Диссертация (1103157), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû Rqh îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé(Rqh µ)(p)Z=h q(p1 x1 , . . . , pn xn ) µ(dx),p ∈ Rn+ ,(4)Rn+ãäå h : R1+ → R.  ÷àñòíîñòè, ñëó÷àþ h(t) = max{0, p0 − t} ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ ïðèáûëè â îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà:Z(Πq µ)(p0 , p) =max 0, p0 − q(p1 x1 , . . . , pn xn ) µ(dx),p0 > 0, p ∈ Rn+ .(5)Rn+ ýòîé ìîäåëè âåëè÷èíû â ôîðìóëå (5) èíòåðïðåòèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ôóíêöèÿ q îïèñûâàåò (ìèêðîóðîâíåâûå) òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà â òåðìèíàõñåáåñòîèìîñòè åäèíèöû âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè, ìåðà µ çàäà¼ò ðàñïðåäåëåíèåìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿì, à ÷èñëî p0 è âåêòîð p ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåíû çàåäèíèöó âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè è ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ, ñîîòâåòñòâåííî.11Ñâîéñòâà (3) îïèñûâàþò íåîêëàññè÷åñêèå òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà îáùåãîâèäà, äîïóñêàþùèå çàìåùåíèå ïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ. Îäíàêî íà ïðàêòèêå òåõíîëîãèè ÷àñòî àïïðîêñèìèðóþò ñòàíäàðòíûìè ôóíêöèÿìè, èäåíòèôèöèðóÿ ïàðàìåòðû ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì.
Ïðè ýòîì âûáîð ñòàíäàðòíûõôóíêöèé çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé ìåðå ïðîèçâîäñòâåííûå ôàêòîðû äðóã äðóãàçàìåùàþò.Íàèáîëåå èñïîëüçóåìîé õàðàêòåðèñòèêîé çàìåùàåìîñòè ïðîèçâîäñòâåííûõôàêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ýëàñòè÷íîñòü èõ çàìåùåíèÿ, ââåäåííàÿ â [42] â ñëó÷àå äâóõôàêòîðîâ.  îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèå ýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì çàòðóäíèòåëüíî, è íà ïðàêòèêå äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î å¼ïîñòîÿííîñòè. Ñëó÷àé íóëåâîé ýëàñòè÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ëåîíòüåâñêèì ïðîèçâîäñòâåííûì òåõíîëîãèÿì, à ñëó÷àé åäèíè÷íîé ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèèÊîááàÄóãëàñà, ââåä¼ííîé â [23]. Ôóíêöèÿ ÊîááàÄóãëàñà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåéè íàèáîëåå èñïîëüçóåìîé íà ïðàêòèêå ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèåé, äîïóñêàþùåé çàìåùåíèå ôàêòîðîâ, îäíàêî å¼ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ ñèëüíî îãðàíè÷åíà.
Êïðèìåðó, ñîãëàñíî [19], ñóùåñòâóþò îòðàñëè ïðîèçâîäñòâà, â êîòîðûõ ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿ òðóäà è êàïèòàëà ìîæåò áûòü ìåíüøå îäíîãî.Îáùàÿ äâóõôàêòîðíàÿ ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ çàìåùåíèÿ (CES-ôóíêöèÿ) áûëà ââåäåíà â ðàáîòå [19]. Âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ôàêòîðîâ áûëè ïðåäëîæåíû Allen èHicks, Uzawa, McFadden, Morishima è äðóãèìè, êðàòêèé îáçîð ñì. â [31].
Òåìíå ìåíåå, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êëàññ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ âñå ýòè ýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ ïîñòîÿííû. Ýòèì ïðîèçâîäñòâåííûìôóíêöèÿì ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèè ñåáåñòîèìîñòè âèäà q = qα , α ∈ [−∞, 1], ãäåqα (x) = C (a1 x1 )α + · · · + (an xn )αq−∞ (x) = C min(a1 x1 , . . . , an xn ), α1,α ∈ (−∞, 1] \ 0,(6)q0 (x) = Cxa11 · · · xann ,è C , a1 , . . ., an > 0, a1 + · · · + an = 1. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè CES-ôóíêöèèçàâîåâàëè ïîïóëÿðíîñòü â òåîðèè ïðîèçâîäñòâà, ãäå îíè çàìåíÿþò ôóíêöèèÊîááàÄóãëàñà. Îäíàêî âàæíûì íåäîñòàòêîì CES-ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîîíè ïðåäïîëàãàþò ïîñòîÿííóþ ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿ ìåæäó ëþáîé ïàðîéïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ.Ê.
