Диссертация (1103157), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ôóíêöèè ψ(x, k) îáëàäàþòñëåäóþùåé àñèìïòîòèêîé ïî k = (k1 , k2 ) ïðè ôèêñèðîâàííîì x:± ±1±1ψ x, k(λ) = eik(λ)x µ̃±+µ̃λ+o(|λ|),01k1 (λ) = 21 E 1/2 (λ + λ−1 ),|λ|± → 0,k2 (λ) = 2i E 1/2 (λ−1 − λ),(49)(50)±ãäå µ̃±j = µ̃j (x) íåêîòîðûå ôóíêöèè. Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå (50) ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé C \ T íà KE . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (49) â óðàâíåíèå (18),ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ λ è ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì ∇ · Adiv = 0, ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Adiv è V div â±òåðìèíàõ ôóíêöèé µ̃±0 è µ̃1 .±Òåïåðü íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèè µ̃±0 è µ̃1 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿµ̃(x, k) = e−ikx ψ(x, k) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà ïî ïåðåìåííûì x è k , à òàêæåóäîâëåòâîðÿåò ∂¯-óðàâíåíèþ∂µ̃(x, k(λ) = r(x, λ)µ̃ x, k(−1/λ̄) ,∂ λ̄λ ∈ C \ T,(51)ãäå ôóíêöèÿ r ïðè áîëüøèõ E ìàëà ðàâíîìåðíî ïî x è λ.
Ñêà÷êè ôóíêöèéµ̃± (x, k(λ)) = µ̃(x, k(λ ± 0λ)) íà îêðóæíîñòè T ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìZµ̃+ (x, k(λ)) = µ̃− (x, k(λ)) +Tρe(x, λ, λ0 )µ̃− (x, k(λ0 )) |dλ0 |,λ ∈ T,(52)26ãäå ôóíêöèÿ ρe âûðàæàåòñÿ ÷åðåç àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ f . Ìû íàõîäèì ïðèáëèæ¼ííûå çíà÷åíèÿ µ± ôóíêöèé µ̃± , ñ÷èòàÿ, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ(51) c r ≡ 0 è ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (52). Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òàêèõ ôóíêöèéµ± èçâåñòíà êàê íåëîêàëüíàÿ çàäà÷à ÐèìàíàÃèëüáåðòà.±±Çíàÿ µ± , ìû ìîæåì íàéòè ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ µ±0 è µ1 ôóíêöèé µ̃0 èµ̃±1 èç ôîðìóëû (49), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ÊîøèÃðèíà. ïàðàãðàôå 5.2 ìû ïðèâîäèì ôîðìóëû âòîðîãî àëãîðèòìà, êîòîðûé ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â ñëó÷àå ìàëîñòè êîýôôèöèåíòîâ A è V .
Ýòîò àëãîðèòììîæíî ïîëó÷èòü äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ïåðâûé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðåíèè ëèíåàðèçîâàííîé îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ ïðè ìàëûõ êîýôôèöèåíòàõ A, V , êîãäà âìåñòî àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ f ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåàðèçîâàííàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿlin−2Zf (k, l) = (2π)ei(k−l)x 2k · A(x) + V (x) dx,k, l ∈ R2 , k 2 = l2 = E.R2Êîýôôèöèåíòû A è V íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Âûâîä âòîðîãî àëãîðèòìà ýòèì ñïîñîáîì ïðèâîäèòñÿ â ïàðàãðàôå 5.4.Âòîðîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â ëèíåàðèçàöèè ïåðâîãî àëãîðèòìà ïðè ìàëûõêîýôôèöèåíòàõ.
Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî èìååòñÿ ìàëûé ïàðàìåòð ε è ñïðàâåäëèâàîöåíêà |f (k, l)| ≤ Cε, k , l ∈ R2 , k 2 = l2 = E , C = const > 0, äëÿ àìïëèòóäûðàññåÿíèÿ (â ÷àñòíîñòè, àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ óäîâëåòâîðÿåò òàêîé îöåíêå, åñëèêîýôôèöèåíòû A è V èìåþò ïîðÿäîê ìàëîñòè ε). Çàòåì ìû îòáðàñûâàåì âî âñåõôîðìóëàõ è óðàâíåíèÿõ ïåðâîãî àëãîðèòìà ñëàãàåìûå, ïîðÿäîê êîòîðûõ âûøå,÷åì ε.
