Диссертация (1103157), страница 5
Текст из файла (страница 5)
òåîðåìó 3.3. ÷åòâ¼ðòîé ãëàâå ìû ïðèâîäèì ôîðìóëû è óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñâåñòè îáðàòíóþ çàäà÷ó ÄèðèõëåÍåéìàíà 3 ê îáðàòíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ4. ×òîáû íå ââîäèòü äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ, èçëîæèì ñîäåðæàíèå ýòîéãëàâû â ñëó÷àå, êîãäà E > 0.Îáîçíà÷èì ÷åðåç ΛA,V (E) îïåðàòîð ÄèðèõëåÍåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (18) ñêîýôôèöèåíòàìè A = (A1 , .
. . , Ad ) è V â îáëàñòè D. Ìû òàêæå ðàññìàòðèâàåìóðàâíåíèå (18) âî âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå Rd , ïðîäîëæàÿ êîýôôèöèåíòû A è V íóë¼ìâíå îáëàñòè D. Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿðàññåÿíèÿ ψ + è ñîîòâåòñòâóþùóþ àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ f = fA,V . Íàïîìíèì,÷òî ôóíêöèè ψ + è fA,V â ñëó÷àå ñêàëÿðíûõ êîýôôèöèåíòîâ A1 , . . . , Ad , Vîïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìóëû (21); â ñëó÷àå æå ìàòðè÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ ìîæíîçàïèñàòü àíàëîã ôîðìóëû (21), êîòîðûé ìû îïóñêàåì â âèäó åãî ãðîìîçäêîñòè. ïàðàãðàôå 4.1 ìû ïðèâîäèì óðàâíåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ êëàññè÷åñêèõ èîáîáù¼ííûõ ðåøåíèé ðàññåÿíèÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè D ïî îïåðàòîðó ÄèðèõëåÍåéìàíà. Ìû òàêæå óêàçûâàåì ÿâíûå ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå íàéòè êëàññè÷åñêèå è îáîáù¼ííûå àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ ïî ýòèì ðåøåíèÿì. Ïóñòü C 1,β (∂D, Mn (C))îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ Mn (C)-çíà÷íûõ ôóíêöèé íà ∂D, ÷üè ïåðâûå ïðîèçâîäíûå β -üëüäåð-íåïðåðûâíû, ñ íîðìîékψkC 1,β = kψkC 1 + max supi,jx1 ,x2 ∈∂Dx1 6=x2Grad ϕij (x1 ) − Grad ϕij (x2 )|x1 − x2 |β,(32)ãäå ϕ(x) = ϕij (x) ∈ Mn (C), à Grad îáîçíà÷àåò ïîâåðõíîñòíûé ãðàäèåíò,ñì.
[21, ñ. 33-39]. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ΛA,V (x, y, E) ÿäðî (â ñìûñëå òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé) îïåðàòîðà ΛA,V (E). Íàêîíåö, ïóñòü E + îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî òåõk ∈ Rd , k 2 = E , ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå (23) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ψ + ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 5. Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îòêðûòàÿ îáëàñòü â Rd (d = 2, 3)ñ ãðàíèöåé ∂D ∈ C 2 . Ïóñòü A1 , . . . , Ad , V üëüäåð-íåïðåðûâíûå Mn (C)çíà÷íûå ôóíêöèè ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì â D.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E > 0 èE íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA,V è −∆ â22D, ãäå A = (A1 , . . . , Ad ). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàZ Zf (k, l) = (2π)−de−ilx (ΛA,V − Λ0,0 )(x, y, E)ψ + (y, k) dy dx,(33)∂D ∂Dãäå k , l ∈ Rd \ (0 ∪ E + ), k 2 = l2 = E , è óðàâíåíèå+ikxψ (x, k) = eZ+A+ (x, y, k)ψ + (y, k) dy,x ∈ ∂D,(34)∂DA+ (x, y, k) =ZG+ (x − z, k)(ΛA,V − Λ0,0 )(z, y, E) dz,x, y ∈ ∂D,∂Dãäå k ∈ Rd \ (0 ∪ E + ), k 2 = E . Êðîìå òîãî, óðàâíåíèå (34) ïðè ôèêñèðîâàííîì k ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàîòíîñèòåëüíî ψ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)) ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì β ∈ (0, 1).Àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû è óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ íàõîæäåíèÿ îáîáù¼ííûõ ðåøåíèé ðàññåÿíèÿ è àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå óðàâíåíèÿ âðîäå (34) îñîáåííî ýôôåêòèâíî ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.
Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäàòðåáóåòñÿ, ÷òîáû ôóíêöèÿ A+ (x, y, k) áûëà äîñòàòî÷íî ìàëà.  ÷àñòíîñòè, ýòîñïðàâåäëèâî, åñëè êîýôôèöèåíòû A è V ìàëû. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ÷àñòî âîçíèêàåò ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíò A ìàë, à êîýôôèöèåíò V áëèçîê ê íåêîòîðîìó èçâåñòíîìó ¾ôîíîâîìó¿ êîýôôèöèåíòó V 0 .  ïàðàãðàôå 4.2 ìû ïðèâîäèìôîðìóëó (33) è óðàâíåíèå (34) â ýòîì áîëåå îáùåì ñëó÷àå, ÷òî äåëàåò èõ áîëåå ïðèìåíèìûìè íà ïðàêòèêå. Âûâîä ýòèõ ôîðìóë è óðàâíåíèé ïðîâîäèòñÿ âïàðàãðàôàõ 4.3 è 4.4.Ôîðìóëà (33) ïîëó÷àåòñÿ èç ÿâíîé ôîðìóëû (25) ñ èñïîëüçîâàíèåì âòîðîéôîðìóëû Ãðèíà.
Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèå (34) âûâîäèòñÿ èç èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (23) è âòîðîé ôîðìóëû Ãðèíà. Òàêèì æå ñïîñîáîì äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãèôîðìóë (33) è (34) â ñëó÷àå, êîãäà E ∈ C è ïðèñóòñòâóåò íåíóëåâîé ¾ôîíîâûé¿ïîòåíöèàë V 0 .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (34) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, ìû ïåðåïèñûâàåì åãî îïåðàòîðíîé ôîðìåψ + = eikx + G+ (ΛA,V − Λ0,0 )ψ + ,(35)ΛA,V − Λ0,0 = NA,V SA,V .(36)23Çäåñü îïåðàòîð G+ îáëàäàåò ÿäðîì G+ (x − y, k), SA,V îïåðàòîð, îòîáðàæàþùèé ôóíêöèþ f íà ∂D â ðåøåíèå ψ óðàâíåíèÿ (18) â îáëàñòè D ñ ãðàíè÷íûìóñëîâèåì ψ|∂D = f , îïåðàòîð NA,V îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéZ(NA,V ψ)(x) =∂Γ(x, y, E) LA,V − L0,0 ψ(y) dy,∂νxx ∈ ∂D,Dãäå Γ ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà ∆ + E â îáëàñòè D, àνx åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ∂D â òî÷êå x.Ñëåäóþùèå îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè è íåïðåðûâíûìè:SA,VNA,ViG+C 1,β (∂D) −→ C 1 (D) −→ C 2 (∂D) ,→ C 1,β (∂D) −→ C 1,β (∂D),(37)ãäå i îáîçíà÷àåò âëîæåíèå, à ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé ïîäðàçóìåâàþòñÿ Mn (C)çíà÷íûìè.
Ó÷èòûâàÿ êîìïàêòíîñòü îïåðàòîðà i è ïîëüçóÿñü ïðåäñòàâëåíèÿìè(35) è (36), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå (34) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìàâòîðîãî ðîäà â C 1,β (∂D, Mn (C)). ïÿòîé ãëàâå ìû ïðèâîäèì äâà àëãîðèòìà ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ 4 äëÿ óðàâíåíèÿ (18) â R2 ñî ñêàëÿðíûìè êîýôôèöèåíòàìè A1 , A2 , V è ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè E > 0. Ïåðâûé àëãîðèòì îñíîâàí íàðåøåíèè íåëîêàëüíîé çàäà÷è ÐèìàíàÃèëüáåðòà. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû, ñîîáù¼ííûå â äîêëàäå [75], ïîêàçûâàþò, ÷òî ýòîò ìåòîä óñïåøíî ðàáîòàåò â ñëó÷àåïðîèçâîëüíûõ îãðàíè÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ A, V ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì.Âòîðîé àëãîðèòì ïîëó÷àåòñÿ ëèíåàðèçàöèåé ïåðâîãî â ñëó÷àå ìàëûõ êîýôôèöèåíòîâ A, V .
Ñõîäèìîñòü ëèíåàðèçîâàííîãî ìåòîäà ïðè E → ∞ ïîëíîñòüþäîêàçàíà, â òî âðåìÿ êàê òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ñõîäèìîñòè íåëèíåàðèçîâàííîãî àëãîðèòìà ñîñòàâèò ñîäåðæàíèå îäíîé èç áóäóùèõ ñòàòåé.Ïåðâûé àëãîðèòì ïðèâîäèòñÿ â ïàðàãðàôå 5.1 è âûâîäèòñÿ â ïàðàãðàôå5.3. Äëÿ åãî ôîðìóëèðîâêè íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé.×åðåç Adiv , V div îáîçíà÷èì ïàðó êîýôôèöèåíòîâ, ñâÿçàííûõ ñ êîýôôèöèåíòàìèA, V êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì (26a), (26b) è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ∇ · Adiv = 0 (òàêàÿ ïàðà êîýôôèöèåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì).Ïåðâûé àëãîðèòì ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííî âîññòàíîâèòü Adiv , V div ïî àìïëèòóäåðàññåÿíèÿ f .Ïóñòü E > 0 çàôèêñèðîâàíî.