Ñàòî ïðåäëîæèë ðàññìàòðèâàòü âëîæåííûå CES ïðîèçâîäñòâåííûå ôóíêöèè, ïîçâîëÿþùèå ó÷èòûâàòü ðàçëè÷íûå ýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ ìåæäó ïðî-12èçâîäñòâåííûìè ôàêòîðàìè â ðàçëè÷íûõ ãðóïïàõ, ñì. [68]. Òàêèå ôóíêöèè ïîçâîëÿþò, â ÷àñòíîñòè, ó÷åñòü, ÷òî ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿ êàïèòàëà è íåêâàëèôèöèðîâàííîé ðàáî÷åé ñèëû âûøå, ÷åì êàïèòàëà è êâàëèôèöèðîâàííîé (òàêíàçûâàåìûé ýôôåêò êîìïëåìåíòàðíîñòè ¾êàïèòàë-êâàëèôèêàöèÿ¿, âïåðâûå ôîðìàëèçîâàííûé â [35]). äèññåðòàöèè ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññ CES-ôóíêöèé è áîëåå îáùèé êëàññïðîèçâîäñòâåííûõ òåõíîëîãèé, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèÿìè ñåáåñòîèìîñòè q âèäà(3), óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ, ÷òîìíîæåñòâà óðîâíÿ ôóíêöèè q îãðàíè÷åíû.(7)Çàìåòèì, ÷òî êëàññ òåõíîëîãèé, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèÿìè q âèäà (3), (7), ñîäåðæèò ëèíåéíûå ôóíêöèè ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, CES-ôóíêöèè ñα ∈ (0, 1] è çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ÷àñòè÷íîé êîìïîçèöèè.
Ïîä ÷àñòè÷íîé êîì1ïîçèöèåé ôóíêöèé q : Rk+ → R1+ , k ≥ 2, è φ : Rm+ → R+ , m ≥ 2, ïî àðãóìåíòói ∈ {1, . . . , k} ïîíèìàåòñÿ ôóíêöèÿ qe, îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:qe(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xk , y) = q(x1 , . . . , xi−1 , φ(y), xi+1 , . . . , xk ),x = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . .
. , xk ) ∈ Rk−1+ ,y ∈ Rm+.(8)Çàìåòèì, ÷òî âëîæåííûå CES-ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê ôóíêöèè, ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòè÷íûõ êîìïîçèöèé CES-ôóíêöèé.Ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷è õàðàêòåðèçàöèè è îáðàùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ Rqè Rqh , êîòîðûå ôîðìóëèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Çàäà÷à 1 (õàðàêòåðèçàöèÿ). Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íàôóíêöèþ F , ïðè êîòîðûõ îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå F = Rqh µ äëÿ íåêîòîðûõ h,q è µ.Çàäà÷à 2 (îáðàùåíèå).
Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ â òåðìèíàõ q è h, ïðè êîòîðûõ îïåðàòîðû Rqh è Rq îáðàòèìû, è óêàçàòü ôîðìóëûîáðàùåíèÿ. ïàðàãðàôå 1.2 ìû ïðèâîäèì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ íåïðåðûâíîñòè è õàðàêòåðèçàöèè îïåðàòîðîâ Rq è Rqh , à â ïàðàãðàôàõ 1.31.5ìû äîêàçûâàåì ýòè ðåçóëüòàòû. Îïåðàòîðû òèïà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà, êàêïðàâèëî, óäà¼òñÿ óñïåøíî èçó÷àòü ìåòîäàìè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà.  ñëó÷àåàíàëèçà â Rn+ âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìîå è îáðàòíîå13ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè− n2Zxz−I f (x) dx, z ∈ Cn , I = (1, .
