Диссертация (1103157), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Íàõîæäåíèå òàêèõóñëîâèé ïîçâîëèò ïîëó÷èòü õàðàêòåðèçàöèþ îòðàñëåé â îáîáù¼ííîé ìîäåëèÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà (â òåðìèíàõ èõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôóíêöèé íà ìèêðîóðîâíå), äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèáûëè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèåìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿì.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî èíúåêòèâíîñòü îïåðàòîðîâ Rq è Πq õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàëîñòüþ ìíîæåñòâà íóëåé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà ôóíêöèèe−q . Äëÿ êðàòêîñòè, ìû áóäåì ãîâîðèòü ÷òî ìíîæåñòâî S â ïëîñêîñòè H ⊂ Cnÿâëÿåòñÿ:1. 1-òîùèì, åñëè S ∩ H íèãäå íå ïëîòíî â H ,2. 2-òîùèì, åñëè S ∩ H èìååò ìåðó íóëü â H ,3. ∞-òîùèì, åñëè S ∩ H = ∅.Òåîðåìà 2.2.
Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8), (1.10) è ïóñòü c ∈ Rn+ , r ∈{1, 2, ∞}. Òîãäà îïåðàòîð Πq èíúåêòèâåí â LrI−c (Rn+ ) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà Rq èíúåêòèâåí â LrI−c (Rn+ ). Ïðè ýòîì Rq èíúåêòèâåí â LrI−c (Rn+ ) òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèè (M e−q )(z) ÿâëÿåòñÿ r-òîùèìâ ïëîñêîñòè Re z = c.Îòäåëüíî îòìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 2.2 â ñëó÷àå r = ∞ îïåðàòîðû Rq è Πqðàññìàòðèâàþòñÿ íà ôóíêöèÿõ, ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà êîòîðûõ â îáùåì ñëó÷àå íå îïðåäåëåíî, òàê ÷òî äëÿ îáðàùåíèÿ îïåðàòîðîâ Rq è Πq íå ìîãóò áûòü55èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû (1.21) è (1.23).
Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿîïåðàòîðîâ Rqh .Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü q óäîâëåòâîðÿåò (1.8), (1.10) è ïóñòü c ∈ Rn+ , α = c1 +· · · + cn , r ∈ {1, 2, ∞}. Ïóñòü h ∈ L1α (R1+ ) (à ïðè r = 2, êðîìå òîãî, h ∈L2α (R1+ )). Òîãäà îïåðàòîð Rqh èíúåêòèâåí â LrI−c (Rn+ ) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèè (M e−q )(z) ÿâëÿåòñÿ r-òîùèì â ïëîñêîñòèRe z = c, à ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèè (M h)(s) ÿâëÿåòñÿ r-òîùèì íà ïðÿìîéRe s = α.Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà q = qα , α ∈ [−∞, 1], ãäå qα îïðåäåëåíî âôîðìóëå (1.9).
Íàïîìíèì, ÷òî â îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà òàêèå ôóíêöèè q îïèñûâàþò òåõíîëîãèè ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ çàìåùåíèÿïðîèçâîäñòâåííûõ ôàêòîðîâ, ñì. 1.1. Ìû ïðèâåä¼ì òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèäëÿ ñëó÷àÿ îïåðàòîðà Πq , òàê êàê èìåííî ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëüøèé èíòåðåñ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.Íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè îäíî îáîçíà÷åíèå.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç (x1 , . . . , xn ) ñòàíäàðòíûå êîîðäèíàòû â Rn , à ÷åðåç (y1 , . . . , yn−1 , h) êîîðäèíàòû òîé æå òî÷êèâ îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, ïåðâûå (n − 1) âåêòîðîâ êîòîðîãî ëåæàò â ïëîñêîñòè x1 + · · · + xn = 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f : Rn+ → R ïîëîæèì ïîîïðåäåëåíèþx1x1xnxnfh (y1 , . . . , yn ) = f (e a1 , . . . , e an )e a1 · · · e an ,(2.6)ãäå a1 , . . . , an îïðåäåëåíû â ôîðìóëå (1.9).Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü q = qα , ãäå qα îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (1.9).
