(M Rq f )(z) = (2π) 2 Γ(s)−1 (M f )(I − z) · (M e−q )(z),(M Rqh f )(z) = (2π)n+12n2Γ(s)−1 (M f )(I − z) · (M e−q )(z) · (M h)(s),−1−q(M (Πq f )0 )(z) = (2π) ps+10 Γ(s + 2) (M f )(I − z) · (M e )(z),(1.21)(1.22)(1.23)ãäå s = z1 + · · · + zn .Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (1.21), (1.22), (1.23) àíàëîãè÷íû ïðîåêöèîííîé ôîð-36ìóëå äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè ïî ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå å¼ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà.
Ìîæíî ïðèâåñòè àíàëîã òåîðåìû 1.1 äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îïåðàòîðû Rqh èΠq ðàññìàòðèâàþòñÿ â êëàññå áîðåëåâñêèõ ìåð íà Rn+ ñ êîíå÷íîé íîðìîé k · kc ,c ∈ Rn+ .Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8) è (1.10). Çàôèêñèðóåì c ∈ Rn+ ,r ∈ [1, ∞) è îáîçíà÷èì α = c1 + · · · + cn . Ïóñòü µ áîðåëåâñêàÿ ìåðà íà Rn+ ,kµkc < ∞, è ïóñòü h ∈ Lrα (R1+ ). Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêèkRqh µkr,c ≤ Γ(αr)−1/r ke−q/r kr,c khkr,α kµkc ,(α+1)rk(Πq µ)0 kr,c ≤ p0Γ(r+1)1/rke−q/r kr,c kµkc ,Γ(r+1+αr)1/r(1.24)(1.25)ãäå (Πq µ)0 = Πq µ(p0 , ·) è p0 > 0 çàôèêñèðîâàíî.
Êðîìå òîãî, åñëè r = 1 (ñîîòâ.r = 1, h ≥ 0) è µ ≥ 0, òî â ôîðìóëå (1.25) (ñîîòâ. (1.24)) èìååò ìåñòîðàâåíñòâî. Íàêîíåö, åñëè r ∈ {1, 2}, òî ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû(M Rqh µ)(z) = (2π)n+12Γ(s)−1 (M µ)(I − z) · (M e−q )(z) · (M h)(s),n−1−q(M (Πq µ)0 )(z) = (2π) 2 ps+10 Γ(s + 2) (M µ)(I − z) · (M e )(z),(1.26)(1.27)ãäå s = z1 + · · · + zn , z ∈ c + iRn è I = (1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