. . , 1),Rn+Z−1−n− n2(Mc ϕ)(x) = i (2π)x−z ϕ(z) dz, x ∈ Rn+ , c ∈ Rn ,(M f )(z) = (2π)(9)(10)c+iRnãäå âîçâåäåíèå âåêòîðà â âåêòîðíóþ ñòåïåíü ïîíèìàåòñÿ â ïîêîìïîíåíòíîìñìûñëå. Îïåðàòîð M åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü íà ïðîñòðàíñòâàõ Lpc (Rn+ ), c ∈Rn , p ∈ [1, ∞], àíàëîãè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàì Lp (Rn ) â ñëó÷àå àíàëèçà â Rn+ .Lpc (Rn+ ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ êîíå÷íîé íîðìîékf kp,c =RRn+1/p|f (x)|p xpc−I dx,p ∈ [1, ∞),kf k∞,c = inf{K ≥ 0 : |f (x)xc | ≤ K äëÿ ï.â.
x ∈ Rn+ }.Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà íà ïðîñòðàíñòâàõ Lpc (Rn+ ) ñïðàâåäëèâû àíàëîãèìíîãèõ òåîðåì äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà ïðîñòðàíñòâàõ Lp (Rn ), ñì. 1.4.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì, êàñàþùèìñÿ íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðîâ Rq è Rqh âûñòóïàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ïðîåêöèîííîé òåîðåìû äëÿêëàññè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå å¼ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà.Òåîðåìà 1. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (3) è (7). Ïóñòü f ∈ LpI−c (Rn+ ) ïðèíåêîòîðûõ c = (c1 , .
. . , cn ) ∈ Rn+ è p ∈ [1, ∞]. Ïóñòü h ∈ L1α (R1+ ), ãäå α =c1 + · · · + cn . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè:kRq f kp,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c kf kp,I−c ,(11)kRqh f kp,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c khk1,α kf kp,I−c ,(12)ãäå Γ ãàììà-ôóíêöèÿ. Êðîìå òîãî, åñëè p = 1 èëè p = 2, òî äëÿ ï.â.z ∈ c + iRn ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàn(2π) 2 (M f )(I − z) · (M e−q )(z) = (M Rq f )(z) · Γ(z1 + · · · + zn ),(2π)n+12(M f )(I − z) · (M e−q )(z) · (M h)(z1 + · · · + zn )= (M Rqh f )(z) · Γ(z1 + · · · + zn ).(13)(14)Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (14) îñòà¼òñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ñëó÷àå, êîãäà îïåðà-14òîð Rqh ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ïðîñòðàíñòâå áîðåëåâñêèõ ìåð.Çàòåì ìû ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è õàðàêòåðèçàöèè äëÿ èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ Ðàäîíà Rqh â ñëó÷àå ôóíêöèé q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (3)è (7). Ïîëîæèìρhq (z) = (2π)−n+12Γ(z1 + · · · + zn )Γ(z1 ) · · · Γ(zn ),(M e−q )(z) · (M h)(z1 + · · · + zn )z = (z1 , .
. . , zn ).(15)Îïðåäåëèì îïåðàòîð Tqh ôîðìóëîé Tqh f = Mc−1 ρhq M f . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (14),ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîìïîçèöèÿ îïåðàòîðà Tqh ñ îïåðàòîðîì Rqh ðàâíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà. Êîìáèíèðóÿ ýòîò ðåçóëüòàò ñ òåîðåìîé õàðàêòåðèçàöèèäëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (òåîðåìîé Áåðíøòåéíà), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþòåîðåìó õàðàêòåðèçàöèè äëÿ îïåðàòîðà Rqh . Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ g : Rn+ → Ríàçûâàåòñÿ âïîëíå ìîíîòîííîé, åñëè g ∈ C ∞ (Rn+ ) è ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà|α| ∂(−1)|α|g(p)≥ 0,∂pαα ∈ Zn+ ,p ∈ Rn+ .(16)Òåîðåìà 2. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (3) è (7) è ïóñòü (M e−q )(z) 6= 0 ï.â. ïðèRe z = c, ãäå c ∈ Rn+ .