Òîãäà:1. Ïóñòü α ∈ (0, 1]. Òîãäà Πq èíúåêòèâåí â êëàññå áîðåëåâñêèõ ìåð (ñî çíàêîì), èíòåãðèðóåìûõ ñ âåñîì ω(x) = exp(−A|x|α ), A > 0.2. Ïóñòü α = 0. Òîãäà ÿäðî îïåðàòîðà Πq íà ïðîñòðàíñòâå L1 (Rn+ ) ∩ C(Rn+ )Rñîñòîèò èç âñåõ f òàêèõ, ÷òî Rn−1 fh (y)dy = 0 äëÿ âñåõ h ∈ R, ãäå fhîïðåäåëåíî â ôîðìóëå (2.6).3. Ïóñòü α ∈ (−∞, 0). Òîãäà Πq èíúåêòèâåí â L1I−c (Rn+ )∩C(Rn+ ) äëÿ ëþáîãîc ∈ Rn+ .4. Ïóñòü α = −∞. Òîãäà Πq èíúåêòèâåí â L1 (Rn+ ) ∩ C 1 (Rn+ ).56Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.4, ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ ðåñóðñîâ, ôóíêöèÿ ïðèáûëè â îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿìâî âñåõ ñëó÷àÿõ, êðîìå ñëó÷àÿ q = q0 , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâîäñòâåííîéôóíêöèè ÊîááàÄóãëàñà íà ìèêðîóðîâíå.
Òåì íå ìåíåå, â ýòîì èñêëþ÷èòåëüíîìñëó÷àå âîçìîæíî ÿâíî îïèñàòü ÿäðî îïåðàòîðà ïðèáûëè. Òåîðåìà 2.4 äîêàçûâàåòñÿ â 2.5.Êàê ñëåäñòâèå èç òåîðåì 2.2 è 2.4, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò,êàñàþùèéñÿ èíúåêòèâíîñòè îïåðàòîðà Πq â ñëó÷àå âëîæåííûõ CES-ôóíêöèé q .Íàïîìíèì, ÷òî ïîä âëîæåííûìè CES-ôóíêöèÿìè ìû ïîíèìàåì ôóíêöèè, ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòè÷íûõ êîìïîçèöèé âèäà (1.11) èçCES-ôóíêöèé.  òåîðèè ïðîèçâîäñòâà òàêèå ôóíêöèè áûëè ïðåäëîæåíû Ê. Ñàòî (ñì.
[68]) êàê îáîáùåíèå CES-ôóíêöèé, íàñëåäóþùåå îò ïîñëåäíèõ ïðîñòîòóàíàëèòè÷åñêèõ ìàíèïóëÿöèé è èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ïî ñòàòèñòè÷åñêèìäàííûì, è ïîçâîëÿþùåå ó÷åñòü ðàçëè÷íóþ ýëàñòè÷íîñòü çàìåùåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðîèçâîäñòâåííûìè ôàêòîðàìè (â ÷àñòíîñòè, ýòî ïîçâîëÿåò ïðèíÿòüâî âíèìàíèå ýôôåêò êîìïëåìåíòàðíîñòè ¾êàïèòàëêâàëèôèêàöèÿ¿, ñì. [35]).Ïðåäëîæåíèå 2.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ q ïîñòðîåíà èç ôóíêöèé âèäà qα ñ α ∈(0, 1] (ñì. (1.9)) ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòè÷íûõ êîìïîçèöèé (1.11).Òîãäà îïåðàòîð Πq èíúåêòèâåí â LrI−c (Rn+ ), r ∈ {1, 2, ∞}, c ∈ Rn+ .Ïðåäëîæåíèå 2.1 äîêàçûâàåòñÿ â 2.5.Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó îáðàùåíèÿ ôóíêöèè ïðèáûëè Πq µ â áîëåå îáùåìñëó÷àå, êîãäà äîïóñêàåòñÿ âàðüèðîâàòü íå òîëüêî ðàñïðåäåëåíèå ìîùíîñòåé ïîòåõíîëîãèÿì µ, íî è ôóíêöèþ ñåáåñòîèìîñòè q . Åñëè Πq µ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò q è µ, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìèêðîóðîâíåâîå îïèñàíèå îòðàñëè îäíîçíà÷íîîïðåäåëÿåòñÿ ìàêðîóðîâíåâûì îïèñàíèåì.
Ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ïîñòîÿííîéýëàñòè÷íîñòè çàìåùåíèÿ ðåñóðñîâ ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Îáîçíà÷èìRL1 (Rn+ , µ) = f èçìåðèìà, Rn |f (x)|µ(dx) < ∞ .+Òåîðåìà 2.5. Ïóñòü q1 = qα1 , q2 = qα2 , ãäå 0 < α2 < α1 ≤ 1. Ïóñòü µ1 , µ2 íåîòðèöàòåëüíûå êîíå÷íûå áîðåëåâñêèå ìåðû íà Rn+ òàêèå, ÷òî |x|2α1 ∈L1 (R1+ , µ2 ) è Πq1 µ1 = Πq2 µ2 . Òîãäà µ1 = µ2 = 0.Òðåáîâàíèå íà ðîñò ìåð â òåîðåìå 2.5 ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð íååäèíñòâåííîñòè, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî îñíîâûâàåòñÿ57íà òåîðåìå 1.4. Ïóñòü δ îáîçíà÷àåò δ -ôóíêöèþ Äèðàêà, à K1 ìîäèôèöèðîâàííóþ ôóíêöèþ Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà:1K1 (s) =2Z∞exp − 2s t +1tdt,Re s > 0.(2.7)0Ïðåäëîæåíèå 2.2.
Îïðåäåëèì ôóíêöèþZp0 ZsΠ(p0 , p) =0exp − √1t√p1 +√ dtp2ds,tp0 > 0, p ∈ R2+ .(2.8)0Òîãäà Π = Πq1 µ = Πq1/2 ν , ãäå q1 è q1/2 îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (1.9) è√1x1 + x21√K1 √dx1 dx2 ,µ(dx1 , dx2 ) =πx1 x2 x1 + x2x1 x2ν(dx1 , dx2 ) = x41 exp − x12 δ(x1 − x2 ) dx1 dx2 .1(2.9)(2.10)Òåîðåìà 2.5 è ïðåäëîæåíèå 2.2 äîêàçûâàþòñÿ â 2.5.Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé îòíîñèòåëüíî èñïîëüçóåìûõ â äèññåðòàöèèïîäõîäîâ ê çàäà÷å îáðàùåíèÿ. Ñóùåñòâóþò òðè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¼ííûõïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è îáðàùåíèÿ îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà.Ïåðâûé ïîäõîä îñíîâàí íà ñâåäåíèè çàäà÷è îáðàùåíèÿ ê îáðàùåíèþ õîðîøîèçâåñòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âðîäå ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå, Àáåëÿ èëè Ìåëëèíà.Ýòîò ïîäõîä, ïîìèìî ïðî÷åãî, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû îáðàùåíèÿ.Îäíàêî ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì, êîãäà îïðåäåëåíèå îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÐàäîíà çàêëþ÷àåò â ñåáå îïðåäåë¼ííûå ñèììåòðèè.
Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïîäõîäïîÿâèëñÿ óæå â ïåðâûõ ðàáîòàõ ïî èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè [32] è [65]. Ìû èñïîëüçóåì ýòîò ïîäõîä â òåîðåìàõ 1.1, 1.2 è 2.1, ñâîäÿ çàäà÷ó îáðàùåíèÿ äëÿîïåðàòîðîâ Rq , Rqh è Πq ê çàäà÷å îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà.Âòîðîé øèðîêî ðàñïðîñòðàí¼ííûé â ëèòåðàòóðå ïîäõîä ê çàäà÷å îáðàùåíèÿîñíîâàí íà îöåíêå íîñèòåëÿ ôóíêöèè ïî íîñèòåëþ å¼ îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Êàøèâàðû (ñì.