Ýòèì ñïîñîáîì âòîðîé àëãîðèòì âûâîäèòñÿ â ïàðàãðàôå 5.5.2711.1Õàðàêòåðèçàöèÿ îáîáù¼ííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ÐàäîíàÎñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïîñòàíîâêà çàäà÷Îáîáù¼ííàÿ ìîäåëü ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíàÌû íà÷í¼ì ýòó ãëàâó ñ îïèñàíèÿ îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà,ïðåäëîæåííîé â ðàáîòàõ [69, 110, 109]. Çàòåì ìû ïîêàæåì, êàê èññëåäîâàíèåýòîé ìîäåëè ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ îáîáù¼ííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàäîíà. îáîáù¼ííîé ìîäåëè ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà îòðàñëü ïðîèçâîäñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ ìîùíîñòåé (êîòîðûå ìîãóòðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îòäåëüíûå ôèðìû èëè ìàøèíû), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçâîäèòü îäèí è òîò æå òèï ïðîäóêöèè ïî îïðåäåë¼ííîé òåõíîëîãèè,èñïîëüçóÿ n ≥ 2 âèäîâ ðåñóðîâ. Ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ôóíêöèÿìè F0 , f ,îïðåäåë¼ííûìè íèæå.Òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà ïàðàìåòðèçóþòñÿ âåêòîðàìè x ∈ Rn+ .
Äëÿ êàæäîéòåõíîëîãèè x ∈ Rn+ ìû îïðåäåëÿåì êîëè÷åñòâî ìîùíîñòåé f (x) ≥ 0, ôóíêöèîíèðóþùèõ ïî ýòîé òåõíîëîãèè. Ôóíêöèÿ f : Rn+ → R íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿì. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîf ∈ L1 (Rn+ ).Ôóíêöèÿ F0 : Rn+ → R1+ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèåé íà ìèêðîóðîâíå. Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè F0 ìû ñîïîñòàâëÿåì êàæäîé òåõíîëîãèè x ∈ Rn+ïðîèçâîäñòâåííóþ ôóíêöèþ Fx , ôóíêöèþ ïðèáûëè πx è ôóíêöèþ ñåáåñòîèìîñòè åäèíèöû ïðîäóêöèè cx .Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Fx ñîïîñòàâëÿåò âåêòîðó îáú¼ìîâ âõîäíûõ ðåñóðñîâ u = (u1 , .
. . , un ) îáú¼ì âûïóñêà Fx (u) åäèíè÷íîé ìîùíîñòè, ôóíêöèîíèðóþùåé ïî òåõíîëîãèè x. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéFx (u) = min 1, F0u1un,...,x1xn,u ∈ Rn+ .(1.1)Ôóíêöèÿ ïðèáûëè πx ñîïîñòàâëÿåò öåíàì p0 è p íà ïðîäóêöèþ è ðåñóðñû ìàêñèìàëüíóþ âîçìîæíóþ ïðèáûëü îò èñïîëüçîâàíèÿ åäèíè÷íîé ìîùíîñòè,ôóíêöèîíèðóþùåé ïî òåõíîëîãèè x:πx (p0 , p) = sup p0 Fx (u) − pu ,u∈Rn+p0 ≥ 0, p ∈ Rn+ .28Íàêîíåö, ôóíêöèÿ ñåáåñòîèìîñòè åäèíèöû ïðîäóêöèè cx ñîïîñòàâëÿåò öåíàìp íà ðåñóðñû ìèíèìàëüíîå âîçìîæíîå îòíîøåíèå ñòîèìîñòè ðåñóðñîâ ê îáú¼ìóâûïóñêà íà åäèíè÷íîé ìîùíîñòè ïî òåõíîëîãèè x:cx (p) = infnu∈R+puFx (u)| Fx (u) > 0 ,x ∈ Rn+ , p ∈ Rn+ .(1.2)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ F0 íåïðåðûâíà è îáëàäàåò íåîêëàññè÷åñêèìèñâîéñòâàìè:(N1) F0 íå óáûâàåò ïî âñåì ïåðåìåííûì (ñ ðîñòîì ðåñóðñîâ ðàñò¼ò âûïóñê).(N2) F0 âîãíóòà (çàêîí óáûâàþùåé ïðåäåëüíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè).(N3) F0 (λx) = λF0 (x), λ > 0, x ∈ Rn+ (ïîñòîÿííàÿ îòäà÷à îò ìàñøòàáà).Èç ñâîéñòâà (N1) ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ðàçëè÷íûå ðåñóðñû ìîãóò çàìåùàòüäðóã äðóãà (â îïðåäåë¼ííîé ìåðå) â ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà.
