Диссертация (1103157), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû îñíîâàíî íà ëåììàõ 1.1è 1.2.Ëåììà 1.3. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8), à f ∈ C(Rn+ ). Êðîìå òîãî, ïóñòüëèáî q óäîâëåòâîðÿåò (1.10) è f ∈ L∞ (Rn+ ), ëèáî f ∈ L1 (Rn+ ). Òîãäà:(Rq f )(p) =(Πq f )(p0 , p) =∂2(Πq f )(p0 , p)p0 =1 , p ∈∂p20Z p0 Z st−1 (Rq f )( pt ) dt ds,00(1.43)Rn+ ,p0 > 0, p ∈ Rn+ .(1.44)Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:Z∂(1.39)(Πq f )(p0 , p) ==∂p0(1.36)Zp0f (x) dx ==t−1 (Rq f )ptdt.(1.45)0qp (x)≤p0Îòñþäà, äèôôåðåíöèðóÿ ïî p0 è ïîëàãàÿ p0 = 1, ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1.43).Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:Πq (p0 , p) ≤ p0Z|f (x)| dx,p0 > 0, p ∈ Rn+ .qp (x)≤p0Ñëåäîâàòåëüíî, Πq (p0 , p) → 0 ïðè p0 → +0.
Èíòåãðèðóÿ ôîðìóëó (1.45), ïîëó÷èì ôîðìóëó (1.44).Ñëåäóþùàÿ ëåììà áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è õàðàêòåðèçàöèè äëÿ ôóíêöèè ïðèáûëè Πq â ñëó÷àå, êîãäà q = qα , à qα îïðåäåëÿåòñÿ âôîðìóëå (1.9).Ëåììà 1.4. Ïóñòü q1 , q2 óäîâëåòâîðÿþò (1.8). Ïóñòü µ1 , µ2 íåîòðèöàòåëüíûå áîðåëåâñêèå ìåðû íà Rn+ , äëÿ êîòîðûõ µ1 (Lq1 (p0 , p)) = µ2 (Lq2 (p0 , p))42äëÿ âñåõ p ∈ Rn+ , p0 > 0. Ïóñòü h íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà R1+ èRnRn+ h(qj (p1 x1 , .
. . , pn xn )) µj (dx) < ∞, j = 1, 2, äëÿ âñåõ p ∈ R+ . Òîãäà äëÿ âñåõp ∈ Rn+ âåðíî ðàâåíñòâîZZh(q2 (p1 x1 , . . . , pn xn ))µ2 (dx).h(q1 (p1 x1 , . . . , pn xn ))µ1 (dx) =Rn+Rn+Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ïðè êàæäîì p ∈ Rn+ îáîáù¼ííûå ôóíêöèè νp,1 ,νp,2 ∈ D 0 (R1+ ) êàê ñëåäóþùèå ïðîèçâîäíûå â ñìûñëå òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé:νp,j =∂∂p0 µj (Lqj (p0 , p)),(1.46)j = 1, 2.Çàìåòèì, ÷òî νp,1 è νp,2 çàäàþò íåîòðèöàòåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Èç òåîðåìû[72, Chapitre I, Theoreme V] ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ νp,1 è νp,2 ïðåäñòàâèìûíåîòðèöàòåëüíûìè áîðåëåâñêèìè ìåðàìè νp,1 (ds) è νp,2 (ds) íà R1+ òàêèìè, ÷òîZp0µj (Lqj (p0 , p)) =j = 1, 2, p0 > 0, p ∈ Rn+ .νp,j (ds),(1.47)0Èç ôîðìóëû (1.47) è èç óñëîâèé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ìåðû νp,1 (ds) è νp,2 (ds)ñîâïàäàþò ïðè âñåõ p ∈ Rn+ .
Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèèu ∈ D(R1+ ) è äëÿ ëþáîãî p ∈ Rn+ , ñ ó÷¼òîì (1.46), ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿöåïî÷êà ðàâåíñòâ:Z∞Z∞u(s)νp,j (ds) = −0ZZ∞=−du(s)ds0µj (dx) dsqj,p (x)≤sdu(s)ds µj (dx) =dsRn+ qj,p (x)ZZu(qj,p (x)) µj (dx),j = 1, 2,Rn+ãäå qj,p (x) = qj (p1 x1 , . . . , pn xn ).Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî ìåð νp,1 (ds) è νp,2 (ds), ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîéôóíêöèè u ∈ D(R1+ ) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàZZu(q1,p (x)) µ1 (dx) =Rn+u(q2,p (x)) µ2 (dx),Rn+p ∈ Rn+ .(1.48)43Âûáèðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé u ∈ D(R1+ ), ìîíîòîííî ñõîäÿùèõñÿ ê h, è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ôîðìóëå (1.48), ïîëó÷èì òðåáóåìîåóòâåðæäåíèå.1.4Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 1.1 è 1.2Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà (1.16) ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿñëó÷àÿ àíàëèçà â ïîëîæèòåëüíîì îðòàíòå Rn+ .
Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ìîæíîñâåñòè ê ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ. Èñïîëüçóÿ ýòîñâåäåíèå, ìû ïåðåïèøåì íåñêîëüêî èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå â òåðìèíàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà.Íàïîìíèì, ÷òî ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèè f ∈L1 (Rn ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:− n2Z(Ff )(ξ) = (2π)n(F −1 f )(ξ) = (2π)− 2ZRne−iξx f (x) dx,eiξx f (x) dx,ξ ∈ Rn ,ξ ∈ Rn .(1.49)(1.50)RnËåììà 1.5 (òîæäåñòâî Ïàðñåâàëÿ).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:(A) Ïóñòü f ∈ L1c (Rn+ ) ∩ L2c (Rn+ ), ãäå c ∈ Rn . ÒîãäàkM f kL2 (c+iRn ) = kf k2,c .(1.51)(B) Ïóñòü ϕ ∈ L1 (c + iRn ) ∩ L2 (c + iRn ), c ∈ Rn . ÒîãäàkMc−1 ϕk2,c = kϕkL2 (c+iRn ) .(1.52)Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîãî c ∈ Rn îïðåäåëèì îïåðàòîðû Ec è Tc :(Ec f )(y) = ecy f (ey ),(Tc ϕ)(ξ) = ϕ(c + iξ),y ∈ Rn ,ξ ∈ Rn ,(1.53)(1.54)ãäå ey = (ey1 , . .
. , eyn ), y = (y1 , . . . , yn ). Èç îïðåäåëåíèé (1.16), (1.17) è (1.49),(1.50) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿM = Tc−1 F −1 Ec íà L1c (Rn+ ),(1.55)44Mc−1 = Ec−1 FTc íà L1 (c + iRn ).(1.56)Äàëåå, èç ôîðìóë (1.53) è (1.54) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ r ∈ [1, ∞]Ec èçîìåòðèÿ Lrc (Rn+ ) íà Lr (Rn ),(1.57)Tc èçîìåòðèÿ Lr (c + iRn ) íà Lr (Rn ).(1.58)Èç ôîðìóë (1.55), (1.56), (1.57) è (1.58) è èç èçîìåòðè÷íîñòè îïåðàòîðîâ F èF −1 íà L2 (Rn ) ñëåäóþò ôîðìóëû (1.51) è (1.52).Çàìåòèì, ÷òî èç ôîðìóë (1.51) è (1.52) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðû M è Mc−1ïðîäîëæàþòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè äî èçîìåòðèéM : L2c (Rn+ ) → L2 (c + iRn ),Mc−1 : L2 (c + iRn ) → L2c (Rn+ ),ãäå c ∈ Rn . Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ ñïðàâäåëèâûìè ôîðìóëû (1.55) è (1.56), ãäå Fè F −1 îáîçíà÷àþò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà L2 (Rn ).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî F è F −1ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè îïåðàòîðàìè íà L2 (Rn ), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþëåììó. Ïóñòü Id îáîçíà÷àåò òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.Ëåììà 1.6. Äëÿ âñåõ c ∈ Rn ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿMc−1 M = Id íà L2c (Rn+ ),(1.59)M Mc−1 = Id íà L2 (c + iRn ).(1.60) ñëåäóþùåé ëåììå ìû ïîëó÷èì âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãî ïðåäñòàâëåíèåäëÿ èíòåãðàëîâ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè q óäîâëåòâîðÿåò (1.8) è (1.10), òî e−q ∈Lrc (Rn+ ) äëÿ âñåõ r ≥ 1 è c ∈ Rn+ .Ëåììà 1.7. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8) è (1.10). Ïóñòü h ∈ L1α (R1+ ), ãäåα > 0. Òîãäà äëÿ âñåõ x ∈ Rn+ è z ∈ Cn , Re(z1 + · · · + zn ) = α, ñïðàâåäëèâî:ZpRn+z−Ih(qp (x)) dp = (2π)n+12x−z (M e−q)(z) · (M h)(z1 + · · · + zn ).Γ(z1 + · · · + zn )(1.61)Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà êîïëîùàäè (1.36) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå (1.37).45Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:Zpz−Iyj =pj xj−zZy z−I h(q(y)) dyh(qp (x)) dp ===== xRn+Rn+Z∞ZdSydt|∇q(y/t)|0q(y/t)=1ZdSuuj =yj /t √−zuz−I===== 2πx (M h)(z1 + · · · + zn ).|∇q(u)|(1.37)== x−z−1y z−It h(t)(1.62)q(u)=1Èç ôîðìóëû (1.62) ïðè h(t) = e−t è x = I ïîëó÷àåìZn2(2π) (M e−q )(z) = Γ(z1 + · · · + zn )uz−IdSu.|∇q(u)|(1.63)q(u)=1Çàìåòèì, ÷òî Γ(s) 6= 0 ïðè Re s > 0.
Èç ôîðìóë (1.62) è (1.63) ñëåäóåò ôîðìóëà(1.61).Òåïåðü ïåðåéä¼ì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì 1.1 è 1.2.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.1. Ôîðìóëà (1.21). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:ZZZZz−I−zf (x) p exp(−qp (x)) dp dx = x f (x) y z−I e−q(y) dy dx(1.64)Rn+Rn+Rn+Rn+= (2π)n (M f )(I − z) (M e−q )(z),ãäå Re z = c. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (1.36), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ ïðè Re z = c:Zpz−IRn+Z∞=0Z(1.36)Zexp(−qp (x))f (x) dx dp ==Rn+Rn+t−1 e−tZpz−IZ∞t−1 e−t (Rq f )( pt ) dt dp0(1.65)npz−I (Rq f )( pt ) dp dt = (2π) 2 Γ(z1 + · · · + zn ) · (M Rq f )(z).Rn+Ïî òåîðåìå Ôóáèíè ëåâûå ÷àñòè ôîðìóë (1.64) è (1.65) ðàâíû. Ïðèðàâíèâàÿïðàâûå ÷àñòè ôîðìóë (1.64) è (1.65), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1.21).46Ôîðìóëû (1.22) è (1.23). Èíòåãðèðóÿ ðàâåíñòâî (1.61) ïðè Re z = c ñ âåñîìf , ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîZ Zpz−I h(qp (x)) dp f (x)dxRn+ Rn+= (2π)2n+12(M e−q )(z) · (M h)(z1 + · · · + zn ).(M f )(I − z)Γ(z1 + · · · + zn )(1.66)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðîâ Rqh è M (ñì.