[49, 43]). Ýòà òåîðåìà ïîçâîëÿåò îöåíèâàòü íîñèòåëü ôóíêöèè ïî å¼ àíàëèòè÷åñêîìó âîëíîâîìó ôðîíòó.Ýòîò ïîäõîä ïðèìåíèì â ñëó÷àå, êîãäà óäà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî îáîáù¼ííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ðàäîíà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì Ôóðüå.Âïåðâûå ýòîò ìåòîä áûë ïðèìåí¼í â ñòàòüå [15] äëÿ ñëó÷àÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðà-58äîíà ñ âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêèì âåñîì.  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ àíàëèòè÷íîñòèýòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðåøèòü çàäà÷ó îáðàùåíèÿ ïî ìîäóëþ ñãëàæèâàþùåãîîïåðàòîðà.  äèññåðòàöèè ýòîò ïîäõîä íå èñïîëüçóåòñÿ.Òðåòèé øèðîêî ðàñïðîñòðàí¼ííûé ïîäõîä ê çàäà÷å îáðàùåíèÿ îñíîâàí íàñâåäåíèè çàäà÷è îáðàùåíèÿ ê èçó÷åíèþ ïîäõîäÿùåãî òðàíñïîðòíîãî óðàâíåíèÿè ýíåðãåòè÷åñêèõ îöåíîê äëÿ íåãî, ïîëó÷àåìûõ ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà Ïåñòîâàè åãî àíàëîãîâ, ñì., íàïðèìåð, [73, 64].
Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèé Ðàäîíà ïî îäíîìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèÿì (áîëåå òî÷íî, ïî ãåîäåçè÷åñêèì íåêîòîðîé ìåòðèêè) è áûë âïåðâûå ïðèìåí¼í Ð. Ã. Ìóõîìåòîâûì âîâòîðîé ïîëîâèíå 1970-õ ãîäîâ. Ýòîò ïîäõîä íàìè òàêæå íå èñïîëüçóåòñÿ.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òåîðåì 2.2 è 2.3 ìû ðåøàåì çàäà÷ó î ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèèêàê ðÿäà (â ïîäõîäÿùåé òîïîëîãèè) èç ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò x = (x1 , . . .
, xn )òîëüêî ïîñðåäñòâîì ñâ¼ðòêè âèäà q(p1 x1 , . . . , pn xn ) ãäå âåêòîð p = (p1 , . . . , pn ) ∈Rn+ ìåíÿåòñÿ îò ñëàãàåìîãî ê ñëàãàåìîìó. Äëÿ ýòîãî ìû ïîëüçóåìñÿ ìíîãîìåðíûìè òåîðåìàìè òèïà Âèíåðà îá àïïðîêñèìàöèè. Äëÿ ôóíêöèé, ïðåäñòàâèìûõâ âèäå òàêèõ ðÿäîâ, çàäà÷à îáðàùåíèÿ ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû êîïëîùàäè (1.36). Ýòîò ïîäõîä ïîõîæ, â íåêîòîðîì ñìûñëå, íà ïîäõîä èç ðàáîòû [30], âêîòîðîì ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå êîíå÷íûõ ñóìì ôóíêöèé, êàæäàÿ èçêîòîðûõ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì çàâèñèò îò ñâîåãî àðãóìåíòà.2.2Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.1 è èç ñëåäóþùåé ëåììû.Íàïîìíèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà M , îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (1.16),ìîæåò áûòü îáðàùåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (1.59), òî åñòü ïîñðåäñòâîìêîìïîçèöèè ñ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ìåëëèíà Mc−1 èç ôîðìóëû (1.17).Îäíàêî, êàê âèäíî èç ôîðìóëû (1.17), ýòî òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ êðàòíîãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Ìû äàäèì îöåíêó òî÷íîñòè âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè ïî å¼ïðåîáðàçîâàíèþ Ìåëëèíà â ñëó÷àå, êîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë çàìåíÿåòñÿïîäõîäÿùèì ñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì.Ëåììà 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