Ýòî òèïè÷íî äëÿïðîèçâîäñòâåííûõ ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ â óñëîâèÿõ ãëîáàëèçàöèè è ñòàíäàðòèçàöèè.Ñâîéñòâî (N2), ïîìèìî ïðî÷åãî, âëå÷¼ò âîãíóòîñòü F0 ïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî ñ ðîñòîì îòäåëüíîãî ðåñóðñàïðè ôèêñèðîâàííûõ îñòàëüíûõ ðîñò âûïóñêà çàìåäëÿåòñÿ.Ôóíêöèè f è F0 , à òàêæå Fx , πx è cx îïèñûâàþò îòðàñëü íà ìèêðîóðîâíå(òî åñòü â ñëó÷àå, êîãäà îòðàñëü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îáúåäèíåíèå íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ìîùíîñòåé). Íèæå ìû îïðåäåëèì ôóíêöèè πA è FA ,êîòîðûå îïèñûâàþò îòðàñëü íà ìàêðîóðîâíå (òî åñòü â ñëó÷àå, êîãäà îòðàñëüðàññìàòðèâàåòñÿ êàê åäèíîå öåëîå).Àãðåãèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ïðèáûëè πA ñîïîñòàâëÿåò öåíàì p0 è p íà ïðîäóêöèþ è ðåñóðñû ìàêñèìàëüíóþ âîçìîæíóþ ñóììàðíóþ ïðèáûëü îòðàñëè:ZπA (p0 , p) =πx (p0 , p)f (x) dx,p0 ≥ 0, p ∈ Rn+ .(1.3)Rn+Àãðåãèðîâàííàÿ ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ FA ñîïîñòàâëÿåò ñóììàðíîìóîáú¼ìó ðåñóðñîâ l = (l1 , . . .
, ln ) ∈ Rn+ , ïîñòóïàþùèõ â îòðàñëü, ìàêñèìàëüíûéñóììàðíûé âûïóñê, êîòîðûé ìîæíî ïîëó÷èòü, âàðüèðóÿ ðàñïðåäåëåíèå ðåñóð-29ñîâ u = (u1 , . . . , un ) ìåæäó ïðîèçâîäñòâåííûìè ìîùíîñòÿìè:(ZFA (l) = maxu)Zuk (x)f (x) dx ≤ lk .Fx u(x) f (x) dx ∀kRn+Rn+(1.4)Çàäà÷à îïòèìèçàöèè (1.4) âñåãäà èìååò ðåøåíèå â êëàññå íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ u = (u1 , . . . , un ) òàêèõ, ÷òî u1 f , . .
. , un f ∈ L1 (Rn+ ) (ñì. [110, Òåîðåìà3.1]).Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (1.3) äëÿ ôóíêöèè πA ïîëó÷åíî èç ïðåäïîëîæåíèÿ,÷òî êàæäàÿ ïðîèçâîäñòâåííàÿ ìîùíîñòü ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ ïðèáûëü íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûðàæåíèå (1.4) äëÿ ôóíêöèè FA îñíîâàíî íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îòäåëüíûå ïðîèçâîäñòâåííûå ìîùíîñòè êîîïåðèðóþò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü ñóììàðíûé âûïóñê îòðàñëè. Òåìíå ìåíåå, ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [109, Òåîðåìà 3.1]), ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ:πA (p0 , p) = sup p0 FA (l) − pl ,l∈Rn+p0 > 0, p ∈ Rn+ ,p0 F0 (l) = inf πA (p0 , p) + pl),p∈Rn+p0 > 0, l ∈Rn+ .(1.5)Èç ñîîòíîøåíèé (1.5) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè FA è πA ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè èíñòðóìåíòàìè îïèñàíèÿ îòðàñëè. Ýòà ñèòóàöèÿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îïòèìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåñóðñîâ â çàäà÷å (1.4) îáåñïå÷èâàåòñÿ ðûíî÷íûìèìåõàíèçìàìè. Áîëåå òî÷íî, ìîæíî ïîêàçàòü (ñì.