Ïóñòü h ∈ L2α (R1+ ), ãäå α = c1 + · · · + cn , è (M h)(s) 6= 0ï.â. ïðè Re s = α. Ïóñòü ρhq ∈ L2 (c + iRn ) ∪ L∞ (c + iRn ).Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ôóíêöèÿ f : Rn+ → R ïðåäñòàâèìà â âèäå f = Rqh µ,Rãäå µ áîðåëåâñêàÿ ìåðà íà Rn+ òàêàÿ ÷òî µ ≥ 0, x−c µ(dx) < ∞, òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäàkf k2,c < ∞,kTqh f k1,c < ∞,Tqh f âïîëíå ìîíîòîííà.(17) çàêëþ÷èòåëüíîé ÷àñòè 1.2 ìû îáðàùàåìñÿ ê çàäà÷å õàðàêòåðèçàöèè îïåðàòîðà Πq èç ôîðìóëû (5) â ñëó÷àå, êîãäà q = qα , à qα îïðåäåëåíî â ôîðìóëå(6). Ìû ðåøàåì çàäà÷ó õàðàêòåðèçàöèè, óêàçûâàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûéîïåðàòîð Fα , êîìïîçèöèÿ êîòîðîãî ñ îïåðàòîðîì Πqα ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåìËàïëàñà, è êîìáèíèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò ñ òåîðåìîé õàðàêòåðèçàöèè äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.
Âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì îïåðàòîðà Fα ïî ñðàâíåíèþ ñ Tqhÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â í¼ì äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå âåä¼òñÿ òîëüêîïî îäíîé ïåðåìåííîé. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèâåä¼í â òåîðåìå 1.4. Èäåÿ ïîëó÷åíèÿîïåðàòîðà Fα áûëà ïðèâåäåíà â ðàáîòå [41] â ñëó÷àå α = 1. Ýòà èäåÿ áûëàîáîáùåíà íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ α â ðàáîòå [86].Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàòñÿ çàäà÷à îáðàùåíèÿ äëÿ îáîáù¼ííîãî ïðå-15îáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà Rq è äëÿ èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ òèïà Ðàäîíà Rqh , âêëþ÷àÿ ñëó÷àé îïåðàòîðà ïðèáûëè Πq â îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ãëàâû 2 ïðèâåäåíû â ïàðàãðàôå 2.1, à äîêàçàòåëüñòâîýòèõ ðåçóëüòàòîâ ïðîâîäèòñÿ â ïàðàãðàôàõ 2.22.5.Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (13) è (14) ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îáðàùåíèÿ îïåðàòîðîâ Rq è Rqh .
 ñëó÷àå îïåðàòîðà Rqh , íàïðèìåð, òðåáóåòñÿ âûðàçèòü M f÷åðåç M Rqh f è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé îáðàùåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà M . Îäíàêî ýòîò ïîäõîä òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà è íåìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ íà ïðàêòèêå. Åñëè æå íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë çàìåíèòüñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì, òî ìû ïîëó÷èì ïðèáëèæ¼ííóþ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ.Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îøèáêà âîññòàíîâëåíèÿ ïðèâîäèòñÿ â òåîðåìå 2.1.Çàòåì ìû ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ âîïðîñà õàðàêòåðèçàöèè òåõ ôóíêöèéq è h, äëÿ êîòîðûõ îïåðàòîðû Rq , Πq è Rqh ÿâëÿþòñÿ îáðàòèìûìè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êðèòåðèåâ îáðàòèìîñòè îïåðàòîðîâ Rq è Rqh ìû äîêàçûâàåì è èñïîëüçóåìàíàëîãè òàóáåðîâûõ òåîðåì Âèíåðà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå èñïîëüçóåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà. Òàóáåðîâû òåîðåìû Âèíåðà ïîçâîëÿþò ñâÿçàòü ïîëíîòó â Lr (Rn ) ëèíåéíîé îáîëî÷êè ìíîæåñòâà àääèòèâíûõñäâèãîâ âèäà fa = f (· − a), a ∈ Rn , íåêîòîðîé ôóíêöèè f ñ âåëè÷èíîé ìíîæåñòâà íóëåé å¼ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