ôîðìóëû (1.13) è(1.16)), ïðè Re z = c èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZpZz−IRn+nh(qp (x)) f (x) dx dp = (2π) 2 (M Rqh f )(z).(1.67)Rn+Ïî òåîðåìå Ôóáèíè ëåâûå ÷àñòè ôîðìóë (1.66) è (1.67) ðàâíû. Ïðèðàâíèâàÿïðàâûå ÷àñòè ôîðìóë (1.66) è (1.67), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1.22).Ôîðìóëà (1.23) ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (1.22), åñëè ïîëîæèòü h(t) = max{0, p0 −t} è ó÷åñòü, ÷òî(M h)(s) =ps+10,s(s + 1)Re s > 0.(1.68)Îöåíêà (1.18).
Ïóñòü r ∈ [1, ∞). Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì Éåíñåíà è ôîðìóëîé (1.12), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó:(Rq f )(p)r ≤ (Rq xc−I )(p)r−1 (Rq |f |r x(r−1)(I−c) )(p)r−1= p−c(r−1) (Rq xc−I )(I) (Rq |f |r x(r−1)(I−c) )(p)(1.63)==ke−q kr−11,c −c(r−1)p(Rq |f |r x(r−1)(I−c) )(p).r−1Γ(α)(1.69)Ïîëüçóÿñü ýòîé îöåíêîé, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:kRq f krr,cke−q kr−11,c≤Γ(α)r−1Zke−q kr1,c==Γ(α)rZ(1.69)pc−I (Rq |f |r x(r−1)(I−c) )(p) dpRn+(1.21)(1.70)xr(I−c)−I |f (x)|r dx.Rn+Ôîðìóëà (1.18) äîêàçàíà ïðè r ∈ [1, ∞).47Ñëåäóþùàÿ îöåíêà äîêàçûâàåò (1.18) ïðè r = ∞:|pc (Rq f )(p)| ≤ kf k∞,I−c p−c (Rq xc−I )(p) (1.63)= kf k∞,I−c (Rq xc−I )(I) == Γ(α)−1 ke−q k1,c kf k∞,I−c .(1.71)Îöåíêè (1.19) è (1.20). Ïóñòü r ∈ [1, ∞). Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé êîïëîùàäè(1.36), îöåíêîé (1.69) è íåðàâåíñòâîì Éåíñåíà, ìû ïîëó÷àåì îöåíêóZrr (1.36) ∞ hp −1(Rq f )(p) == (Rf)th(t)dtqt0Z ∞r−1(Rq f )( p )r tα(1−r)−1 |h(t)| dt≤ khk1,αt0Z(1.69)ke−q kr−11,c −c(r−1)r−1−1r (r−1)(I−c) p≤ khk1,αptR|f|x( t )|h(t)| dtqΓ(α)r−1(1.72)Rn+(1.36)==khkr−11,αke−q kr−11,c −c(r−1)|h|r (r−1)(I−c)pR|f|x(p).qΓ(α)r−1Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà, äîêàçûâàþùàÿ (1.19) ïðè r ∈[1, ∞):kRqh f krr,c(1.72)≤khkr−11,αke−q kr−11,cr−1Γ(α)Zpc−I Rq|h| |f |r x(r−1)(I−c) (p) dpRn+ke−q kr1,cr== khk1,αΓ(α)r(1.61)Zxr(I−c)−I |f (x)|r dx.Rn+Îöåíêà (1.19) ïðè r = ∞ ñëåäóåò èç îöåíêè c hp (Rq f )(p) ≤Z∞0p α−1p c(Rf)|h(t)| dtqtt t(1.71)≤ kRq f k∞,c khk1,α ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c khk1,α kf k∞,I−c .Îöåíêà (1.20) ïîëó÷àåòñÿ èç îöåíêè (1.19), åñëè ïîëîæèòü h(t) = max{0, p0 −t} è ó÷åñòü ôîðìóëó (1.68).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