[110, Òåîðåìà 4.1]), ÷òî ðàñïðåäåëåíèå u â çàäà÷å (1.4) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíàéäóòñÿ òàêèå p0 ≥ 0 è p ∈ Rn+ (êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðûíî÷íûåöåíû íà âûïóñêàåìóþ ïðîäóêöèþ è ðåñóðñû), p0 + |p| > 0, ÷òî(1) Åñëè p0 < cx (p), òî u(x) = 0 äëÿ ï.â. x òàêèõ, ÷òî f (x) 6= 0 (ìîùíîñòè,äëÿ êîòîðûõ ïðîèçâîäñòâî íå îêóïàåòñÿ ïðè äàííûõ öåíàõ íà ïðîäóêöèþè ðåñóðñû, íå ôóíêöèîíèðóþò).(2) Åñëè p0 > cx (p), òî Fx (u(x)) = 1 è cx (p) = pu(x) äëÿ ï.â. x ñ f (x) 6= 0(ìîùíîñòè, äëÿ êîòîðûõ ïðîèçâîäñòâî îêóïàåòñÿ ïðè äàííûõ öåíàõ íàïðîäóêöèþ è ðåñóðñû, ðàáîòàþò ñ ìàêñèìàëüíîé îòäà÷åé).(3) pkRRn+uk (x)f (x) dx − li = 0, k = 1, .
. . , n.30Ïîñòàíîâêà çàäà÷Ôóíêöèè πA è FA ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè ìàêðîóðîâíåãî îïèñàíèÿîòðàñëè (òî åñòü, â ñëó÷àå, êîãäà îòðàñëü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê åäèíîå öåëîå).Êàê âèäíî èç ñîîòíîøåíèé (1.5), ýòè äâà èíñòðóìåíòà ýêâèâàëåíòíû. Ìû áóäåìðàáîòàòü ñ ôóíêöèåé ïðèáûëè πA . Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèåé ïðèáûëè πA è ðàñïðåäåëåíèåì ìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿì f . Èç ôîðìóëû(1.3) è èç [110, Ëåììà 4.1] ñëåäóåò, ÷òî πA = Πq µ, ãäå µ(dx) = f (x)dx èZ(Πq µ)(p0 , p) =max 0, p0 − q(p1 x1 , . . .
, pn xn ) µ(dx),(1.6)Rn+à ôóíêöèÿ q îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéq(x) = infxu|F(u)=1,0nR+x ∈ Rn+ .(1.7)Ìû áóäåì íàçûâàòü q ôóíêöèåé ñåáåñòîèìîñòè. Îíà íàñëåäóåò òàêèå ñâîéñòâàôóíêöèè F0 êàê íåîòðèöàòåëüíîñòü è ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òîq ∈ C 1 (Rn+ ), q > 0 è q(λx) = λq(x) ïðè λ > 0, x ∈ Rn+ .(1.8)Èç ôîðìóë (1.6), (1.7) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ïðèáûëè Πq µ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé F0 è ðàñïðåäåëåíèåì ìîùíîñòåé ïî òåõíîëîãèÿì µ(dx) =f (x)dx, êîòîðûå îïèñûâàþò îòðàñëü íà ìèêðîóðîâíå. Íàñ èíòåðåñóþò ñëåäóþùèå äâå îáðàòíûå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ îïðåäåëåíèåì ìèêðîóðîâíåâîé èíôîðìàöèèè ïî ìàêðîóðîâíåâîé èíôîðìàöèè. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì (1.6), ìû áóäåìðàññìàòðèâàòü îïåðàòîð Πq íà ìíîæåñòâå áîðåëåâñêèõ ìåð.Çàäà÷à 1.1 (õàðàêòåðèçàöèÿ).
Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,ïðè êîòîðûõ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ Π ïðåäñòàâèìà â âèäå Π = Πq µ äëÿ íåêîòîðûõq è µ.Çàäà÷à 1.2 (îáðàùåíèå). Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ â òåðìèíàõ q , ïðè êîòîðûõ Πq µ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò µ, è óêàçàòü ÿâíûå ôîðìóëû îáðàùåíèÿ.Çàäà÷è 1.1 è 1.2 èìåþò âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Çàìåòèì, ÷òî îòðàñëü ïðîèçâîäñòâà, êîòîðóþ ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ îáîáù¼ííîé ìîäåëè31ÕàóòåêêåðàÈîõàíñåíà, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåñêîëüêèì ñòðîãèì îãðàíè÷åíèÿì. Âî-ïåðâûõ, âñå ïðîèçâîäñòâåííûå ìîùíîñòè äîëæíû âûïóñêàòü îäíîðîäíóþ ïðîäóêöèþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