Òîãäà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ f ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ íà òîðå T 2 = T ×T , ãäå T = {λ ∈ C | |λ| = 1}. Îïðåäåëèì24ñëåäóþùèå îïåðàòîðû, ñëåäóÿ [99]:00λλ(P± (λ)u)(λ0 ) = −πi u(λ00 )χ ±i 00 −f (λ00 , λ0 )|dλ00 |,λλT Z0λλ(Q± (z)u)(λ) = πi h± (λ, λ0 )e(λ, λ0 , z)χ ±i 0 −u(λ0 )|dλ0 |,λλT√ e(λ, λ0 , z) = exp −i 2E (λ − λ0 )z̄ + (λ−1 − λ0−1 z ,Z1u(ξ)(C± u)(λ) =dξ,2πi T ξ − λ(1 ∓ 0)Z(38)(39)(40)(41)(42)B(z) = C+ Q− (z) − C− Q+ (z),ãäå χ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, |dλ| = dλ/(iλ). Ôóíêöèè h± èç ôîðìóëû (39)îïðåäåëÿþòñÿ íèæå. Îáîçíà÷èì ∂xk = ∂/∂xk , z = x1 + ix2 , ∂z = 21 (∂x1 − i∂x2 ),∂z̄ = 21 (∂x1 + i∂x2 ), curl = (−∂x2 , ∂x1 ).Àëãîðèòì 1. Ïóñòü f àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ äëÿ îïåðàòîðà LA,V ïðè ôèêdivñèðîâàííîé ýíåðãèè E > 0.
Îïðåäåëèì Adiv, Vapprïî ñëåäóþùåé ñõåìå:apprdivf −→ h± −→ µ+ −→ µ± −→ Adiv, Vappr.appr(43)Ôóíêöèè h± , µ+ è µ± ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäÿòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé(44), (45) è ÿâíîé ôîðìóëû (46):h± (λ, λ0 ) + (P± (λ)h± (λ, ·))(λ0 ) = f (λ, λ0 ),µ+ (z, λ) + (B(z)µ+ (z, ·))(λ) = 1,(λ, λ0 ) ∈ T 2 ,z ∈ C, λ ∈ T,µ± (z, λ) = µ+ (z, λ) + (Q± (z)µ+ (z, ·))(λ),z ∈ C, λ ∈ T.(44)(45)(46)divÇàòåì êîýôôèöèåíòû Adivè Vapprîïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëappr Z1Adiv(x) = curl ln µ+ (z, ζ)|dζ| ,appr2T√ZEdivVappr(x) = 2|Adiv(x)|2 +∂z µ− (z, ζ)dζappr2π TZZ√dζ+ E∂z̄µ+ (z, ζ) 2µ+ (z, ζ)|dζ| .ζTT(47)(48)Òåîðåìà 6. Ïóñòü E > 0 è z ∈ C çàôèêñèðîâàíû.
Ïóñòü f ∈ C ∞ (T 2 )è kf kL2 (T 2 ) <16π .Òîãäà óðàâíåíèå (44) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî25h± ∈ L2 (T 2 ), à óðàâíåíèå (45) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî µ+ (z, ·) ∈L2 (T ). Êðîìå òîãî, çíàìåíàòåëü äðîáè â ôîðìóëå (48) îòëè÷åí îò íóëÿ ïðèdivâñåõ z ∈ C, ôóíêöèè Adivè Vapprîãðàíè÷åíû, óáûâàþò íà áåñêîíå÷íîñòè èapprdiv ñîîòâåòñòâóåò= 0. Íàêîíåö, îïåðàòîðó LAdivóäîâëåòâîðÿþò ∇ · Adivapprappr ,Vappràìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ f ïðè ýíåðãèè E .Çàìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèÿ íà ãëàäêîñòü è ìàëîñòü ôóíêöèè f â òåîðåìå 6 ÿâdivëÿþòñÿ çàâûøåííûìè.
Òàêæå çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëåíèå ôóíêöèé Adivappr è Vapprâ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîèçâîäèòñÿ íåçàâèñèìî, ÷òî äåëàåò àëãîðèòì 1 õîðîøîïàðàëëåëèçóåìûì. Êðîìå òîãî, ðåçóëüòàòû, ñîîáù¼ííûå â äîêëàäå [75], ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè E ê áåñêîíå÷íîñòè êîýôôèöèåíòû Adivappr ,divdivdivVappr ïîòî÷å÷íî ñõîäÿòñÿ ê A , V . Òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ñõîäèìîñòèáóäåò ïðîâåäåíî â îäíîé èç áóäóùèõ ñòàòåé.Óêàæåì îñíîâíûå èäåè, ëåæàùèå â îñíîâå àëãîðèòìà 1. Ìû ðàññìàòðèâàåìîáîáù¼ííûå ðåøåíèÿ ðàññåÿíèÿ ψ(x, k), k ∈ KE , KE = {k ∈ C2 \ R2 | k 2 = E},óðàâíåíèÿ (18) â R2 , âîñõîäÿùèå ê Ë. Ôàääååâó.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
